1、?幾何證明舉例?(第5課時)教案 探究版教學目標知識與技能1 理解“ HL的證明過程2 能熟練利用“ HL來證明兩個直角三角形全等.過程與方法通過實踐探究，培養讀題、識圖的能力，提高學生觀察與分析、歸納與概括的能力.情感與態度通過對一般三角形與直角三角形全等判定方法的比擬，初步感受普遍性與特殊性之間的辯證關系.教學重點掌握“ HL ，并能靈活選擇適宜的方法證明兩個三角形全等.教學難點判定直角三角形全等的“ HL定理的證明.教學過程一、情境導入準備一個等腰三角形的紙板，按以下要求操作：(1) 畫出底邊上的高；(2) 沿底邊上的高剪開，得到兩個直角.問：這兩個直角三角形全等嗎？師生活動：學生動手操

2、作，并證明.答： ADB ADC .證明：在厶ADB和厶ADC中/ AB= AC, AD 丄 BC,/ ADB = Z ADC = 90/ AB= AC, AD丄 BC, DB = DC (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線重合)/ AD = AD , ADB ADC ( SAS).設計意圖：通過實際動手操作，為下面“HL定理的證明思路做鋪墊.二、探究新知1. (1)我們學過哪些全等三角形的判定方法？(2) 兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？(3) 如果“其中一邊的對角是直角，情況又如何呢？師生活動：學生答復，可以小組討論在考慮第(3)問的時候，教師可以引導學生回顧情境導入中的思

3、路，借助教具演示過程，幫助學生理解.答：(1) SSS, SAS, AAS , ASA .(2) 不一定.(3) ：如圖，在 RtAABC 和 RtAABC中，/ C 和/ C都是直角，AB= AB, AC =AC.能判定 Rt ABC 與 Rt ABC全等嗎？ABC BC證明：將Rt ABC與Rt ABC的頂點A與A重合，相等的兩條直角邊 AC與AC重合,所以C與C重合，并使頂點 B與頂點B分別在AC所在直線的兩側(如以下圖所示).A (A)C (C)B由于/ ACB =Z ACB = 90 ，所以 B, C, B在同一條直線上，于是ABC與厶ABC的便拼成了一個厶 ABB.在厶ABB中，由

4、 AB= AB,./ B = Z B.又因為 AC = AC,所以 Rt ABCB Rt ABC ( AAS ).由此得到：直角三角形的判定定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，那么這兩個直角三角形全等.簡單地記作“斜邊、直角邊或“HL .歸納：由HL定理可知，兩邊及一角分別相等的兩個三角形，當其中較大一邊的對角是直角時，它們全等.2. 如果將兩個直角三角形的斜邊AB與AB重合，你能猜到中1中第(3)問的結論嗎?B (B)A (A)A (A)師生活動：鼓勵學生獨立完成推理過程.證明：連接CC,/ AC= AC,/ ACC=Z ACC (等腰三角

5、形的兩個底角相等)/ ACB=Z ACB= 90,/ ACB/ ACC=Z ACBZ ACC.即/ BCC=Z BCC. BC= BC.在厶ACB和厶ACB中，/ AC= AC, BC = BC, AB= AB, ACBA ACB ( SSS).設計意圖：證明“ HL 定理時，采用變化RT ABC的位置，然后通過“拼合成等腰三角形給予證明，實際上是利用了軸對稱和平移.學生對于此處的理解存在難點，教師 可以借助教具演示來幫助學生理解.三、例題精講例1.：如圖，D是厶ABC的邊BC的中點，DE丄AC, DF丄AB，垂足分別是點 E、F, DE = DF .求證： ABC是等腰三角形.師生活動：學生

6、獨立完成，板演并詳細分析講解.證明：/ DE 丄 AC, DF 丄 AB . DEC和厶DFB都是直角三角形./ DC = DB , DE = DF , Rt DEC 也 Rt DFB ( HL)./ C=Z B. ABC是等腰三角形(有兩個角相等的三角形是等腰三角形)設計意圖：加強對“ HL的理解，并復習等腰三角形的性質和判定，培養學生綜合分 析問題的能力.例2.一直角邊和斜邊做直角三角形.：如圖，線段I, m (I v m).求作：Rt ABC，使它的直角邊 AC和斜邊AB分別等于I, m.師生活動：教師先分析求作直角三角形，那它的判定方法有幾種，現在直角邊和斜邊對應相等，那很明顯是利用“

7、 HL 來判定.學生嘗試獨立完成.分析：先利用根本作圖“過一點作直線的垂線，作出三角形的直角頂點 C,再根據直角邊AC的長確定頂點A，最后根據斜邊長作出另一個頂點B .作法：(1)任取一點C,作射線CD (圖5-25)；(2) 過點C作射線 CE丄CD ;(3) 在CE上截取CA = I;(4) 以點A為圓心，以m為半徑作弧，交 CD于點B;(5) 連接AB. ABC就是所求的直角三角形.設計意圖：通過尺規作圖來加深對“HL 的理解，并熟練應用.四、課堂練習1. 如以下圖，在 Rt ABC 和 Rt DCB 中，AB = DC,/ A=Z D = 90 AC 與 BD 交于點O,那么有也，其判

8、定依據是 ;還有=，其判定依據是 .2. ：如圖，AE丄BC, DF丄BC,垂足分別為 E, F , AE= DF , AB = DC ,那么有也 (HL ).3. 在Rt ABC和Rt ABC中，/ C=/ C= 90，如以下圖，那么以下各條件中，不能A . AB= AB= 5, BC= BC= 3C. AC = A C = 5, BC= B C = 3B . AB = B C = 5，/ A =Z B = 40D. AC= A C = 5，/ A =Z A = 404.如圖,BD, CE是厶ABC的高，且BD = CE ,求證： ABC是等腰三角形.5.如圖，點A, B, C, D在同一條

9、直線上，EA丄AD, FD丄AD , EC與FB相交于點 O,AE = DF , EC = FB .求證：OB = OC.參考答案：1. Rt ABC也 Rt DCB , HL ; AOB 也 RtA DOC , AAS .2. Rt AEB也 Rt DFC .3. B.4. 證明：T BD, CE是厶ABC的高， BDC和厶CEB都是直角三角形./ BD = CE , BC = BC, Rt BDC 也 Rt CEB ( HL ).5. 證明：T EA丄 AD , FD 丄 AD, EAC和厶FDB都是直角三角形./ AE= DF , EC= FB, Rt EAC也 Rt FDB ( HL

10、)./ OBC=Z OCB. OB= OC.設計意圖：通過練習，熟練掌握用“HL來判定直角三角形全等，并學會選擇適宜的方法來證明三角形全等.五、課堂小結1.直角三角形的判定定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊分 別相等，那么這兩個直角三角形全等.簡單地記作“斜邊、直角邊或“HL .2判定直角三角形全等的方法：SSS, SAS, AAS , ASA , HL .設計意圖：通過小結，回憶所學知識，形成完整的知識體系.六、目標檢測1 .具備以下條件的兩個三角形可以判定它們全等的是.A .一邊和這邊上的高對應相等B .兩邊和第三邊上的高對應相等C.兩邊和其中一邊

11、的對角對應相等D .兩個直角三角形中的斜邊對應相等2.如果兩個三角形的兩條邊和其中一條邊上的高對應相等，那么這兩個三角形的第三 條邊所對的角的關系是.A.相等 B.互補C .相等或互補D .相等或互余解析：如圖1所示， AB = AB, BC = BC, AD丄BC于點D , AD上BC于D 點，且 AD = A D根據HL可判定RtAABD也RtM B D ，從而證得/ B = Z B .如圖2 所示，可知此時兩角互補.3.：如圖，EA丄AB, BC丄AB, EA = AB= 2BC, D為AB中點.那么下面結論正確的是.(1) DE = AC; (2) DE 丄 AC; ( 3)Z CAB

12、 = 30 (4)Z EAF = Z ADE .A (1), (3)4.：如圖,ADBB (2), (3)C. (3), (4)D . (1), (2), ( 4)AB = CD , DE 丄 AC 于點 E, BF 丄 AC 于點 F，且 DE = BF .求證：AB / CD .5.：如圖，/ ACB = Z BDA = 90，要使 ACB BDA，還需要什么條件？并說明理由.AB參考答案：1. B.2. C.3. D.4. 證明：T DE 丄 AC, BF 丄AC, AED和厶CFB是直角三角形.在 Rt AED 和 Rt CFB 中，/ AB= CD , DE = BF , Rt AED 也 Rt CFB ( HL )./ DAE = Z BCF 全等三角形的對應角相等. AB/ CD 兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么兩直線平行5. ( 1)AC= BD .證明：在Rt ACB和Rt BDA中，/ AC= BD , AB = AB, Rt ACB也 Rt BDA ( HL ).(2) BC = AD .證明：在Rt ACB和Rt BDA中，/ BC= AD , AB = AB, Rt ACB也 Rt BDA ( HL ).(3) Z ABC = Z BAD