1、目 錄第一部分 函數圖象中點的存在性問題1.1 因動點產生的相似三角形問題 例1 2014年武漢市中考第24題例2 2013年上海市中考第24題例3 2012年蘇州市中考第29題例4 2012年黃岡市中考第25題例5 2010年義烏市中考第24題例6 2009年臨沂市中考第26題1.2 因動點產生的等腰三角形問題例1 2014年長沙市中考第第26題例2 2013年上海市虹口區中考模擬第25題例3 2012年揚州市中考第27題例4 2012年臨沂市中考第26題例5 2011年湖州市中考第24題例6 2011年鹽城市中考第28題例7 2010年南通市中考第27題1.3 因動點產生的直角三角形問題例

2、1 2014年蘇州市中考第29題例2 2013年山西省中考第26題例3 2012年廣州市中考第24題例4 2012年杭州市中考第22題例5 2011年浙江省中考第23題例6 2010年北京市中考第24題例7 2009年嘉興市中考第24題1.4 因動點產生的平行四邊形問題例1 2014年陜西省中考第24題例2 2013年上海市松江區中考模擬第24題例3 2012年福州市中考第21題例4 2012年煙臺市中考第26題例5 2011年上海市中考第24題例6 2011年江西省中考第24題例7 2010年山西省中考第26題1.5 因動點產生的梯形問題例1 2014年上海市金山區中考模擬第24題例2 20

3、12年上海市松江中考模擬第24題例3 2012年衢州市中考第24題 例4 2011年義烏市中考第24題例5 2010年杭州市中考第24題1.6 因動點產生的面積問題例1 2014年昆明市中考第23題例2 2013年蘇州市中考第29題例3 2012年菏澤市中考第21題例4 2012年河南省中考第23題例5 2011年南通市中考第28題例6 2010年廣州市中考第25題例7 2010年揚州市中考第28題1.7 因動點產生的相切問題例1 2014年上海市徐匯區中考模擬第25題例2 2013年上海市楊浦區中考模擬第25題例3 2012年河北省中考第25題 1.8 因動點產生的線段和差問題例1 2014

4、年廣州市中考第24題例2 2013年天津市中考第25題例3 2012年濱州市中考第24題例4 2012年山西省中考第26題第二部分 圖形運動中的函數關系問題2.1 由比例線段產生的函數關系問題例1 2014年上海市徐匯區中考模擬第25題例2 2013年寧波市中考第26題例3 2012年上海市徐匯區中考模擬第25題例4 2012年連云港市中考第26題2.2 由面積公式產生的函數關系問題例1 2014年黃岡市中考第25題例2 2013年菏澤市中考第21題例3 2012年廣東省中考第22題 例4 2012年河北省中考第26題 例5 2011年淮安市中考第28題例6 2011年山西省中考第26題第三部

5、分 圖形運動中的計算說理問題3.1 代數計算及通過代數計算進行說理問題例1 2014年福州市中考第22題例2 2013年南京市中考第26題例3 2013年南昌市中考第25題3.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題例1 2014年安徽省中考第23題例2 2013年上海市黃浦區中考模擬第24題例3 2013年江西省中考第24題第四部分 圖形的平移翻折與旋轉4.1圖形的平移例1 2014年江西省中考第11題4.2圖形的翻折例1 2014年上海市中考第18題例2 2014年無錫市中考第18題4.3圖形的旋轉例1 2014年上海市黃浦區中考模擬第18題例2 2014年上海市長寧區中考模擬第17題4.4三

6、角形例1 2014年泰州市中考第16題4.5四邊形例1 2014年廣州市中考第8題4.6圓例1 2014年溫州市中考第16題例2 2014年徐州市中考第17題4.7函數圖像的性質例1 2014年蘇州市中考第18題例2 2014年煙臺市中考第12題聲 明選自東師范大學出版社出版的挑戰壓軸題·中考數學:精講解讀篇（含光盤）一書。該書收錄當年全國各地具有代表性的中考數學壓軸題， 并把它們分為4部分、24小類。該書最大的特色是用幾何畫板和超級畫板做成電腦課件，并為每一題錄制了視頻講解，讓你在動態中體驗壓軸題的變與不變，獲得清晰的解題思路，完成滿分解答，拓展思維訓練。挑戰壓軸題·中考

7、數學:精講解讀篇自出版以來廣受讀者歡迎，被評為優秀暢銷圖書,成為“中考壓軸題”類第一暢銷圖書。在上海、北京、江蘇、浙江等省市的名牌初中的畢業班學生中，幾乎人手一本，成為沖刺名牌高中必備用書。由于格式問題，該書最具特色的電腦課件和視頻文件在此無法一并附上，敬請原諒。第一部分 函數圖象中點的存在性問題1.1 因動點產生的相似三角形問題 例1 2014年武漢市中考第24題如圖1，RtABC中，ACB90°，AC6 cm，BC8 cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0t2），

8、連接PQ（1）若BPQ與ABC相似，求t的值；（2）如圖2，連接AQ、CP，若AQCP，求t的值；（3）試證明：PQ的中點在ABC的一條中位線上圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“14武漢24”，拖動點P運動，可以體驗到，若BPQ可以兩次成為直角三角形，與ABC相似當AQCP時，ACQCDPPQ的中點H在ABC的中位線EF上思路點撥1BPQ與ABC有公共角，按照夾角相等，對應邊成比例，分兩種情況列方程2作PDBC于D，動點P、Q的速度，暗含了BDCQ3PQ的中點H在哪條中位線上？畫兩個不同時刻P、Q、H的位置，一目了然滿分解答（1）RtABC中，AC6，BC8，所以AB10BPQ與ABC相

9、似，存在兩種情況： 如果，那么解得t1 如果，那么解得圖3 圖4（2）作PDBC，垂足為D在RtBPD中，BP5t，cosB，所以BDBPcosB4t，PD3t當AQCP時，ACQCDP所以，即解得圖5 圖6（3）如圖4，過PQ的中點H作BC的垂線，垂足為F，交AB于E由于H是PQ的中點，HF/PD，所以F是QD的中點又因為BDCQ4t，所以BFCF因此F是BC的中點，E是AB的中點所以PQ的中點H在ABC的中位線EF上考點伸展本題情景下，如果以PQ為直徑的H與ABC的邊相切，求t的值如圖7，當H與AB相切時，QPAB，就是，如圖8，當H與BC相切時，PQBC，就是，t1如圖9，當H與AC相切

10、時，直徑，半徑等于FC4所以解得，或t0（如圖10，但是與已知0t2矛盾）圖7 圖 8 圖9 圖10例2 2013年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線yax2bx（a0）經過點A和x軸正半軸上的點B，AOBO2，AOB120°（1）求這條拋物線的表達式；（2）連結OM，求AOM的大小；（3）如果點C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點C的坐標圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在點B的右側，有兩種情況，ABC與AOM相似請打開超級畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在

11、點B的右側，有兩種情況，ABC與AOM相似點擊按鈕的左部和中部，可到達相似的準確位置。思路點撥1第（2）題把求AOM的大小，轉化為求BOM的大小2因為BOMABO30°，因此點C在點B的右側時，恰好有ABCAOM3根據夾角相等對應邊成比例，分兩種情況討論ABC與AOM相似滿分解答（1）如圖2，過點A作AHy軸，垂足為H在RtAOH中，AO2，AOH30°，所以AH1，OH所以A因為拋物線與x軸交于O、B(2,0)兩點，設yax(x2)，代入點A，可得 圖2所以拋物線的表達式為（2）由，得拋物線的頂點M的坐標為所以所以BOM30°所以AOM150°（3）由

12、A、B(2,0)、M，得，所以ABO30°，因此當點C在點B右側時，ABCAOM150°ABC與AOM相似，存在兩種情況：如圖3，當時，此時C(4,0)如圖4，當時，此時C(8,0) 圖3 圖4考點伸展在本題情境下，如果ABC與BOM相似，求點C的坐標如圖5，因為BOM是30°底角的等腰三角形，ABO30°，因此ABC也是底角為30°的等腰三角形，ABAC，根據對稱性，點C的坐標為(4,0)圖5例3 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側），與y軸的正半軸交于點C（1）

13、點B的坐標為_，點C的坐標為_（用含b的代數式表示）；（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點P到兩坐標軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B，可以體驗到，存

14、在OQAB的時刻，也存在OQAB的時刻思路點撥1第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標軸的距離相等2聯結OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經過點A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標為(b, 0)，點C的坐標為(0, )（2）如圖2，過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設點P的坐標為(x, x)如圖3，聯結OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，O

15、A1如圖4，以OA、OC為鄰邊構造矩形OAQC，那么OQCQOA當，即時，BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為()如圖5，以OC為直徑的圓與直線x1交于點Q，那么OQC90°。因此OCQQOA當時，BQAQOA此時OQB90°所以C、Q、B三點共線因此，即解得此時Q(1,4)圖4 圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據兩直角邊對應成比例確定點B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的

16、點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB4OC矛盾例4 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，

17、可以體驗到，EC與BF保持平行，但是BFC在無限遠處也不等于45°觀察右圖，可以體驗到，CBF保持45°，存在BFCBCE的時刻思路點撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作CBFEBC45°，或者作BF/EC再用含m的式子表示點F的坐標然后根據夾角相等，兩邊對應成比例列關于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當m4時，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當H落在線段EC上時，BHEH最小設對稱軸與x軸的交點

18、為P，那么因此解得所以點H的坐標為（4）如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當，即時，BCEFBC設點F的坐標為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45°交拋物線于F，過點F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F、F的坐標后，根據兩點間的距離公式求BF的長例5 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯

19、形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數式表示x2x1，并求出當S=36時點A1的坐標；（3）在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發，當點

20、Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗到，x2x1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果GAFGQE，那么GAF與GQE相似思路點撥1第（2）題用含S的代數式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數變形就可以了2第

21、（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法畫出準確的位置關系，因此本題的策略是先假設，再說理計算，后驗證3第（3）題的示意圖，不變的關系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設交點G在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當S=36時， 解得 此時點A1的坐標為（6，3）（3）設直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的G

22、AF與GQE，有一個公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3例6 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使

23、得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標,圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側”、“ P在x軸上方”和“P在A右側”，可以顯示PAM與OAC相似的三個情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，DCA的面積最大思路點撥1已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數法求解析式時，設交點

24、式比較簡便2數形結合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長3按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的 坐標（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設點P的坐標為如圖2，當點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點P的坐標為（2，1）如圖3，當點P在點A的右側時，x4，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得不合題意如圖4，當點P在點B的左側時，x1，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得此時點P與點O重合，不

25、合題意綜上所述，符合條件的 點P的坐標為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為所以因此當時，DCA的面積最大，此時點D的坐標為（2，1） 圖5 圖6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點構造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設點D的橫坐標為（m，n），那么由于，所以1.2 因動點產生的等腰三角形問題例1 2014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線yax2bxc（a、b、c是常數，a0）的對稱軸為y軸，且經過(0,0)和兩點，點P在該拋物線

26、上運動，以點P為圓心的P總經過定點A(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點P運動的過程中，P始終與x軸相交；（3）設P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點，當AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動圓心P在拋物線上運動，可以體驗到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在三種情況思路點撥1不算不知道，一算真奇妙，原來P在x軸上截得的弦長MN4是定值2等腰三角形AMN存在三種情況，其中MAMN和NANM兩種情況時，點P的縱坐標是相等的滿分解答（1）已知拋物線的頂點為(0,0)，所以yax2所以b0，c0將代入yax2

27、，得解得（舍去了負值）（2）拋物線的解析式為，設點P的坐標為已知A(0, 2)，所以而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA圓心P到x軸的距離所以在點P運動的過程中，P始終與x軸相交（3）如圖2，設MN的中點為H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3，當AMAN時，點P為原點O重合，此時點P的縱坐標為0圖2 圖3如圖4，當MAMN時，在RtAOM中，OA2，AM4，所以OM2此時xOH2所以點P的縱坐標為如圖5，當NANM時，點P的縱坐標為也為圖4 圖5考點伸展如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的P總經過定點B(0, 1)，那

28、么在點P運動的過程中，P始終與直線y1相切這是因為：設點P的坐標為已知B(0, 1)，所以而圓心P到直線y1的距離也為，所以半徑PB圓心P到直線y1的距離所以在點P運動的過程中，P始終與直線y1相切例2 2013年上海市虹口區中考模擬第25題如圖1，在RtABC中，A90°，AB6，AC8，點D為邊BC的中點，DEBC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且PDQ90°（1）求ED、EC的長；（2）若BP2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長圖1 備用圖動感體驗請打開幾何畫板文件名“13虹口25”，

29、拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，PDM與QDN保持相似觀察PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DFDP的情況請打開超級畫板文件名“13虹口25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，PDM與QDN保持相似觀察PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DFDP的情況思路點撥1第（2）題BP2分兩種情況2解第（2）題時，畫準確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關系3第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據相似三角形的傳遞性，轉化為探求等腰三角形CDQ滿分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如

30、圖2，過點D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90°，MDN90°，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當BP2，P在BM上時，PM1此時所以如圖4，當BP2，P在MB的延長線上時，PM5此時所以（3）如圖5，如圖2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90°，CDE90°，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當PDF是等腰三角形時，CDQ也是等腰三角形如圖5，當CQCD5時，QNCQCN541（如圖3所示）此時所以如圖6，當QCQD時，由，可得所以

31、QNCNCQ（如圖2所示）此時所以不存在DPDF的情況這是因為DFPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點伸展如圖6，當CDQ是等腰三角形時，根據等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解例3 2012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由圖1 動感體驗請打開

32、幾何畫板文件名“12揚州27”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，當點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小拖動點M在拋物線的對稱軸上運動，觀察MAC的三個頂點與對邊的垂直平分線的位置關系，可以看到，點M有1次機會落在AC的垂直平分線上；點A有2次機會落在MC的垂直平分線上；點C有2次機會落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點共線思路點撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時PAC的周長最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點，設ya(x1)(x3)，代入點C(0 ,

33、3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數關系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H由，BOCO，得PHBH2所以點P的坐標為(1, 2)圖2（3）點M的坐標為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點M的坐標為(1, 1)如圖4，當AMAC時，AM2AC2解方程4m210，得此時點M的坐標為

34、(1,)或(1,)如圖5，當CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)圖3 圖4 圖5例4 2012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置（1）求點B的坐標；（2）求經過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，O和B以及OB

35、的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個共同的交點，當點P運動到O與對稱軸的另一個交點時，B、O、P三點共線請打開超級畫板文件名“12臨沂26”，拖動點P，發現存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形思路點撥1用代數法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗2本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起滿分解答（1）如圖2，過點B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點B的坐標為（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設拋物線的解析式為yax(x4)，代入點B，解得所以拋

36、物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設點P的坐標為(2, y)當OPOB4時，OP216所以4+y216解得當P在時，B、O、P三點共線（如圖2）當BPBO4時，BP216所以解得當PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標為，如圖2所示圖2 圖3考點伸展如圖3，在本題中，設拋物線的頂點為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點為因此所以DOA30°，ODA120°例5 2011年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數yx7與正比例函數 的圖象交于點A，且與x軸交于點B（1）求點A和點B的坐標；（2）過點A作ACy軸于點C，過點B作直

37、線l/y軸動點P從點O出發，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點A運動；同時直線l從點B出發，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動點R由B向O運動，從圖象中可以看到，APR的面積有一個時刻等于8觀察APQ，可以體驗到，P在OC上時，只存在APAQ的情況；P在CA上時，有三個時

38、刻，APQ是等腰三角形思路點撥1把圖1復制若干個，在每一個圖形中解決一個問題2求APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能3討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況滿分解答（1）解方程組 得 所以點A的坐標是(3，4)令，得所以點B的坐標是(7，0)（2）如圖2，當P在OC上運動時，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當P在CA上運動時，APR的最大面積為6因此，當t2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P在OC上運動時的情形

39、，0t4如圖1，在AOB中，B45°，AOB45°，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如圖4，點P由O向C運動的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P在CA上運動時的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當APAQ時，解方程，得如圖6，當QPQA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當PAPQ時，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點伸展當P在CA

40、上，QPQA時，也可以用來求解例6 2010年南通市中考第27題如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數），BC8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）連結DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CEx，BFy（1）求y關于x的函數關系式； （2）若m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10南通27”，拖動點E在BC上運動，觀察y隨x變化的函數圖象，可以體驗到，y是x的二次函數，拋物線的開口向下對照圖形和圖象，可以看到，當E是BC的中點時，y取得最大值雙擊按鈕“m8”，拖動E到BC的中點

41、，可以體驗到，點F是AB的四等分點拖動點A可以改變m的值，再拖動圖象中標簽為“y隨x” 的點到射線yx上，從圖形中可以看到，此時DCEEBF思路點撥1證明DCEEBF，根據相似三角形的對應邊成比例可以得到y關于x的函數關系式2第（2）題的本質是先代入，再配方求二次函數的最值3第（3）題頭緒復雜，計算簡單，分三段表達一段是說理，如果DEF為等腰三角形，那么得到xy；一段是計算，化簡消去m，得到關于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段結合，代入求出對應的m的值滿分解答(1)因為EDC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因為CB90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y關

42、于x的函數關系為(2)如圖2，當m8時，因此當x4時，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因為DCEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（如圖3）；將xy 6代入，得m2（如圖4） 圖2 圖3 圖4考點伸展本題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關系，例如：由第（1）題得到，那么不論m為何值，當x4時，y都取得最大值對應的幾何意義是，不論AB邊為多長，當E是BC的中點時，BF都取得最大值第（2）題m8是第（1）題一般性結論的一個特殊性再如，不論m為小于8的任何值，DEF都可以成為等腰三角形，這是因為方程總有一個根的第（3）題是

43、這個一般性結論的一個特殊性1.3 因動點產生的直角三角形問題例1 2014年蘇州市中考第29題如圖1，二次函數ya(x22mx3m2)（其中a、m是常數，且a0，m0）的圖像與x軸分別交于A、B（點A位于點B的左側），與y軸交于點C(0,3)，點D在二次函數的圖像上，CD/AB，聯結AD過點A作射線AE交二次函數的圖像于點E，AB平分DAE（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設該二次函數的圖像的頂點為F探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，聯結GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數式表示該點的橫坐標

44、；如果不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14蘇州29”，拖動y軸正半軸上表示實數m的點運動，可以體驗到，點E、D、F到x軸的距離都為定值思路點撥1不算不知道，一算真奇妙通過二次函數解析式的變形，寫出點A、B、F的坐標后，點D的坐標也可以寫出來點E的縱坐標為定值是算出來的2在計算的過程中，第（1）題的結論及其變形反復用到3注意到點E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數（5，3，4），因此過點F作AD的平行線與x軸的交點，就是要求的點G滿分解答（1）將C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24

45、axm2a(xm)24，得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(m, 4)，對稱軸為直線xm所以點D的坐標為(2m,3)設點E的坐標為(x, a(xm)(x3m)如圖2，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E由于EAEDAD，所以因此所以am(x3m)1結合，于是得到x4m當x4m時，ya(xm)(x3m)5am25所以點E的坐標為(4m, 5)所以圖2 圖3（3）如圖3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知點E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3那么過點F作AD的平行線與x軸的負半軸的交點，就是符合條件的點G證明如下：作FFx軸于F，那么因此所以線段GF、AD、AE的

46、長圍成一個直角三角形此時GF4m所以GO3m，點G的坐標為(3m, 0)考點伸展第（3）題中的點G的另一種情況，就是GF為直角三角形的斜邊此時因此所以此時 例2 2013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連結BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m, 0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q（1）求點A、B、C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當點P在

47、線段EB上運動時，是否存在點Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“13山西26”，拖動點P在線段OB上運動，可以體驗到，當P運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形拖動點P在線段EB上運動，可以體驗到，DBQ和BDQ可以成為直角請打開超級畫板文件名“13山西26”，拖動點P在線段OB上運動，可以體驗到，當P運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形拖動點P在線段EB上運動，可以體驗到，DBQ和BDQ可以成為直角思路點撥1第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據MQDC列方程2第（2）題要判斷四