1、KHQHZY課后強化作業、選擇題1 .（文）（2020 山東濰坊）已知焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±4x,則該雙曲線的離心率是（A.C.17174B.D.15154答案C解析設雙曲線方程為2x b2=1則由題意得，an2ac2a2 = 1617 e= 4 .2b2= 1的一個焦點F作一條漸近線的垂線，若垂足恰2（理）（2020 河北唐山）過雙曲線與- a在線段ORO為原點）的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為A. 2B. ：5C. ：'2D. ：3答案C解析如圖，FM/L l ,垂足為M.M在OF的中垂線上，.OFM等腰直角三角形，MOF= 45° ,b即一

2、=1,e= '2.a,2. （2020 全國I文）已知Fi、F2為雙曲線C x2-y2=1的左、右焦點，點 P在C上，/FiPF>=60 ,貝U | PF1| | PF>| =（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案B解析 在FiPE中，由余弦定理粵嗯鏟| PF| | PF| 2一| FF2|2+2| PF| | PF2| PF| - | PF>|4 a2 4c2 2b2+ 1 =2|PF| PE|PF| | PE|+ 1,. b=1,| PFi| - I PF2|=4.3.（文）（2020 合肥市）中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線2）2+y2=1都相切，則雙曲線

3、C的離心率是（）C的兩條漸近線與圓（xA.2或 2C.小或d¥或乎答案解析焦點在x軸上時，由條件知b 1c2 - a2 1a=4 丁=3e=a=¥,同理,焦點在y軸上時，a。3,此時 e= 2.2,一 x（理）已知F1、F2是雙曲線- a2y2=1(a>0, b>0)的兩個焦點, b以線段 FiF2為邊作正 MFF2,若邊MF的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.C.4+2 3J3+i2B.#1D.m+ 1答案D解析設線段MF的中點為P,由已知 FiPE為有一銳角為60°的直角三角形,. | PF|、| PE|的長度分別為c和、/3c.由雙曲線的

4、定義知：（雜1）c=2a,=或+1.4.已知橢圓券+5yn2=1和雙曲線2m21有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程為（A.x= ±15 b. y=± 2 xC.x= ±D. y= ±答案D解析由題意 c2= 3m25n2= 2m2+3n2,雙曲線漸近線的斜率k= 土型L= 士率.21m 4方程為y= ±5.（文）（2020 湖南師大附中模擬）已知雙曲線22m，1，直線1過其左焦點F1，交雙曲線左支于AB兩點，且| AB = 4, F2為雙曲線的右焦點，ABF的周長為20,則m的值為（）A. 8B. 9C. 16D. 20答案解析由已知，| A

5、EB +|AF2|+|BF2|=20,又 | AB =4,則 | AF2|+| BF2|= 16.據雙曲線定義，2a=|AF2|-|AF1|=|BF2| |BF| ,所以 4a= | AF| 十 | BF2| (| AF| + | BF|)=16-4= 12,即a=3,所以ma2=9,故選B.(理)(2020遼寧錦州）ABC中，A為動點,，一 mB、C為定點，B -2, 0m j上C1, 0 (其中 m>0,且m為常數），一 一 1.且滿足條件 sin C sin B= 2sin A,則動點A的軌跡方程為（一 2 一 216y 16x .m 3m 一2B.r-16y-=1163C.2:1

6、6x 16y23m2m= 1(x> )4_ 2_ 216x 16yD.-m-3m1答案解析依據正弦定理得:|AB| AC=2| BC=2<|BC.點A的軌跡是以R C為焦點的雙曲線的右支，且 a=m c=m1,3m2223mb = c"76，雙曲線方程為16x2 16y223mm = 1(x>4)226.設雙曲線與一3=1（ a>0, b>0）的兩焦點為F1、F2,點Q為雙曲線左支上除頂點外的任 a b一點，過F1作/ F1QF的平分線的垂線，垂足為 P,則點P的軌跡是（）A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分D.圓的一部分C.拋物線的一部分答案D解析延長F

7、iP交QE于R則| QF| = | QR.| QF| | QF| =2a,|QF| -|QR = 2a= | RF| ,1又|OP = 2|R同，|Op=a.227 .(文)(2020 溫州市十校)已知點F是雙曲線 :看=1(a>0, b>0)的左焦點，點E是該B兩點，若 AB%銳角三角形,雙曲線的右頂點，過 F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于則該雙曲線的離心率 e的取值范圍是（）A. (1 ,+ 0°)B. (1,2)C. (1,1D. (2,1 +2)答案解析由題意易知點F的坐標為（一c, 0） , A -c,b2ab2 a,E(a, 0),因為AB右銳角三角形，所以

8、EA- EB>0,即EAEB- -c-ab2ac a)b2/口2>0,整理得3e2 a+ 2e>e4, .1.e(e3-3e-3+1)<0,，e(e+1)2(e2)<0,解得 e (0,2),又 e>1, . eC (1,2),故選B.2（理）（2020 浙江杭州質檢）過雙曲線條2b2= 1（a>0, b>0）的一個焦點 F引它的漸近線的垂線，垂足為FM y軸于E,若F陣ME則該雙曲線的離心率為 （）A. 3B. 2=b,C. /3答案解析由條件知在 RtAOEF,c,.e=->1,a ，D. '2l：y=bx是線段FE的垂直平分線

9、，.|OE = |OF = c,又|FM = a2c2=4b2=4(c2a2),. e = V2.a2+b28 .若直線y = kx+2與雙曲線xx24 2=x +2x+ - 1= x + 2x 1 y2=6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（）A. 一卑年B. 0,卑C -¥，0D.-華,T答案D解析直線與雙曲線右支相切時，k一邛,直線y=kx + 2過定點（0,2）,當k=- 13時，直線與雙曲線漸近線平行，順時針旋轉直線y=-x+2時，直線與雙曲線右支有兩個交八、5T<k<i.9.（文）（2020 福建理）若點O和點F（2,0）分別為雙曲線212-y2=1（a&

10、gt;0）的中心和左焦OF3- FP的取值范圍為()B. 3 +2/3,+oo)7D. 4, +°°)a2= 3,點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則A. 3 25，+8）7C. -4， + °°）答案B解析由條件知a2+1=22=4, x22雙曲線方程為x-y2=i.3設 P點坐標為(x, y),則 Op= (x, y), FP= (x + 2, y),.y2 = x- 1,，OP FP= x2 + 2x+y2 343= 3(3)2_7I4又.x>M3（p為右支上任意一點）- Of3- fP>3+2#.故選 b.（理）（2020 新課標全國

11、理）已知雙曲線E的中心為原點，F（3,0）是E的焦點，過F的直2x匕一線l與E相交于A, B兩點，且AB的中點為N 12, 15）,則E的方程為（22A.TT-y- = 13 622D.-7 = 1答案B解析設雙曲線的方程為a? + b?= 9,設 A(x1,x2 y23 b2=1(a>0, b>0),由題意知 c=3,yi), B(X2, y2)則有:x12 y12孑-LX22 y22孑一升=I,兩式作差得:y1 y2b2X1 + X24b2x1 - x2 a2ydy2 5a2.kAB=g, x1 x2'L -15-0且 kAB= = 1 123所以4b2=5a2代入a2

12、+b2=9得a2=4, b2=5,所以雙曲線標準方程是2x一422,故選B.10.（文）過橢圓22|2+b2= 1（ a>b>0）的焦點垂直于 x軸的弦長為2a,則雙曲線孑一b2=1的離心率e的值是5A.4D.c.2答案解析將x=c代入橢圓方程得,2 c -2 + a2y = 1b2-1.2y 21-02X b2=Xb/xbab2 1-=ja, a 4b2 = 1a24a2 + ；a2454'（理）（2020 福建寧德一中）已知拋物線x2=2py（p>0）的焦點22F恰好是雙曲線沁=1的一個焦點，且兩條曲線交點的連線過點F,則該雙曲線的離心率為A. 2C. 1+ 2B

13、. 1± ,2D.無法確定答案C解析由題意知p=c,根據圓錐曲線圖象的對稱性，兩條曲線交點的連線垂直于y軸,2b2- +、人、一 、對雙曲線來說，這兩個交點連線的長度是.，對拋物線來說，這兩個交點連線的長度是2p,. p=2c,手=4c,"Zac,解得e=1 土淄, C a = 2ac) . e 2e 1 = 0,e>1，.: e= 1 +y2.二、填空題2211 .（文）（2020 廣東實驗中學）已知P是雙曲線，一卷=1右支上的一點，雙曲線的一條漸近線的方程為 3xy=0.設Fi、F2分別為雙曲線的左、右焦點.若|P團=3,則|PF| =答案5解析由雙曲線的一條漸近

14、線的方程為3xy = 0且b=3可得：a= 1,由雙曲線的定義知 | PF| -| PF2| =2a,.| PF| -3=2,| PF| =5.x2 y2（理）（2020 東營質檢）已知雙曲線§a=1的右焦點為（5,0）,則該雙曲線的漸近線 方程為.答案y=±2x3解析由題意知9+a= 13,a=4,故雙曲線的實半軸長為a' =3,虛半軸長b' =2,從而漸近線方程為 y = ± |x.312. （2020 惠州市模考）已知雙曲線/一y2=1（a>0）的右焦點與拋物線 y2=8x焦點重合, 則此雙曲線的漸近線方程是 .答案y=±乎x

15、解析y2=8x焦點是（2,0）,2雙曲線x2y2 = 1的半焦距c=2, a又虛半軸b=1,又 a>0,a=，22-12 =73,3.雙曲線漸近線的方程是y=± t-x.313. （2020 北京東城區）若雙曲線2 x-22yb2=1（a>0, b>0）的兩個焦點為Fi, F2, P為雙曲線答案1<e<2解析由題意| PF| | PF =2a| PF| =3| PF2|PF|PF=3a上一點，且| PF| =3| PF2| ,則該雙曲線離心率的取值范圍是.| PF| >| AF|1<e<2.14.下列有四個命題：若m是集合1,2,3,4

16、,5中任取的一個值，中心在原點，焦點在 x軸上的雙曲線的一條3漸近線方程為 mx-y=0,則雙曲線的離心率小于4的概率為g.22若雙曲線X2_b2=1（a>0, b>0）的一條漸近線方程為y=V3x,且其一個焦點與拋物線 y2=8x的焦點重合，則雙曲線的離心率為2； 兀.兀將函數y = cos2x的圖象向右平移 至個單位，可以得到函數y= sin 2x- 的圖象;在 Rt ABC, ACL BG AC= a, BC= b,則 ABCW外接圓半徑 r =a、b、c,則三棱間，若三棱錐 S ABC勺三條側棱SA SB SC兩兩互相垂直，且長度分別為Ma2+ b2+ c2錐S- ABC勺

17、外接球的半徑 R= 2其中真命題的序號為.（把你認為是真命題的序號都填上）答案解析設雙曲線方程為 Mx2 y2= 1,.a2=12 mb2=1, c2=a2+b2=2m+ 1e=a= ym+ 1<4,n<-T5，m取值 1、2、33 .一 .故所求概率為故正確.5根據雙曲線?看=1(a>0, b>0)的一條漸近線方程為 y = V3x,可得b=<3,因此離心F c率 e = a/'a2+ b2a+爐a=2,正確;a函數，,一 小 ，一一， 兀1兀y= cos2x的圖象向右平移6個單位得 y= cos2( x-) = cos(2 x7t7t3)=sinT+兀

18、(2x-V)=3sin(2 x + 不)的圖象，錯誤;將三棱錐S- ABC補成如圖的長方體，可知三棱錐S- ABC外接球的直徑就等于該長方體的體對角線的長，則 R=;1a2 b2c2,正確.三、解答題15.(文)已知雙曲線的中心在原點，離心率為2, 一個焦點 R2,0)(1)求雙曲線方程;(2)設Q是雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點 M若| Mq=2|Qf ,求直 線l的方程.解析(1)由題意可設所求的雙曲線方程為b>0)則有 e=a=2, c= 2, a= 1,則 b = 73所求的雙曲線方程為x2-y=1.3(2) 直線l與y軸相交于 M且過焦點F( - 2,0) .I

19、的斜率k 一定存在，設為 k,則l ： y= k(x+2)令 x=0 得 M0,2 k). | MQ=2|QFf 且 M Q F 共線于 l .MQ= 2Q成 Mq= 2Qf當MQ= 2QF寸,xq= - 3, yQ= 3k ' q- > 3k - .q在雙曲線x2y=i上，3.216 4k =1927當 MQ= 2QF寸，同理求得Q 4, 2k)代入雙曲線方程得,4k23 -16-4-=1, . *=±2則所求的直線l的方程為：y=± ¥(x+2)或 y= 士 325(x+2)(理)(2020 湖南湘潭市)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0

20、),右頂點為(、/3,0) .(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l : y=kx + 42與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且OA-Ob>2(其中O為原點)，求k的取值范圍.解析(1)設雙曲線%卷=1,由已知得 a =、/3, c=2,再由 a2+b2=22得，b2=1,.Ia、，x22故雙曲線C的方程為-y2=1.32(2)將 y=kx+42代入3y2=1 中得， 3(1 3k2)x262kx 9= 0.由直線l與雙曲線交于不同的兩點得1 3kA=672k 2+36 1 3k2 =36 1 k2 >0'k2 J且 k2<1 3設 A(Xa, yA) , B(Xb

21、, yB),貝U Xa+Xb=XaXb =一 91 3k2由 OA OB>2 得，XaXb+ yAyB>2,xaxb+ y/yB = xAXB+(kxA+也)(kxB+ 也)=(k2 + 1) xaxb+ J2k(XA+ xb) + 2,29 廠，6x/2k3k2+7=( +1). 1 -3k2+k > 1-3k2+2= 3k2- 1口 3k2+7B -3k2+93k27>2'即飛笆7>0'-r 12解此不等式得a<k2<3 3由得；<k2<1,平<k<1或1<k< 一,.333故k的取值范圍為T，-

22、當U冬1 .16. (2020 江蘇蘇州模擬)已知二次曲線。的方程：-r + Tyr = 1.9 k 4 k(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；(2)若雙曲線Ck與直線y=x+1有公共點且實軸最長，求雙曲線方程；(3) mi n為正整數,且m<n,是否存在兩條曲線 G、C,其交點P與點E(-乖,0) , F2(小, 0)滿足PF PF2=0?若存在，求m n的值；若不存在，說明理由.9 k>0解析(1)當且僅當，即k<4時，方程表示橢圓.4 k>0當且僅當(9 - k)(4 k)<0,即4<k<9時，方程表示雙曲線.y = x+ 1(2)解法一：

23、由上上_化簡得，9-k+4-k=1(13 -2k) x2+2(9- k)x+(9 -k)( k-3) =0.”，k>6 或 kW4(舍)雙曲線實軸最長，k取最小值6時，9 k最大即雙曲線實軸最長，此時雙曲線方程為X7-yr=1. 3222解法二：若Ck表示雙曲線，則 k (4,9)，不妨設雙曲線方程為X2-y-=1,a 5 ay = x+1聯立x2 y2 _ 消去y得, a2 5 a2 一(5 2a2) x2- 2a2x- 6a2 + a4= 0G與直線y = x+1有公共點，A=4a4 4(5 -2a2)( a4-6a2) >0,即 a4 8a2+15>0,a2w3 或 a

24、2>5(舍)，實軸最長的雙曲線方程為 x-y=1. 3222x y .2解法三：雙曲線 ;+7：=1 中 c=(9 k)+(k4)=5,，c=V5,，Fi(一冊，0), 9 - k 4 - kv不妨先求得Fi(-a/5, 0)關于直線y=x+1的對稱點F( 1,145),設直線與雙曲線左支交點為 M則2a= | MF | MF = | MF| | MF w | F因=.-1-m 2+ 1-乖 2 =2小.awm,實軸最長的雙曲線方程為 x-y-=1.32(3)由(1)知G、G、Q是橢圓，G、G、C7、。是雙曲線，結合圖象的幾何性質，任意兩橢 圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間也無公共點，n

25、C5,6,7,8設| PF| =d1, | PF| =d2, m 1,2,3則根據橢圓、雙曲線定義及PF PF2=0(即PFXPE),應有d1+ d2= 2 9- m| d1 d2| =249n,所以 m n = 8.d12+d22=20m= 2m= 3成成n= 6n = 5m= 1所以這樣的Cn、G存在，且n= 72217.(文)(2020 全國n文)已知斜率為1的直線l與雙曲線 C： 2-2=1(a>0, b>0)相交a b于B、D兩點，且BD的中點為M(1,3)(1)求C的離心率；(2)設C的右頂點為 A,右焦點為F, |DF |BF=17,證明：過 A、R D三點的圓與x

26、軸相切.解析(1)由題意知，l的方程為：y=x + 2, 代入C的方程并化簡得，(b2 a2) x2 4a2x 4a2- a2b2= 0設 B(xi, yi), D(x2, y2),4 a24a2 + a2b2則 xi + x2= b2_ a2, xi , x2= b2 a2 2,xi + x2皿 14a由M1,3)為BD的中點知 一2= 1,故£x =1.22 一即b =3a故 c= ;a2+ b2= 2a,.C的離心率 e = c=2. a(2)由知，C的方程為3x2-y2=3a2,_24+3aA(a, 0) , F(2a, 0) , xi + x? = 2, xi - x2=2

27、<0,故不妨設xH a, x2>a,| BF =7xi 2a2+ yi2 =弋xi 2a2+ 3xi2 3a2 = a - 2xi,| FD = x2 2a2+ y =、x2 2a2+ 3x22 3a2 = 2x2- a,| BF 1 FD = (a2xi)(2 x2a) 22=4xix2+ 2a( xi+ x2) a = 5a +4a+ 8.又| BF 1 FD = i7,故 5a2+4a+8= i7,解得a= i,或a= 一 - 5故| BD = 2| xi x2| = 124xi + x2 2 4xi . x2 = 6連結 MA 則由 A(i,0) , M")知|MA = 3,從而 MA= MB= MD / DAB= 90 ,因此以M為圓心，MA為半徑白圓