1、初中數(shù)學定點問題提高練習與常考難題和培優(yōu)題壓軸題(含解析)定點題型 定點問題，初中一般是直線或拋物線恒過定點的問題，這類問題一般解法是根據(jù)直線或拋物線的動因，先選擇適當?shù)膮?shù)，用參數(shù)表示出直線或拋物線方程，然后按參數(shù)整理，并令參數(shù)的系數(shù)為0 得方程組，解方程方程組求出定點坐標解題思路：這類問題通常有兩種處理方法：第一種方法：是從特殊入手，通過考查極端位置，探索出“定值”是 多少，再證明這個點(值)與變量無關；第二種方法：是直接推理、計算；并在計算的過程中消去變 量，從而得到定點(定值)。具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為某個合適變量的函數(shù)，化簡 消去變量即得定值。一、直線過定點問題：解法

2、 1:取特殊值法給方程中的參數(shù)取定兩個特殊值，這樣就得到關于X, y 的兩個方程，從中解出 x, y 即為所求的定點，然后再將此點代入原方程驗證即可。例 1 :求直線(m+1) x+( m-1)y-2=0 所通過的定點 P 的坐標。解：令 m=-1，可得 y=-1 ;令 m=1，可得 x=1。將(1，-1)點代入原方程得：(m+1 ) 1+ (m-1)( -1) -2 = 0 成立，所以該定點 P 為(1,-1)。解法2:由“ y-yo=k (x-xo)”求定點把含有參數(shù)的直線方程改寫成y-yo=k (x-xo)的形式，這樣就證明了它所表示的所有直線必過定點(xo, yo)。例 2 :已知(k

3、+1) x- (k-1) y-2k=o 為直線 I 的方程，求證不論 k 取任何實數(shù)值時，直線I 必過定點，并求出這個定點的坐標。證明：由已知直線 I 的方程得(k+1) x= (k-1) y+2k,.( k+1) x- ( k+1) = (k-1) y+ (k-1)，不論 k 取 任何實數(shù)值時，直線 I 必過定點 M (1,-1)。解法 3 :方程思想若方程的解有無窮多個，則方程的系數(shù)均為o,利用這一方法的思路是將原方程整理為以參數(shù)為主元的方程，然后利用系數(shù)為零求得。例 3 :若 2a-3b=1 (a, b R),求證：直線 ax+ by=5 必過定點。解：由已知得 ax+by=5 (2a-

4、3b) ,即卩 a (x-1o) +b (y-15) =o 無論 a, b 為何值上式均成立，所以a, b 的系數(shù)同時為 o,所以過定點(1o, 15)。解法 4 :直線系觀點過定點的直線系 A1X+B1y+ G+(A2X+B2y+C2)=o 表示通過兩直線 l1:A1X+B1y+C1=o 與 l2:A2x+B2y + C2= o交點的直線系，而這交點即為直線系所通過的定點。例 4:求證對任意的實數(shù) m,直線(m-1) x+ 2 ( m-1) y= m-5 必過定點。解：原式可整理為(x+ 2y-1) m- (x + y-5)= o1 .直線 I: kx- y+2k+1=o 必過定點_ .2

5、.直線 y=mx+2m+14 過定點_.3 .直線 kx+3y+k- 9=0 過定點_.4 .設 a+b=3,則直線 ax+by=1 恒過定點_ .5 .當 a+b+c=0 時，直線 ax+by+c=0 必過定點_ .6 .直線（m- 1） x+y+2m+1=0 過定點_ .7._ 直線（2a- 1） x+2ay+3=0 恒過的定點是.8._對于任意實數(shù)m . n,直線（m+n） x+12my- 2n=0 恒過定點的坐標是 _ .9._若 p, q 滿足條件 3p- 2q=1，直線 px+3y+q=0 必過定點_ .10 .直線（m- 1） x+ （2m+3） y-（ m-2） =0 恒過定點

6、_ .11.不論實數(shù) k 為何值，直線（2k+1） x+ （1 - k） y+7 - k=0 恒經(jīng)過的定點坐標是 _.二、拋物線過定點問題：第一步：對含有變系數(shù)的項集中；第二步：然后將這部分項分解因式，使其成為一個只含系數(shù)和常數(shù)的因式與一個只含x 和常數(shù)的因式之積的形式；第三步：令后一因式等于 0,得到一個關于自變量 x 的方程（這時系數(shù)如何變化，都“失效”了 ）；第四步：解此方程，得到 x 的值 X0（定點的橫坐標），將它代入原函數(shù)式（也可以是其變式），即得到一個 y 的值y0（定點的縱坐標），于是，函數(shù)圖象一定過定點（X。，y。）；第五步：驗算回顧，查看關鍵點、易錯點，完善解題步驟.1 .

7、已知拋物線 y=2-（m2+1） x+2m2- 1,不論 m 取何值，拋物線恒過某定點 P,則 P 點 的坐標為（）A. （2,- 5） B. （2, 5） C. （- 2, 5） D .不能確定2.某數(shù)學興趣小組研究二次函數(shù) y=mx2-2mx+3 （mH0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著 m 的變化，這 個二次函數(shù)的圖象形狀與位置均發(fā)生變化，但這個二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個定點，請你寫出這兩個定點的坐標： .3._已知拋物線 y=kx2+（2k+1） x+2 恒過定點，請直接寫出定點坐標 _.4. 拋物線 y=x2+ax+a- 2 過定點 A,直線 I: y=x+m 也過點 A,則直線 I 的函數(shù)解析式為

8、_ .5._拋物線 y=W+mx- 2m 通過一個定點，則這個定點的坐標是 _ .6 .已知實數(shù) a、b、c 滿足不等式：|a| |b - c|, |b| |a+c| , |c| |a - b|，拋物線y=aW+bx+c 恒過定點 M，則定點 M 的坐標為_ .7 .在平面直角坐標系 xOy 中，直線 y=kx- 2k+6 經(jīng)過定點 Q.(1) 直接寫出點 Q 的坐標_;(2) 點 M 在第一象限內(nèi)，/ QOM=45，若點 M 的橫坐標與點 Q 的縱坐標相等(如圖1)，求直線 QM 的解析式；(3) 在(2)條件下，過點 M 作 MA 丄 x 軸于點 A,過點 Q 作 QB 丄 y 軸于點 B

9、，點 E 為第一 象限內(nèi)的一動點，/ AEO=45，點 C 為 0B 的中點(如圖 2),求線段 CE 長度的最大值.8 .已知函數(shù) y=a- 4bx+3,(1)求證：無論 a、b 為何值，函數(shù)圖象經(jīng)過 y 軸上一個定點；(2 )當 a、b 滿足什么條件時，圖象與直線 y=1 有交點；(3)若-1vxv0, a=1，當函數(shù)值 y 恒大于 1 時，求 b 的取值范圍.9.已知函數(shù) y=-( m2+4) x- 2m2- 12.(1 )當 m 取何值時，此函數(shù)有最小值-，求出此時 x 的值；（2）求證：不論 m 取任何實數(shù)，拋物線都過一定點，并求出定點坐標.10. 已知拋物線 y=m+ （1 - 2

10、m） x+1 - 3m 與 x 軸相交于不同的兩點 A、B（1 ）求 m 的取值范圍；（2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點 P,并求出點 P 的坐標；（3） 當丄vm |b - c| , |b| |a+c| , |c| |a - b|，拋物線 y=a/+bx+c 恒過定點 M，則定點 M的坐標為 (-1, 0).【解答】 解：.Tai |b - c| , |b| |a+c| , |c| |a - b| ,平方得：a2( b - c)2, b2( a+c)2, c2( a - b)2,三式相加得：a2+b2+c2( b- c)2+ (a+c)2+ (a- b)2,展開得：a2+b2+cF

11、2a2+2b2+2c2- 2bc+2ac - 2ab，即 0 a2+b2+c2- 2bc+2ac - 2ab,( a - b+c)2w0, a- b+c=0,當 x=- 1 時 y=a- b+c=0,.定點 M 的坐標為(-1, 0).故答案為：(-1, 0).7. ( 2014 春武昌區(qū)期末)在平面直角坐標系xOy 中，直線 y=kx- 2k+6 經(jīng)過定點 Q.(1)直接寫出點 Q 的坐標(2, 6);(2)點 M 在第一象限內(nèi)，/ QOM=45，若點 M 的橫坐標與點 Q 的縱坐標相等(如圖 1)，求直線 QM 的解析式；(3) 在(2)條件下， 過點 M 作 MA 丄 x 軸于點 A,過

12、點 Q 作 QB 丄 y 軸于點 B,點 E 為第一象限內(nèi)的一動 點， / AEO=45，點 C 為 OB 的中點(如圖 2)，求線段 CE 長度的最大值.【解答】 解：（1） y=kx - 2k+6=k （x - 2） +6,則當 x - 2=0，即 x=2 時，y 的值與 k 無關,則 G 的坐標是（2, 6）;（ 2）延長 BQ, AM 交于點 F.連接 OF,作 QG 丄 OF 于點 G.則四邊形 AOBF 是正方形， QFG 是等腰直角三角形，且 OA=OB=BF=AF=6 BQ=2,直角 OQG 中，OG= 廠廣：_=加一 =4 ：:正方形 AOBF 中，/ AOB=90，/ AO

13、F=45，又TQOM=45，/QOG+ZFOM=ZFOM+ZAOM=45， /QOG=ZAOM,又 OGQ=ZAOM（3）TZAEO=45 , E 在以 OA 的斜邊的等腰直角三角形直角頂點為圓心，以OA 為弦的圓上，且弦所對的圓心角是 90的圓上，設圓心是 N,貝 U N 的坐標是（3, 3）,圓的半徑是 3.】:,又T點 C 為 OB 的中點， C 的坐標是（0, 3）,貝 U CN/ x 軸，則當 E 是 CN 的延長線與圓 N 的交點時，線段 CE 最長，則最大的長度是：3+3 :：.貝 y QF=4,. QG=QFX-i_l2=4X,在直角 OBQ 中，OQ= | 一 = r 二.-

14、_ =2. I I I ,OQ3AOMA, - -AMOA，即丄_,.AM=3, M 的坐標是（6, 3）. AM設直線 QM 的解析式是 y=kx+b，則；2k+b=6,6kfb=3OA，則直線的解析式是：y=-&（ 2014 秋長沙校級期中）已知函數(shù)y=ax2- 4bx+3 ,（1）求證：無論 a、b 為何值，函數(shù)圖象經(jīng)過 y 軸上一個定點;184一亦)nal1=in|1_ |(1-4腫I 丄=m此時 ABP 的面積最大，沒有最小值，則面積最大為：二|AB|yj2y!IDV-4v0,. 0v|二-4|Wm31=1, |AB|最大時,(舍去)，當 m=8 時，|AB|有最大值P丄X里

15、2一8，X4= -(2)當 a、b 滿足什么條件時，圖象與直線y=1 有交點；(3)若-1vxv0, a=1，當函數(shù)值 y 恒大于 1 時，求 b 的取值范圍.【解答】 證明：(1 )當 x=0 時，y=aX - 4bx+3=3,.函數(shù)圖象與 y 軸的交點坐標為(0, 3),論 a、b 為何值，函數(shù)圖象經(jīng)過y 軸上一個定點(0, 3);解：(2)象與直線 y=1 有交點, 1=ax2-4bx+3, ax2- 4bx+2=0, = (- 4b)2- 8a0,解得:a 1, 解得：b0.9.已知函數(shù) y=x2-( m2+4) x- 2m2- 12.(1)當 m 取何值時，此函數(shù)有最小值-丄，求出此

16、時 x 的值;4(2)求證：不論 m 取任何實數(shù)，拋物線都過一定點，并求出定點坐標.m4+16m2- 17=0 ( m2- 1)( m2+17) =0vm2+17 工 0,. m= 1y=x2- 5x- 14(2)證明：此函數(shù)可以寫成 y= (x+2) x-( m2+6),函數(shù)與 x 軸的交點為(-2, 0),( m2+6, 0),.不論 m 取任何實數(shù)，拋物線都過一定點，定點坐 標是(-2, 0).求 m 的取值范圍；證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點P,并求出點 P 的坐標；m 0,二 1 - 4m豐0, m 的取值范圍為 m 0 且 m丄；4(2)證明：拋物線 y=mx2+ (1 -

17、2m) x+1- 3m,.y=m ( x2- 2x- 3) 拋物線過定點說明在這一點y 與 m無關，顯然當解得：x=3 或 x= - 1,當 x=3 時，y=4,定點坐標為(3, 4);當 P 不在坐標軸上， P (3, 4 )； (3)解：=1 = -11一- V -4a1q亠，【解答】(1)解：y最小x=-8110 . ( 2016 廣州)已知拋物線 y=mx2+ (1 - 2m) x+1 - 3m 與 x 軸相交于不同的兩點 (1)(2)A、B(3)+x+1,x2- 2x- 3=0 時，y 與 m 無關， x=- 1 時，y=0,定點坐標為(-1, 0),當 m= 土 1 時，此函數(shù)有最小值-|AB|=|xA-XB|=-4|y=x+（ 1 - m）上（其中 m、n 為正數(shù)）.（1）求證：此二次函數(shù)的圖象與 x 軸有 2 個交點；（2）在x 軸上是否存在這樣的定點：不論m、n 如何變化，二次函數(shù)的圖象總通過此定點若存在，求出 所有這樣的點；若不存在，請說明理由.整理得 m2- mn+m - n=0,T（m - n） （ m+1） =0,二 m=n 或 m= - 1 （舍去），二次函數(shù)的頂點坐標為（- 二，-衛(wèi)L）,與 y 軸的交點為（0,0）,Tm 為正數(shù)，2 2二次函數(shù)的頂點在第四象限，而拋物線過原點，拋物線開口向上，此二次函數(shù)的圖象與 x 軸有 2 個交點；（2）解：存在