1、類比探究類問題解析版1、如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連結EM并延長交線段CD的延長線于點F(1) 如圖1，求證：AE=DF；(2) 如圖2，若AB=2，過點M作 MGEF交線段BC于點G，判斷GEF的形狀，并說明理由；(3) 如圖3，若AB=，過點M作 MGEF交線段BC的延長線于點G 直接寫出線段AE長度的取值范圍； 判斷GEF的形狀，并說明理由【答案】解：（1）在矩形ABCD中，EAM=FDM900，AME=FMD。AM=DM，AEMDFM（ASA）。AE=DF。（2）GEF是等腰直角三角形。理由如下：過點G作GHAD于H，A=B=AHG=90

2、°，四邊形ABGH是矩形。 GH=AB=2。MGEF， GME=90°。AMEGMH=90°。AMEAEM=90°，AEM=GMH。又AD=4，M是AD的中點，AM=2。AN=HG。AEMHMG（AAS）。ME=MG。EGM=45°。由（1）得AEMDFM，ME=MF。又MGEF，GE=GF。EGF=2EGM =90°。GEF是等腰直角三角形。 （3）AE。GEF是等邊三角形。理由如下：過點G作GHAD交AD延長線于點H，A=B=AHG=90°，四邊形ABGH是矩形。GH=AB=2。MGEF， GME=90°。AM

3、EGMH=90°。AMEAEM=90°，AEM=GMH。又A=GHM=90°，AEMHMG。在RtGME中，tanMEG=。MEG=600。由（1）得AEMDFMME=MF。又MGEF，GE=GF。GEF是等邊三角形。2、（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DFBE求證：CECF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果GCE45°，請你利用（1）的結論證明：GEBEGD（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90&

4、#176;，ABBC，E是AB上一點，且DCE45°，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面積【答案】解：（1）證明：在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDF（SAS）。CECF。（2）證明： 如圖，延長AD至F，使DF=BE連接CF。 由（1）知CBECDF，BCEDCF。BCEECDDCFECD，即ECFBCD90°。又GCE45°，GCFGCE45°。CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG（SAS）。GEGF，GEDFGDBEGD。（3）如圖，過C作CGAD，交AD延長線于G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB9

5、0°。又CGA90°，ABBC，四邊形ABCD 為正方形。 AGBC。已知DCE45°，根據（1）（2）可知，EDBEDG。10=4+DG，即DG=6。設ABx，則AEx4，ADx6，在RtAED中，DE2=AD2AE2，即102=（x6）2（x4）2。解這個方程，得：x=12或x=2（舍去）。AB=12。梯形ABCD的面積為108。3、在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P在線段BC上（不含點B），BPEACB，PE交BO于點E，過點B作BFPE，垂足為F，交AC于點G（1） 當點P與點C重合時（如圖）求證：BOGPOE；（4分）（2）通過觀察、測量

6、、猜想：= ，并結合圖證明你的猜想；（5分）（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖），若ACB=，求的值（用含的式子表示）（5分） 【答案】解：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，P與C重合，OB=OP ， BOC=BOG=90°。PFBG ，PFB=90°，GBO=90°BGO，EPO=90°BGO。GBO=EPO 。BOGPOE（AAS）。（2）。證明如下：如圖，過P作PM/AC交BG于M，交BO于N，PNE=BOC=900， BPN=OCB。OBC=OCB =450， NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN， NPE=900B

7、MN，MBN=NPE。BMNPEN（ASA）。BM=PE。BPE=ACB，BPN=ACB，BPF=MPF。PFBM，BFP=MFP=900。又PF=PF， BPFMPF（ASA）。BF=MF ，即BF=BM。BF=PE， 即。（3）如圖，過P作PM/AC交BG于點M，交BO于點N，BPN=ACB=，PNE=BOC=900。由（2）同理可得BF=BM， MBN=EPN。 BNM=PNE=900，BMNPEN。在RtBNP中， ，即。4、如圖1，梯形ABCD中，ADBC，ABC2BCD2，點E在AD上，點F在DC上，且BEF=A.   （1）BEF=_(用含的代數式表

8、示)；  （2）當ABAD時，猜想線段ED、EF的數量關系，并證明你的猜想；  （3）當ABAD時，將“點E在AD上”改為“點E在AD的延長線上，且AEAB，ABmDE，ADnDE”，其他條件不變（如圖2），求的值（用含m、n的代數式表示）。 【答案】解：（1）180°2。（2）EB=EF。證明如下：連接BD交EF于點O，連接BF。ADBC，A=180°-ABC=180°2，ADC=180°C=180°-。AB=AD，ADB=（180°A）=。BDC=ADCADB=180°2

9、。由（1）得：BEF=180°2=BDC。又EOB=DOF，EOBDOF。，即。EOD=BOF，EODBOF。EFB=EDO=。EBF=180°BEFEFB=EFB。EB=EF。（3） 延長AB至G，使AG=AE，連接BE，GE，則G=AEG=。ADBC，EDF=C=，GBC=A，DEB=EBC。EDF=G。BEF=A，BEF=GBC。GBC+EBC=DEB+BEF，即EBG=FED。DEFGBE。AB=mDE，AD=nDE，AG=AE=（n+1）DE。BG=AGAB=（n+1）DEmDE=（n+1m）DE。5、探索發現：已知：在梯形ABCD中，CDAB，AD、BC的延長線

10、相交于點E，AC、BD相交于點O，連接EO并延長交AB于點M，交CD于點N。（1）如圖，如果AD=BC，求證：直線EM是線段AB的垂直平分線；（2）如圖，如果ADBC，那么線段AM與BM是否相等？請說明理由。學以致用：僅用直尺（沒有刻度），試作出圖中的矩形ABCD的一條對稱軸。（寫出作圖步驟，保留作圖痕跡）【答案】解：（1）證明：AD=BC，CDAB，AC=BD，DAB=CBA。AE=BE。 點E在線段AB的垂直平分線上。 在ABD和BAC中，AB=BA，AD=BC，AC=BD， ABDBAC（SSS）。DBA=CAB。OA=OB。 點O在線段AB的垂直平分線上。 直線EM是線段AB的垂直平分線。（2）相等。理由如下： CDAB，EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB。 CDAB，ONDOMB，O