1、工科高等數學課程標準第一部分 前言數學是反映客觀世界的科學，是對客觀世界定性把握和定量描述，進而逐漸抽象概括形成方法和理論，并且進行廣泛應用的科學。數學是抽象的，又是具體的，是一種工具，也是一種文化，更是一種信息。隨著時代的發展，文明的進步，特別是二十世紀中葉以來，數學自身發生了巨大的變化，與計算機的結合愈來愈緊密，使得數學在研究領域、研究方式和應用范圍等方面得到了空前的發展。數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量繁雜的信息作出最優的判斷和選擇，同時為人們交流信息提供了一種有效而簡捷的手段。數學作為一種普遍適用的技術，有助于人們收集、整理、描述信息、建立模型，進而解決問題

2、，直接為社會創造價值。在理工科綜合院校中，高等數學課程是工科各專業一門必修的公共基礎課。它將為今后學習工程數學、專業基礎課以及相關的專業課程打下必要的數學基礎，為這些課程的提供必需的數學概念、理論、方法、運算技能和分析問題解決問題的能力素質。基于工科教育的特點，以及為適應迅猛的社會經濟發展，在高等數學的教學中必須遵循“以應用為目的，以必需，夠用為度”的原則，注重理論聯系實際，強調對學生基本運算能力和分析問題、解決問題能力的培養，以努力提高學生的數學修養和素質。第二部分 課程基本理念一、優化課程結構，適應理工科教育人才培養模式理工課大學教育是以培養高層次專業技術和研究人才為根本任務，以適應社會需

3、要為目標，以培養綜合素質為主線設計學生的知識、能力、素質結構和培養方案，畢業生應具有基礎理論知識適度、技術應用能力強、知識面較寬、素質高等特點。因此，課程的教學內容體系應突出“能力提高”的主旨，從而與經濟建設、科技進步和社會發展要求相適應，與人的全面發展需求相適應，與高等教育大眾化條件下多樣化的學習需求相適應，與高等教育課程改革與建設的國際化趨勢相適應，與國家基礎教育課程改革的要求相銜接。二、以能力培養為切入點，充分體現課程的基礎性、應用性和發展性數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數據，進行計算、推 1理和證明，它為其它學科提供了語言、思想和方法，從而數學的基礎性地位無

4、可替代，更不能偏廢。但在理工科教育中，高等教學在作為公共基礎課的同時，應充分遵循“學有所用”的原則、“學有所需”的原則，而在一切的教學過程中，都要從能力培養出發，發掘學生的潛在的創新思維，以切實提高學生的綜合教學素質。三、以學生為中心，充分發揮學生的學習能動性高等教學的學習內容應當根據實際的需求進行調整，而內容的是呈現也應采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求，同時教學活動必須建立在學生的接受能力基礎之上。而教師也不是被動的，應調動一切可行的手段，激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和和掌握數學知識與技能、數學思想和方法，獲得

5、廣泛的數學活動經驗，為學習和實踐提供有效的知識工具和良好的思維素質。四、加強計算機與數學教學的整合，促進教學改革，提高教學質量現代信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容以及學與教的方式產生了重大的影響。數學課程的設計與實施應重視運用現代信息技術，加強計算機與數學教學的整合，大力開發并向學生提供更為豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力工具，致力于改變學生的學習方式，使學生整合到現實的、探索性的數學活動中去。五、構建本課程新的評價體系，考察學生的“輸出”能力評價的主要目的是為了全面了解學生的數學學習歷程，考察學生的實際能力，同時激勵學生的學習和改進教師的教學。但以往

6、的評價手段過于單一，不能全面反映學生的真實情況，而且評價的價值取向猶為偏頗。所以應建立評價目標多元、評從方法多樣的評價體系。對數學學習的評價要關注學生學習的結果，也要關注學習的過程；要關注數學知識的掌握，也要關注數學知識的運用。總之，評價的結果優劣要經得起實踐檢驗。第三部分 課程目標本課程的總目標是要通過對高等數學在高等教育階段的學習，使學生能夠獲得相關專業課及工程數學須使用，適應未來工作及進一步發展所必需的重要的數學知識，以及基本的數學思想方法和必要的應用技能；使學生學會用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決學習、生活、工作中遇到的實際問題，從而進一步增進對數學的理解和興趣；使學生具有

7、一定的創新精神和提出問題分析問題解決問題的能力，從而促進生活、事業的全面充分的發展；使學生既具有獨立思考又具有團體協作精神，在科學工作事業中實事求是、堅持真理，勇于攻克難題；使學生能敏感地把握現實社會經濟的脈搏，適應社會經濟的變革發展，做時 2代的主人。本課程的總目標進一步闡釋為：一、知識與技能方面1了解微積分的發展史，認識微積分的重要性、抽象性、實用性，進而認識科學發展的一般規律。2理解極限的概念，掌握極限的運算法則，能夠熟練計算一般函數間極限。3理解微分的概念，掌握微分的運算法則，能夠熟練計算一般函數的微分。4理解積分的概念，掌握積分的運算法則，能夠熟練計算一般函數的積分。5了解微分方程的

8、概念，熟練掌握一些簡單的一階微分方程的解法，掌握幾種簡單形式的二階微分方程的解法。二、數學思想與能力運用方面1通過對本課程的學習，使學生在掌握必要的基礎知識的同時，具有一定的數學建模思想，并將這種思想貫穿于整個提出問題分析問題解決問題的過程。2通過對極限概念的學習，使學生建立無限的思想觀，并使學生能用“分割求和取極限”的思想方法求一些諸如無窮數列和、圖形面積等問題。3通過對微分的學習，使學生能夠建立實際問題的模型，理解諸如最值方面的問題，并能分析、推證、解釋跟最值有關的一些現實現象。4通過對積分的學習，使學生能夠利用“微元法”的思想方法，解決一些諸如求面積、求體積、求功等問題。5通過對生分方程

9、的學習，使學習初步掌握綜合運用微積分的能力。6通過對本課程的學習，使學生具有一定的自學能力和將數學思想擴展到其它領域的能力。三、科學觀和價值觀方面1具有高尚的科學觀，實事求是，尊重客觀規律，反對迷信邪教。2有較強的求知欲，逐步進步，崇尚科學思維，有較強的毅力，不怕困難，有信心戰勝它。3熱愛生活，有團結協作精神，勇于批評和自我批評。4有理想、有抱負，熱愛祖國，有振興中華的使命感和責任感。第四部分 課程內容一、函數 極限 連續函數是近代數學的基本概念之一。高等數學就是以函數為主要研究對象的一門數學課程。極限是貫穿高等數學始終的一個重要概念，它是這門課程的基本推理工具。連續則是函數的一個重要性態，連

10、續函數是高等數學研究的主要對象。通過學習這些知識，不僅為以后的學習打下必要的基礎，而且有利于學生認知能力的提高和飛躍。（一）具體目標1函數（1）理解函數的定義，掌握函數的要素。（2）掌握函數的單調性和奇偶性，了解函數的周期性和有界性。（3）了解反函數、復合函數的概念。（4）熟練掌握基本初等函數的圖形；理解初等函數的概念。（5）能建立簡單的實際問題的函數關系。2極限（1）了解極限的“-”、“-N”定義，并能在學習過程中逐步加深對極限思想的理解。（2）掌握極限的四則運算法則。（3）了解極限的兩個存在準則（夾逼定理和單調和界定理），掌握兩個重要極限。（4）了解無窮大，無窮小的概念，掌握無窮小的比較。

11、3連續（1）理解函數連續的概念，會判斷間斷點的類型。（2）了解初等函數的連續性。（3）了解閉區間上連續函數的最值定理、介值定理和極的存在性定理。（二）案例例1 討論函數的奇偶性、有界性、單調性。例2 寫出的復合過程，并判斷的有界性。例3 將半徑為r的半圓圈成圓錐，試建立圓錐體積V與r的關系V（r）。12lim2x+ln(1+x),lim +3-1x0xxx 例4 求 ()例5 求 limx0+x-1,limnnxn+2-n+1)sin2x1lim,lim 1+x 例6 求 x0sin3xx1+x)(x0)和 2x(x0)的階數高低 例7 試比較 ln(3x例8 求 f(x)=x+1x2-1的間

12、斷點，并判斷其類型。二、一元函數微分學導數與微分都是微分學的基本概念。導數概念最初是從尋找曲線的切線以及確定變速運動的瞬時速度而產生的。它在自然科學與工程技術上都有著極其廣泛的應用。微分伴隨著導數而產生的概念。通過本部分內容的學習，使學生在掌握基礎知識的同時，能夠利用所學知識，解決一些實際問題。（一）具體目標1理解導數與微分的概念。了解導數的幾何意義及可導性與連續性的關系。2熟練掌握導數與微分的運算法則以及基本公式。能熟練地計算初等函數的一階、二階導數。3會求隱函數及參數方式所確定的函數的一階導數。4理解羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理。5掌握羅必塔法則。6理解函數極值的概念。7會求函數的極值

13、，能判斷函數的單調性和函數圖形的凹凸，會求曲線的拐點。掌握函數圖形的描繪方法。8能解決最值的應用題。（二）案例例1 求 y=x+x的一階、二階導數。例2 求曲線 y=xlnx在（1，0）的切線與法線方程。ex-1lim例3 求 x0x例4 求 y'（y由方程 xy+1=ey+x確定）x=1+sinty'例5 求 x（y由方程 y=cost+sint確定）例6 求周長為l的面積最大的矩形邊長。例7 作出 y=x1+x2的圖像。三、一元函數積分學微分學的要基本問題是：已知一個函數，求它的導數。但是，在科學技術領域中往往會遇到與此相反的問題：已知一個函數的導數，求原來的函數。由此產生

14、了積分學，包括定積分與不定積分。而定積分的廣泛用途是：利用微元法，解決物理和工程技術中的諸多問題。（一）具體目標1理解不定積分的概念。2理解定積分的概念及基本性質。3熟練掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的換元法和分部積法，掌握較簡單的有理函數的積分。4熟練掌握牛頓萊布尼茲公式。5掌握定積分的換元法和分部積分法。6了解變上限的定積分作為其上限函數及求導定理。7掌握定積分的微元法，會用定積分計算相關的幾何量與物理量。8了解廣義積分的概念，會求簡單的廣義積分。（二）案例例1 x2是2x的一個函數嗎？例2 寫出不定積分的基本公式。2xx+xdx,xedx,例3 求 12x(1+x)例4 判斷正負：

15、 1010/23xedx,cosxdx,100(x-1)dx例5 比較大小： 28/2/2x4dx與1sin3xdx與sin5xdx0xdx,00例6 若例7 若 xy=0etdt,求y(0),y'(0)2 32/22xx2dx,2cosx(1+sinx)3dx,1-1|x|dx,00xedx例8 證明圓錐，正四棱錐，環的體積公式。例9 求 0111,dx021+xx四、常微分方程尋求變量之間的函數關系是解決實際問題時常見的重要課題。但是，人們往往不能直接由所給的條件找到函數關系，卻比較容易列出表示未知函數及其導數（或微分）與自變量之間關系的等式，然后再從中解得待求的函數關系。這樣的等

16、式，移這為微分方程。這部分內容將討論幾種特殊類型的微分方程及其解法，并初步介紹一些應用。（一）具體目標1了解微分方程的概念以及通解、初始條件和特解的概念。2熟悉掌握一階線性可分離變量的方程的求解方法。3熟練掌握一階線性齊次方程的解法，掌握一階線性非齊次方程的解法，會利用常數變易法解一階線性非齊次方程。4了解二階線性微分方程的解的結構。5熟練掌握二階線性常系數齊次方程的解法。6掌握幾種簡單形式的二階線性常系數非齊次方程的解法。（二）案例例1 y=x2+1是否為方程 y"+y'-2x=2的解？例2 求 y'=xy的通解。 2例3 例2 求 2y'-11y=ex22

17、的通解。例4 求 xy'+y=cosx,y()=1的特解。例5 設跳傘員開始跳傘后所受的空氣阻力與下落速度成正比（k>0），初速為0，求下落速度與時間的關系。例6 求 y"-2y'-3y=0的通解。例7 求 y"+4y=x+1+sinx的通解。例8 設有一鏈條懸掛在釘子上，起動時兩端釘子為8米和12米。若不計摩擦力，試求鏈條離釘所需時間。第五部分 課程實施建議一、教學建議為實現本課程的目標，體現本課程的基本理念，標準提倡多種教學形式。廣大教師應結合實際情況，創造性開展教學，在教學中總結經驗，探索教學規律。下面就教學方面的一些問題提出建議和參考案例。（一

18、）落實課程理念，倡導探究性學習本課程的基本理念中強調對學生的科學素質的培養。科學素質是指學生將來參加社會生活、從事經濟生產、作出個人決策所必需的對科學概念和過程的理解，以及一定的探究能力，能較好地理解科學技術與社會的相互關系和科學的本質，形成科學的態度和正確的價值觀。所以倡導探究性學習，對我們的教學工作具有重要的指導意義，應當貫徹在我們的全部教學活動中。倡導探究性學習的根本目的的在于提高學生的問題解決的能力，因此僅僅靠知識的傳承、講授、灌輸就不能有效地達到目的，必須改變教學的策略和方法，改變學生的學習方式。倡導探究性學習能使學生既能理解、掌握和應用知識，又發展了收集和處理科學信息的能力，獲取新

19、知識的能力，分析解決問題的能力，交流與合作的能力，特別是培養了創新精神和實踐能力；同時，還將使學生的學習過程更富有個性化，對情感的體驗、科學態度的養成，正確價值觀的樹立，也會有極大的促進。（二）明確教師在教學活動中的地位，強調以學生為中心的教學。數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間互動的過程。教師是教學活動的組織者、引導者與合作者。一切的教學活動必須建立在以學生為中心的基礎上。要正確認識學生個體差異，因材施教，使每個學生都在原有的基礎上得到發展。要讓學生獲得成功的體驗，樹立信心。而要體現以學生為中心的理念，必須在教學過程中充分發揮學生的主觀能動性，發掘學生的創新精神，其次要讓學生有多

20、種機會在不同的情境下去應用他們所學的知識，最后要讓學生能根據自身行動的反饋信息來形成對客觀事物的認識和解決實際問題的方案。這就要求我們教師在教學過程中盡力幫助學生自己進行知識構建，而不是去復制知識，即教師要引導學生自己去認識和發現知識，認識和發現科學的方法，創造和實現知識與科學方法的應用。為此，教師就要精心設計每一次的教學活動，要根據不同層次的教學對象，課程的不同內容以及不同的目標要求靈活多樣地組織教學。或講授，或討論，或課題設計，或問題解決，或設立情境。（三）以問題解決為核心組織教學，創立良好的教學環節促進“問題解決”的實現 8教學的問題可分為概念問題、方法問題、思想問題、計算問題、推論問題

21、、應用問題以及實際操作或模擬實現等問題。教師組織教學就是要引導和幫助學生或激勵和啟發學生一一解決這些問題。要讓學生置身于問題之中，有獲得問題解決的成就感，也有樂于和敢于面對新問題挑戰的緊張感。這可以大大提高學生的分析問題解決問題的能力，實際應用的能力，知識拓展的能力，以及總體把握的能力；而且這對提高團隊協作能力和科學的素質有極大的幫助。為促進“問題解決”的實現，必須創立良好的教學環境。多媒體輔助教學就是一種重要的手段。多媒體輔助教學的突出功能就是信息交換量大，而且實時快捷，另一個突出功能就是形象直觀，易于接受。另外設立相關資料庫、報告會、專題討論、分組討論等都是可考慮采用的手段。以下給出一些問

22、題解決的具體案例，僅供參考。1關于極限概念問題極限本身是一個很抽象的概念，與已掌握的中學教學知識有著持的飛躍，學生要理解這個概念有很大的難度。但為了使學生更好地了解這個概念，我們可以多講一些實例，提出學生感興趣的問題，引導學生去思考、去分析。譬如，我們可以介紹“割圓術”，先畫幾個圖例，圓的內接正三角形、正六邊形、十二邊形讓學生觀察、分析、歸納，最后得出結論，正多邊形的面積與圓的面積相差愈來愈小，從而直觀地認知：圓的面積與這組正幾邊形的面積有著特殊的關系。進而我們說這圓的面積就稱做正幾邊形的面積的極限。然后再引導：現在不知道圓的面積，怎樣來求它呢？讓學生思索。通過引導、歸納，知道只須求正幾邊形的

23、面積的極限。緊接著、提出問題：如何求不規則圖形的面積？（畫一個曲線三角形）。引導（畫一些分割線）啟發（畫一個矩形）讓學生自己動手畫一些分割線，取矩形得到一組分割圖。引導：現在無法直接計算曲線三角形的面積，但是可以學生自己會得出比較清晰的結論，從而建立“分割求和取極限”的思想。而對于極限概念就有了比較具體的影象。這里的圖例可以通過多媒體演示來完成，效果會更好，如果再有相應的課件，能夠進行計算，就很完美了。如此，學生的各方面的素質都會得到提高。對于導數的概念，定積分的概念也有同樣的思路和手段。2關于極限運算極限運算是學生熟練掌握的基本能力。這里我們要讓學生抓住問題的實質，掌握從“歸類”到“方法”的

24、正確思路。我們可以提出這樣一組計算問題，讓學生解決。求極限： limxsinxsinxsinxx-sinxlimlimlimx x0x xx x0x+sinx limxx-sinxx+sinx經過學生的計算之后，讓學生進行比較歸納，得出結論是“先進行歸類”，“再使用方法”，從而養成良好科學的解題習慣。求不定積分也是這樣。讓學生解決這樣一組計算問題，再進行比較歸納。x21x2dx 1+x2dx 1+x2dx 求不定積分： 1+x1x2(1+x2)dx 1x(1+x2)dx 1+x23關于建立數學模型，解決實際生活中的最值問題。這一方面教材中都有一些典型的例題，用來訓練和提高學生的建模思想和實際應

25、用能力。這里我們可以讓學生觀察生活中的一些最值問題，并進行分析。譬如讓學生觀察飲料瓶的底和高的比例。引導學生解決這個比例問題。發現這是一個用料最省的問題。進一步用數學思想來表達：容積一定的情況下，如何確定底高之比，使得表面積最小？進而建立函數關系，利用導數知識來最終解決這個問題。這種鍛煉既提高運用知識的能力，又培養科學的習慣，探索的精神，求知的興趣。二、評價建議（一）評價的目的評價的目的在于教學的診斷、反饋、評定和激勵。是全面考察學生的學習狀況，激勵學生的學習熱情，促進學生的全面發展。評價應全面客觀的反映教學的真實情況，為改進教學提供真實可靠的依據。（二）評價的原則1對學習過程的評價與對學習結

26、果的評價相統一的原則。既不僅要關注對學生學習結果的最后判斷，更要關注學習過程的發展、變化狀態，隨時把握它們的發展態勢，使之不斷得到調節和完善。2教師評價與學生自我評價和相互評價相統一的原則。即評價的主體應多樣化。3對學生智力因素與非智力因素評價相統一的原則。既評價的內容應是全方位，多層 10次的，既包括對學生知識、技能、能力的評價，也包括對學生態度、情感、行為等的評價。（三）評價的內容1恰當評價學生的知識和技能在評價學生的知識和技能時，應遵循課程標準的基本理念，以課程標準制訂的知識與技能目標為標準，考察學生對基礎知識和基本技能的理解和掌握程度。應該注意的是課程標準是學生學習應達到的目標，應允許

27、一部分學生經過一段時間的努力，隨著基礎知識與技能的積累逐步達到。評價應結合實際背景和問題解決的過程進行，對學生的評價應當更多的關注其對知識本身意義的理解和在理解基礎上的應用。2注重學生學習過程和學習方法的評價學習方法與學習的過程、階段、心理條件等有著密切的聯系，它不僅蘊含著對學習規律的認識，而且也反映了對學習內容理解的程度。在一定意義上，它還是一種帶有個性特征的學習風格。學習方法是學生完成學習任務的手段和途徑，是學生在獲得知識，形成能力過程中所采取的基本活動方式和思想方法。學生如何學習，遇到問題如何解，學生如何主動地吸納知識，掌握顯得極為重要。3注重評價學生的知識和技能的運用和應用能力高等職業教育的目的就是培養應用型人才。評價一個學生，不僅看他的知識量，更要看他是否能運用所學知識，解決實際問題。4重視評價學生的創新意識和創造性思維的能力高等學校的學生已具備一定的基礎知識和主動的探究意識，他們中蘊藏著極大的創造性、積極性，有待開發。在教學過程中，教師要有意識地培養學生的創新意識和創造性思維，并且注重對學生這方面的評價，以進一步推動這方面能力的發展和提高。5重視針對學生的科學素質的評價重要評價的科學素質，也就是重視對學生的科學素質的培養，有助于增強學生的求知欲、好奇心，有助于增強團隊