1、 本科畢業論文題 目: 蝴蝶定理的推廣及其猜想 院 系： 數學與信息科學學院 專 業： 數學與應用數學 姓 名： 程 瓊 學 號： 指導教師： 趙遠英 教師職稱： 講師 填寫日期： 2015年 9月 20 日摘 要數學的一門分支是混沌論。混沌論中有一個非常著名的定理蝴蝶定理。這個定理的證法多得不勝枚舉，至今仍然被數學熱愛者研究，在考試中時有出現各種變形。蝴蝶定理想象洵美，蘊理深刻，近兩百年來，關于蝴蝶定理的研究成果不斷，引起了許多中外數學家的興趣。到目前為止，關于蝴蝶定理的證明就有60多種，其中初等證法就有綜合證法、面積證法、三角證法、解析證法等。而基于蝴蝶定理的推廣與演變，能得到很多有趣與漂

2、亮的結果。關鍵詞：蝴蝶定理；研究；衍變；AbstractOne of branches of Mathematics is Choas Theory.And there is a theorem which called Butterfly Theorem is famous.There are all  kinds of methods to prove it and it is still researched by people who loves maths so much. Different forms appear in the exam. The Butterfly

3、Theorem contains beautiful imagination and profound turth, and we have gained many achievements about it since tow hundred years ago.And they are all attractive. By now, more than 60 methodsare used to prove the Butterfly Theorem, the primary methods includes Synthsis method、Area method、Triangle met

4、hod 、Analysis and so on. As the Butterfly theorem changes  and popularizes, we can get more than we think. Key Word: Butterfly theorem, Discuss, Evolve目 錄摘 要IAbstractII第一章 前言1第二章 蝴蝶定理概述2第一節 蝴蝶定理的發展2一、蝴蝶定理的產生2二、蝴蝶定理的內容2三、蝴蝶定理的發展3第三章 蝴蝶定理的證明4第一節 運用簡單幾何知識的巧妙證明4一、帶有輔助線的常見蝴蝶定理證明4二、不使用輔助線的證

5、明方法6第二節 運用解析幾何的知識證明8一、函數圖像法8二、函數解析法9第四章 蝴蝶定理的推廣與猜想9第一節 蝴蝶定理的推廣9一、橢圓定理11二、曲線推廣13第二節 蝴蝶定理的猜想14一、猜想一14二、猜想二14三、猜想三15四、結論16第五章 結束語17致謝18參考文獻19第一章 前言蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典歐式平面幾何的最精彩的結果之一。這個命題最早出現在1815年，而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在美國數學月刊1944年2月號，題目的圖形象一只蝴蝶。這個定理的證法多得不勝枚舉，至今仍然被數學熱愛者研究，在考試中時有出現各種變形。這個命題最早作為一個征解問題出現

6、在公元1815年英國的一本雜志男士日記（Gentleman's Diary）39-40頁上。登出的當年,英國一個自學成才的中學數學教師W.G.霍納（他發明了多項式方程近似根的霍納法）給出了第一個證明，完全是初等的；另一個證明由理查德·泰勒（Richard Taylor）給出。另外一種早期的證明由M.布蘭德（Miles Bland）在幾何問題（1827年）一書中給出。最為簡潔的證法是射影幾何的證法，由英國的J·開世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中譯：近世幾何

7、學初編，李儼譯，上海商務印書館 1956 ）給出，只有一句話，用的是線束的交比。1981年，Crux雜志刊登了K.薩蒂亞納拉亞納（Kesirajn Satyanarayana）用解析幾何的一種比較簡單的方法（利用直線束，二次曲線束）。關于蝴蝶定理的證明，出現過許多優美奇特的解法，并且知道現在還有很大的研究價值。其中最早的，應首推霍納在1815年所給出的證法。至于初等數學的證法，在國外資料中，一般都認為是由一位中學教師斯特溫首先提出的，它使用的是面積證法。1985年，在河南省數學教師創刊號上，杜錫錄老師以平面幾何中的名題及其妙解為題，載文向國內介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理在神州大地到處傳開在20世

8、紀20年代時，蝴蝶定理作為一道幾何題傳到我國中學數學界，嚴濟慈教授在幾何證題法中有構思奇巧的證明。如可將蝴蝶定理中的圓“壓縮變換”為橢圓，甚至變為雙曲線、拋物線、箏形、凸四邊形、兩直線，都依然成立。另外，如果將蝴蝶定理中的條件一般化，即M點不再是中點，能得到坎迪定理、若M、N點是AB的三等分點，兩次應用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。第二章 蝴蝶定理概述數學的一門分支是混沌論。混沌論中有一個非常著名的定理蝴蝶定理。它是說，一些最輕微的因素，能夠在復雜的環境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶輕輕地扇動美麗的翅膀，那微小的氣流，已足已引起北半球的颶風和海嘯。他的產生和發展對數學界來說，

9、美麗而又洵美。第一節：蝴蝶定理的發展對美的向往，是人類的共同追求，對美的熱愛，總能夠激起人類的內心需求，蝴蝶定理，把平面的圖形中最完美的圖形圓和大自然生命中的精靈蝴蝶和諧地統一在一起，使大家恍惚置身于美麗的田園、清澈的山水之間，身心得到預約的享受。一、蝴蝶定理的產生蝴蝶定理最先是作為一個征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志男士日記上。由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。二、蝴蝶定理的內容定理內容：圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。如圖,過圓中弦AB的中點作M引任意兩弦CD和EF,連結CF和ED,分別交AB于P

10、、Q，則PMQM 由于此圖形似只蝴蝶飛舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。此定理早在1815年在英國雜志男士日記上見刊，征求證明，有意思的是，遲到1972年以前，人們的證明都并非初等，且十分繁瑣。然近些年來，證明者不乏其人，使得這只翩翩起舞的蝴蝶棲止不定，變化多端。三、蝴蝶定理的發展在國外資料中，一般都認為是由一位中學教師斯特溫首先提出的，它給予出的是面積證法，其中應用了面積公式：S=1/2 BCSINA。1969年，查克里恩從訂立的定理考慮，給出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性質的凸閉曲線必定是橢圓。1985年，在河南省數學教師創刊號上，杜錫錄同志以平面幾何中的名題及其妙解為題，載文

11、向國內介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理在神州大地到處傳開。接著，中國科學院成都分院的楊路教授在論文中指出：將蝴蝶定理的弦AB的中點M推廣到弦AB上任一點，有蝴蝶定理的坎迪形式。同年，我國數學教育者馬明在論文中指出，將蝴蝶定理弦AB上的M點，拓廣到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之處。接下來，蝴蝶定理的研究出現了一個高潮，人們發現，不僅僅是圓，任何二次曲線中蝴蝶定理都有適用的形式，例如，橢圓中的蝴蝶定理。1990年，出現了箏形蝴蝶定理，并發現，蝴蝶定理在退化的二次曲線中仍然適用。關于蝴蝶定理的證明，僅在初等幾何的范圍內，就有多達50多種證法，譬如綜合法、面積法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法

12、等等。第三章 蝴蝶定理的證明第一節：運用簡單幾何知識的巧妙證明蝴蝶定理經常在初中和高中的試卷中出現，于是涌現了很多利用中學簡單幾何方法完成蝴蝶定理的方法。一、帶有輔助線的常見蝴蝶定理證明在蝴蝶定理的證明中有各種奇妙的輔助線，同時誕生了各種美妙的思想，蝴蝶定理在這些輔助線的幫助下，翩翩起舞！證法1：如圖1（證POMQOM）      作CF、DE的弦心距OG、OH，連OM，則OMAB且OGPM四點共圓。    POMPGM。同理，QOMQHM    MFCMDE，MFFCMDDE  &#

13、160; MF2FGMD2DH，MFFGMDDH FD    MFGMDH，MGFMHD 由得：POMQOM  PMQM證法2：如圖2（作PMDQMD） 作C關于直線OM的對稱點C連CM交O于D，則AC弧BC弧，MDMD，   PMDQMD CPM0.5AF弧0.5BCC弧0.5AF弧0.5AC弧0.5CC弧0.5FCC弧FDM   從而PFDM四點共圓。PDMPFMD在PDM與QDM中 PDMD  MDMD PMDQMDPMDQMDPMQM證法3 如圖4，設直線與交于點。對及截線，及截線分別應用梅涅勞斯

14、定理，有 ，由上述兩式相乘，并注意到 得 化簡上式后得。2二、不使用輔助線的證明方法單純的利用三角函數也可以完成蝴蝶定理的證明。證法4：如圖3（梅氏定理證法） 延長CF、ED相交于G點。   直線CD截三角形GPQ三邊于C、M、D三點 ××=1(1) 直線EF 截GPQ三遍與PME三點 ××=1(2)GFGC=GDGE.CPFP=APBP.QEQD=BQAQ(3)(3)代入（1）×（2）得=1，設MB=MA=a化簡得MP=MQ 證法 5 （如圖5） 令，以點為視點，對和分別應用張角定理，有上述兩式相減，得設分別為的中點，由，

15、有于是 ，而，知，故。第二節：運用解析幾何的知識證明在數學中用函數的方法解決幾何問題也是非常重要的方法，所以解析幾何上夜出現了許多漂亮的證明蝴蝶定理的方法，以下列出幾個例子以供參考。一、函數圖像法圖象法的優點： 能直觀形象的表示出函數的變化情況。證法 6 如圖6，建立直角坐標系，則圓的方程可設為。直線的方程為，直線的方程為。由于圓和兩相交直線組成了二次曲線系，其方程為令，知點和點的橫坐標滿足二次方程，由于的系數為，則兩根和之和為，即，故。5二、函數解析法解析法的優點：1.函數關系清楚; 2.容易從自變量的值求出其對應的函數值； 3.便于研究函數的性質。證法 7 如圖7建立平面直角坐標系，則圓的

16、方程可寫為直線、的方程可寫為,。又設的坐標為，則分別是二次方程的一根。在軸上的截距為同理，在軸上的截距為。注意到是方程的兩根，是方程的兩根，所以，從而易得 ，即。4證法 8 如圖8，以為極點，為極軸建立極坐標系。因三點共線，令，則 作于，作于。注意到 由與可得 將代入可得，即。第四章 蝴蝶定理的推廣和猜想第一節：蝴蝶定理的推廣一、橢圓定理如圖，已知橢圓的長軸與軸平行，短軸在軸上，中心（）寫出橢圓方程并求出焦點坐標和離心率；（）設直線與橢圓交于，（），直線與橢圓次于，（）求證：；（）對于（）中的在，設交軸于點，交軸于點，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）618本小主要考查直線、橢圓和雙曲線

17、等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.滿分15分. （）解：橢圓方程為 焦點坐標為， 離心率（）證明：證明：將直線CD的方程代入橢圓方程，得 整理得： 根據韋達定理，得： ， 所以 將直線GH的方程代入橢圓方程，同理可得 由 、得 = 所以結論成立（）證明：設點P，點Q 由C、P、H共線，得 解得 由D、Q、G共線， 同理可得 由 = 變形得 = 所以 即 2二、曲線推廣通過射影幾何，我們可以非常容易的將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線（包括橢圓，雙曲線，拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況）。圓錐曲線C上弦PQ的中點為M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為X

18、Y之中點。而通過投影變換可以非常容易證明這個定理。射影幾何里面關于投影變換有一個重要結論，對于平面上任意兩個圓錐曲線C1,C2.任意指定C1內部一個點A1和C1上面一個點B1,另外任意指定C2內部一個點A2和C2上面一個點B2,存在一個唯一投影變換將曲線C1變換到C2而且A1變換到A2,B1變換到B2.由此對于本題，我們可以通過投影變換將C1變換成一個圓M，而將弦PQ的中點M變換成這個圓的圓心。在此變換以后，弦AB和CD都是圓M的直徑而且四邊形ACBD是圓M內接矩形，PQ也是一條直徑，有對稱性顯然得出投影變換后M為X,Y的中點。又因為變換前后M都是線段PQ的中點，我們可以得出在直線PQ上這個變

19、換是仿射變換，所以變換前M也是XY的中點。3第二節：蝴蝶定理的猜想一、猜想1在蝴蝶定理中, 顯然 OM是 AB的垂線 (O是圓心) , 那么, 我們可以猜想,如果在保持 OM AB的前提下將圓 O的弦 AB移至圓外, 仍可能會有 PM =QM .推論1 已知直線 AB與 O相離. OM AB, M 為垂足. 過 M作 O任意兩條割線 MC, M E分別交 O于 C, D和 E, F. 連結DE,FC并延長分別交 AB 于 P, Q. 求證: PM = QM.證明：過 F作 FKAB, 交直線 OM于 N,交 O于 K .連結 M K交 O于 G. 連結 GQ, GC. 由于 ON FK,故有

20、FN = KN,從而M F =M K(因為M在 FK的垂直平分線上) .又由割線定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. 又由 FMN = KMN, OM AB,知EM P = GMQ. 從 CQM = CFK = CGK知 CGM +CQM= 180° , 從而 G,M, Q, C四點共圓. 所以 MGQ =MCQ.又由于 M EP = DEF = DCF = MCQ, 知M EP = MGQ. 由 、 、 知 PM E QMG.所以 PM = QM. 3二、猜想2猜想：既然蝴蝶定理對于雙曲線是成立的, 而雙曲線是兩條不相交的曲線, 那

21、么, 我們可以猜想,如果把兩條不相交的曲線換成兩條不相交的直線 (也即是兩條平行線) , 仍可能會有 PM = QM .推論 2 設點 A、 B分別在兩條平行線 l 1、 l 2上,過AB的中點M任意作兩條直線 CD和 EF分別交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 連結 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求證: PM =QM.證明：由于 l 1 l 2 ,M 平分AB, 從而利用 MACMBD知M平分 CD, 利用 MAEMBF知 M平分 EF.在四邊形 CEDF中, 由對角線相互平分知 CEDF是平行四邊形,從而 DE CF. 又由于 M平分 EF,故利用 M EP M FQ知 P

22、M = QM。3三、猜想3 在蝴蝶定理中, P、 Q分別是 ED、 CF和AB的交點. 如果 P、 Q分別是 CE、 DF和AB延長線的交點,我們猜想可能會有PM = QM推論 1過圓的弦 AB的中點M引任意兩條弦 CD與 EF, 連結 CE、 DF并延長交 AB的延長線于 P、 Q. 求證: PM = QM.證明;設AM =BM = a, PM = x,QM = y ;PM E = QM F =,PCM = DFM = ;CM E = DM F =,QDM = CEM = ;記 PM E, QM F,PMC, QMD的面積分別為 S1 , S2 , S3 , S4.則由恒等式S2·

23、S3·S4·S1= 1知M P·M Esin MQ·M Fsin · FQ·FM sin ( - )CP·CM sin ··MCsin (+)·MD sin (+)· DQ·DM sin EP·EM sin ( - )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. 又由割線定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a

24、) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a 0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.5四、結論從本質上說，蝴蝶定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況，它具有多種形式的推廣：1. M，作為圓內弦是不必要的，可以移到圓外。2 .圓可以改為任意二次曲線。3. 將圓變為一個完全四角形，M為對角線交點。4. 去掉中點的條件，結論變為一個一般關于有向線段的比例式，這對2，3均成立正是由于它證法的多樣性，蝴蝶定理至今仍然被數學熱愛者研究，時有出現各種變形的題目，不僅僅是在競賽中，甚至出現在2003年的北京高考題中。但只要思想得當，證明出來也是比較自然的事。第五章 結束語 數學名題總能因其數學美而激發研究者、學習者的興趣，就如蝴蝶定理，蝴蝶定理這一古老的命題，已經繁衍出了一系列結論，成為一個龐大的蝴蝶家族，蝴蝶定理把平面圖形中的圓與蝴蝶和諧統一在一起，蝴蝶定理的這一演變推廣不僅發展了蝴蝶定理在一