1、第13講 立體幾何高考立體幾何試題一般共有 4道（選擇、填空題3道，解答題1道），共計總分27分左 右，考查的知識點在 20個以內.選擇填空題考核立幾中的計算型問題，而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題 ，當然，二者均應以正確的空間想象為前提.隨著新的課程改革的進一步實施，立體幾何考題正朝著“多一點思考，少一點計算”的發展.從歷年的考題變化看，以簡單幾何體為載體的線面位置關系的論證，角與距離的探求是常考常新的熱門話題.一、知識整合1 .有關平行與垂直（線線、線面及面面）的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大 量的、反復遇到的，而且是以各種各樣的問題 （包括論證、計算角、與距離等）中不可缺少

2、的 內容，因此在主體幾何的總復習中，首先應從解決“平行與垂直”的有關問題著手，通過較 為基本問題，熟悉公理、 定理的內容和功能， 通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解 決問題的規律一一充分利用線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互轉化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力.2 .判定兩個平面平行的方法：3 1）根據定義一一證明兩平面沒有公共點；4 2）判定定理一一證明一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面；5 3）證明兩平面同垂直于一條直線。6 .兩個平面平行的主要性質：由定義知：“兩平行平面沒有公共點”。由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一

3、個平面。兩個平面平行的性質定理：“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行”。一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。夾在兩個平行平面間的平行線段相等。經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。以上性質、在課文中雖未直接列為“性質定理”，但在解題過程中均可直接作為性質定理引用。7 .空間的角和距離是空間圖形中最基本的數量關系，空間的角主要研究射影以及與射 影有關的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角 等.解這類問題的基本思路是把空間問題轉化為平面問題去解決.空間的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置

4、關系進行定 量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角0 （0 ,直線與平面所成的角0 C 0, 一 ,二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角0 0, %.對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉化為一個平面內的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內角來解決，而這種轉化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應用.通過空間角的計算和應用進一步培養運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力.如求異面直線所成的角常用平移法 （轉化為相交直線）與向量法；求直線與平面所成的 角常利用射影轉化為相交直線所成的角

5、； 而求二面角？一1 ?的平面角（記作？）通常有以下 幾種方法：（1）根據定義；（2）過棱1上任一點 O作棱1的垂面？，設？n?=OA ?n?=OB則/ AOB= ?；（3）利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面？內一點 A,分別作另一個平面 ？的垂線AB垂足為B），或程1的垂線AC垂足為C）,連結AC則/ ACB= ?或/ ACB= ?-?;（4）設A為平面？外任一點，ABL ?,垂足為B, AC! ?,垂足為C,則/ BAC= ?或/BAC（5）利用面積射影定理，設平面 ？內的平面圖形F的面積為S, F在平面？內的射影圖形 的面積為S?,則cos?= S-.S5 .空間的距離問題，主要是求空

6、間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離.求距離的一般方法和步驟是：一作一一作出表示距離的線段；二證一一證明它就是所要求的距離；三算一一計算其值.此外，我們還常用體積法求點到平面的距離.6 .棱柱的概念和性質理解并掌握棱柱的定義及相關概念是學好這部分知識的關鍵，要明確“棱柱 一 直棱 柱一正棱柱”這一系列中各類幾何體的內在聯系和區別。平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理解并掌握“平行六面體一直平行六面體一長方體一正四棱柱正方體”這一系列中各類幾何體的內在聯系和區別。須從棱柱的定義出發，根據第一章的相關定理對棱柱

7、的基本性質進行分析推導，以求更好地理解、掌握并能正確地運用這些性質。關于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質外，還須掌握由其定義導出的一些其特有的性質，如長方體的對角線長定理是一個重要定理并能很好地掌握和應用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對應的性質，恰當地運用平行四邊形的性質及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。多面體與旋轉體的問題離不開構成幾何體的基本要素點、線、面及其相互關系，因此，很多問題實質上就是在研究點、線、面的位置關系，與直線、平面、簡單幾何體第一部 分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等. 從這個角度來看，點、

8、線、面及其位置關系仍是我們研究的重點.7 .經緯度及球面距離根據經線和緯線的意義可知，某地的經度是一個二面角的度數，某地的緯度是一個線面角的度數，設球 。的地軸為NS,圓。是0°緯線，半圓NAS是00經線，若某地 P是在東 經120° ,北緯40° ,我們可以作出過 P的經線NPS交赤置于B,過P的緯線圈圓。交NAS 于A,那么則應有：/ AOP=120° （二面角的平面角），ZJPOB=40 （線面角）。兩點間的球面距離就是連結球面上兩點的大圓的劣弧的E因此，求兩點間的球面距離的關鍵就在于求出過這兩點的球半徑的夾角。例如，可以循著如下的程序求 A、P兩

9、點的球面距離。<Q線段AP的長/ AOP勺弧度數大圓劣弧AP的長8 .球的表面積及體積。S球表=4兀R2V球=-兀R33球的體積公式可以這樣來考慮：我們把球面分成若干個邊是曲線的小“曲邊三角形”； 以球心為頂點，以這些小曲邊三角形的頂點為底面三角形的頂點，得到若干個小三棱錐， 所有這些小三棱錐的體積和可以看作是球體積的近似值.當小三棱錐的個數無限增加，且所有這些小三棱錐的底面積無限變小時，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時小三棱錐底面面 積的和就變成球面面積，小三棱錐高變成球半徑.由于第n個小三棱錐的體積=1Shn（Sn為3該小三棱錐的底面積，hn為小三棱錐高），所以V球=-S球面.R=

10、 - 4nR2 R Tt R3.333球與其它幾何體的切接問題，要仔細觀察、分析、弄清相關元素的位置關系和數量關系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化。二、注意事項1 .須明確直線、平面、簡單幾何體中所述的兩個平面是指兩個不重合的平面。2 .三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。平面與平面所成二面角。它 們的求法一般化歸為求兩條相交直線的夾角，通常“線線角抓平移，線面角找射影，面面角作平面角”而達到化歸目的，有時二面角大小出通過cos = S射來求。S原3 .有七種距離，即點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平 行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離

11、，其中點與點、點與直線、點到平面的 距離是基礎，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點到平面的距離有時用“體積法” 來求。的平分線l三、例題分析例1、已知水平平面內的兩條相交直線a, b所成的角為 ，如果將角繞著其頂點，在豎直平面內作上下轉動,轉動到離開水平位值的l處，且與兩條直線 a,b都成角，則與一的大小關系是2A.B.C.D.> 一或2<2<2已知異面直線a,b所成的角為70 0,則過空間一定點 。，與兩條異面直線a,b都成600角的直線有A. 1 B. 2 C. 3D. 4異面直線a,b所成的角為60 0，則的取值可能是 ().A. 30 0 B. 500 C. 6

12、0條.，空間中有一定點 O,過點。有3條直線與a,b所成角都是0 D. 900分析與解答：如圖1所示，易知直線l上點A在平面則 AC± b.在 Rt OBC Rt OA計, tan > tan ，又、一 (0,)(2) D (3) C上的射影是C上的點 B,過點B作BC±b, tg =-AC ,tg = "BC.顯然，AC>BC,例2、已知 (1)求證： (2)設平面面直線PA1矩形ABC所在平面,MNL AB;M N分別是AR PC的中點.PDCI平面ABC所成的二面角為銳角。，問能否確定。使直線MN是異AB與PC的公垂線若能，求出相應。的值；若不能

13、，說明理由解：(1)PAL矩形 ABCD BC± AB,，PB! BC, PAL AC,即 PBC和 PACtB是以PC為斜邊的直角三角形,(2) - AD1 CD PD± CD./.ZAN -PC BN ,又 M為 AB的中點，. MNLAB. 2PDA為所求二面角的平面角，即/ PDA=0 .設 AB=a, PA=h AD=d,貝U PM設PM=CMU由N為PC的中點,八 3 八八. 2 CE= , AC=1 , .1.CD=-.-' DE v'(CE)2 (CD)2.MN PC與 AB的公垂線，這時 PA=AD 0 =45° 。例3、如圖，直

14、三棱柱 ABC-AB1C1的底面ABC為等腰直角三角形，/ ACB=90, AC=1, C3 點到AB的距離為CE= , D為AB的中點.(1)求證：AB,平面CED(2)求異面直線 AB與CD之間的距離；(3)求二面角B1 - AC- B的平面角.解：(1) .是AB中點， ABC為等腰直角三角形，/ABC=90,CDLAB又 AAL平面 ABC CDLAA.CDL 平面 ABBACDL AB,又 CE! AB,AB，平面 CDE(2)由 CDL平面 ABBA . .CDL DE . AB，平面 CDE .-.DEIAB,DE是異面直線AB與CD的公垂線段(3)連結 BiC,易證 BiC&#

15、177; AC 又 BC! AC , 丁./BiCB是二面角 Bi-AC- B的平面角.3o在 RtCEA中,CE=, BC=AC=1J/ BAC=602, AB1 12 2,. BB1 V；(AB1)2 (AB) CD 平面 SAD,EF “ CD,EF 平面 SAD tg BiCBBB1BCB1cBarctg . 2 .,當然，準確地作出應當有說明：作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提嚴格的邏輯推理作為基石.例4、在直角梯形 ABCD, /A=/ D=90° , 在線段SA上取一點E (不含端點)使EC=ACAB< CD SDL平面 ABCD AB=AD=a S D

16、=v' 2a , 截面CDE與SB交于點Fo(1)(2)(3)求證：四邊形 EFCD為直角梯形；求二面角B-EF-C的平面角的正切值；CD設SB的中點為M當CD的值是多少時,AB能使 DMC為直角三角形請給出證明. 解：(1) CD/ AB AB面EFC面SABEF, .CD/ EF D 90。， 又SD面ABCDSD CD CDEF AB CDEFCD為直角梯形平面SAB，CD/平面SABCD AD,平面 SAD , CD ED 又E -D一 BAEEDEF , DE EF ,AED即為二面角 D E C的平面角CD,而 AC 2 AD2ED ADRt CDE 中 EC2 ED2 C

17、D2CD 2 且 AC ECADE為等腰三角形，AED EAD tan AED . 2CD 八，(3)當 2時，DMC為直角三角形.ABAB a, CD 2a,BD AB2 AD22a, BDC 450 BC 2a, BC BD ,SD 平面 ABCD, SD BC, BC 平面 SBD.在 SBD中，SD DB,M 為 SB中點， MD SB.MD 平面SBC, MC平面SBC, MD MCDMC為直角三角形。例5.如圖，在棱長為 1的正方體 ABCD-AiBiGD中，AC與BD交于點E, CB與CB交于點F.(I)求證：AC平 BDC;(II )求二面角B EF C的大小(結果用反三角函數

18、值表示)解法一：(I )AiA，底面ABCD則AC是AC在底面ABCD勺射影.-. AC± BD.1. AiC± BD.同理 AiC± DC,又 BDA DC=D,.AiC,平面 BDC(n)取 EF的中點H,連結BH CH2BE BF ,BH EF. 2同理CH EF.BHC是二面角B EF C的平面角.又E、F分別是AG BiC的中點，故BH于是在、6622BH CH1 EF / AB1.2BEF與CEF是兩個全等的正三角形36CH BF .24BCH中，由余弦定理，得_2_2BH CH BCcos BHC 1BHC arccos(-)1 arccos-.3故二面角B EF C的大小為arccos-.3解法二：(I)以點D(1,0,0),B(0,1,0),A,則 C(0,0,0).C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系1（1,1,1）,C1（0,0,1）,D 1（1,0,1）CA