1、數學奧林匹克高中訓練題（140）2011年第4期41數靜滁氈蠡銣滁(14o)中圖分類號:G424.79文獻標識碼:A文章編號:10056416(2011)04004106第一試一,填空題(每小題8分,共64分)1.已知不等式3+4xy0(+y)對于一切正數,Y恒成立.則實數a的最小值為.2.在正四面體ABCD中,設=,=,記和F所成的角為0.則COS0=.3.已知關于的方程+(a一2010)+a=0(a0)的兩根均為整數.則實數a的值為.4.為不超過實數的最大整數.已知數列a滿足01=÷,+=:一+1(nENa1aa+).01=,n+=nn+n+?則m=20111k1】的值為則m=J

2、厶I的值為=u5.如圖1,在某城市中,兩地之間有整齊的方格形道路網,A,A,A是道路網中位于一條對角線上的四個交匯處.今在道路網,處的甲,乙圖1兩人分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑,以相同的速度同時分別向,處行走,直到到達,為止.則甲,乙兩人相遇的概率為6.已知以T=4為周期的函數=(二xE(-l31,i12(【一II,戈(1,3若方程)=恰有五個實數解,則nt的取值范圍為.7.設)是定義在(O,+00)上的單調增函數,且對任意的正數,都有)+1)=而1.則1)=.8.設函數f(x)=/10-6cosx+一sin+.則)的最小值為.二,解答題(共56分)9.(16分)已知雙曲線C:x一=1(n

3、>0,b>0)的離心率為,右準線方程為=,oD:+Y=2上的動點P(xo,Yo)(X0YoO)處的切線Z與雙曲線C交于不同的兩點A,B.證明:AOB:90.10.(20分)已知函數)=口(IsinI+lCOSI)一3sin2x一7,其中,a為實參數.求所有的數對(a,n)(nEN+),使得函數y=廠(z)在區間(0,n7c)內恰好有2011個零點.11.(2O分)設)是0,1上的不減函數,且滿足:(1)廠(0)=0;(2)=;42中等數學(3)1一)=1一).求麗17)的值.加試一,(40分)如圖2,已知過o0外一點P作oD的兩條切線PE,PF及兩條割線PDA,PC

4、B,聯結弦EF,分別與割線PDA,PCB交于點,_求證:(1)PA?DM=PD?MA:(2)AB,EF,DC三線共點.圖2二,(40分)是否存在實數k,使得f(x1:±±±(:±±!:2(:±±!:2,y,z.+,+是一個三元多項式.三,(50分)在某次會操活動中,領操員讓編號為1一n(n>3)的/,名學生排成一個圓形陣,做123循環報數,領操員一一記錄報數者的編號,并要求報1,2的學生出列,報3的學生留在隊列中,并將編號改為此次循環報數中三名學生的編號之和.一直循環報數下去.當操場上剩余的學生人數不超過兩名時

5、,報數活動結束.領操員記錄最后留在操場的學生編號(例如,編號為19的九名學生排成一個圓形陣,報數結束后,只有原始編號為9的學生留在操場,此時,他的編號為45,領操員記錄下來的數據分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9,6,15,24,45).已知共有2O11名學生參加會操.(1)最后留在場內的學生最初的編號是幾號?(2)求領操員記錄下的編號之和.四,(50分)試求所有的正整數n,滿足存在一個整數m,使得2一1是m+289的一個因數.參考答案第一試,1.4.由題設知.(Lj.3x+4:4.十Y+Y當且僅當=4y>0時,上式等號成立.所以,C/.的最小值為4.2?一二13?設正四面

6、體棱長為4.則BF?DE=(BC+CF)?(DA+AF,):CFCF.一DA+贏.E:2×4cos-X-:一4.=?+C?A=×=一.而II:lI=13,貝0c.s=了=一4.3.4024.設方程的根為.,().由韋達定理得】+2:一(口一2010),J2:口.貝0l2+l+2=2010,且p(1+1)(+1)=20l1.又因為2O11為質數,所以,0.或二故a=0(舍)或口=4024.4.1.由口+1=口一0+1+l一1=n(n一1)j一一口+l一1口一1口則=一士.尸2011年第4期43故m=【一去=2一去5.4.1.100甲,乙兩人沿最短路徑行走,若相遇,則只可能在A

7、.,A,A,A處相遇.若甲,乙兩人在A處相遇,甲從M處到A處有c種走法,從A處到處也有c種走法,共cc種走法;而乙從J7V處經A處到肘處也有CC種走法;他們在A處相遇的走法共有(C)種不同走中取=1,得1)+1)而1.令1):.ajf(口+1):一1.再令=n+1,代入得口+1)+1)=不jj1+1):口1).因為)在(O,+)上單增,所以,+=?.解得.:.當:時,l+n>1.而(.+1)=<f(1)=.,與題設矛盾;當口:單時,l+口<1.此時,÷<,滿足口+1)<廠(I).n故1):半.8.21-4-一1.4

8、注意到)=麗+一學).+.設A(3,.(0,竽),c(,4),P(COS,sin).于是,)=IPAI+IPBI+IPCI,其中,點P在6)0:+y2=1上.因為o0:+y2=1與AB切于點(÷,),且O,D,C三點共線,所以,中等數學又+DB+DA:AB,則PA+PB+PC>lAB+CD=9丁4g+(3一1)=2丁,/f一1.二,9.依題意易得口:1,c=,6=c一a=2.故所求雙曲線C的方程為一=1.又oD:+y=2在點p(xo,Yo)處的切線方程為+YoY2,.則由式,及+y02=2,得(3x一4)一4x0+82x=0.由題設及0<<2

9、,得3x一40,且=16x一4(3x一4)(82)>o.設點A(.,Y),8(x,y).則4x082x:+xz3x-42cosAOB=,且OA?OB=X,12+Yly2:.:+(2一.)(2一.:)Yo.+4一()+2z=±三二!±=0.2一故AOB=90.1O.首先,函數f()以丌為周期,且以=kTr+手(z)為對稱軸,即,(x+7c):,(),詈一)=)(z).其次,竽)=口一7,詈):一10,)=因為,()關于=竽+詈對稱,所以,在(竽,+季)及(+,竽+詈)上的零點個數為偶數.要使)在區間(0,n7c)內恰有2011個零點,則上述區間端點必有零點.(1

10、)若口=7,則):0,+)0.考慮區間(0,詈)及(詈,丌)上的零點個數.當(0,詈)時,)=7(sin+COS)一3sin2x一7.令t=sin+CO8x(t(1,).則y:g(t)=一3t+7t一4=0.解得tt=1(舍),:=了4=sin(+詈).故在(0,詈)內有兩解.當(詈,丌)日寸./)=7(sinCOS)一3sin2x一7.令t=sincos(t(1,).則Y=g(t)=3t+7t一10=O.解得:1(舍),t:一(舍).故在(詈,)內無解.因此,()在區間(0,7c)內有三個零點.故在(0,凡7c)內有3n+(n一1)=4n一1=2011個零點.解得n=503.(2)若.:5,

11、則+號):o,)0,J(/r+蕁)o.當(0號)時?)=5(sin+c.s)一3sin2x一7.令t=sin+COS(t(1,).貝IJ2011年第4期45Y=g(t)=一3t+5,/2t一4=0.解得t:,:華<l(舍).故在(0,詈)內有一解=4.當(詈,)時,)=5(sinCOS)一3sin2x一7.令t=sinCOS(t(1,).則Y=g()=3t+5一10=0,在(1,內無解.故_廠()在區間(0,ff)內只有一個零點.于是,在(0,凡7c)內有n=2O11個零點.(3)若口=2,則+蕁)=0,)0,+號)0-同(2)討論,知)在區間(0,7c)內只有一個零點.故在(0

12、,n丌)內有n=2O11個零點.綜上,滿足條件的(0,n)=(7,503),(5,2011),(24”2-,2o11).11.由(3)有廠(1)=1-/(0)=1,÷):,)=-一÷)=丟.故)=丟(÷,2-=,】).注意到17二51三15359墨2010一×32010137733l899.-+×3×3l1l_.÷33399.則):d1377-d6331-!:t1891916t一21-(1一)一-一號(卜+f(999)一?一÷(?一×÷).16256加試一,(1)輔助線如圖4所示.A/,/QP由

13、共邊定理知=SzSPEO=.由PEDPAE及啪PAF,分別得一墨蘭一s垤一EA2sAFFA2則=而FD.故=墮:?一FDEAzEAFA.政鬲一一.一?由MEDMAF及MFDMAE,分別得:絲,FMAAFDMDAEME由式,得:.(2)記AB與DC交于點為Q.要證AB,EF,DC三線共點,只需證明E,F,Q三點共線.中等數學由(1)知DM=籌,=等.則DM=:AD,一CN一一旦CPBPBP+CP故MP一=.同理,:.因為直線QBA與PCD三邊的延長線都相交,所以,由梅涅勞斯定理有1一.絲:.墮.LQDAP8CQD2APBCCpDMPNODMPCN.又由梅涅勞斯定理的逆定理知,Q,N,M三點共線.

14、故Q,F,E三點共線.二,假設存在這樣的實數k.則+(+),2+)(+)有因式x+Y+z.令Y=1.則+2是+2+k(x+2)(+2)的因式.作多項式除法.用(1+k)+2kx+2kx+4Ii+2除以z+2的余式為一36k一30.要使+2整除+2+k(x+2)(+2),貝436k一30=0=一5.故l廠(,Y,z)5+y5+z5一5(2+)(3+z)+Y+一÷(35/y332+÷(,+一一)一=一吉(,+z)3一÷(+一)2一吉(y(y一3+Z2)+(y+)(,一3yz+z).綜上,這樣的實數k存在,且k=一.三,記領操員記錄下的編號依次為8,a2,a,a,口,其

15、和為S.于是,(I)在每次I一23循環報數后,學生總人數減少2,但編號之和不變.(2)若n:3,經過3次I一23循環報數后產生3個新編號,這些編號之和為;再經過3次循環報數產生3個新編號,這些編號之和也為-_.經過共3一+3一+3+1:次循環報數,最后剩下1名學生,他的編號為,且他的原始編號為凡(即當:3時,最后一名學生留在場上).由(1)知S:(.Ic+1).(3)若一圈學生人數為3后,且最后一名學生的編號為a,則經過k次循環報數后,產生|j個新編號,此時,學生人數變為,第1名學生編號為n.+.對于一般的奇數尼(/”t>3),令k,r滿足n=3+2r(0r<3).

16、則3<n<3¨,3r<n.首先,前3r名學生a,a:,稱為第一組,其編號和為M:1+2+.+3,:.記學生初始編號和:.由(1),(3)知,經過r次123循環報數,學生人數變為3,其中,第一名學生編號為a,稱為第二組;再經過3次循環報數后,學生人數變為3,稱為第三組;重復循環報數直到學生人數為1,此時,是第k+2組.2011年第4期47本期問題初295如圖1,三個半徑為r的圓兩兩P圖1外切,與o0內切于點A,B,C,過A,B作o0的切線交于點P.求由兩條切線及切點間的圓弧所形成的陰影區域的面積.初296如圖2,已oD.與o0:交于點CMD圖2

17、最后留在場上的學生原始編號為3r,且S=M+(k+1):+(+1).當/7,=2011時,因,l=2011=3+2x641,所以,=6,r=641.最后留在場上的學生原始編號為1923.故S2011:16011388.四,n=2(k為非負整數).一方面,若凡有奇因數s>1,則2一1是2”一1=(2)一1的因數,即2一1=(2)了一1=(2一1)(2)一+(2)一+(2)+1.若2一1是m+289的因數,則2一1是m+289的因數.因為3(2一1),17卜(2一1),且2一1一1(mod4),所以,2一1必有一個質因數P>3,且P一1(mod4).從而,m一289(modp).兩