1、2017年中考數學壓軸題訓練第一部分 函數圖象中點的存在性問題1.1 因動點產生的相似三角形問題 例1 如圖1，已知拋物線（b是實數且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標為_，點C的坐標為_（用含b的代數式表示）；（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果

2、不存在，請說明理由圖1思路點撥1第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標軸的距離相等2聯結OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經過點A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標為(b, 0)，點C的坐標為(0, )（2）如圖2，過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設點P的坐標為(x, x)如圖3，聯結OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O

3、A、OC為鄰邊構造矩形OAQC，那么OQCQOA當，即時，BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為()如圖5，以OC為直徑的圓與直線x1交于點Q，那么OQC90°。因此OCQQOA當時，BQAQOA此時OQB90°所以C、Q、B三點共線因此，即解得此時Q(1,4)圖4 圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據兩直角邊對應成比例確定點B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合

4、題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB4OC矛盾例2 如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作C

5、BFEBC45°，或者作BF/EC再用含m的式子表示點F的坐標然后根據夾角相等，兩邊對應成比例列關于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當m4時，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當H落在線段EC上時，BHEH最小設對稱軸與x軸的交點為P，那么因此解得所以點H的坐標為（4）如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當，即時，BCEFBC設點F的坐標為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45

6、76;交拋物線于F，過點F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F、F的坐標后，根據兩點間的距離公式求BF的長例3 直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，AOB繞點O按逆時針方向旋轉90°后得到COD，拋物線yax2bxc經過A、C、D三點(1) 寫出點A、B、C、D的坐標；(2) 求經過A、C、D三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點G的坐標；(3) 在直線BG上是否存在點Q，使得以點A、B、Q為頂點的三角形與COD相似？若存在，

7、請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1圖形在旋轉過程中，對應線段相等，對應角相等，對應線段的夾角等于旋轉角2用待定系數法求拋物線的解析式，用配方法求頂點坐標3第（3）題判斷ABQ90°是解題的前提4ABQ與COD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點Q與點B的位置關系分上下兩種情形，點Q共有4個滿分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因為拋物線yax2bxc經過A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三點，所以 解得 所以拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，頂點G的坐標為(1，4)（3）如圖2，直線BG的解析式為y3x

8、1，直線CD的解析式為y3x3，因此CD/BG因為圖形在旋轉過程中，對應線段的夾角等于旋轉角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90°因為點Q在直線BG上，設點Q的坐標為(x，3x1)，那么RtCOD的兩條直角邊的比為13，如果RtABQ與RtCOD相似，存在兩種情況：當時，解得所以，當時，解得所以， 圖2 圖3考點伸展第（3）題在解答過程中運用了兩個高難度動作：一是用旋轉的性質說明ABBG；二是我們換個思路解答第（3）題：如圖3，作GHy軸，QNy軸，垂足分別為H、N通過證明AOBBHG，根據全等三角形的對應角相等，可以證明ABG90°在RtBGH中，當時，在RtBQN中

9、，當Q在B上方時，；當Q在B下方時，當時，同理得到，例4 RtABC在直角坐標系內的位置如圖1所示，反比例函數在第一象限內的圖象與BC邊交于點D（4，m），與AB邊交于點E（2，n），BDE的面積為2（1）求m與n的數量關系；（2）當tanA時，求反比例函數的解析式和直線AB的表達式；（3）設直線AB與y軸交于點F，點P在射線FD上，在（2）的條件下，如果AEO與EFP 相似，求點P的坐標圖1思路點撥1探求m與n的數量關系，用m表示點B、D、E的坐標，是解題的突破口2第（2）題留給第（3）題的隱含條件是FD/x軸3如果AEO與EFP 相似，因為夾角相等，根據對應邊成比例，分兩種情況滿分解答（1

10、）如圖1，因為點D（4，m）、E（2，n）在反比例函數的圖象上，所以 整理，得n2m（2）如圖2，過點E作EHBC，垂足為H在RtBEH中，tanBEHtanA，EH2，所以BH1因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)已知BDE的面積為2，所以解得m1因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因為點D（4，1）在反比例函數的圖象上，所以k4因此反比例函數的解析式為設直線AB的解析式為ykxb，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，因此直線AB的函數解析式為圖2 圖3 圖4（3）如圖3，因為直線與y軸交于點F（0，1），點D的坐標為（4，1），所以FD/ x軸，EFPEAO因此

11、AEO與EFP 相似存在兩種情況：如圖3，當時，解得FP1此時點P的坐標為（1，1）如圖4，當時，解得FP5此時點P的坐標為（5，1）考點伸展本題的題設部分有條件“RtABC在直角坐標系內的位置如圖1所示”，如果沒有這個條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：第（1）題的結論m與n的數量關系不變第（2）題反比例函數的解析式為，直線AB為第（3）題FD不再與x軸平行，AEO與EFP 也不可能相似圖5例5 如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、

12、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數式表示x2x1，并求出當S=36時點A1的坐標；（3）在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角

13、形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2思路點撥1第（2）題用含S的代數式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法畫出準確的位置關系，因此本題的策略是先假設，再說理計算，后驗證3第（3）題的示意圖，不變的關系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設交點G在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）（2） 梯形

14、O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當S=36時， 解得 此時點A1的坐標為（6，3）（3）設直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖，

15、實際的圖形更接近圖3例6 如圖1，已知點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為A，點B的對應點為B，若四邊形A ABB為菱形，求平移后拋物線的表達式；（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB 的交點為C，試在x軸上找一個點D，使得以點B、C、D為頂點的三角形與ABC相似圖1 思路點撥1點A與點B的坐標在3個題目中處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數法中；第（2）題用來計算平移的距離；第（3）題用來求點B 的坐標、AC和BC的長2拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變3探求ABC與BCD相似，根據菱形的性質，B

16、ACCBD，因此按照夾角的兩邊對應成比例，分兩種情況討論滿分解答(1) 因為點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上，所以 解得，(2)如圖2，由點A (-2，4) 和點B (1，0)，可得AB5因為四邊形A ABB為菱形，所以A ABB AB5因為，所以原拋物線的對稱軸x1向右平移5個單位后，對應的直線為x4因此平移后的拋物線的解析式為圖2(3) 由點A (-2，4) 和點B (6，0)，可得A B如圖2，由AM/CN，可得，即解得所以根據菱形的性質，在ABC與BCD中，BACCBD如圖3，當時，解得此時OD3，點D的坐標為（3，0）如圖4，當時，解得此時OD，點D的坐標為（，0）

17、 圖3 圖4考點伸展在本題情境下，我們還可以探求BCD與AB B相似，其實這是有公共底角的兩個等腰三角形，容易想象，存在兩種情況我們也可以討論BCD與CB B相似，這兩個三角形有一組公共角B，根據對應邊成比例，分兩種情況計算例7 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標圖

18、1思路點撥1已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數法求解析式時，設交點式比較簡便2數形結合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長3按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的 坐標（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設點P的坐標為如圖2，當點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點P的坐標為（2，1）如圖3，當點P在點A的右側時，x4，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得不合題意如圖4，當點P在點B的左

19、側時，x1，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得此時點P與點O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點P的坐標為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為所以因此當時，DCA的面積最大，此時點D的坐標為（2，1） 圖5 圖6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點構造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設點D的橫坐標為（m，n），那么由于，所以例8 2009年上海市閘北區中考模擬第25題如圖1，ABC中，AB5，AC3，cosAD為射線BA上的點（

20、點D不與點B重合），作DE/BC交射線CA于點E.(1) 若CEx，BDy，求y與x的函數關系式，并寫出函數的定義域；(2) 當分別以線段BD，CE為直徑的兩圓相切時，求DE的長度；(3) 當點D在AB邊上時，BC邊上是否存在點F，使ABC與DEF相似？若存在，請求出線段BF的長；若不存在，請說明理由 圖1 備用圖 備用圖思路點撥1先解讀背景圖，ABC是等腰三角形，那么第（3）題中符合條件的DEF也是等腰三角形2用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）題的先決條件，注意點E的位置不同，DE、MN表示的形式分兩種情況3求兩圓相切的問題時，先羅列三要素，再列方程，最后檢驗方程的解的位置是否

21、符合題意4第（3）題按照DE為腰和底邊兩種情況分類討論，運用典型題目的結論可以幫助我們輕松解題滿分解答 （1）如圖2，作BHAC，垂足為點H在RtABH中，AB5，cosA，所以AHAC所以BH垂直平分AC，ABC 為等腰三角形，ABCB5 因為DE/BC，所以，即于是得到，（）（2）如圖3，圖4，因為DE/BC，所以，即，因此，圓心距 圖2 圖3 圖4在M中，在N中，當兩圓外切時，解得或者如圖5，符合題意的解為，此時當兩圓內切時，當x6時，解得，如圖6，此時E在CA的延長線上，；當x6時，解得，如圖7，此時E在CA的延長線上， 圖5 圖6 圖7（3）因為ABC是等腰三角形，因此當ABC與DE

22、F相似時，DEF也是等腰三角形如圖8，當D、E、F為ABC的三邊的中點時，DE為等腰三角形DEF的腰，符合題意，此時BF2.5根據對稱性，當F在BC邊上的高的垂足時，也符合題意，此時BF4.1如圖9，當DE為等腰三角形DEF的底邊時，四邊形DECF是平行四邊形，此時 圖8 圖9 圖10 圖11考點伸展第（3）題的情景是一道典型題，如圖10，如圖11，AH是ABC的高，D、E、F為ABC的三邊的中點，那么四邊形DEHF是等腰梯形例9 2008年蘇州市中考第29題圖1思路點撥1求等腰直角三角形OAB斜邊上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值2以DN為邊畫正方形及對角線，可以體驗到，正方形的頂點

23、和對角線的交點中，有符合題意的點E，寫出點E的坐標，代入拋物線的解析式就可以求出a3當E在x軸上方時，GNP45°，POBPGN，把轉化為4當E在x軸下方時，通過估算得到大于10滿分解答（1），（2）由拋物線的解析式，得點M的坐標為，點N的坐標為因此MN的中點D的坐標為（2，0），DN3因為AOB是等腰直角三角形，如果DNE與AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如圖2，如果DN為直角邊，那么點E的坐標為E1（2，3）或E2（2，3）將E1（2，3）代入，求得此時拋物線的解析式為將E2（2，3）代入，求得此時拋物線的解析式為如果DN為斜邊，那么點E的坐標為E3或E4將E3代入，求得

24、此時拋物線的解析式為將E4代入，求得此時拋物線的解析式為 圖2 圖3對于點E為E1（2，3）和E3，直線NE是相同的，ENP45°又OBP45°，PP，所以POBPGN因此對于點E為E2（2，3）和E4，直線NE是相同的此時點G在直線的右側，又，所以考點伸展在本題情景下，怎樣計算PB的長？如圖3，作AFAB交OP于F，那么OBCOAF，OFOC，PF，PA，所以1.2 因動點產生的等腰三角形問題例1 2012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數關系式；（2）設點P是直

25、線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由圖1 思路點撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時PAC的周長最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點，設ya(x1)(x3)，代入點C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數關系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設拋物線的對稱軸與x軸的

26、交點為H由，BOCO，得PHBH2所以點P的坐標為(1, 2)圖2（3）點M的坐標為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點M的坐標為(1, 1)如圖4，當AMAC時，AM2AC2解方程4m210，得此時點M的坐標為(1,)或(1,)如圖5，當CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)圖3 圖4 圖5例2 2

27、012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置（1）求點B的坐標；（2）求經過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1用代數法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗2本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起滿分解答（1）如圖2，過點B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點B的坐標為（

28、2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設拋物線的解析式為yax(x4)，代入點B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設點P的坐標為(2, y)當OPOB4時，OP216所以4+y216解得當P在時，B、O、P三點共線（如圖2）當BPBO4時，BP216所以解得當PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標為，如圖2所示圖2 圖3考點伸展如圖3，在本題中，設拋物線的頂點為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點為因此所以DOA30°，ODA120°例3 2011年湖州市中考第24題如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂

29、點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點P(0,m)是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D（1）求點D的坐標（用含m的代數式表示）；（2）當APD是等腰三角形時，求m的值；（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當點P從O向C運動時，點H也隨之運動請直接寫出點H所經過的路長（不必寫解答過程）圖1 圖2思路點撥1用含m的代數式表示表示APD的三邊長，為解等腰三角形做好準備2探求APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解3猜想點H的運動軌跡是一個難題不變的是直角，會不會找到不變的線段長呢？RtOHM的斜邊長OM是定

30、值，以OM為直徑的圓過點H、C滿分解答（1）因為PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點D的坐標為(2，4m)（2）在APD中，當APAD時，解得（如圖3）當PAPD時，解得（如圖4）或（不合題意，舍去）當DADP時，解得（如圖5）或（不合題意，舍去）綜上所述，當APD為等腰三角形時，m的值為，或圖3 圖4 圖5（3）點H所經過的路徑長為考點伸展第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單：如圖3，當APAD時，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4，當PAPD時，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得第（2）題的思路是這樣的：如圖

31、6，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以OM為直徑的G經過點H，也就是說點H在圓弧上運動運動過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時，是點H運動的起點，COH45°，CGH90°圖6 圖7例4 2011年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數yx7與正比例函數 的圖象交于點A，且與x軸交于點B（1）求點A和點B的坐標；（2）過點A作ACy軸于點C，過點B作直線l/y軸動點P從點O出發，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點A運動；同時直線l從點B出發，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q當點P到達點A時，點P和直線l都停止

32、運動在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 思路點撥1把圖1復制若干個，在每一個圖形中解決一個問題2求APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能3討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況滿分解答（1）解方程組 得 所以點A的坐標是(3，4)令，得所以點B的坐標是(7，0)（2）如圖2，當P在OC上運動時，0t4由，得整理，得解得t2或

33、t6（舍去）如圖3，當P在CA上運動時，APR的最大面積為6因此，當t2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P在OC上運動時的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45°，AOB45°，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如圖4，點P由O向C運動的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P在CA上運動時的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當APAQ時，解方程，得如圖6，當QPQA時，點Q在PA的

34、垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如圖7，當PAPQ時，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點伸展當P在CA上，QPQA時，也可以用來求解例5 2010年上海市閘北區中考模擬第25題如圖1，在直角坐標平面內有點A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，點M、N分別為線段AC和射線AB上的動點，點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運動，點N以5個單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運動，MN交OB于點P(1)求證：MNNP為定值；(2)若BNP與MNA相似，求CM的長；(3)若BNP是等腰三角形，求CM的長圖1思路點撥1第（1

35、）題求證MNNP的值要根據點N的位置分兩種情況這個結論為后面的計算提供了方便2第（2）題探求相似的兩個三角形有一組鄰補角，通過說理知道這兩個三角形是直角三角形時才可能相似3第（3）題探求等腰三角形，要兩級（兩層）分類，先按照點N的位置分類，再按照頂角的頂點分類注意當N在AB的延長線上時，鈍角等腰三角形只有一種情況4探求等腰三角形BNP，N在AB上時，B是確定的，把夾B的兩邊的長先表示出來，再分類計算滿分解答(1)如圖2，圖3，作NQx軸，垂足為Q設點M、N的運動時間為t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t ，AQ3t在圖2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在圖3中，QO3t

36、6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53(2)因為BNP與MNA有一組鄰補角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一個鈍角三角形，要么是兩個直角三角形只有當這兩個三角形都是直角三角形時才可能相似如圖4，BNPMNA，在RtAMN中，所以解得此時CM 圖2 圖3 圖4(3)如圖5，圖6，圖7中，即所以當N在AB上時，在BNP中，B是確定的，()如圖5，當BPBN時，解方程，得此時CM()如圖6，當NBNP時，解方程，得此時CM()當PBPN時，解方程，得t的值為負數，因此不存在PBPN的情況如圖7，當點N在線段AB的延長線上時，B是鈍角，只存在BPBN的可能，此時解方程，得此時CM圖5 圖6

37、 圖7考點伸展如圖6，當NBNP時，NMA是等腰三角形，這樣計算簡便一些例6 2010年南通市中考第27題如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數），BC8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）連結DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CEx，BFy（1）求y關于x的函數關系式； （2）若m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？圖1思路點撥1證明DCEEBF，根據相似三角形的對應邊成比例可以得到y關于x的函數關系式2第（2）題的本質是先代入，再配方求二次函數的最值3第（3）題頭緒復雜，計算簡單，分三段表達一段是說理，如果

38、DEF為等腰三角形，那么得到xy；一段是計算，化簡消去m，得到關于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段結合，代入求出對應的m的值滿分解答(1)因為EDC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因為CB90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y關于x的函數關系為(2)如圖2，當m8時，因此當x4時，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因為DCEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（如圖3）；將xy 6代入，得m2（如圖4） 圖2 圖3 圖4考點伸展本題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關系，例如：由第（

39、1）題得到，那么不論m為何值，當x4時，y都取得最大值對應的幾何意義是，不論AB邊為多長，當E是BC的中點時，BF都取得最大值第（2）題m8是第（1）題一般性結論的一個特殊性再如，不論m為小于8的任何值，DEF都可以成為等腰三角形，這是因為方程總有一個根的第（3）題是這個一般性結論的一個特殊性例7 2009年重慶市中考第26題已知：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA2，OC3，過原點O作AOC的平分線交AB于點D，連結DC，過點D作DEDC，交OA于點E（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；（2）將EDC繞點D按順時針方向旋轉后

40、，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為，那么EF2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在成立，請說明理由圖1思路點撥1用待定系數法求拋物線的解析式，這個解析式在第（2）、（3）題的計算中要用到2過點M作MNAB，根據對應線段成比例可以求FA的長3將EDC繞點D旋轉的過程中，DCG與DEF保持全等4第（3）題反客為主，分三種情況討論PCG為等腰

41、三角形，根據點P的位置確定點Q的位置，再計算點Q的坐標滿分解答（1）由于OD平分AOC，所以點D的坐標為（2，2），因此BCAD1由于BCDADE，所以BDAE1，因此點E的坐標為（0，1）設過E、D、C三點的拋物線的解析式為，那么 解得，因此過E、D、C三點的拋物線的解析式為（2）把代入，求得所以點M的坐標為如圖2，過點M作MNAB，垂足為N，那么，即解得因為EDC繞點D旋轉的過程中，DCGDEF，所以CGEF2因此GO1，EF2GO（3）在第（2）中，GC2設點Q的坐標為如圖3，當CPCG2時，點P與點B（3，2）重合，PCG是等腰直角三角形此時，因此。由此得到點Q的坐標為如圖4，當GPG

42、C2時，點P的坐標為（1，2）此時點Q的橫坐標為1，點Q的坐標為如圖5，當PGPC時，點P在GC的垂直平分線上，點P、Q與點D重合此時點Q的坐標為（2，2） 圖3 圖4 圖5考點伸展在第（2）題情景下，EDC繞點D旋轉的過程中，FG的長怎樣變化？設AF的長為m，那么點F由E開始沿射線EA運動的過程中，FG先是越來越小，F與A重合時，FG達到最小值；F經過點A以后，FG越來越大，當C與O重合時，FG達到最大值4例 8 2009年江西省中考第25題如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中點，過點E作EF/BC交CD于點F，AB4，BC6，B60°（1）求點E到BC的距離；（

43、2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PMEF交BC于M，過M作MN/AB交折線ADC于N，連結PN，設EPx當點N在線段AD上時（如圖2），PMN的形狀是否發生改變？若不變，求出PMN的周長；若改變，請說明理由；當點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2 圖3思路點撥1先解讀這個題目的背景圖，等腰梯形ABCD的中位線EF4，這是x的變化范圍平行線間的距離處處相等，AD與EF、EF與BC間的距離相等2當點N在線段AD上時，PMN中PM和MN的長保持不變是顯然的，求證PN的長是關鍵圖形中包含了許多的對

44、邊平行且相等，理順線條的關系很重要3分三種情況討論等腰三角形PMN，三種情況各具特殊性，靈活運用幾何性質解題滿分解答（1）如圖4，過點E作EGBC于G在RtBEG中，B60°，所以，所以點E到BC的距離為（2）因為AD/EF/BC，E是AB的中點，所以F是DC的中點因此EF是梯形ABCD的中位線，EF4如圖4，當點N在線段AD上時，PMN的形狀不是否發生改變過點N作NHEF于H，設PH與NM交于點Q在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四邊形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因為PM與NH平行且相等，所以PH與NM互相平分，PH2PQ2在RtPNH中，NH，PH2，所以PN

45、在平行四邊形ABMN中，MNAB4因此PMN的周長為4 圖4 圖5當點N在線段DC上時，CMN恒為等邊三角形如圖5，當PMPN時，PMC與PNC關于直線PC對稱，點P在DCB的平分線上在RtPCM中，PM，PCM30°，所以MC3此時M、P分別為BC、EF的中點，x2如圖6，當MPMN時，MPMNMC，xGMGCMC5如圖7，當NPNM時，NMPNPM30°，所以PNM120°又因為FNM120°，所以P與F重合此時x4綜上所述，當x2或4或5時，PMN為等腰三角形 圖6 圖7 圖8考點伸展第（2）題求等腰三角形PMN可以這樣解：如圖8，以B為原點，直線

46、BC為x軸建立坐標系，設點M的坐標為（m，0），那么點P的坐標為（m，），MNMC6m，點N的坐標為（，）由兩點間的距離公式，得當PMPN時，解得或此時當MPMN時，解得，此時當NPNM時，解得，此時1.3 因動點產生的直角三角形問題例1 2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式圖1 思路點撥1根據同底

47、等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點D有兩個2當直線l與以AB為直徑的圓相交時，符合AMB90°的點M有2個；當直線l與圓相切時，符合AMB90°的點M只有1個3靈活應用相似比解題比較簡便滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標為A(4, 0)、B(2, 0)對稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當ACD的面積等于ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側有對應的點D設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，點D的坐標為因為

48、AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐標為圖2 圖3（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了聯結GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以點M1的坐標為(4, 6)，過M1、E的直線l為根據對稱性，直線l還可以是考點伸展第（3）題中的直線l恰好經過點C，因此可以過點C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過點C例2 2012年杭州市中考第22題在平面直角坐標系