1、1. 兒童學習數學就是學習數數和加減嗎？ 經常在公共汽車上看見一些年輕的媽媽，在耐心地教孩子學數學。然而仔細聽來，她們的方法無非就是不斷重復地問孩子：“1加3等于幾啊？2加2等于幾啊？”遇到這樣的情景，我總會不由得對這樣的家長搖搖頭。其實，也怪不得這些家長。我們每個人都經受了十幾年的教育，也學了十幾年的數學。然而，在很多人的心目中，數學無非就是計算。因此，教孩子數數以及簡單的加減運算似乎也在情理之中了。這不禁令人想起2002年8月，在北京召開世界數學家大會期間，我國著名數學家陳省身先生曾對記者說過，我們每個人一生中都接受了十幾年的數學教育，然而很多人卻只是學會了計算，而沒有理解什么是真正的數學

2、。那么，數學究竟是什么？簡單地說，數學是一種思維方式，是一種“數學化”的思維方式。數學的魅力，不僅僅在于它的精確計算，而在于它是一種思維方式?它把具體問題上升為抽象的數學問題，再通過解決抽象的數學問題，將其應用到具體的問題解決中。這個過程也被稱為“數學建模”。因此有人提出，數學思維就是一種模式化的思維方式，數學就是關于“模式”的科學。舉例而言，兩個人要平分一堆（10塊）糖果，可以采用不同的方法：我們可以通過“嘗試錯誤”的方法，先把糖果分成兩份，然后比較它們的多少并作調整，直到看不出誰多誰少為止；我們也可以一塊一塊地輪流分給兩個人，這樣可以保證兩個人分到的一樣多但是若借助于數學這個工具，我們則可

3、以脫離具體的情節來解決一個抽象的數學問題（10的一半是多少），然后將結果應用于這個具體的問題，最終解決這個實際問題。總之，數學知識具有兩方面的特點：一方面，數學具有抽象性，它不同于具體的事物，而是從具體的事物中抽象而來；另一方面，數學又具有現實的有效性，它能夠解決實際的問題。兒童學習數學，其意義決不在于簡單的數數和計算。他們所獲取的數學知識是有限的，但數學對兒童思維方式的訓練卻是其它任何學習所不具備的：由于數學本身就是抽象的過程，學習數學實質上就是學習思維，特別是抽象邏輯思維的方法。同時，數學還能夠培養幼兒解決問題的能力，特別是用數學方法解決問題的能力。“數學是思維的體操。”讓我們和孩子一起在

4、數學的世界中遨游，享受數學給我們帶來的獨特魅力吧！2.學前兒童可以學習哪些數學內容？當我們說到數學的時候，往往就把它和“數”聯系在一起。固然，數和運算是數學的重要內容。但是除此之外，學前兒童學習的數學內容還很多呢！恩格斯說過，“數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。”現實生活中普遍存在的數、量、形，都可以成為學前兒童學習的數學內容。除此之外，由于學前兒童的數學學習和他們的邏輯思維發展密不可分，我們也將數理邏輯經驗作為數學學習內容的一部分。本書中，我們將學前兒童數學學習的內容大致分為以下三個部分：“數和量”、“幾何與空間”、“數理邏輯經驗”。“數和量”部分的學習內容主要包括?10以內自然

5、數的認識；10以內數的加減運算；各種連續量的差異比較和簡單計量。“幾何與空間”部分的學習內容主要包括?常見幾何圖形的辨認；空間方位和空間關系的認識。“數理邏輯經驗”部分的學習內容主要包括?兩個集合中元素的一一對應關系及對應活動；序列關系及排序活動；類包含關系及分類活動；各種守恒關系及相關經驗。各部分的具體學習內容及指導方法將在后面詳細介紹。3.數學能夠開發兒童的智力嗎？回答是肯定的。數學本身具有邏輯性和抽象性的特點，因此它對于兒童抽象邏輯思維能力的發展，具有獨特的促進作用。前面提到，數學是一種獨特的思維方式。這種思維方式的特點就是將具體的問題歸結為模式化的數學問題，并用數學的方法尋求解決。它將

6、具體的事物和問題加以模式化，使之成為抽象的問題。它幫助我們透過具體的、表面的現象，揭示事物的本質的、共同的特征。因此，兒童學習用數學的方法解決問題，就是學習一種抽象的思維方法。數學也是人類的一種獨特的語言。這種語言完全不同于其他的表達方式。比如，文字的語言講求意義的明了，藝術的語言講求意境的深遠，而數學的語言則講求簡練和邏輯。數學以簡單的符號代替復雜的事物，以抽象的邏輯推理代替具體的關系。一個簡單的數字“1”或算式“11=2”可以表示許許多多的具體含義，而“如果ab，bc，則ac”的式子，則完全是在抽象層次上的邏輯推理，而隱含了具體事物之間的比較。數學語言的抽象性和邏輯性，同樣也給兒童一種抽象

7、邏輯思維的鍛煉。學前兒童思維發展的特點是：具體形象思維逐漸取代直覺行動思維而成為占主導地位的思維方式特點，同時抽象邏輯思維開始萌芽。也就是說，學前兒童（特別是幼兒園階段）的思維雖然還不能完全擺脫具體的動作和形象的束縛，但已經開始了向抽象邏輯思維過渡的漫長時期。對于某些具體的問題或情境，兒童已能夠用邏輯的方法進行思考和推理，而且也能概括出具體事物的共同特征，進行初步的抽象。這說明學前兒童已具有發展初步的抽象邏輯思維的可能性，或者說，他們已具有學習數學的心理準備。反過來，早期的數學學習又能促進兒童抽象邏輯思維的發展，幫助其思維方式實現從具體到抽象的過渡。以兒童學習“數的組成”為例。老師為了讓6歲的

8、兒童理解“5可以分成幾和幾”，就請他們嘗試把5只蘋果分給爺爺和奶奶，看看有哪些不同的分法。起初，很多兒童都感到為難，因為5只蘋果無法平均分配，于是就分給爺爺和奶奶各2只，還剩1只則放在一邊。兒童不是考慮自己有沒有“把5分成兩份”，而是關心自己分得是否公平。顯然，他們沒有認識到這是一個數學問題，而是把它當做一個真實的問題。因此就不關心一個數學問題必須遵守的邏輯規則?即“把5分成兩份”，既不是把4只蘋果分成兩份，也不是把5分成3份，更不是追求一種公平或平等。通過成人的引導，兒童才能慢慢接受這個數學問題，學會用數學的邏輯來解決問題。兒童思維的抽象性也在數學學習中逐漸發展起來。同樣是“數的組成”的學習

9、，兒童都必須經歷一個從具體到抽象的過程。起初兒童在分5個蘋果、5個梨子、5個玩具，他們把這些具體的操作都看成孤立的、不同的事情，而沒有看到它們在本質上的共同點。在進行了一段時間的操作練習以后，兒童突然發現，分5個蘋果和分5個梨子的結果是一樣的，因為“它們都是分5”。再以后，只要遇到是分5個東西，兒童都知道怎樣分了。在這個過程中，兒童不僅理解了數的組成的抽象含義，而且也發展了初步的抽象思維的能力。國內外很多心理與教育的實驗和實踐都證實，早期的數學教育能夠促進兒童的初步抽象思維能力和邏輯推理能力的發展。可以說，在兒童的早期階段，沒有什么內容比數學更能發展兒童的抽象邏輯思維。4.兒童學習數學靠的是“

10、記性”嗎？有些家長簡單地認為兒童學習數學靠的是“記性”。但事實并非如此。曾有一位三歲孩子的家長問我，為什么自己的孩子數數時總是亂數，他教了很多次也沒有用；還有一位四歲孩子的家長問我：“為什么我的孩子記性那么差？我給他講過很多遍，他還是記不住這些加減題？”那么，兒童究竟是怎樣理解數學知識的呢？要回答這個問題，我們必須了解數學究竟是一種什么樣的知識。下面就讓我們來分析一下這些在成人看來再簡單不過的數學吧：首先，數是什么？自然數的序列?1、2、3、4、5看似一組需要幼兒記住的順序，實質蘊涵了很多邏輯的關系。如前后數之間存在著遞增的序列關系，每個數都比前面的數大又比后面的數小，而且這種序列關系是可以傳

11、遞的，也就是說即使不相鄰的數我們也可以根據其在數序中的位置判斷其大小關系。再如，數序中也蘊涵著包含關系，每個數都包含了它前面的數，同時也被它后面的數所包含，5包含了1、2、3、4，6又包含了5對幼兒來說，他們認識的1，2，3，4絕不是一些具體事物的名稱，也不是這些具體事物本身所具有的特征，而是對事物之間關系的一種抽象。即使是最簡單的數，也具有抽象的意義。比如“1”，它可以表示1個人、1條狗、1輛汽車、1個小圓片任何數量是“1”的物體。又如5只桔子，它是對一堆桔子的數量特征的抽象，和這些桔子的大小、顏色、酸甜無關，也和它們的排列方式無關：無論是橫著排、豎著排，或是排成圈，它們都是5個。因此，幼兒

12、對數的認識就不像對大小、顏色的認識那樣可以通過直接的感知獲得，而要通過一個抽象的過程。5個桔子中的每一個桔子，都不具有“5”的性質，相反，“5”這一數量屬性也不存在于任何一個桔子中，而存在于它們的相互關系中它們構成了一個數量為“5”的整體。兒童對于這一知識的獲得，也不是通過直接的感知，而是通過一系列動作的協調，具體說就是“點”的動作和“數”的動作之間的協調。首先，他必須使手點的動作和口頭數數的動作相對應。其次是序的協調，他口中數的數應該是有序的，而點物的動作也應該是連續而有序的，既不能遺漏，也不能重復。最后，他還要將所有的動作合在一起，才能得到物體的總數。由此看來，幼兒會數數只是一個表面現象，

13、在這背后，是幼兒的對應、序列、包含等邏輯觀念和抽象思維能力的發展。只有理解了這些邏輯觀念，幼兒才能正確地計數。再經過無數次具體的計數經驗，幼兒對數的理解逐漸脫離具體的事物，最終達到抽象的理解。再來看看數的加減。同樣地，加減運算也不可能通過記憶來學習，因為它需要幼兒對三個數之間的邏輯關系獲得一種真正的理解，也就是說，幼兒要真正認識到加減就是將兩個部分合并成一個整體或從整體中去掉一個部分的運算。幼兒在四歲左右能夠借助于具體的實物和動作的擺弄來理解其中的加減關系，但要在抽象的數字層面進行加減運算，就必須要在頭腦中建立起抽象的類包含的邏輯關系。而這則要到六七歲才能發展起來。所以我們就不難理解為什么有的

14、幼兒對于具體的問題（如“三塊糖加三塊糖是多少”）能夠解決，而面對抽象的問題（如“3+3=?”）就無能為力了。和數數及加減一樣，其他的數學知識也都是一種邏輯知識。對于學前兒童來說，抽象的邏輯知識的獲得決不是一個簡單的記憶過程，而是一個漫長的過程?在這個過程，兒童對數學知識的理解逐步擺脫具體事物的束縛并達到抽象的層次。5.兒童是怎樣理解抽象的數學知識的？我們認識到，數學知識具有抽象性和邏輯性的特點，兒童要能理解這些具有抽象意義的數學知識，必須具備一定的邏輯觀念的基礎。那么，這些邏輯觀念又是從哪里來的呢？心理學的研究告訴我們，兒童的思維起源于動作。抽象水平的邏輯來自于對動作水平的邏輯的概括和內化。兒

15、童在兩歲前，就已具備了在動作層次解決實際問題的能力。但是，要在頭腦中完全達到一種邏輯的思考，則是在大約十年以后。之所以需要這么長的時間，是因為兒童要在頭腦中重新建構一個抽象的邏輯。這不僅需要將動作內化于頭腦中，還要能將這些內化了的動作在頭腦中自如地加以逆轉，即達到一種可逆性。這對兒童來說，不是一件容易的事情。舉一個簡單的例子，如果我們讓一個成人講述他是怎樣爬行的，他未必能準確地回答，盡管爬行的動作對他來說并不困難。他需要一邊爬行，一邊反省自己的動作，將這些動作內化于頭腦中，并在頭腦中將這些動作按一定的順序組合起來，才能概括成一個抽象的認識。兒童的抽象邏輯的建構過程就類似于此，但他們所面臨的困難

16、比成人更大。因為在幼兒的頭腦中，還沒有形成一個內化的、可逆的運算結構。所以他們的思維具有外化的、動作的特點。而抽象的邏輯思維，則是通過對這些動作的內化而獲得的。這里要特別提出的是，我們通常以為，抽象邏輯思維是在具體形象思維基礎上發展起來的，所以具體形象對于邏輯思維特別是幼兒的邏輯思維是很重要的。事實上，我們承認幼兒的邏輯思維對具體事物的依賴性，并不是說幼兒的抽象邏輯思維是借助于具體事物的形象和頭腦中的心理表象發展起來的。雖然心理表象在幼兒的邏輯思維中起重要的作用，但兒童的邏輯思維并不是表象的產物。心理學家皮亞杰的研究指出，幼兒時期的心理表象幾乎完全是靜態的表象，而沒有動態的表象。這恰恰是因為，

17、幼兒還不能將一個動作完整地內化于頭腦中，而只能在頭腦中保持一些靜止的圖象。顯然，這些靜止的圖象并不能導致兒童的邏輯思維的產生。況且，我們還會發現，幼兒所反映出的事物表象往往是不精確的甚至是錯誤的。比如，皮亞杰曾發現，在讓幼兒畫出一個傾斜45度的杯子的水面時，他們不是畫得和水平面平行，而是和杯底平行。再如，尚未達到數目守恒的幼兒對兩排一樣多但所占空間懸殊的物體，也容易形成錯誤的表象。這些都說明幼兒的表象是受其思維影響的，沒有理解就不會產生正確的心理表象。總結以上的觀點，兒童的抽象邏輯思維，是在具體動作的基礎上發展起來的。同樣，兒童對抽象的數學知識的理解，也要經歷一個從動作性學習到抽象化理解的發展

18、過程。這從兒童學數數的過程就可以明顯地看出來：兒童先要進行“點數”，然后才過渡到“默數”的階段。6.兒童學習數學有什么好方法？認識到動作對學前兒童邏輯思維發展以及數學學習的重要性，我們就能夠理解兒童學習數學的很多現象，如為什么他們要掐著手指做算術，卻不能在頭腦中進行抽象的計算。事實上，如果說兒童學習數學有什么好方法的話，那就是?“操作式的學習”。所謂操作式的學習，就是指兒童動手操作，通過與材料的相互作用過程中進行探索和學習，獲得數學經驗和邏輯知識的方法。前面我們提到，兒童抽象邏輯思維的發展依賴于具體的動作。而在具體的動作中，兒童可以積累豐富的邏輯經驗，這是其抽象邏輯思維發展的基礎。我們還是以數

19、目的比較為例。如果我們問一個四歲孩子：“五個多還是六個多？”我們得到的答案往往會很失望，孩子也許剛剛說是六個多，一會兒又會回答五個多了。這說明他還不具備在頭腦中對這兩個數目進行抽象比較的能力。在這個年齡，他要能做到在頭腦中呈現出五個或六個物體的具體表象就已經很不錯了，再要讓他在頭腦中比較這兩組物體的多少則是一件很困難的事情。可是，如果在動作的水平上就不一樣了。兒童可以把兩組物體分別排成一排，并且通過一一對應的方法，來比較出誰多誰少。這就容易得多。心理學告訴我們，動作水平的操作是兒童抽象邏輯思維發展的途徑。兒童在操作活動中，可以獲得對應、多少等邏輯的經驗，這些邏輯經驗起初依賴于具體的、外在的動作

20、，逐漸發展到擺脫具體的動作而成為一種內化的動作，也就是在頭腦中對這些物體的表象進行對應、比較等邏輯操作，最終發展成為一種完全抽象的邏輯關系。當然，這個過程是極為漫長的。而學前兒童尚處在動作學習的水平，其內化過程還遠沒有完成。因此，對學前兒童來說，他們需要在動作的水平上即通過操作活動來學習數學。7.家庭中教兒童學習數學要注意哪些問題？對家長來說，對孩子進行數學教育既要考慮到兒童思維發展的特點和數學學科知識的特點，又要充分利用家庭生活的優勢。而樹立以下三個觀念對家長來說至關重要：第一，邏輯觀念的重要性遠甚于數字的記憶。不必擔心幼兒不會數數、不會計算，這都是由于他們還沒有獲得相應的邏輯觀念。家長與其

21、讓幼兒死記硬背那些無法理解的數學，不如給幼兒提供有價值的邏輯經驗。如，配對的活動可以發展幼兒的對應觀念，排序的活動可以發展幼兒的序列觀念，分類的活動可以發展幼兒的包含觀念，等等。這些看起來和數學無關，卻是幼兒學習數學所必備的基礎。第二，立足具體經驗，指向抽象概念。數學的本質在于抽象。但是幼兒的抽象數學概念不是憑空而來的，它必須建立在具體的經驗基礎之上。所以不要急于讓幼兒進行抽象的符號化的數學運算，而要充分利用具體的實物，讓幼兒獲取數學經驗。當幼兒有了豐富的數學經驗之后，即便大人不教，他們也會舉一反三。如幼兒經常有平分物體的經驗（分蛋糕、分糖塊、分蘋果等），他就很容易理解數學中的“二等分”的概念

22、。遇到其它類似的問題，他也會主動遷移自己的知識。在幼兒階段，不應強求計算的速度，而要注重給幼兒豐富的經驗。第三，生活是幼兒數學知識的源泉。幼兒的數學知識來源于他的實際生活。幼兒在生活中遇到的是真實、具體的問題，真正是他“自己”的問題，因而最容易被幼兒所理解，解決起來也比大人給他的那些問題容易得多。同時，當幼兒真正有意識地用數學方法解決生活中的問題時，他們對數學的應用性也會有更直接的體驗，從而真正理解數學和生活的關系。例如，數字可以表示什么意思？面對抽象的數字符號，幼兒很難理解“數字就是表示多少”。但我們可以和孩子一起去尋找：生活中哪里有數字？它們表示什么？這樣幼兒就很會得到很多具體而豐富的認識

23、。 8.我孩子的數學能力為什么會比同齡的孩子差？ 很多家長會因為自己孩子“數學能力差”而苦惱。他們會因此而給孩子“補課”，但往往又發現，自己怎么教都教不會孩子！應該承認，這樣的現象確實存在。從兒童發展的整體來看，個別差異的存在顯然是一個正常現象。而在數學學習領域，這種個別差異性似乎表現得更為明顯。這是為什么呢？我們認為，這和數學知識的特點是分不開的。如前所述，兒童的數學學習和他的邏輯思維能力發展的關系密切。換言之，數學這個學習領域也就最容易表現出兒童思維發展水平的個別差異。因此我們就會看到，即使是年齡相仿的兩個孩子，他們的數學能力也會有差異。如果自己的孩子數學能力“差”，作為家長應該怎么辦呢？

24、請注意：在這里我們給“差”加了引號！之所以這樣做是因為，我們認為兒童數學能力在發展過程中所表現出來的“差”，并不能簡單地斷定他就一定是“差”，更不能給他貼上一個“數學能力差”的標簽。否則，不僅對孩子的發展不利，對家長的心態也不利。作為家長，應該認識到：每個孩子數學能力的發展，都遵循著同樣的規律和步驟，即從動作水平的操作到抽象水平的運算。而在發展的具體過程中，則會表現出一定的差異，即有的孩子需要比別人更長的時間的時間來實現這一“飛躍”。對于這樣的孩子，用“拔苗助長”的方法顯然是不能奏效的，反過來，成人應該采取承認、跟隨和等待的策略。具體地說：首先，承認孩子的發展水平。有的家長看到別的孩子能夠算“

25、幾加幾”，而自己的孩子卻還要借助于手指，就覺得很惱火，甚至粗暴地阻止孩子用手指算，這樣做是不合適的。事實上，孩子這樣做，恰恰說明他的發展水平還處在一個依賴于動作的階段。其次，跟隨孩子的發展過程。也就是要提供適合孩子現有水平的學習內容和學習方式，并密切注意其發展的表現。在適當的時候，我們可以向孩子提出更高的要求。最后，我們還應該擁有一份等待的心情。要相信，數學不是教會的，而是孩子自己的“發明”。我們的任務是為他們創設適宜性的學習和發展環境，等待他們的發展。按照心理學家皮亞杰的觀點，兒童在較低的發展水平上停留較多的時間并不是一件壞事。它可以給孩子提供更多的具體經驗，使得他今后的發展建立在更為堅實的

26、基礎之上。9. 怎樣發現孩子是否具有數學方面的潛能？我們常常聽到家長或老師報告，某某孩子的數學能力超群。真的有這樣的事情嗎？不可否認，會有少數數學能力超常的孩子存在。事實上，每個孩子都是一個獨特的個體，有其獨特的發展表現。兒童之間的個別差異，既表現為發展速度和水平上的差異，也表現為發展的優勢領域不同。有的孩子具有較好的數理邏輯能力，也有的孩子具有較強的空間方位能力，還有的孩子具有人際交往方面的天賦，等等。這正是每個人的獨特性所在。只是由于我們的文化較多關注人們的數理邏輯能力，所以才導致具有這方面能力傾向的孩子被貼上“聰明”的標簽。在我們這個重視“數理邏輯能力”的文化背景下，幾乎每個家長都希望自

27、己的孩子具有較好的數學能力，希望知道自己的孩子究竟是不是具有數學方面的潛能。那究竟應該如何看待數學潛能的問題呢？首先，應該以一種“平常心”來看待兒童的數學潛能。如果把所以的兒童看成是一個整體的話，那些“不教自會”的“數學超常”的孩子只是其中很少一部分。而對于絕大多數孩子來說，他們也同樣具有發展的潛能。其次，要用科學的方法來發現和鑒別“數學超常”的孩子。不能僅僅憑這個孩子會算很多題目就斷定他的數學能力超常，事實上這樣的孩子很可能是父母教出來的。而對于那些父母沒有教過的問題，他們的反應和平常孩子并沒有什么兩樣。我們所指的具有超常數學能力的孩子，通常具有一種對邏輯關系的敏感性，以及較強的抽象能力。他

28、們能夠很快地領悟事物之間的邏輯或數學關系，并進行抽象的思考。而這種能力是很難直接教會的。第三，對于數學能力超常的孩子，我們要為他們提供適宜的學習環境，以促進其進一步發展，同時也要關注其非智力因素的協調發展。既要為他們提供需要抽象思考的具有挑戰性的問題，又要幫助他們體會到數學的樂趣在于不斷地思考，避免他們產生一種智力上的優越感。10. 為什么我的孩子對于學數學沒有興趣？怎樣培養孩子對數學的興趣？ 很多家長抱怨自己的孩子對數學沒有興趣：“每次我教他數學，他都不愿意聽！”甚至有的家長擔心自己的孩子不愛學習，以致憂心忡忡。究竟是怎么回事呢？殊不知，與音樂、舞蹈、繪畫乃至科學等內容相比，數學知識的確有它

29、的特殊之處。數學既不像自然物那樣具備外在的形象，也不像科學現象那樣發生奇幻的變化，更不像藝術作品那樣富于動人的旋律或鮮艷的色彩，兒童一般不會自發地對事物背后抽象的數學屬性產生興趣。他們感興趣的多是那些色彩鮮明、形象生動、變化多端的事物。但是，如果我們選擇恰當的教育內容，采用得當的方法，并加以適當的引導，同樣可以激發兒童對數學的興趣。以下方法可供參考：第一，從色彩鮮明、形象生動的具體物體入手，逐漸引導孩子認識事物背后抽象的數學屬性。例如，引導孩子從具體的事物形象中尋找有哪些幾何圖形，或從一堆物體中發現其中的數量屬性。第二，從孩子生活中熟悉和感興趣的事物、事件入手，而不是從抽象的數學問題入手。如果

30、我們直接讓孩子去答那些算式題目，他們當然會覺得厭煩，但是如果是生活中和他的利益休戚相關的問題（比如分糖果），孩子也許就會主動地去尋求解決了。第三，從可操作的活動入手，避免單純的口頭問答和數數。好動是孩子的天性。我們可以通過數數、擺放、排隊、對應等具體的操作活動，來激發孩子動手操作的愿望。我們也可以設計一些紙筆活動（但不是寫算式），完成作業單的任務也是孩子所喜歡的事情哦！總之，盡管數學沒有吸引兒童興趣的外在特征，我們也可運用各種方法，引導兒童參與到數學操作的活動中。當兒童在具體操作活動中真正體驗到數學內在的魅力，就會使這種對數學操作活動的外在的興趣轉變成對數學本身的內在的興趣。這種興趣不僅是對數

31、學知識的興趣，更是一種對理智活動和思維活動的興趣。它會對兒童現在和今后學習數學的態度產生深遠的影響。11.兒童是怎樣學會數數的？ 我想你大概會認為數數是一件很簡單、很容易的事。不錯，在成人的眼里確實如此。但是你還記得小時侯學習計數的那段經歷嗎？你一定會說早就忘卻了。那么就讓我們從頭開始，親自把這個過程再做一遍并在頭腦里細細地回味一下，你就能體會到孩子是怎樣學會數數的了。去把你孩子放雜物的那個抽屜端來，假設里面有各種畫片、撲克、數字卡還有識字卡。請你數數里面有多少張識字卡片。首先，你要在心中弄清楚要數的是什么樣的卡片。于是你會撇開那些畫片、撲克和數字卡，尋找那種正面是實物圖畫、反面是相應漢字的識

32、字卡片求同。然后，你開始把識字卡片挑出來放在一起，把不是識字卡片的留在了抽屜里分類。第三步，你發現識字卡片有的重疊在一起不便于清點，于是你將它們一張一張分開，或干脆把它們排成了一排。這樣就不至于在數的時候漏數或重復地數了排列。第四步，你開始數那些識字卡了。你在數卡片時，早已知道用哪些數詞來數并且知道這些數詞的習慣順序：“一、二、三”回憶數詞。第五步，你在每念出一個數詞時，就用手指點一下被數到的卡片，把數詞和卡片一一對應起來配對。第六步，當你數到最后一張卡片時念出的數詞假定是“17”，于是你就會說有十七張識字卡片。你有沒有注意，原先你點到的最后一張卡是第十七張，可是當你說有十七張卡片的時候，這個

33、“十七”卻包括了剛才數過的所有卡片！這是數數的最后一個步驟從序數到基數的轉換。所以看起來簡單的一件事情，卻包含了這么復雜的過程，即：通過求同找出物體的共同屬性。通過分類把物體分成具有某種屬性和不具有某種屬性的部分。將要數的物體進行排列。按習慣回憶數詞。按順序把物體和數詞一一配對。把最后數到的一個數詞當作基數來使用。事實上，兒童學習數數也是一個漫長的發展過程。根據心理學的研究，兒童大致經歷了以下發展階段：口頭數數，按物點數，說出總數。口頭數數階段：兒童多數都像背兒歌似的背誦數字，帶有順口溜的性質，有時還會出現脫漏數字或循環重復數字的現象。他們并沒有形成數詞與實物間的一一對應關系，也不理解數的實際

34、意義。按物點數階段：也就是一邊數數、一邊點物。起初，兒童的這兩個動作往往是不一致的，逐漸發展到能夠手口一致地點數。但是這一階段的兒童還不能說出總數。說出總數階段：這時兒童能理解數到最后一個物體，它所對應的數詞就表示這一組物體的總數，也就是在數詞與物體的數量之間建立起聯系。一般來說，5歲左右的孩子，都能發展到這個階段。12.兒童是怎樣學會計算的？ 當你看到鄰家與寶寶同齡的孩子能演算加減算式題時，是否也動了教教自家孩子做算式題的念頭？但是結果也許會讓你沮喪：你發現寶寶看著桌上的三塊巧克力和又添上的兩塊巧克力，點一點數就說出有五塊了，可他卻不會做“？”的算式，即使你告訴了答案，過兩天他又不會做了。于

35、是你不免會感到疑惑：兒童是怎樣學會計算的？那就讓我們一起來看看兒童加減運算概念發展的一般特點吧。兒童加減運算概念發展總的趨向是從具體到抽象，這與兒童思維發展的趨勢是一致的。我們可將兒童加減運算概念的發展分為三個階段或三種水平：動作水平的加減、表象水平的加減和概念水平的加減。孩子最初面臨的加減運算問題都發生在日常生活中。例如：寶寶（4歲半）上午吃了兩個果凍，下午又來要兩個，媽媽只給了一個，并對她說不能吃得太多。于是寶寶把上午吃的和下午吃的果凍盒合在一塊數了數，嘟著嘴嚷嚷：“人家才吃三個嘛。”像寶寶這樣以實物等直觀材料為工具，借助于合并、分開等動作進行的加減運算就是動作水平上的加減運算。動作水平的

36、加減能力是建立在初步的數概念基礎和基本的計數能力基礎上的運算水平。所有的孩子都將經歷這一階段，并在這一水平上停留相當長的一段時間。成人不可能也不必要人為地縮短孩子的這一進程。有句俗話說“磨刀不誤砍柴工”，對兒童來說，沒有積累豐富的動作水平的加減操作經驗，孩子就難以進入到第二個水平?表象水平的運算。什么叫表象水平的運算呢？請看下面的實例：大山媽問5歲的大山：“咱家蘆花雞下了幾個蛋了？”大山正剝著豆，他仰著腦袋轉著眼珠嘀咕著：“前天數的時候是7個，這兩天又下了兩個，那就是（他低下頭看著自己的兩個手指）89，沒錯，媽應該有9個蛋了。”在這個實例中，大山不需要把雞蛋籮拿出來看著數，僅在頭腦里回憶出先有

37、了7個蛋，用兩個手指代表又下的兩個蛋，再以7為起點，看著手指逐一計數得到運算結果。這已與前面提到的寶寶的運算水平很不一樣不需要用實物逐一從頭點數，只借助物體在頭腦中的形象即表象為依托。但大山運用的實際上是“順接數”的方法（即在7的基礎上繼續接數），還不是用數群進行加減（即把7和2兩個數群相加）。這種依托物體形象的運算就是表象水平的運算。學前期的孩子大多還處于上述兩種運算水平上。而作為最高水平的運算?概念水平上的加減就是以數群與數群的直接運算為特征的。孩子在運算過程中已無需依靠實物的直觀作用或以表象為依托，他們能夠理解算式中每個符號的意義，知道同一道算式可以代表眾多的類似情景（如“？”的算式可以

38、表示無數具體的事情），而且還能自如地運用算式進行運算。這是一種高水平的加減運算能力。孩子在經歷了上述三個過程之后，我們就可以認為他學會了加減。這里要提醒你注意的是，不能以為孩子能夠進行概念水平的運算就說明他不再需要動作水平和表象水平的運算了。在遇到較復雜的數量關系或較大數量的計算時，孩子仍需借助前兩種運算方式。13.量和數有什么不同？兒童是怎樣認識量的？平日里，我們經常是把“數”和“量”聯系在一起使用的。這兩個概念之間有什么不同呢？兒童是怎樣認識量的？讓我們一一來討論。我們知道，數可以表示事物的多少或事物的次序。而說到對“量”的認識，卻似乎不像對數的認識那樣清晰。在我們身邊，存在著各種各樣的量

39、：你正拿著的這本書有長度、有寬度還有厚度，它與你看的其他一些書籍比較，封面也許正好一樣大，也許比某幾本雜志要小些。孩子跑過來了，要幫你把許多暫時不看的書抱到書櫥里，你關照孩子一次少抱幾本，因為你擔心孩子的小胳膊承受不了書的份量。孩子抱了一趟很快折回來，你提醒孩子別跑，慢慢走從以上描述中，你可以體會到客觀世界中的各種事物都具有量的特征。就像我們每天生活在數的世界中一樣，我們每天也同樣生活在量的世界中，數和量似乎沒法分開。然而，量與數的確是有區別的。有人對“量”做了這樣的規定：“量是事物存在的規模和發展的程度。量可以分為不連續量（分離量）和連續量（相關量）兩種。”像書籍的本數、孩子的人數都是不連續

40、量，而長度、體積、時間、速度等都是連續量。量是可以通過測量等手段來加以認識的，事物具有的量的特征稱量度，量度通常是用量數和單位量來表示的。”由此說來，如果說“數”（我們這里指的是自然數）是用來標示事物個數和次序的標記，那么“量”就是標示事物性狀的單位。孩子其實從很小的時候就在日常生活中與量打交道了。最初，孩子對量的特征的認識更多憑借的是自己的感覺，他們能知覺到物體的大小差異，但對其他的量的認識還沒有分化，因此他們把諸如長短、寬窄、厚薄等量的差別一概說成“大”和“小”。另外他們對量的認識也不具備相對性，常常把物體的“大”或“小”看成是物體的絕對特征而非比較的結果。 孩子到了45歲，隨著思維水平的

41、提高和語言的迅速發展，他們能夠比較精細地區分出物體的長短、高矮、粗細，會用不同的詞語表達不同的量，能判斷相等量，會按量的差異進行排序，但還不能達到量的守恒。56歲時，孩子對量的認識精確性進一步提高，對量的相對性也有了較好的了解，同時還能用一些簡單的工具來幫助解決量的比較和測量任務。總之，孩子對量的認識表現出從直觀感知到抽象概念的認識過程：對量的差異性感知從明顯的差異到不明顯的差異；對量的理解從絕對到相對；對量的語言表述從模糊、不精確到逐漸精確。14.要不要教孩子用尺子學測量？在回答這個問題之前，讓我們先來了解一下測量的含義以及兒童學習測量需具備的心理準備。 測量又叫計量，就是把一個量同一個作為

42、標準的同類量進行比較的過程。作為標準的量可以是某種標準的計量單位，如公分、公尺、公斤、公升等，也可以是各種自然物，例如：火柴棒、回形針、筆套，小勺、小瓶，甚至是我們的臂長、腳印長、跨步等，我們不是常常用手來量一量為孩子織的毛褲有多長嗎？那就是用手掌作為計量單位。用這些計量單位去計量某一個量，得到這個量是計量單位若干倍的結果，這就是測量的實質。通常我們會看到：孩子翻出了一根軟尺或一根直尺，就到處去比劃。他們竭力模仿著成人量物體的動作有的用手捏著軟尺的兩頭，像系褲帶似的在物體周圍圍上一圈，還打個結；有的在物體邊一小段一小段地移動著直尺，還煞有介事地數著：“一尺、兩尺”。這說明他們至少知道尺子是用來

43、量東西的。可他們卻怎么也得不出正確的測量結果。看到孩子執著卻徒勞的忙著，你一定很想教教他（她）。但是你知道嗎？幼兒學習測量是相當困難的！這是因為，測量的過程中蘊含著一種邏輯運算。以長度測量為例，兒童要學會測量，必須具備三個基礎的邏輯觀念：第一，要能夠很好地運用數來表示物體的量。（如：用五個手長來表示褲長等）；第二，要有長度守恒（用計量單位量得的長度與實物是等長的）與距離守恒（計量單位之間是等長的）的觀念；第三，要能理解計量就是把一個整體單位劃分為許多相等的小單位，而且這個整體單位和許多相等的小單位之間也是等長的。如果孩子的認知能力沒有達到這三點，他就不能理解和學會我們所教的測量方法。所以，我們

44、就不難理解為什么學前兒童很難學會正確的測量方法了。正因為他們沒有建立起上面所說的邏輯觀念，在測量時，他們也就不會注意尺的起點是不是和測量對象的起點一致等等基本的問題了。根據心理學的研究，兒童要到小學階段才有可能學習正式的測量（即用標準測量工具進行測量）。在學前階段，我們則可以教兒童利用身邊的自然物即非標準的工具來進行“自然測量”。孩子用吸管作工具來量一量桌子有“幾根吸管長”，要比用尺子來測量容易的得多，也感興趣得多。同時，孩子還有機會運用數概念，體驗把一個整體分解成部分，以及部分與部分置換的運算結構，從而建立測量單位體系的觀念，為日后學習計量做好準備。幾何與空間15.兒童要學習幾何嗎？兒童要不

45、要學習幾何？這也許是困擾很多家長的問題。之所以產生困惑，主要有以下幾個可能的原因：其一，在很多家長的印象中，數學就是數數、加減、組成等有關數的知識，并不包括幾何形體；其二，幾何形體是人們用來確定物體形狀的標準形式，是對物體形狀的抽象概括，其難度遠遠超出了孩子的思維發展水平，在大多數父母的記憶中好象是從小學階段開始接觸幾何形體，在初中階段，幾何才成為數學課程的內容之一。這么小的孩子怎么可能學習幾何形體呢？事實上，數學學習的內容之廣泛，不僅包括數與量，還包括邏輯以及幾何空間等。幾何形體是其中重要的組成部分。在孩子生活的周圍環境中，處處可見不同形狀的物體，如長方形、圓形的餅干，方方的手絹、圓圓的大眼

46、睛、皮球、圓柱體的杯子、長方體的書、各種形狀的積木、方凳子等，因此，孩子不可避免地要接觸到幾何形體。我們認為，問題的關鍵不是學不學幾何形體，而是學到什么程度和怎樣學。是的，如家長所理解的幾何形體知識，在孩子很小的時候確實并不能夠掌握，但是孩子可以獲得有關幾何形體的一些最最初步的經驗，這將為以后學習抽象的幾何形體概念奠定感性基礎。因此，家長可以在日常生活中結合具體的情景，引導孩子關注身邊的幾何形體，豐富孩子有關幾何形體的經驗。例如，圓圓的輪子就可以滾動，如果是方形的會怎樣呢？積木的形狀有各種各樣，要搭一個房子需要哪些形狀的積木呢？這些問題，其實對幼兒來說并不難。在兒童生活經驗的基礎上，他們完全能

47、夠分辨不同的圖形及其特征，理解幾何圖形之間的關系，甚至還能區別平面圖形和立體圖形。16.兒童對幾何形體的認識是怎樣發展起來的？任何事物的發生與發展都要遵循一定的順序，兒童對幾何形體的認識也不例外。我們可以從以下四個方面來看兒童對幾何形體認識的發展過程：（一）兒童認識各種幾何形體的難易順序兒童對各種幾何形體的認識，遵循著一定的先后順序，主要表現為由二維空間向三維空間的過渡，即先認識平面圖形，再認識立體圖形。在平面圖形中，一般是先認識圓形，然后正方形、三角形、長方形、半圓形、橢圓形和梯形等。而認識立體圖形的順序一般是：球體、正方體、圓柱體、長方體。兒童掌握幾何形體的難易順序與形體本身的復雜程度有關

48、。如菱形是鄰邊相等但沒有直角的平行四邊形，梯形是只有一組對邊平行的四邊形。這兩種圖形的特征對兒童來說就不易認識。但是，孩子認識幾何形體的難易順序，也與他們的生活經驗及受到的教育訓練有關。孩子對日常生活中經常接觸的形狀認識起來比較容易，同時如果成人適時地教導也會使他較早地掌握幾何圖形的特征。如一般的孩子對菱形、梯形不易認識，但是，在實踐中我們也發現，若得到成人的悉心指導，他們也同樣可能掌握。（二）兒童對幾何形體名稱的掌握過程兒童將對幾何形體的感知與它的名稱聯系起來需要經過配對指認命名的過程。配對指找出與給定的范例形體相同的形體，它完全依賴于對形體的直接感知和模仿；指認指按成人口述形體的名稱，找出

49、相應的形體，這一階段形體知覺開始與相應的詞匯建立聯系；命名是指說出給定形體的名稱，用抽象的詞來稱呼相應的形體。命名一般標志著初步認識某種幾何形體的完成。配對、指認、命名逐層內化，因此，配對最容易，指認次之，命名最難。（三）兒童幾何形體概念的形成過程兒童認識幾何形體的過程實質上是概念形成的過程，如“三角形”不是指某個具體的圖形，而是一個抽象的概念。兒童對幾何形體的認識，則是要借助于實物形狀，并遵循著從具體到抽象的過程。其中經過了幾何形體與實物等同、幾何形體與實物作比較、幾何形體作為區分物體形狀的標準等三個階段。例如，第一階段，孩子會指著圓形說：這是“餅餅”“太陽”，會把長方形稱為“魚缸”“火柴盒

50、”，第二階段，會指著圓形說像“太陽”、像“餅干”，第三階段，會說大盤子、小碟子都是圓形，皮球、蘋果都是球體。17.兒童對幾何形體的認識是“看出來”的還是“摸出來”的？兒童究竟是怎樣認識幾何形體的呢？也許你會以為兒童是“看出來”并且“記住”的，確實，很多成人都以為認識幾何形體很容易，只要用眼睛看就能在頭腦中留下有關幾何形體特征的印象，剩下的就是記住它的名稱了。然而事實并不完全是這樣。如果我們希望孩子像你一樣一“看”就能辨別出各種不同的圖形，那就太難為孩子啦。在兒童認識幾何形體的過程中，“看”和“摸”是兩條必不可少的途徑。通過“看”，兒童可以從整體上把握形體的特征，通過“摸”，兒童則可以較細致地感

51、知形體的特征，如形體是有棱角的，還是四周光滑的？是立體的，還是平面的？等等。兒童心理學研究表明，通過動作即操作擺弄物體來達到對事物的認識是兒童認識的必要途徑。在認識幾何形體的過程中更是如此。孩子認識幾何形體需要通過視覺和觸摸覺的聯合活動，并輔之以語言，才能達到對形體的充分感知。視覺方面：起初是匆忙感知，或只注意到形體的某一個突出特征，如三角形是有“尖”的；然后發展到用眼睛觀察形體的內部，好象在觀察形體的大小；最后，眼睛能沿著形體的外部輪廓運動，能注意到形體的典型部分。觸摸覺方面：起初是用手抓握物體，而非撫摸；然后發展到用一只手掌和手指的根部觸摸，指尖不參加觸摸過程；最后才是用指尖連續地觸摸感知

52、形體的整個輪廓。由此可見，在認識幾何形體的過程中，視覺和觸覺的經驗都是必不可少的，而且它們是的發展具有同步性。因此，家長在教育過程中，應給孩子提供一些較為標準的幾何形體的實物，同孩子一起操作、擺弄，一起探究發現幾何形體的特征，必要時可以給予適當的講解。如給孩子提供一些食品袋里的圓形、三角形的卡片（旋風卡等）讓孩子順著圖形的邊用手指摸一摸，問孩子有什么不同？若孩子說不出來，家長可以提示孩子著重摸摸三角形卡片上有棱角的地方，問你發現了什么？也可以請孩子拿筆順著卡片的四周，畫出卡片的輪廓，在畫的過程中來感知圓形和三角形的不同。或讓孩子試著滾動圓形和三角形卡片，問為什么圓形能滾動，而三角形卻不能？也可

53、以把圓形卡片和三角形卡片重疊擺放，觀察兩者的區別。讓孩子的多種感官都參與到其中吧！讓它們充分地動起來，在做中感知，在做中學。實驗研究也表明，當視覺、觸覺、動覺相結合時，兒童對幾何形體的感知效果是最好的。18.什么是空間能力？空間能力的發展和兒童學習幾何有什么關系？空間能力，又叫空間意識，是指對于二、三度空間圖形與其特征、圖形之間的相互關系、和圖形變化結果的內見與直覺，簡言之，是個人對其周遭環境以及環境中物體的一種直覺。在數學與心理學文獻中，空間意識通常被指為空間知覺或空間視象化，因為兒童是透過他們的眼睛看到了型式、圖形、和物體的方位與移動。例如，美國學者霍佛把空間能力分為七項能力：眼與動作協調

54、能力，通俗地講，就是心到眼到手到；圖形背景知覺能力，即能從背景中分辨出圖形（參見圖1）；知覺恒常能力，即能辨別以各種方式呈現的圖形以及能分辨其與類似之幾何圖形；空間位置知覺能力，即有能力去尋求空間中的一個物體與自己的關系，如在前、在后、在上、在下、在旁等；空間關系知覺能力，即有能力看出二、三個物體與自己的關系或這些物體間彼此的關系；視覺分辨能力，即能指認物體間相似或相異之能力；視覺記憶能力，即能正確回憶現已不在視線內的物體并且能將其特征聯結于其他看得見或看不見的物體。之所以認為空間知覺能力是學習幾何圖形概念的基礎，是因為：空間能力中的這幾項能力是孩子在學習幾何形體時必不可少的。例如，當要求孩子

55、畫出幾何形體或用面團、橡皮泥等捏出幾何形體時，孩子必須具有“眼與動作協調的能力”；當要求孩子認識到轉了30 度或45度的正方形仍是正方形時，或說出三角形的“尖尖的”不在上面時仍是三角形時，他必須具有“圖形恒常知覺”。孩子在了解某種圖形的概念時，他必須在“視覺”上理解該圖形，以三角形為例，孩子要先認識它并且能從其他圖形中分辨出來，接著他必須用手描其外形輪廓與學習看著圖照畫，最后，孩子從記憶中畫出三角形，而以上這些均涉及空間知覺能力。可見，空間能力是兒童掌握幾何形體概念的基礎。19.兒童空間能力發展的規律是什么？空間是客觀物體存在的形式，任何物體都存在于一定的空間之中，并且同周圍的其他物體存在空間

56、上的相互位置關系，也就是空間方位關系，一般用上下、前后、左右等詞語來表示。空間方位的概念具有相對性，如我在天花板下面，在地毯上面；可變性，如爸爸在我左邊，媽媽在我右邊，當我轉身180度之后，原來的方位就變成：爸爸在我右邊，媽媽在我左邊；連續性，如玩具小貓在我的左前方、玩具小狗在我的右前方。空間方位的這幾個特征，決定了孩子對空間方位關系的辨別，既有賴于空間知覺能力的發展，又有賴于思維能力的發展，特別是思維相對性的發展。可見，辨別空間方位對孩子來說是一個難點。 我們會發現孩子從很早開始，就能通過他的視覺、觸覺等感官和周圍世界中的物體相接觸，探索它們的空間關系。孩子能夠移動自己的身體，以接近目標物體

57、，或者伸手拿取特定位置的某個物體。盡管孩子不能用語言明示物體之間的關系，但他們已具備了在動作水平上處理空間關系的一定能力。隨著孩子思維水平的發展，孩子的空間概念也逐漸發展起來。這表現為他們能將自己對周圍物體位置的感知，逐漸轉化為抽象的空間關系。一般來說，兒童空間能力的發展遵循著一下規律：第一，先認識自己身體部分的方位，然后到能以自身為中心來辨別空間關系，最后學會以客體為中心來辨別空間關系，即先認識上邊是頭，下邊是腳，前面是臉，后面是背，左邊是左手，右邊是右手；然后認識自己的前面有電視，后面有衣柜自己的左邊有小型自行車，右邊有一個小朋友；最后才能認識桌子上面有杯子，桌子下面有皮球，電腦前面有書，

58、書后面有筆，媽媽的左邊有毛衣，爸爸的右邊有公文包； 第二，從絕對的空間概念過渡到相對的空間概念，即孩子最初會認定玩具在自己的左邊，堅決否認同時同一個玩具在別人的右邊，慢慢地開始認識到空間關系是相對的；第三，上下、前后、左右依次發展，即先認識上下、然后是前后，最后是左右；第四，隨著年齡的增長，孩子辨別空間方位的區域也不斷擴展，從只能認識靠近自己身體、并且正對著自己的物體的方位，逐漸發展為將前后左右兩個維度的方位看成一個連續的整體。數理邏輯經驗20.數理邏輯經驗指的是什么？它對于兒童學數學有什么重要性？心理學家皮亞杰提出了“數理邏輯經驗”這個概念，并指出它是兒童認知發展的重要條件。那么，什么是數理邏輯經驗呢？這要從他對兒童經驗（知識）的分類說起。他把兒童的經驗分為三種：物理經驗、數理邏輯經驗和社會經驗。所謂社會經驗，就是依靠社會傳遞而獲得的經驗。在數學中，數字的名稱、讀法和寫法等都屬于社會經驗，它們都有賴于教師的傳授。如果沒有教師的傳授，兒童自己是無法發現這些知識的。物理經驗和經驗都要通過兒童