1、期末備考?jí)狠S題專(zhuān)項(xiàng)培優(yōu)：特殊的平行四邊形1.如圖，四邊形 ABCD是正方形， ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD (不含B點(diǎn)) 上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM、CM.設(shè)點(diǎn)N 的坐標(biāo)為(m, n).(1)若建立平面直角坐標(biāo)系， 滿足原點(diǎn)在線段BD上，點(diǎn)B (- 1, 0), A (0, 1).且BM = t (0<t<2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, 0) ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, - 1);請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N縱坐標(biāo)n的取值范圍是 0vn、t;；(2)若正方形的邊長(zhǎng)為 2,求EC的長(zhǎng)，以及AM+BM+CM的最小值.(提示：連結(jié) MN： 44f2&6+1,

2、44-24=&1)解：(1)如圖1,以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系, 四邊形ABCD是正方形，：OA = OB=OC=OD, 點(diǎn) B ( 1, 0), A (0, 1), .D (1, 0), C (0, - 1);過(guò)N作NHBD于h,NHB = 90° , 將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,NBH = 60° , BM = BN,.Kill V 3 OKI M 匕 £ .NH =BN =1.22 'V0<t<2,:點(diǎn)N縱坐標(biāo)n的取值范圍是0vn4正；故答案為：(1, 0), (0, -1); 0<n&l

3、t;V3;(2)如圖所示，連接 MN,過(guò)E作EHXBC,交CB的延長(zhǎng)線于H,由旋轉(zhuǎn)可得，BM = BN, /NBM = 60。，.BMN是等邊三角形，：MN = BM,. ABE是等邊三角形，：BE=BA, Z ABE = 60° ,ABM=/ EBN,.-.ABMAEBN (SA§ ,:AM = EN,:AM+BM+CM = EN+MN + CM,.當(dāng)E, N, M, C在同一直線上時(shí)，AM + BM+CN的最小值是CE的長(zhǎng)，又ABE = 60° , / ABH = 90° ,EBH = 30° ,.EBH 中，EH=Jj-EB=X2=1,B

4、H = JebZeM = Vs2-12 =仃，.CH = 2+73,中，CE = /he2+CH2=V 12K2+V3)2= V6 +V2;. .AM+BM+CM 的最小值為 76+72.國(guó)12.如圖，在？ABCD中，/ BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于F,以EC、CF為鄰邊作？ ECFG .(1)證明？ ECFG是菱形；(2)若/ ABC = 120° ,連結(jié) BD、CG,求/ BDG 的度數(shù)；(3)若/ABC = 90° , AB = 6, AD=8, M 是 EF 的中點(diǎn)，求 DM 的長(zhǎng).G F解：(1)證明：，V AF 平分/ BAD,BAF = Z D

5、AF,四邊形ABCD是平行四邊形，:AD II BC, AB/ CD,/ DAF = / CEF , / BAF = / CFE,CEF = Z CFE,：CE = CF,又四邊形ECFG是平行四邊形，：四邊形ECFG為菱形；(2)二四邊形ABCD是平行四邊形,.AB/DC, AB=DC, AD II BC,ABC= 120° ,BCD = 60° , / BCF=120°由(1)知四邊形CEGF是菱形，:CE = GE, Z BCG = -Z BCF = 60 .CG=GE=CE, /DCG = 120° ,EG II DF,BEG = 120

6、6; =Z DCG AE是/ BAD的平分線，/ DAE = / BAE ,. AD / BC,DAE = / AEB,BAE=Z AEB,：AB=BE,：BE=CD,.-.BEGADCG (SAS),:BG = DG, / BGE=Z DGC , ./ BGD = / CGE, .CG=GE=CE, .CEG是等邊三角形，CGE = 60° ,BGD = 60° , BG = DG, .BDG是等邊三角形， ./ BDG = 60° ；(3)如圖2中，連接BM, MC,G F圉3 /ABC=90。，四邊形ABCD是平行四邊形,:四邊形ABCD是矩形，又由(1)可

7、知四邊形ECFG為菱形，/ECF = 90° ,：四邊形ECFG為正方形. / BAF = Z DAF:BE=AB=DC. M為EF中點(diǎn)，CEM=Z ECM=45° ,BEM=Z DCM =135° ,在ABME和ADMC中，BE=CD一 /BEH=/DCM,JM=CM .-.BMEADMC (SAS),MB = MD , /DMC = / BME .BMD =/ BME + Z EMD = / DMC + Z EMD =90.BMD是等腰直角三角形. AB=6, AD = 8,：BD = 10,如LDM=BD = 52.23.如圖，在正方形 ABCD中，對(duì)角線A

8、C、BD相交于點(diǎn)O,以AD為邊向外作等邊ADE,連接CE,交BD于F.(1)如圖1,若AE = J%,求DF的長(zhǎng)；(2)如圖2,點(diǎn)M為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 CM,連接FM且FM平分/ AMC, 求證：CM = 6MF-AM.圖L圖2解：(1)如圖1,連接OE,二四邊形 ABCD是正方形, .AD = CD, / ADC =90° , OA=OD=OB= OC. ADE是等邊三角形AD = DE= AE = 76, Z ADE =60°：cd = ad=M od=ob=V3. AE=DE, OD = OA OE垂直平分 AD即 OEAD, DH =AH.OE-OH+EH-

9、此咨心旦 222 . / ADC = / DHE = 90°CD II OE.CDFseOF.DF CD即a43也廠.加二面，即-DF=OFdf+of = od=V1 of =三-df工:"匹df=V (6df),解得:df=1.MC,連(2)如圖2,連接EO,過(guò)點(diǎn)F作PQ± CD交EO于N,在MA上截取MT接FT,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,四邊形ABCD是正方形， ADE是等邊三角形:AD=AB=CD = DE = a, Z ADC = Z DAB= 90° Z ADE =60°易證OEXAD：OE =巧工,OD=a,由(1)知 CDFsEOFdpf

10、是等腰直角三角形DP = PF =返DF = 3 f 厄 a, 26：FQ = a-小 a=3ra a =66V FM 平分/ AMC,./ CMF =Z AMF在 MCF和 MTF中'肥TZCKK=ZMFJ史5F.-.MCFAMTF (SAS)：CF = FTRtACFPRtA FTQ (HL).QT=PF =3-V3- aV AQ = DPV BM+AB-AT= MT=CM.CM - BM = AB- AT=CM+BM = MT+BM =BT+2BM = ax a+2BM = ' a+2BM63.CM2 - BM2= (CM - BM) (CM + BM),. CM2 -

11、BM2=BC2 = a2,二巡a (逼a+2BM) =a2,：BM=a在 Rt BCM 中，tanR BMC = *=« =限BM aBMC =60AMF =30°=cos/ AMF = cos30° =MQMF.2MQ = . :MF2MQ = 2BM+2BQ = 2BM+2BT+2QT= ( BM+BT) + ( BM+BT+AT) = CM+AMCM+AM = 7jMF即 cm=6mf am.4.在菱形ABCD中，/ABC = 60。，BD為菱形的一條對(duì)角線.(1)如圖1,過(guò)A作AEBC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,若EF=2,求菱形ABCD的面 積；(2)如圖2,

12、 M為菱形ABCD外一點(diǎn)，過(guò) A作AN IBM交BM的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N,連 接 AM, DM, AGDM 于點(diǎn) G,且/AMN = /AMD,求證：DM = BM+JAM.(1)解：如圖1中, 四邊形ABC都是菱形，/ ABC = 60 .Z ABD = Z DBC= 30° , AEXBC,丁./ BEF=90° , EF=2,BF=2EF = 4, / BFE = 60° ,. / BFE = Z ABF+Z FAB,ABF = / FAB = 30° ,：BF = AF=4,：AE=AF+EF=6,AB = = 4v§, sin6G：BC

13、= AB=4/3, S 菱形 abcd = BC?AE=2句叵(2)證明：如圖2中， ./AMN =/AMG , AN，MN, AG，DM,:AN = AG,MNA = /MGA = 90° , AM=AM, AN = AG,RtA MANRtAMAG (HL),NM = MG, . Z ANB=Z AGD= 90° , AN = AG, AB=AD,RtAANBRtAAGD (HL), ABN=/ADG, BN=DG, BMD=ABAD = 120° , nM NMG=60° , AMN=/AMG=30° , d DM - BM = MG +

14、 DG- (BN-MN) =2MN=7AM, DM = BM + /jAM.AE =(只5.如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，點(diǎn) E、F分別在直線AD的兩側(cè)，且DF, / A=", AB=DC.(1)求證：四邊形BFCE是平行四邊形;(2)若 AD = 12, DC=3, /EBD=60°，則 BE= 6 時(shí)，四邊形 BFCE 是菱形需完成填空，不需寫(xiě)出具體過(guò)程.)(1)證明：二.在 ABE DCF 中, '曲DC* ZA=ZD二DF.ABEA DCF (SAS),：BE=FC, / ABE=Z DCF,EBC=Z FCB,：BE/ FC,:四邊形BFCE是平行

15、四邊形;(2)解：當(dāng)四邊形 BFCE是菱形,則 BE = EC,AD = 12, DC = 3, AB= DC,:BC = 6,. / EBD = 60。, EB=EC,.EBC是等邊三角形，：BE=6.故答案為：6.6.已知：如圖，在？ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、O、F分別是對(duì)角線 BD上的四等分點(diǎn)，順次連接 G、E、H、F.(1)求證：四邊形 GEHF是平行四邊形;(2)當(dāng)？ ABCD滿足 AB，BD 條件時(shí),四邊形 GEHF是菱形;(3)若 BD=2AB,探究四邊形GEHF的形狀，并說(shuō)明理由；GEHF的面積.當(dāng)AB=2, / ABD = 120。時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形(1)

16、證明：連接AC,如圖1所示:四邊形ABCD是平行四邊形,：OA = OC, OB=OD,：BD的中點(diǎn)在AC上，.E、O、F分別是對(duì)角線BD上的四等分點(diǎn),E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，,. G是AD的中點(diǎn)，.GF為4AOD的中位線， .GF/OA, GF = OA,同理：EH/OC, EH=yOC,：EH=GF, EH/GF,：四邊形GEHF是平行四邊形；,四邊形 GEHF是菱形；理由如下:(2)解：當(dāng)？ABCD 滿足 ABXBD連接GH,如圖2所示：則 AG = BH, AG II BH,四邊形ABHG是平行四邊形，：AB II GH ,v ABXBD,GHXBD,.GHXEF,：四邊形GEH

17、F是菱形；故答案為：AB1BD；(3)解：四邊形GEHF是矩形；理由如下：由(2)得：四邊形GEHF是平行四邊形，/. GH = AB,v BD=2AB,AB=BD=EF,GH=EF,；四邊形GEHF是矩形;作AMXBD于M, GNXBD于N,如圖3所示: 貝U AM II GN ,. G是AD的中點(diǎn),；GN是 ADM的中位線，a GN = -AM,/ABD = 120° ,.-.Z ABM = 60 ,Z BAM = 30 ,BM =yAB= 1, AM=V3BM =3, GN=|,v BD=2AB=4,：EF = BD = 2,.EFG 的面積=EFxGN=lx2x2!=返,22

18、 P2 2：四邊形GEHF的面積=2AEFG的面積=心.API BE, P 為 ABT為直角(2)如圖2,若AE=AF,連接CP,求證：CPXFP.DC DCF B AF-B卸圖27.如圖，邊長(zhǎng)為 6的正方形ABCD中，E, F分別是AD, AB上的點(diǎn), 垂足.(1)如圖1, AF = BF, AE=2j&,點(diǎn)T是射線PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，1 三角形時(shí)，求AT的長(zhǎng)；(1)解：在正方形 ABCD中，可得/ DAB =90°.在 RtBAE 中，tanZABE=-= Ad 53:/ABE=30° .點(diǎn)T是射線PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ABT為直角三角形時(shí)，分三種情況：當(dāng)點(diǎn)T在A

19、B的上方，/ ATB=90。，顯然此時(shí)點(diǎn)T和點(diǎn)P重合，即AT=AP=AB = 3；當(dāng)點(diǎn)T在AB的下方= 90。，如圖所示.在 RtA APB 中，由 AF = BF ,可得：AF = BF = PF=3,BPF = Z FBP = 30° ,：/BFT = 60° .在 RtATB 中，TF=BF=AF=3,.FTB是等邊三角形，. TB=3, AT = Jab24n 2= 3、后;當(dāng)點(diǎn)T在AB的下方，/ ABT=90°時(shí)，如圖所示.在 RtFBT 中，/ BFT=60° , BF=3, BT= BF?tan60o = 3/3.在 RtATB 中：AT=

20、7aB2+BT2=3/7綜上所述：當(dāng) ABT為直角三角形時(shí)，AT的長(zhǎng)為3或 圾或3/7；(2)證明：如圖所示，四邊形ABCD是正方形，:AB=AD=BC, AD/BC, /DAB=90° ,3=/ 4.在 RtEAB 中，APXBE,1 + 72=90° , / 3+7 2=90° ,1 = /3 = /4,. tan/ 1 =PBAPABPB_ ABAP = AE，. AE=AF, AB=BC,里=嗎 而AF.-.PBCA FAF,5.Z5=Z6. /6+/-7=90。，. /5+/7=90° ,即/ CPF = 90.CPXFP.CFXBD,垂8.已

21、知：如圖，在？ABCD中，G、H分別是 AD、BC的中點(diǎn)，AEXBD,足分另為E、F.(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形；(2)已知AB=5, AD = 8,求四邊形 GEHF是矩形時(shí)BD的長(zhǎng).G(1)證明：四邊形 ABCD是平行四邊形，.AD/BC, AD = BC,GDE = Z FBH,.G、H 分別是 AD、BC 的中點(diǎn)，AEXBD, CF±BD,.在 RtAED 和 RtCFB 中，EG=-AD = GD, FH=yBC=HB,.EG = FH,GED = /GDE, /FBH = /BFH,GED = Z BFH,：四邊形GEHF是平行四邊形;. / FBH =Z B

22、FH ,= 90° ,.EFHsCBF,BF FH-CE BF由(1)可得：GA/ HB, GA=HB,:四邊形GABH是平行四邊形,:GH = AB=5,.在矩形 GEHF 中，EF=GH,且 AB= 5, AD=8,.5_ 48 BF'解得：BF=-y-,：BE=BF- EF = - 5=,在ABE和CDF中fZAEB=ZCFD/棚爐/CDFI ABO.-.ABEA CDF (AAS),7：BE=DF = 一 , 5cc CL ”32 739:BD = BF+DF =-+=5 55/ CDE的平分線交AM延長(zhǎng)線于點(diǎn)F .點(diǎn)E是線段AM上一點(diǎn)，,BE = /nj,求 AB

23、的長(zhǎng);9.如圖，點(diǎn) M是正方形 ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接 AM,(1)如圖1,若點(diǎn)E為線段AM的中點(diǎn)，BM： CM = 1： 2(2)如圖 2,若 DA=DE,求證：BF+DF=0AF.解：(1)設(shè) BM=x,則 CM = 2x, BC=3x,V BA=BC, ： BA=3x.在RtA ABM中，E為斜邊AM中點(diǎn),.AM=2BE=2-/10，由勾股定理可得 am2=mb2+ab2,即 40=x2+9x2,解得 x= 2.AB=3x=6.D作DPXAF于P點(diǎn).(2)延長(zhǎng)FD交過(guò)點(diǎn)A作垂直于AF的直線于H點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)V DF 平分/ CDE,.-.Z 1 = Z 2. . DE = DA, DP&

24、#177;AFZ 3= Z 4. / 1 + Z2+Z3+Z4=90° ,2+Z 3=45° .DFP = 90° - 45° =45° .AH=AF.BAF+/DAF = 90° , H HAD + Z DAF = 90 ./ BAF = Z DAH.又 AB = AD,.-.ABFA ADH (SAS).:AF = AH, BF = DH.V RtA FAH是等腰直角三角形，;HF=/2AF. HF=DH+DF = BF+DF,：BF+DF=2AF.H10.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O的兩條直線分別交邊

25、AB、CD、AD、BC 于點(diǎn) E、F、G、H.【感知】如圖，若四邊形ABCD是正方形，且AG = BE=CH = DF,則S四邊形aeog矩形 abcd ,設(shè) AB=a,S正方形ABCD ；【拓展】如圖，若四邊形ABCD是矩形，且 S四邊形AEOGAD=b, BE = m,求AG的長(zhǎng)（用含a、b、m的代數(shù)式表示）；【探究】如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形，且 AB=3, AD = 5, BE=1,試確定F、G、H的位置，使直線 EF、GH把四邊形ABCD的面積四等分.解：【感知】如圖，四邊形ABCD是正方形,OAG = /OBE=45° , OA=OB, rAG=EE在AOG 與A

26、BOE 中，4 /&QG=/BOE, ;AO=EO.AOGABOE,二.AG 四邊形 AEOG = SAAOB =)S 正方形 ABCD ； 4故答案為：卷;【拓展】如圖，過(guò)O作ONXAD于N, OMLAB于M,SAAOB ="S矩形 ABCD , S 四邊形 AEOG =S 矩形 ABCD ,:SaAOB = S 四邊形 AEOG ,SAAOB = SA BOE+Sa AOE, S 四邊形 AEOG = Sa AOG+ Sa AOE,SABOE:Sa BOE = Sa AOG ,SA AOG =yAG?ON =AG?! a 二. AG?a,mb= =AG?a, 44【探究】

27、如圖，過(guò)O作KLXAB, PQXAD,則 KL=2OK, PQ=2OQ,S 平行四邊形 ABCD= AB?KL = AD?PQ,.3x2OK = 5x2OQ, SaAOB =：S平行四邊形ABCD ,四邊形AEOGS平行四邊形ABCD ,:SAAOB = S 四邊形 AEOG ,:Sa BOE = Sa AOG，.S BOE=BE?OK=X 1XOK, BOE 22Sa aog=AG?OQ,一X 1xOK =AG?OQ, 22當(dāng)AG=CH=, BE=DF = 1時(shí)，直線EF、GH把四邊形ABCD的面積四等分.o11.如圖，在矩形 ABCD中，AB = 8cm, BC= 16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)

28、向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)，點(diǎn) Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是1cm/s.連接PQ、AQ、CP.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 ABQP是矩形;(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 AQCP是菱形;(3)分別求出(2)中菱形AQCP的周長(zhǎng)和面積.解：（1）二.在矩形 ABCD 中，AB=8cm, BC = 16cm：BC = AD= 16cm, AB=CD = 8cm,由已知可得，BQ=DP = tcm, AP = CQ= (16 t) cm,在矩形 ABCD 中，/ B=90。，AD/BC,當(dāng)BQ = AP時(shí)，四邊形ABQP為矩形，：t= 1

29、6- t,得 t= 8,故當(dāng)t = 8s時(shí)，四邊形 ABQP為矩形；(2)AP=CQ, AP/ CQ,四邊形AQCP為平行四邊形，當(dāng)AQ=CQ時(shí)，四邊形AQCP為菱形即而2十=2=16 t時(shí),四邊形AQCP為菱形，解得t = 6,故當(dāng)t = 6s時(shí)，四邊形AQCP為菱形；(3)當(dāng) t = 6s 時(shí)，AQ = CQ=CP = AP = 16-6= 10cm,則周長(zhǎng)為4x10cm = 40cm；面積為 10cm x 8cm = 80cm2.BE交AC于點(diǎn)并說(shuō)理由.12.如圖，在四邊形 ABCD中，AB = AD, CB=CD, E是CD上的點(diǎn),F,連接DF.(1)求證：/ BAF=/DAF, /A

30、FD = /CFE;(2)若AB/CD,試證明：四邊形 ABCD是菱形；(3)在(2)的條件下，試確定點(diǎn) E的位置，使得/ EFD = /BCD,證明：（1）在 ABC和4ADC中<AB=ADCB-CD,、AC=AC.ABCA ADC./ BAC = jZ dac在abf和adf中rAB=AD /BAF=/加，tAF=AF.,.abfa adf, .Z afb = z afd, / cfe = z afb,afd = / cfe,baf = /dac, /afd = /cfe；(2) AB/ cd, bac=z acd, / bac=z dac, bac=z acd, . / dac =

31、 / acd , . ad = cd, . ab=ad, cb=cd, ab=cb=cd=ad, 四邊形abcd是菱形；(3) 四邊形ABCD是菱形， . bc = cd, / bcf = z dcf ,. CF = CF,.-.bcfa dcf,cbf = z cdf, be，cd, ./ BEC=Z DEF =90° , ./ EFD = Z BCD.13.如圖，在AABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN II BC分別交/ ACB、外角/ACD的平分線于點(diǎn)E、F.(1)若 CE=8, CF = 6,求 OC 的長(zhǎng)；(2)連接AE、AF .問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么

32、位置時(shí)，四邊形 AECF是矩形？證明你的結(jié)論. ./OCE = /BCE, /OCF=/DCF,V EF II BC,.Z-OEC=Z BCE, /OFC = /DCF, ./OEC = /OCE, /OFC = /OCF, .OE = OC, OF = OC,:OE = OF；OCE + Z BCE+Z OCF+Z DCF = 180° ,丁./ ECF=90° ,在RtCEF中，由勾股定理得：EF=TcEcP=10，OC=OE=yEF=5;(2) 當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形 AECF是矩形.理由如下:當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO,EO = FO,四邊形AECF是平行四邊形，ECF= 90:平行四邊形AECF是矩形.14 .如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DE / AC且DE連接CE、OE,連接AE交OD于點(diǎn)F.(1)求證：OE=CD;(2)若菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為2, / ABC = 60° .求AE的長(zhǎng). . DE = OC. DE /