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1、數(shù)學奧林匹克初中訓練題3第一試一、選擇題(每小題7分,共42分2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2.則ab+bc+ca的最小值為( .(A - (B- + (C- -2 (D +2.某次數(shù)學測驗共有20道題.評分標準規(guī)定:每答對一題得5分,不答得0分,答錯得-2分.已知這次測驗中小強與小剛的累計得分相等,分數(shù)是質數(shù).則小強與小剛答題的情況是( .(A兩人答對的題數(shù)一樣多 (B兩人答對的題數(shù)相差2(C兩人答對的題數(shù)相差4 (D以上三種情況都有可能3.在ABC中,AD是邊BC上的中線,點M、N分別在邊AB、AC上,且滿足MDN=90°.如果BM2+CN2=DM2+DN2,那么,A

2、D2與AB2+AC2的關系是( .(AAD2>AB2+AC2 (BAD2 2 +AC 2 (CAD2=AB2+AC2 (DAD2與AB2+AC2大小不確定4.有n個數(shù),從第二個數(shù)開始,每一個數(shù)都比它前面相鄰的數(shù)大3,即4,7,3n+1,且它們相乘的積的末尾恰有32個0.則n的最小值為( .(A125 (B126 (C127 (D1285.圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型.在某高峰時段,單位時間進出路口A、B、C的機動車輛數(shù)如圖所示,圖中的x1、x2、x3分別表示該時段單位時間通過路段弧AB、BC、CA的機動車輛數(shù)(假設單位時間內(nèi),在上述路段中,同一路段上駛入與駛出的車輛數(shù)相等.則( .(

3、Ax1>x2>x3 (Bx1>x3>x2 (Cx2>x3>x1 (Dx3>x2>x16.已知四個互不相等的實數(shù)x1、x2、x3、x4(x1 2 , x 3 4 . 又 a 為實數(shù),函數(shù) y 1 =x 2 -4x+a 與 x 軸交于 (x 1 , 0 、 (x 2 , 0 兩點,函數(shù) y 2 =x 2 +ax-4 與 x 軸交于 (x 3 , 0 、 (x 4 , 0 兩點 . 若這四個交點從左到右依次標為 A 、 B 、 C 、 D ,且 AB=BC=CD ,則 a 的值為 ( . (Aa=-3 (Ba小于0 (Ca=0 (Da大于0二、填空題(

4、每小題7分,共28分1.如圖,ADBC,梯形ABCD的面積是180,E是AB的中點,F(xiàn)是邊BC上的點,且AFDC,AF分別交ED、BD于點G、H.設BC/AD=m(mN.若GHD的面積為整數(shù),則m的值為 .2.將自然數(shù)1,2,k2列成正方形數(shù)表(如表1,然后從表中任意選定1個數(shù),隨后刪掉該數(shù)所在的行和列,再對剩下的(k-12個數(shù)的正方形數(shù)表作同樣處理,如此下去,共作k次選數(shù)程序.則被選中的k個數(shù)之和 12kk+1k+22k(k-1k+1(k-1k+2k2的最大值(其中,SU表示U的面積為 .4.一個人擲骰子,把每次擲得的數(shù)字加起來,如果超過20就停止.那么,當他停下來的時候,他最有可能擲得數(shù)字

5、的總和是 .第二試一、(20分已知二次函數(shù)y=x2+2mx-n2.(1若此二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(1,1,且記m,n+4兩數(shù)中較大者為P,試求P的最小值;(2若m、n變化時,這些函數(shù)的圖像是不同的拋物線,如果每條拋物線與坐標軸都有三個不同的交點,則過這三個交點作圓,證明:這些圓都經(jīng)過同一定點,并求出該定點的坐標.二、(25分如圖4,過圓外一點P作圓的兩條切線PA、PB,A、B為切點,再過點P作圓的一條割線分別交圓于點C、D,過點B作PA的平行線分別交直線AC、AD于點E、F.求證:BE=BF.三、(25分設1a1 2 < n 21 是 n 個任意的整數(shù) . 若其中總有 4 個不同的數(shù) a

6、數(shù) a i 、 a j 、 a k 、 a m 滿足 a i +a m =a j +a k (1i ,則稱數(shù)組 (a 1 , a 2 , , a n 的階數(shù) n 為 “ 好數(shù) ”. (1n=7是否為好數(shù)?說明理由;(2n=8是否為好數(shù)?說明理由.數(shù)學奧林匹克初中訓練題3參考答案第一試一、1.B.注意到2(ab+bc+ca=(a+b+c2-(a2+b2+c2故只須考慮|a+b+c|的最小值即可.為了讓|a+b+c|最小,可取a=b=-,c=.于是,ab+bc+ca的最小值為.2.D.根據(jù)題意,依次枚舉答對20道題、19道題、的各種可能發(fā)現(xiàn):(1小強與小剛可能都答對17題、答錯1題、未答其余2題同

7、得83分;(2小剛與小強可能同得53分,不過一人答對13題、答錯6題、1題未答,另一人答對11題、答錯1題、其余各題未答;(3小剛與小強也可能同得23分,其中一人答對9題,其余各題答錯,另一人答對5題、答錯1題、其余各題未答.3.B.如圖,過點B作AC的平行線交ND的延長線于點E.聯(lián)結ME.由BD=DC,知ED=DN,有BEDCND.于是,BE=CN.顯然,MD為EN的中垂線,則有EM=MN.由BM2+BE2=BM2+CN2=DM2+DN2=MN2=EM2,知BEM為直角三角形,MBE=90°.因此,ABC+ACB=ABC+EBC=90°.于是,BAC=90°.所

8、以,AD2=(AB2+AC2.4.D.因為(1+3n÷5=2+3(n-3÷5,所以,這n個數(shù)中,只有第3,8,13,18,個數(shù)是5的倍數(shù),它們是5×2,5×5,5×8,5×11,.它們每5個中恰有1個是25的倍數(shù),每25個中恰有1個是125的倍數(shù),.易見(5×2×(5×5×(5×8××(5×77=532×A,其中,A不是5的倍數(shù).所以,5×77=3n+1.故n=128.5.C.依題意有x1=50+x3-55=x3-5,則x1 3 . 同

9、理, x 1 2 , x 3 2 . 6.C.x1 2 3 4 , x 1 3 2 4 , x 1 3 4 2 , x3 4 1 2 , x 3 1 4 2 , x3 1 2 4 . 上述6種情況中,第3、6種情況不可能出現(xiàn)(否則,兩個函數(shù)的對稱軸相同,故a=-4.從而,x1=x3,x2=x4,這與題意不符.在其他4種情況中,都有|x2-x1|=|x4-x3|.因此,有16-4a=a2+16.解得a=0或-4(舍去.經(jīng)檢驗a=0滿足題意.二、1.2或5.如圖,作BKAF交ED于點K,則KEBGEA.故GH/AG=GH/BK=HD/BD=FC/BC=AD/BC=1/m.于是,有SABD=S四邊形

10、ABCD=180/(m+1,SAHD=SABD=,SGHD=SAHD=易知為整數(shù),所以,(m+12|180.又因180=22×32×5,所以m+1=2,3或6.經(jīng)驗證,m+1=3或6.2. k(k2+1.把表1分成下面的兩個數(shù)表:容易看出,表1中每個數(shù)等于分成的表2和表3中處于同樣位置的兩數(shù)之和.因而,所選的k個數(shù)由于既不同行又不同列,其和恰為S=(1+2+k+0+k+(k-1k= k(k+1+ k2(k-1= k(k2+1.3.不妨設圓心落在如圖7(a的Z中.當弦AB向上平移時,圖7(b中的陰影部分面積大于它左邊無陰影部分的面積,所以,SX+SZ增加,而SY+SW在減少(

11、注意X、Y、Z、W的面積之和是定值r2.因而,比值增加.于是,當點A與點C重合時,它才有可能取到最大值.在圖7(c中,RtABD的斜邊BD是直徑,則ABD在OA為高時面積最大,此時,SZ最大,SX+SZ也最大,其值為 r2+r2.而SY+SW最小,其值為 r2-r2.所以,SX+SZSY+SW的最大值是4.21.考慮超過20那一次的前一次擲骰子結束后,得到的數(shù)值是x.若x=15,則只能擲6得到21;若x=16,則只能擲5或6得到21或22,每個數(shù)字出現(xiàn)的可能都是1/2;若x=17,則只能擲4、5或6得到21,22或23,每個數(shù)字出現(xiàn)的可能都是1/3;若x=18,則只能擲3,4,5或6得到21,

12、22,23或24,每個數(shù)字出現(xiàn)的可能都是1/4;若x=19,則只能擲2,3,4,5或6得到21,22,23,24或25,每個數(shù)字出現(xiàn)的可能都是1/5;若x=20,則擲1,2,3,4,5或6得到21,22,23,24,25或26,每個數(shù)字出現(xiàn)的可能都是1/6.所以,出現(xiàn)21的可能性大于出現(xiàn)其他數(shù)字的可能性.故21是最有可能擲得數(shù)字的總和.第二試一、(1由二次函數(shù)過點(1,1得m=n2/2.注意到m-(n+4= n2/2-(n+4= (n2-2n-8= (n-4(n+2,所以,P= n2/2, n-2或n4;P=n+4, -2 再利用函數(shù)圖像可知,當n=-2時,Pmin=2.(2圖像與坐標軸有三個

13、不同的交點,可設交點坐標為A(x1,0、B(x2,0、C(0,-n2.又x1x2=-n2,若n=0,則與三個交點不符,故x1x2=-n2<0.所以,x1、x2分在原點左右兩側.又|x1x2|=n2×1,所以,存在點P0(0,1使得|OA|·|OB|=|OP0|·|OC|.故A、B、C、P0四點共圓,即這些圓必過定點P0(0,1.二、如圖,聯(lián)結BC、BA、BD.所以,ABC=PAC=E.則ABCAEB.從而,BE/BC=AB/AC,即BE=AB·BC/AC.又ABF=PAB=ADB,所以,ABFADB.從而,BF/BD=AB/AD,即BF=AB

14、83;BD/AD.另一方面,又因PBCPDB,PCAPAD,所以,BC/BD=PC/PB,AC/AD=PC/PA.而PA=PB,所以,BC/BD=AC/AD.于是,BC/AC=BD/AD.由式、即知BE=BF.三、(1n=7時,1,2,3,5,8,13,21不滿足要求,故n=7不是好數(shù).(2只須證明:對任意的8個整數(shù)1a1 2 < 8 21 , 其中總有4個不同的數(shù)ai j k m 滿足 a i +am=aj+ak ,即 a j -a i =a m -a k (1i 首先,8個正整數(shù)可產(chǎn)生8×72=28個差aj-a(1i ,由于這 8 個數(shù)均為 1 至 21 之間的整數(shù),因此,

15、 1aj-a i 20(1i ,最多只有 20 個不同的差值 . 故由抽屜原理知,其中至少有 8 對差相等 . (i若這8對相等的差中,存在1對其中的4個數(shù)互不相同,即aj-ai=am-ak(1i 此時原題成立 . (ii若這8對相等的差中,每一對的4個數(shù)中至少有2個數(shù)相同,則這4個數(shù)中恰有2個數(shù)相同(因為aj-ai=am-ak中至多有aj=ak或ai=am之一成立.于是,每對這樣的差對應一個三元數(shù)組(ai,aj,ak,且滿足2aj=ai+ak(1i ,由于這 8 個數(shù)均為 1 至 21 之間的整數(shù),因此, 1aj-a i 20(1i ,最多只有 20 個不同的差值 . 故由抽屜原理知,其中至少有 8 對差相等 . (i若這8對相等的差中,存在1對其中的4個數(shù)互不相同,即aj-ai=am-ak(1i 此時原題成立 . (ii若這8對相等的差中,每一對的4個數(shù)中至少有2個數(shù)相同,則這4個數(shù)中恰有2個數(shù)相同(因為aj-ai=am-ak中至多有aj=ak或ai=am之一成立.于是,每對這樣的差對應一個三元數(shù)組(ai,aj,ak,且滿足2aj=ai+ak(1i 不妨

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