1、二次函數與等腰三角形的綜合問題知識點二次函數綜合；等腰三角形的性質與判定；相似三角形的性質；教學目標1 .熟練運用所學知識解決二次函數綜合問題2 .靈活運用數形結合思想教學重點巧妙運用數形結合思想解決綜合問題；教學難點靈活運用技巧及方法解決綜合問題；知識講解考點1二次函數的基礎知識1 . 一般地，如果 y=ax2+bx+c （a, b , c是常數且aw0）,那么y叫做x的二次函數，它是關于自變量的二次式，二次項系數必須是非零實數時才是二次函數，這也是判斷函數是不是二次函數的重要依據.當b=c=0時，二次函數y=ax2是最簡單的二次函數.2 .二次函數y=ax2+bx+c （a, b, c是常

2、數，aw0）的三種表達形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c,通常要知道圖像上的三個點的坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a （x-h） 2+k,通常要知道頂點坐標或對稱軸才能求出此解析式；交點式：y=a （xxi） （xx2）,通常要知道圖像與 x軸的兩個交點坐標 xi, x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標為（,4ac -b ）.對于 y=a （xh） 2+k2a 4a而言其頂點坐標為（h, k）, ?由于二次函數的圖像為拋物線，因此關鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點.考點2 等腰三角形的性質1 .等腰三角形的兩個底角度數 才目等（簡寫成“等邊對等

3、角”）。2 .等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合（簡寫成“等腰三角形的三線合一性質”）。3 .等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。4 .等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。5 .等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。6 .等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）。7 .等腰三角形是軸對稱圖形，（不是等邊三角形的目情況下）只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸，等邊三角形有三條對稱軸。8 .等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9 .等腰三角形的腰與它的高的直接的關

4、系是：腰大于高。間接的關系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。考點3 探究等腰三角形的一般思路探究等腰三角形的存在性問題時，具體方法如下：（1）假設結論成立；（2）找點：當所給定長未說明是等腰的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：當定長為腰時，找已知直線上滿足條件的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與數軸或拋物線有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與數軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；當定長為底邊時，根據尺規作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與數軸或拋物線有交點,則交點即為所求的點，若作出的垂直平分線

5、與數軸或拋物線無交點，則滿足條件的點不存在。以上方法即可找出所有符合條件的點；(3)計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添 加輔助.線構造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質進行求解。15例題精析例1如圖，拋物線y =-± x2+21 x-4與x軸相交于點A、B,與 y軸相交于點C,拋物線的對稱軸 5:與x軸相交于點M。P是拋物線在 x軸上方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）。分別過點A、B 作直線CP的垂線，垂足分別為D、E,連接MD、ME。（1）求點A、B的坐標（直接寫出結果），并證明AMD E是等腰三角形；（2） AMD

6、 E能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標，若不能，說明理由；（3）若將“P是拋物線在 x軸上方的一個動點（點P,、M、C不在同一條直線上）”改為“P是拋物線在x軸下方的一個動點”， 其他條件不變，AMD E能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標（直接寫出結果），若不能，說明理由。例2如圖，已知拋物線 y= - L2+bx+4與x軸相交于 A B兩點，與y軸相交于點C,若已知A點的坐標4為 A ( - 2, 0).(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；(2)求點C的坐標，連接 AC BC并求線段BC所在直線的解析式；(3)試判斷 AOC與ACOB是否相似？并說明理由；(4)在拋物

7、線的對稱軸上是否存在點Q,使4ACQ為等腰三角形？若不存在， 求出符合條件的 Q點坐標;若不存在，請說明理由.例3如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為 A (3, 0),與y軸的交點為B (0, 3),其頂點為C,對稱軸為x=1.(1)求拋物線的解析式；(2)已知點M為y軸上的一個動點，當 ABM為等腰三角形時，求點 M的坐標;(3)將4AOB沿x軸向右平移m個單位長度(0v m< 3)得到另一個三角形，將所得的三角形與 ABC重疊部分的面積記為S,用m的代數式表示S.例4在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y=x2- ( m+力x+mn ( m> n)與x軸相交

8、于A、B兩點(點A位 于點B的右側)，與y軸相交于點C.(1)若m=2 n=1,求A、B兩點的坐標；(2)若A B兩點分別位于y軸的兩側，C點坐標是(0, - 1),求/ ACB的大小；(3)若m=2 4ABC是等腰三角形，求 n的值.例5如圖，拋物線y=ax2+bx+c (aw0)的圖象過點 M( - 2,我)，頂點坐標為N ( - 1, 國至)，且與x3軸交于A、B兩點，與y軸交于C點.(1)求拋物線的解析式；(2)點P為拋物線對稱軸上的動點，當 PBC為等腰三角形時，求點 P的坐標；(3)在直線AC上是否存在一點 Q,使4QBM的周長最小？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由.課程

9、小結有針對性的對等腰三角形的性質、相似三角形的性質及二次函數的基礎知識進行復習，有助于為研究二次函數與等腰三角形的綜合問題提供有利的依據。在探究二次函數與等腰三角形的綜合問題時， 抓住已有的信息及條件在函數圖像中構造出等腰三角形，并能運用等腰三角形的性質解決問題， 掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關鍵。例1【規范解答】(1)拋物線解析式為 y= - -x2+ x - 4,令y=0,即-X2+ x -4=0,解得x=1或5555x=5, .A (1, 0), B (5, 0).分別延長 AD與 EM 交于點 F； , AD± PG BEX PC, . AD/ BE,/ MAFh

10、 MBE在AMF與ABME中，/ MAFW MBE MA=MB/ AMFh BME AM降 BME(ASA),. ME=MF即點 M為RtEDF斜邊EF的中點，MD=ME即 MDE等腰三角形(2)能；拋物線解析式為 y= - -x2+ x -4=- (x-3) 2+二匹，對稱軸是直線 x=3, M (3, 0);5555令x=0,得y=-4,，C (0, -4) AMD時等腰直角三角形，有 3種可能的情形；若DEL EM由DEL BE,可知點E、M B在一條直線上， 而點B、M在x軸上，因此點E必然在x軸上, 由DEL BE可知點E只能與點O重合，即直線PC與y軸重合，不符合題意，故此種情況不

11、存在；若DE! DM與同理可知，此種情況不存在；若EML DM如答圖2所示設直線 PC與對稱軸交于點 N, . EML DM MNL AM/ EMN= DMAB ADMW NEM43, / EMN= DMAEM=DM/ADM= NEM=135 ; .AD廬 NEM(ASQ ,. MN=MA拋物線解析式為 y=-9x2+25x -4=- (x- 3) 2+U,故對稱軸是直線 x=3, M (3, 0) , MN=MA=2 5555N (3, 2)設直線PC解析式為y=kx+b,二.點N (3, 2), C (0, -4)在拋物線上，皂,解得 k=2, b= - 4, 1. y=2x - 4,將

12、y=2x 4 代入拋物線解析式得 2x 4= 9x2+&x 41 b= - 455解得x=0或x=,當x=0時，交點為點 C;當x=1時，y=2x - 4=32 2P (，3)綜上所述， MDEt歸成為等腰直角三角形，此時點 P坐標為(上，3)22(3)能；如答題3所示，設對稱軸與直線 PC交于點N;與(2)同理，可知若 MD助等腰直角三角形，直角頂點只能是點M MDL ME MAL MNDMN=/ EMB在 DMNW EMB中，/ DMN=/EMB MD=MB/ MDN= MEB=45 ; .DMN EMB(ASA),MN=MB N (3, - 2)設直線PC解析式為y=kx+b,二

13、點N (3, -2), C (0, -4)在拋物線上，3k+b= - 2, 9 ,夕,解得 k=, b= - 4, 1. y=x - 4,Lb=- 433將y=2x - 4代入拋物線解析式得 Zx - 4= - 9x2+%x - 4,3355解得x=0或x=W1,6當x=0時，交點為點C;當 x=-51 時，y=2x 4= 一 下1. P （盤，）639,69綜上所述， MDEt歸成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（圓，-下）69【總結與反思】（1）在拋物線解析式中，令 y=0,解一元二次方程，可求得點A、點B的坐標；如答圖1所示，作輔助線，構造全等三角形4AM四 BME得到點M為為RtEDF

14、斜邊EF的中點，從而得到MD=ME問題得證；（2）首先分析，若 MD助等腰直角三角形，直角頂點只能是點M如答圖2所示，設直線PC與對稱軸交于點 N首先證明AD俸NEhM得到MN=AM從而求得點N坐標為（3,2）;其次利用點N、點C坐標，求出直線 PC的解析式；最后聯立直線PC與拋物線的解析式，求出點P的坐標；（3）當點P是拋物線在x軸下方的一個動點時，解題思路與（2）完全相同；例2【規范解答】(1) 拋物線y=-1x2+bx+4的圖象經過點 A (-2, 0),4- -X ( 2) 2+bx ( 2) +4=0,解彳導:b=,，拋物線解析式為 y= -x2+x+4,424 2又y=-1x2+2

15、x+4=-1(x-3) 2+,，對稱軸方程為：x=3 .4 244(2)在 y= - -lx2+-x+4 中，令 x=0 ,得 y=4,. C (0, 4);令 y=0,即-1x2+3x+4=0 ,整理得 x2 - 6x4 24 216=0,解得：x=8 或 x= -2, . A ( 2, 0), B (8, 0).設直線BC的解析式為y=kx+b ,把B (8, 0), C (0, 4)的坐標分別代入解析式，得：、 匕一° ,解得k= 一工，b=4,.直線BC的解析式為：y= - -x+4 .lb=422(3)可判定 AOS ACO既立.理由如下：在 AOC與 COB中，OA=2

16、OC=4 OB=8又AOCW BOC=90 , 二 AOS COBOC OB(4)二拋物線的對稱軸方程為：x=3,可設點Q (3, t),則可求得：AC=/77=2泥,aq452 + ；2=65+S，cq=/s2+ (t-4) 2=7 (t- 4) 2+9當 AQ=CQ寸，有在5+；2=r & - 4 )沁, 25+t2=t2- 8t+16+9 ,解得 t=0 ,，Q (3, 0);當AC=AQ寸，有425+；2=2泥,t2=-5,此方程無實數根，此時ACQ能構成等腰三角形；當 AC=CQ寸，有，（t - 4了2+9=2泥,整理得：t2-8t+5=0 ,解得：t=4 ±依,點

17、 Q坐標為：Q (3, 4+S7), Q (3, 4-阮).綜上所述，存在點 Q使 AC©等腰三角形，點 Q的坐標為：Q (3, 0), Q (3, 4+工)，Q (3, 4-VTD(1)利用待定系數法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=-上求出對稱軸方程；2a(2)在拋物線解析式中，令 x=0,可求出點C坐標；令y=0,可求出點B坐標.再利用待定系數法求出 直線BD的解析式；(3)根據地/ AOCW BOC=90 ,可以判定 AO6 COBCC 0B(4)本問為存在型問題.若 ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算， 避免漏解.例3【規范解答】 解：(

18、1)由題意可知，拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為(-1, 0),則9a+3b4-c=0'a= _ 1* a-b+c=0 ,解得，b=2 故拋物線的解析式為 y=-x2+2x+3.l c-3c=3(2)當 MA=MB寸,M (0, 0);當 AB=AM寸,M (0, 3);當 AB=BM寸,M (0, 3+3&)或 M (0, 3 3、匹).所以點 M的坐標為：(0, 0)、(0, -3)、(0, 3+3近)、(0, 3-3&).(3)平移后的三角形記為 PEF.設直線AB的解析式為y=kx+b ,則、如+'一。，解得1 一 .則直線AB的解析式為

19、y=-x+3.I b=3Ib=3 AOBgx軸向右平移 m個單位長度(0V m< 3)得到 PEF,易得直線 EF的解析式為y= - x+3+m.設直線AC的解析式為y=k' x+b'，貝k -,解得，一.bkv +b =4 1b =6則直線AC的解析式為y= - 2x+6.連結BE,直線BE交AC于G則G (/ 3).!_J在 AOB沿x軸向右平移的過程中.當0 Vme芭時，如圖1所示.設 PE交AB于K, EF交AC于M.貝U BE=EK=m PK=PA=3- m12聯立(尸一2"6解得產"m,即點m(3-m 2m).y= _ x+3+d故 S=&

20、amp;pef Sa PARC- & armfIpe" - IpK2 - lAF?h= - 1 (3m) 2- lm?2m=- 2m2+3m2222 222當售vm< 3時，如圖2所示.設PE交AB于K,交AC于H因為BE=m所以PK=PA=3- mi,2又因為直線 AC的解析式為y= - 2x+6 ,所以當x=m時，得y=6 - 2m所以點H (m, 6-2m).故 S=&pah Sapak=1pAPIH- 1PA2=- 1 (3 m) (6- 2m) - 1 (3m) 2=1 m2 - 3m+ .222222綜上所述，當 0Vmic 2時，S=-且mf+3m

21、;當且v mx3 時，S=2m2-3m+5.22222圖1圖2【總結與反思】(1)根據對稱軸可知，拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為(-1,0),根據待定 系數法可得拋物線的解析式為y= - x2+2x+3.(2)分三種情況：當 MA=M時；當AB=AM寸；當AB=BM寸；三種情況討論可得點M的坐標.(3)平移后的三角形記為 PEF.根據待定系數法可得直線 AB的解析式為y= - x+3.易得直線EF的解 析式為y= - x+3+m.根據待定系數法可得直線 AC的解析式.連結BE,直線BE交AC于G則G(1, 3).在 AOB沿x軸向右平移的過程中.分二種情況：當 0vmc2時；

22、當Wvm< 3時；討論可得用 m的代22數式表示S.例 4【規范解答】 解：(1) y=x2 - ( m+rj) x+mn= (x mj) (x n) ,. x=m或 x=n 時，y 都為 0,: m> n,且點A位于點B的右側，A (m, 0) , B (n, 0).m=2, n=1,A (2, 0) , B (1, 0).(2) .,拋物線 y=x2 ( m+rj) x+mn (m>n)過 C (0, 1) ,， 1=mn n=-, m ,、,1B (n, 0) , B ( - -, 0) . AO=m BO=- -, CO=1I2ac=/aO2+OC2=ki2+l，bc

23、=/obZ+Oc2=AB=A°+B°=m；m- 1) 2= (J 2 “)2+ (W/+1) 2, . AE2=AC+BC, :" ACB=90 .m(3) A (m, 0) , B (n, 0) , C (0, mri),且 m=2A (2, 0) , B (n, 0) , C (0, 2n). AO=2 BO=|n|, CO=|2n|, . AC=.= 21 + n2 , BC加產遍n ' AB=x- Xb=2 -2;n.當AC=B。寸，271 + n2=|n|，解得n=2(A B兩點重合，舍去)或r當AC=AB寸，271 + n2=2 - n,解得n

24、=0 (B、C兩點重合，舍去)或n=n<0 時，一，n=2n,解當 BC=AB寸，|n|=2 - n,當 n>0 時，泥n=2 n,解得 n=, 1 2得n=-f 2綜上所述，n=-2,-，-近±1, 返二時， ABC是等腰三角形.322【總結與反思】(1)已知m, n的值，即已知拋物線解析式，求解y=0時的解即可.此時 y=x2 ( m+n) x+mn= (xmj)(x-n),所以也可直接求出方程的解，再代入 m n的值，推薦此方式，因為后問用到的可能性比較大.求/ ACB我們只能考慮討論三角形ABC勺形狀來判斷，所以利用條件易得-1=mn,進而可以用m來表示A、B點的

25、坐標，又 C已知，則易得 AR BG AC邊長.討論即可.(3) ABC是等腰三角形，即有三種情形，AB=AC AB=BC AC=BC由(2)我們可以用n表示出其三邊長，則分別考慮列方程求解n即可.例5【規范解答】 解：(1)由拋物線頂點坐標為 N( - 1,可設其解析式為 y=a (x+1) 2+M,33將M ( - 2,百)代入，得V5=a ( - 2+1) 2+± 解得a=-亞，33故所求拋物線的解析式為y=- 亞x2-延x+正；(2)y= x2 2Ax+£, x=0 時，y=dQ 二 C (0, V3) - y=0 時，-立x2 2"x+/=0,331,-1解得 x=1 或 x=-3, A (1, 0), B(-3, 0), . BC=y0g2+QC 2=273 .設p( -1, m),顯然pa pc所以當 CP=CB寸，有 CP.1+ (m-逐)2=2花,解得 m=/3 + yn；當 BP=BCM,有 BP=/ -1+3) 2 + 茂=2日 解得 m=± 2<2.綜上，當 PBC為等腰三角