1、立體幾何專題(1)多面體的截面多面體的截面多面體多面體的的截面截面在課本在課本P59例例3、P63B1處體現。處體現。一、定義及相關要素一、定義及相關要素用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個個幾何體的截面幾何體的截面此平面與幾何體表面的交集此平面與幾何體表面的交集(交線交線)叫做叫做截線截線此平面與幾何體的棱的交集此平面與幾何體的棱的交集(交點交點)叫做叫做截點截點二、作多面體截面二、作多面體截面1方法方法(交線法交線法)該作圖關鍵在于確定截點，有了位于多該作圖關鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連結成截線，

2、從而求得截面體同一表面上的兩個截點即可連結成截線，從而求得截面面2作截線與截點的主要根據作截線與截點的主要根據有：有：(1)確定平面的條件確定平面的條件(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線過此點的一條直線(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內所有的點都在這個平面內(4)如果一條直線平行于一個平面，經過這條直線的平面與如果一條直線平行于一個平面，經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行這個平面相交，那么這條直線就

3、和交線平行(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行交線平行三、作圖題型三、作圖題型1 截面經過的三個已知點分別在多面體的棱上，且其中有兩截面經過的三個已知點分別在多面體的棱上，且其中有兩點在同一個面的棱上點在同一個面的棱上作圖題作圖題1如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F、G分別分別在在AB、BC、DD1上，求作過上，求作過E、F、G三點的截面三點的截面作法：作法：(1)在底面在底面AC內，過內，過E、F作直線作直線EF分別與分別與DA、DC的的延長線交于延長線交于L、M(2)在側面在側面A1D內，

4、連結內，連結LG交交AA1于于K(3)在側面在側面D1C內，連結內，連結GM交交CC1于于H(4)連結連結KE、FH則五邊形則五邊形EFHFK即為所求的截面即為所求的截面作圖題作圖題2P、Q、R三點分別在直四棱柱三點分別在直四棱柱AC1的棱的棱BB1、CC1和和DD1上，試畫出過上，試畫出過P、Q、R三點的截面三點的截面作法：作法：(1)連接連接QP、QR并延長，分并延長，分別交別交CB、CD的延長線于的延長線于E、F.(2)連接連接EF交交AB于于，交，交AD于于S(3)連接連接RS、TP。則多邊形。則多邊形PQRST即為所求截面。即為所求截面。作圖題作圖題3已知已知P、Q、R分別是四棱柱分

5、別是四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱的棱CD、DD1和和AA1上的點，且上的點，且QR與與AD不平行，求作過這三點的截面。不平行，求作過這三點的截面。作法：作法：(1)連接連接QP并延長交并延長交DA延長線于點延長線于點I。(2)在平面在平面ABCD內連接內連接PI交交AB于點于點M。(3)連接連接QP、RM。則四邊形。則四邊形PQRM即為所求。即為所求。作圖題作圖題4如圖，五棱錐如圖，五棱錐PABCDE中，三條側棱上各有一已知中，三條側棱上各有一已知點點F、G、H，求作過，求作過F、G、H的截面的截面作法：作法：(1)將側面將側面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱錐伸展得到三棱錐PBST(

6、2)在側面在側面PBS內，連結并延長內，連結并延長GF，交，交PS于于K(3)在側面在側面PBT內，連結并延長內，連結并延長GH交交PT于于L(4)在側面在側面PST內，連結內，連結KL分別交分別交PD、PE于于M、N(5)連結連結FN、MH則五邊形則五邊形FGHMN即為所求的截面即為所求的截面2 截面經過的三個已知點至少有一點在多面體的面上，其余點截面經過的三個已知點至少有一點在多面體的面上，其余點在棱上在棱上作圖題作圖題5如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F在兩條棱上，在兩條棱上，G在底面在底面A1C1內，求過內，求過E、F、G的截面的截面作法：作法：(1)過過E

7、、F作輔助面。在面作輔助面。在面BC1內，過內，過F作作FF1BB1，交，交B1C1于點于點F1，則面，則面AFF1A1為所作的輔助面為所作的輔助面(2)在面在面AFF1A1內，延長內，延長F1A1交交FE的延長線于的延長線于P(3)在面在面A1B1C1D1內，連接內，連接PG交交A1B1于于M并延長交并延長交B1C1于于M。(4)連結連結ME并延長與并延長與BA延長線交于延長線交于Q，連接，連接QF交交AD于于H(5)連結連結EH，FN則五邊形則五邊形EHFNM為所求的截面為所求的截面作圖題作圖題6已知直四棱柱已知直四棱柱AC1，P在面在面D1DCC1內，內，Q在面在面A1ADD1內，內，R

8、在棱在棱BB1上，畫出過上，畫出過P、Q、R三點的截面。三點的截面。作法：作法：(1)過過P作作PP CD于點于點P ，過，過Q作作Q Q AD于于Q 。(2)在底面在底面ABCD內連接內連接AP 、BQ ，并交于，并交于H。(3)由平行線由平行線QQ 、RB作平面作平面QQ BR，連接，連接QR。(4)在平面在平面QQ BR內過內過H作作KH面面ABCD交交QR于于K。(5)由平行線由平行線PP 、AA1作平面作平面PP AA1，則，則K必落在面必落在面PP AA1內。內。(6)在面在面PP AA1內，連接內，連接PK，并延長交，并延長交AA1于于M。(7)在面在面A1ADD1內，連接內，連

9、接MQ，并延長交，并延長交DD1于于S。(8)在面在面D1DCC1內，連接內，連接SP，并延長交，并延長交CC1于于T。(9)連接連接RT、RM。則多邊形。則多邊形SMRT即為所求。即為所求。3 截面經過的三個已知點中，有兩個點在同一棱上，第三點在多截面經過的三個已知點中，有兩個點在同一棱上，第三點在多面體內面體內作圖題作圖題7試畫出過正三棱柱試畫出過正三棱柱ABCA1B1C1的底邊的底邊BC及兩底中心及兩底中心連線連線OO1中點的截面。中點的截面。作法：作法：(1)過過A1A和和OO1作平面作平面AOO1A1，交，交BC于于D，交，交B1C1于于D1，則則D、D1分別為分別為BC、B1C1的

10、中點。的中點。(2)在平面在平面A1AM內，作直線內，作直線DM交上底面交上底面A1B1C1于點于點G。(3)在平面在平面A1B1C1內，過內，過G作作EFB1C1交交A1B1于于E，交，交A1C1于于F。(4)連接連接BE，CF。則多邊形。則多邊形BCFE為所求。為所求。作圖題作圖題8在側棱和高的夾角為在側棱和高的夾角為的正四棱錐中，求作一個過底面的正四棱錐中，求作一個過底面頂點且與這點所對側棱垂直的截面頂點且與這點所對側棱垂直的截面(45)。作法：作法：(1)在平面在平面SAC中，作中，作AESC于點于點E。(2)在底面在底面ABCD內過內過A作作aBD。(3)延長延長CB、CD分別交分別

11、交a于點于點M、N。(4)連接連接EM、EN，分別交，分別交SB、SD于點于點G、H。(5)連接連接AG、AH。則多邊形。則多邊形AGEH即為所求。即為所求。4 截面經過的三個已知點兩兩不在同一面內的棱上截面經過的三個已知點兩兩不在同一面內的棱上作圖題作圖題9P、Q、R三點分別在直四棱柱三點分別在直四棱柱AC1的棱的棱CC1、A1D1和和AB上，試畫出過上，試畫出過P、Q、R三點的截面三點的截面作法：作法：(1)先過先過R、P兩點作輔助平面。過點兩點作輔助平面。過點R作作R1RBB1交交A1B1于于R1，則面，則面CRR1C1為所作的輔助平面。為所作的輔助平面。(2)在面在面CRR1C1內延長

12、內延長R1C1，交，交RP的延長線于的延長線于M。(3)在面在面A1B1C1D1內，連接內，連接MQ，交，交C1D1于點于點S，延長，延長MQ交交B1A1的延長線于點的延長線于點T。(4)連接連接TR，交，交AA1于點于點N，延長，延長TR交交B1B于點于點K，再連接，再連接KP交交BC于點于點L。(5)連接連接RL、PS、QN。則則多邊形多邊形QNRLPS為所求。為所求。注：若已知兩點在同一平面內，只要連接這兩點，就可以得注：若已知兩點在同一平面內，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截線。到截面與多面體的一個面的截線。若面上只有一個已知點，應設法在同一平面上再找出第二確若面上只

13、有一個已知點，應設法在同一平面上再找出第二確定的點。定的點。若兩個已知點分別在相鄰的面上，應找出這兩個平面的交線若兩個已知點分別在相鄰的面上，應找出這兩個平面的交線與截面的交點。與截面的交點。若兩平行平面中一個平面與截面有交線，另一個面上只有一若兩平行平面中一個平面與截面有交線，另一個面上只有一個已知點，則按平行平面與第三平面相交，那么它們的交線互個已知點，則按平行平面與第三平面相交，那么它們的交線互相平行的性質，可得截面與平面的交線。相平行的性質，可得截面與平面的交線。若有一點在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉化為棱若有一點在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉化為棱上的點的問題；若已知

14、點在體內，則可通過輔助平面使它轉化上的點的問題；若已知點在體內，則可通過輔助平面使它轉化為面上的點，再轉化為棱上的點的問題來解決。為面上的點，再轉化為棱上的點的問題來解決。立體幾何專題(2) 空間圖形的作圖空間圖形的作圖空間圖形的空間圖形的作圖作圖在課本在課本P51A1、P62A4、 P78A1&2處體現。處體現。一、空間幾何作圖的規則一、空間幾何作圖的規則：1通過不共線的三點作一平面通過不共線的三點作一平面2求兩個可作相交平面的交線求兩個可作相交平面的交線3在一個可作平面內，支持用直尺和圓規按照平面幾何解決一在一個可作平面內，支持用直尺和圓規按照平面幾何解決一切作圖題切作圖題4任意取

15、一點，在或不在已知直線上，在或不在已知平面上；任意取一點，在或不在已知直線上，在或不在已知平面上；任意取一直線，通過或不通過一已知點，在或不在已知平面內；任意取一直線，通過或不通過一已知點，在或不在已知平面內；任意取一平面，通過或不通過一已知點，通過或不通過一已知任意取一平面，通過或不通過一已知點，通過或不通過一已知直線直線5求已知球心及半徑的球面求已知球心及半徑的球面二、解作圖問題的步驟二、解作圖問題的步驟：1分析：假設求作的圖形已經作出了研究已知條件和未知條分析：假設求作的圖形已經作出了研究已知條件和未知條件間有何可以溝通的關系或中間條件，從而發現如何從已知條件間有何可以溝通的關系或中間條

16、件，從而發現如何從已知條件通過中間條件的媒介達到未知條件件通過中間條件的媒介達到未知條件2作法：從分析的結果，寫作法：從分析的結果，寫(說說)出每一個作圖過程出每一個作圖過程3證明：證明所作圖形確實滿足所設條件證明：證明所作圖形確實滿足所設條件4討論：研究在怎樣的條件下，解答存在或不存在，以及當解討論：研究在怎樣的條件下，解答存在或不存在，以及當解答存在時解的個數有多少答存在時解的個數有多少三、簡單作圖題三、簡單作圖題作圖題作圖題1求作一平面使其滿足下列條件之一：求作一平面使其滿足下列條件之一：1通過一已知直線及其外一已知點；通過一已知直線及其外一已知點；2通過兩通過兩已知已知相交相交直線直線

17、；3通過兩已知平行直線通過兩已知平行直線作圖題作圖題2求已知直線和已知平面的交點求已知直線和已知平面的交點作圖題作圖題3求三已知平面的交點求三已知平面的交點作圖題作圖題4通過已知直線外一已知點，求作一直線使與該直線通過已知直線外一已知點，求作一直線使與該直線平行平行.作圖題作圖題5(P624)給定兩條異面直線，求作一平面通過其中一線給定兩條異面直線，求作一平面通過其中一線而平行于另一線而平行于另一線命題：過兩異面直線中一個有且只有一平面與另一直線平行。命題：過兩異面直線中一個有且只有一平面與另一直線平行。證明：證明存在性。證明：證明存在性。設直線設直線a、b異面。在異面。在a上任選取一點上任選

18、取一點A，過，過A作作b b。相交直線。相交直線a和和b 確定一平面確定一平面，則，則b。證明唯一性。證明唯一性。設點設點A和直線和直線b確定平面確定平面，則，則b ，Ab 。假設過。假設過a還存在平還存在平面面b，則必有，則必有與與相交。設相交。設b ，則，則b b，Ab 。b b 與與Ab 且且Ab 相矛盾。故相矛盾。故是唯一的。是唯一的。作圖題作圖題5解答唯一存在。解答唯一存在。作法：作法：在在直線直線a 上任取一點上任取一點A，過，過直線直線b與線外一點與線外一點A作平面作平面M，在平，在平面面M內作直線內作直線cb，過相交直線，過相交直線a與與c作平面作平面N則平面則平面N即為所求即

19、為所求作圖題作圖題6給定兩條異面直線，過其一直線各作一平面使兩平面給定兩條異面直線，過其一直線各作一平面使兩平面互相平行互相平行命題命題(P632)：a、b是異面直線，是異面直線，a ，a，b ，b存存在唯一一對在唯一一對、使使。證明：證明：a、b異面，異面，a ，b，由作圖題，由作圖題5的命題知，這樣的的命題知，這樣的面面有且只有一個。要確定它，只需在有且只有一個。要確定它，只需在a上任取一點上任取一點A作直線作直線b b，則，則a和和b 就確定了就確定了。同理，滿足條件的同理，滿足條件的也有且只有一個。要確定它，只需在也有且只有一個。要確定它，只需在b上任上任取一點取一點B作直線作直線a

20、a，則，則b和和a 就確定了就確定了。綜綜上知上知、存在且唯一。存在且唯一。又又a a，b b，a、b，b、a，。作圖題作圖題6解答唯一存在。解答唯一存在。作圖題作圖題7過給定平面外一點求作一平面，使平行于該平面過給定平面外一點求作一平面，使平行于該平面命題：過平面外一點，有且只有一個平面與該平面平行。命題：過平面外一點，有且只有一個平面與該平面平行。證明：設證明：設A是面是面外一點。在外一點。在內任取兩相交直線內任取兩相交直線a、b，過，過A作作a a，b b，兩相交直線，兩相交直線a 、b 確定面確定面 。 。存在性證。存在性證明了。明了。假設過假設過A還存在還存在，則，則a，b。設過。設

21、過A和和a的平面為的平面為，則，則與與必相交。設必相交。設a ，則，則aa ，a a ，這與，這與Aa 且且Aa 矛盾。故矛盾。故 是唯一的。唯一性也證明了。是唯一的。唯一性也證明了。作圖題作圖題7解答唯一存在。解答唯一存在。作圖題作圖題8給定兩直線給定兩直線a、b及一點及一點A，求作一平面使通過，求作一平面使通過A并平行并平行于于a和和b解：解：1若若a、b異面，且異面，且A不在通過其中過一線而平行于另一線不在通過其中過一線而平行于另一線的平面內，則問題有唯一解答。的平面內，則問題有唯一解答。2若若a、b相交，且相交，且A不在不在a、b所確定的平面內，則問題有唯一所確定的平面內，則問題有唯一

22、解答。解答。3若若a、b平行，且平行，且A既不在既不在a上又不在上又不在b上，則問題不定，即有上，則問題不定，即有無窮多個解答。無窮多個解答。4其它情形下，問題無解。其它情形下，問題無解。作法：在作法：在a和和A確定的平面內過確定的平面內過A作作a a，在，在b和和A確定的平面內確定的平面內過過A作作b b。由。由a 和和b 確定的平面確定的平面即為所求。即為所求。作圖題作圖題9求作一直線求作一直線l使與兩直線使與兩直線a、b相交，并通過此兩直線以相交，并通過此兩直線以外的一已知點外的一已知點M解：解：若若a、b共面于共面于1當當M時，有無窮多個解答時，有無窮多個解答2當當M 且且a、b相交時

23、，有唯一解答。相交時，有唯一解答。3當當M 且且ab時，沒有解答。時，沒有解答。若若a、b異面異面1當當M在過在過a而平行于而平行于b的平面的平面內或在過內或在過b而平行于而平行于a的平面的平面內內時，沒有解答。時，沒有解答。2當當M既不在過既不在過a而平行于而平行于b的平面的平面內又不在過內又不在過b而平行于而平行于a的平的平面面內時，有唯一解答。內時，有唯一解答。作圖題作圖題10給定兩條異面直線給定兩條異面直線a和和b，求作一直線，求作一直線l使與使與a、b相交，相交，并與第三直線并與第三直線c平行平行解：解：若若c、a相交且確定平面相交且確定平面1當當b時，無解。時，無解。2當當與與b相

24、交時，有一解。解為過相交時，有一解。解為過b與與的交點的交點A作作c的平行線。的平行線。若若c、a異面。設過異面。設過a且平行于且平行于c的平面為的平面為。1當當b時，無解。時，無解。2當當與與b相交時，有一解。解為過相交時，有一解。解為過b與與的交點的交點B作作c的平行線。的平行線。綜上知，當綜上知，當a、b、c平行于同一平面時，無解；其它情況下，只平行于同一平面時，無解；其它情況下，只有一解。有一解。作圖題作圖題11給定一平面及一斜線，求作在平面上通過斜足作一直給定一平面及一斜線，求作在平面上通過斜足作一直線，使與斜線成已知銳角線，使與斜線成已知銳角作圖題作圖題12通過一定直線求作一平面，

25、使與平面成定角通過一定直線求作一平面，使與平面成定角作圖題作圖題13給定兩條異面直線，求作一直線和它們垂直相交。給定兩條異面直線，求作一直線和它們垂直相交。解：過解：過b任意一點任意一點M作作a a，作過，作過b和和a 的平的平面面。過過a作面作面交交于于a0，則則a0與與b必相交必相交(反證法反證法)。設設a0bB。在。在內過內過B作作BAa0交交a于于A。故故直線直線AB即為所求。即為所求。立體幾何專題求求空間空間角角的基本方法的基本方法1異面直線上兩點間的距離公式異面直線上兩點間的距離公式已知夾角為已知夾角為的兩異面直線的兩異面直線a、b的公垂線段為的公垂線段為AA ( A a，Ab)，

26、E、F分別為分別為a、b上的點，且上的點，且|AA |d，|A E|m，|AF|n，則則_ 幾個常用公式幾個常用公式解：設經過解：設經過b與與a平行的平面為平行的平面為，經過經過a和和AA 的平面為的平面為，c，則則ca因而因而b、c所成角等于所成角等于，且且AA c又又AA b，AA 又又AA，在在內作內作EGc于于G，則，則EGAA ，EG連接連接FG，則，則EGFG注：還可用向量法注：還可用向量法應用示例應用示例選選A變式：將題中變式：將題中“正方形沿對角線正方形沿對角線BD折成直二面角折成直二面角ABDC”改為改為“正方形沿對角線正方形沿對角線BD折折成成60二面角二面角ABDC”，其

27、它不變，又如何？其它不變，又如何？2三余弦三余弦公式公式已知已知AO是平面是平面的斜線，的斜線，為斜足，為斜足，OB于于B，則，則AB是是AO在在內的射影設內的射影設AC是是內的任一條直線，且內的任一條直線，且BCAC于于C設設AO與與AB所成所成角為角為1，AB與與AC所所成成角角為為2，AO與與AC所所成成角角為為 則則_ coscos1cos2應用示例應用示例選選C3射影面積射影面積公式公式已知二面角已知二面角 l 的面的面 內的平面圖形內的平面圖形的面積為的面積為S，在面在面 內內的的射影射影圖形圖形 的面積為的面積為S ，二面角，二面角 l 的大小為的大小為 ，則則_。下面以下面以進

28、行說明。進行說明。一、基本方法一、基本方法1直接法：直接法：先先作出平面角，再求其大小作出平面角，再求其大小2間接法間接法(公式法公式法)：異面直線上兩點間的距離公式異面直線上兩點間的距離公式已知夾角為已知夾角為的兩異面直線的兩異面直線a、b的公垂線段為的公垂線段為AA ( Aa，A b)，E、F分別為分別為a、b上的點，且上的點，且|AA |d，|AE|m，|A F|n，則則_ 射影面積法射影面積法已知二面角已知二面角 l 的面的面 內的平面圖形內的平面圖形的面積為的面積為S，在面在面 內內的的射影射影圖形圖形 的面積為的面積為S ，二面角，二面角 l 的大小為的大小為 ，則則_。向量法向量

29、法求二面角的基本方法求二面角的基本方法示例示例如如圖，在三棱錐圖，在三棱錐ABCD中，中，AB面面BCD，BDCD。(1)求證：面求證：面ABD面面ACD；(2)若若ABBC2BD，求二面角，求二面角BACD的正切值。的正切值。(1)證明：證明：AB面面BCD，ABCD。又又BDCD，ABBDD，CD面面ABD。又又CD 面面ACD，面面ABD面面ACD。二面角的平面角二面角的平面角作作法法二二：作作DEBC于于E，DFAC于于F，連接連接EFAB面面BCD，面面ABC面面BCD，DE面面ABCDEACAC面面EFACEF則則DFE是二面角是二面角BACD的平面角的平面角。說明說明：若在討論二

30、面角大小時，存在若在討論二面角大小時，存在與與二面角的一個面垂直而二面角的一個面垂直而與二面角的另一個面相交的與二面角的另一個面相交的平面平面，常先該平面內作出兩垂面交常先該平面內作出兩垂面交線的垂線，然后構造出二面角的平面角線的垂線，然后構造出二面角的平面角。射影作射影作法法二二：作作DEBC于于E，連接連接AEAB面面BCD，面面ABC面面BCD，DE面面ABCADC在在面面ABC內的射影為內的射影為AEC二、作二、作(找找)二面角的平面角的基本方法二面角的平面角的基本方法1定義定義法法2三垂線三垂線法法3垂面垂面法法4轉化轉化法法1定義法定義法示例示例1 在在60的二面角的二面角a的兩個

31、面內，分別有的兩個面內，分別有A和和B兩兩點已知點已知A和和B到棱的距離分別為到棱的距離分別為2和和4，且線段，且線段AB10，試求：，試求：(1)直線直線AB與棱與棱a所構成的角的正弦值；所構成的角的正弦值；(2)直線直線AB與平面與平面所構成的角的正弦值所構成的角的正弦值解析：在平面解析：在平面內作內作ADa；在在平面平面內作內作BEa，CD EB，連結連結BC、AC則則BC DE，CDa，ABC是是AB與與a所成角，則由二面角所成角，則由二面角的平面角的定義，可知的平面角的定義，可知ADC為二面角為二面角a的平面角，即的平面角，即ADC60示例示例2如圖，四棱錐如圖，四棱錐ABCED中，

32、中，DB和和EC與面與面ABC垂直，垂直，ABC為正三角形為正三角形(1)若若BCECBD時，求面時，求面ADE與面與面ABC的夾角；的夾角；(2)若若BCEC2BD時，求面時，求面ADE 與面與面ABC的夾角的夾角分析：如圖，面分析：如圖，面ADE與面與面ABC的交線蛻化的交線蛻化成一點，但面成一點，但面ADE與面與面ABC與面與面DC相相交如果三個平面兩兩相交，它們可能有交如果三個平面兩兩相交，它們可能有三種情況：三種情況：(1)交線為一點；交線為一點；(2)一條交線；一條交線；(3)三條交線互相平行在圖三條交線互相平行在圖1中，兩條交線中，兩條交線BC與與DE互相平行，所以肯定有過互相平

33、行，所以肯定有過A且平行且平行于于DE的一條交線如圖的一條交線如圖2，DE與與BC不平行不平行且相交根據三個平面兩兩相交可能出現且相交根據三個平面兩兩相交可能出現的三種情況，這三個面的交線為一點的三種情況，這三個面的交線為一點解：解：CE面面ABC，BD面面ABC，CEBD。(1)CEBD，BC DE。過。過A作作AMDE，平面平面ADE與平面與平面ABC的交線即為的交線即為AM過過A作作ANDE于于N，過，過A作作AFBC于于FANAM，AFAM，則則NAF為面為面ADE與面與面ABC的夾角的平面角的夾角的平面角(2)EC2BD，延長，延長ED、CB相交于相交于G點，連結點，連結AGAG即為

34、平面即為平面ADE與平面與平面ABC的交線，的交線，點點B為為GC的中點的中點。在在AGC中，中，ABACBCBG，ACAG。又又CE面面ABC，CEAC，CEAG，即即證證CAE為平面為平面ADE與平面與平面ABC的的夾角的平面角夾角的平面角在在RtANF中，中，ACCE，CAE45。示例示例3如圖，空間四邊形如圖，空間四邊形ABCD中，中，ABAD3，BCCD4，BD2，AC5試求試求ABDC二面角的余弦值二面角的余弦值說明：利用正說明：利用正和等腰和等腰中的三線中的三線合一合一找垂直關系找垂直關系。示例示例4.如如圖，已知空間四邊形圖，已知空間四邊形ABCD，ABBC6， ADCD4，B

35、D8，AC5試求試求ABDC的余弦值的余弦值說明：利用說明：利用全全等等找垂直關系找垂直關系。2三垂線法作三垂線法作(找找)出二面角的平面角出二面角的平面角示例示例1如圖，在平面如圖，在平面內有一條直線內有一條直線AC與平面與平面成成30，AC與棱與棱BD成成45，求平面求平面與平面與平面的二面角的大小的二面角的大小解：過解：過A作作AFBD于于F，AE平面平面于于E，連結連結CE、EF，則，則ACE是是AC與與所成角，所成角，AEBD，BD面面AEF，BDEF，則則AFE為二面角的平面角為二面角的平面角說明說明：(1)如果兩個平面相交，有過一個平面內的一點與另一個平面如果兩個平面相交，有過一

36、個平面內的一點與另一個平面垂直的垂線，可過這一點向棱作垂線，連結兩個垂足應用垂直的垂線，可過這一點向棱作垂線，連結兩個垂足應用三垂線定理可證明兩個垂足的連線與棱垂直，那么就可以找三垂線定理可證明兩個垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角到二面角的平面角(2)在應用三垂線定理尋找二面角的平面角時，注意在應用三垂線定理尋找二面角的平面角時，注意“作作”、“連連”、“證證”示例示例2如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M為棱為棱AD的中點，求平面的中點，求平面B1C1CB和平面和平面BC1M所構成的銳二面角的正切所構成的銳二面角的正切解析：平面解析：平面AC與二面角與二

37、面角MBC1C的的一一個面個面B1C垂直，與另一個平面垂直，與另一個平面 MBC1相交相交，過過M點作點作MPBC于于P，面面AC面面B1C，MP面面B1C，MPBC1，過過P作作PNBC1于于N，連結，連結MN，BC1面面MNP，MNBC1，則則MNP為二面角為二面角MBC1C 的平面角的平面角說明：當一個平面與二面角的一個平面垂直，與另一個說明：當一個平面與二面角的一個平面垂直，與另一個平面相交時，往往過這個面上的一點作這兩個垂直平面平面相交時，往往過這個面上的一點作這兩個垂直平面交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據三垂線交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角定理即可證明，并找出二面角的平面角3垂面