1、第一節第一節 歐拉方法（續）歐拉方法（續）三種數值方法：三種數值方法：),(1iiiiyxfhyy ),(111 iiiiyxfhyy),(),( 21111 iiiiiiyxfyxfhyy歐拉方法歐拉方法:后退歐拉方法后退歐拉方法:梯形方法梯形方法: 2 , 1 , 0 ),(),(2 , 12 , 1 , 0 ),()(11)1(1)0(1 kyxfyxfhyyniyxfhyykiiiiikiiiii梯形方法迭代計算量大，且難以預測迭代次數。為了梯形方法迭代計算量大，且難以預測迭代次數。為了控制計算量，通常只迭代一次就轉入下一點的計算?？刂朴嬎懔?，通常只迭代一次就轉入下一點的計算。用顯式公

2、式作預測，梯形公式作校正，得到用顯式公式作預測，梯形公式作校正，得到改進的歐拉方法改進的歐拉方法 （ 迭代一次的梯形方法）迭代一次的梯形方法）改進的歐拉公式改進的歐拉公式: 2 , 1 , 0 ),(),(2 , 12 , 1 , 0 ),(1111 kyxfyxfhyyniyxfhyyiiiiiiiiii 此公式也叫做此公式也叫做預估校正公式預估校正公式，其中第一式叫預估，其中第一式叫預估公式，第二式叫校正公式。公式，第二式叫校正公式。 ),(),(2121121211kyhxfhkyxfhkkkyyiiiiii此公式可寫為嵌套形式此公式可寫為嵌套形式 ),(,(),(211iiiiiiii

3、yxhfyxfyxfhyy 這個公式還可寫為這個公式還可寫為平均化形式：平均化形式：（梯形方法迭代一次）梯形方法迭代一次）例例3. . 利用改進的歐拉方法求解常微分方程初值問題利用改進的歐拉方法求解常微分方程初值問題 1)0(10 ,2ddyxyxyxy， 取步長取步長為為 0.10.1。解：改進的歐拉公式為解：改進的歐拉公式為數值結果見下表。數值結果見下表。 2 , 1 , 0 ),(),(2 , 12 , 1 , 0 ),(1111 kyxfyxfhyyniyxfhyyiiiiiiiiii . 2 ),( iiiiiyxyyxf 此處此處ixiy)(ixy)(iixyy 改進改進精確解精確

4、解誤差誤差歐拉方法歐拉方法0.01.000000001.000000000.000000001.000000000.11.095909091.095445120.000463981.100000000.21.184096571.183215960.000880611.191818180.31.266201361.264911060.001290301.277437830.41.343360151.341640790.001719361.358212600.51.416401931.414213560.002188371.435132920.61.485955601.483239700.0027

5、15901.508966250.71.552514091.549193340.003320751.580338240.81.616474781.612451550.004023231.649783430.91.678166361.673320050.004846311.717779351.01.737867401.732050810.005816591.78477083 改進的歐拉方法數值效果顯然優于歐拉方法改進的歐拉方法數值效果顯然優于歐拉方法, 另外，另外，與梯形方法相比，其計算量也小。與梯形方法相比，其計算量也小。例例4. . 應用改進的歐拉方法解初值問題應用改進的歐拉方法解初值問題.0

6、)1( ,21 ,e22 yttytyt取步長取步長 h = 0.1，并把計算結果與精確解比較，并把計算結果與精確解比較.解：解：再用梯形方法校正再用梯形方法校正: : ),(1iiiiytfhyy ),(),(2111 iiiiiiytfytfhyy e2),( ,2itiiiiitytytf 其中其中先用用歐拉方法預估：先用用歐拉方法預估：本題要注意求解區間本題要注意求解區間.計算結果列表計算結果列表: : i 01.00.0000000000.0000000000.00000000011.10.3423777890.3459198770.00354208821.20.8583145370

7、.8666425360.00832799831.31.5927496431.6072150780.01446543541.42.5982982392.6203595510.02206131251.53.9364441143.9676662940.03122218061.65.6789071035.7209615260.04205442371.77.9092092167.9638734780.054664262itiy)(ity)(iityy 算法的理論分析算法的理論分析1. 局部截斷誤差（相容性）局部截斷誤差（相容性） 所謂的局部截斷誤差實質上考察的是將微分方程離所謂的局部截斷誤差實質上考察的

8、是將微分方程離散化所帶來的誤差，或者也可以理解為差分格式對精散化所帶來的誤差，或者也可以理解為差分格式對精確解的滿足程度。確解的滿足程度。Discrete operatorODE operator),(1iiiiyxfhyy ),(),( 2111 iiiiiiyxfyxfhyy歐拉歐拉:改進歐拉改進歐拉:梯形梯形:),(,(),(211iiiiiiiiyxfhyxfyxfhyy ),(111 iiiiyxfhyy后退歐拉后退歐拉:單步法的一般形式單步法的一般形式),(111 iiiiiiyxyxhyy 定義單步法定義單步法局部截斷誤差局部截斷誤差 (local truncation erro

9、r)為為)(,),(,()()(111 iiiiiixyxxyxhxyxyLTE p 越大表示離散方程與原微分方程近似程度越高。越大表示離散方程與原微分方程近似程度越高。若一個數值方法的局部截斷誤差為若一個數值方法的局部截斷誤差為, )( 1 phOLTE則稱該數值方法是則稱該數值方法是 p 階的。它表示離散化后的方程是階的。它表示離散化后的方程是原微分方程的近似。原微分方程的近似。Discrete operatorODE operator對于歐拉方法，易見對于歐拉方法，易見1()()(, ()iiiiLTEy xy xh f xy x )( )(6)(2232hOyhxyhi 誤差主項誤差主

10、項),(1iiiiyxfhyy )()()(1iiixyhxyxy 這樣，歐拉方法是一階方法。這樣，歐拉方法是一階方法。 對于隱式歐拉方法，對于隱式歐拉方法，),(111 iiiiyxfhyy11111()()(, () ()()()iiiiiiiLTEy xy xh f xy xy xy xhy x 232()()( )26 ()()( )2iiiihhhy xyxyhh y xhyxy 這樣，隱式歐拉方法也是一階方法。這樣，隱式歐拉方法也是一階方法。 誤差主項誤差主項232() ()() 2ihyxO hO h 再考察梯形方法，再考察梯形方法， 111(,)(,)2iiiiiihyyf x

11、yf xy)()(2)()(11 iiiixyxyhxyxy顯然，顯然，111()()(, ()(, ()2iiiiiihLTEy xy xf xy xf xy x)()()(12)(6)(2)()(22 )(24)(6)(2)(3431)4(321)4(432hOhOxyhyhxyhxyhxyhyhxyhxyhxyhiiiiiii 故梯形方法是二階方法。故梯形方法是二階方法。 誤差主項誤差主項對改進的歐拉方法，有對改進的歐拉方法，有),(,(),(211iiiiiiiiyxfhyxfyxfhyy 11()() (, ()(, ()(, ()2iiiiiiiiLTEy xy xhf xy xf

12、 xy xh f xy x )()(,()(2)()()()(,()(2)()(111iiiiiiiiiiiixyhxyhxfxyhxyxyxyhxyxfxyhxyxy 12222222232()()()(, ()2(, ()(, ()(, ()1()2(, ()(, ()1()()()2iiiiiiiiiiiiiiiiiihy xy xy xf xy xf xy xf xy xf xy xhhy xhxyxf xy xf xy xh y xh yxO hx yy )()(,()(2)()(1iiiiiixyhxyhxfxyhxyxyLTE 23243()()()()()262(, ()(,

13、()(, ()()2()()iiiiiiiiiiiihhhhy xyxyxy xy xf xy xhh fxy xfxy xyxyO hO h 故故改進的歐拉方法也是二階的。改進的歐拉方法也是二階的。誤差主項誤差主項 這里我們假定前一步所得結果是準確的，這也是這里我們假定前一步所得結果是準確的，這也是所謂的局部截斷誤差的名稱由來，相當于只算一步的所謂的局部截斷誤差的名稱由來，相當于只算一步的誤差，從而是局部的。誤差，從而是局部的。 2. 局部截斷誤差局部截斷誤差的的意義意義p 階數值方法在區間階數值方法在區間 上就有上就有 ,1 iixx即該數值方法是局部收斂的。即該數值方法是局部收斂的。在條

14、件在條件 下，可以證明當步長趨于零時，下，可以證明當步長趨于零時， )(iixyy ),(11 iixyy下證之。下證之。)(,),(,()(),()( 111111 iiiiiiiiiiiixyxxyxhxyLTEyxyxhyxyy LTExyxyxyxyxhiiiiiiii )(,(),(1111 LTExyyhLii )(11當數值方法為當數值方法為 p 階時，階時，),(1 phOLTE故故 , 0)(11 iixyy簡證：簡證：條件條件 )(iixyy 一般是不成立的，僅作局部研究用。一般是不成立的，僅作局部研究用。 0 Lipschitz hy 當當且且關關于于連連續續 時時, ,

15、這是局部性質這是局部性質.3. 收斂性收斂性( (是算法有實際意義的理論基礎）是算法有實際意義的理論基礎）當等距步長當等距步長 時，若時，若0h, , 1, 0 ,nibaxi )(iixyy 都有都有 ，則稱原算法是收斂的，且則稱原算法是收斂的，且 )(iiixyye 稱為整體截斷誤差。稱為整體截斷誤差。若若),(maxpiihOe 則稱原算法是則稱原算法是 p (p1) 階收斂的或具有階收斂的或具有 p 階精度。階精度。4. 單步法局部截斷誤差與整體截斷誤差的關系單步法局部截斷誤差與整體截斷誤差的關系 初值準確，初值準確，即即 關于關于 y 滿足滿足Lipschitz條件條件 p (p1)

16、 階方法，即局部截斷誤差為階方法，即局部截斷誤差為 ),(1 phO原原 p 階算法是階算法是 p 階收斂的階收斂的),(00 xyy 誤差關系定理誤差關系定理: （局部與整體誤差關系）（局部與整體誤差關系）由于單步法是由于單步法是 p 階方法，故有局部截斷誤差階方法，故有局部截斷誤差)()(,()()(11 piiiihOxyxhxyxyLTE 即即11)(,()()( piiiihCxyxhxyxy 設單步法設單步法 是是 p 階方法，函數階方法，函數),(1iiiiyxhyy , 條條件件滿滿足足關關于于Lipschitzy yyLyxyx ),(),(即存在常數即存在常數, 0 L使得

17、對任意使得對任意 ，都有，都有,bayy 且初值且初值 是準確的，是準確的，則原算法則原算法 p 階收斂階收斂.0y證明：證明：從而，從而，11)(,()()( piiiihCxyxhxyxy )(11 iixyy1)(,(),()( piiiiiihCxyxyxhxyy 11)()1()( )( piipiiiihCxyyhLhCxyyhLxyy11)1( piihCehLe即得以下遞推關系式即得以下遞推關系式 對對 i 逐步逐步遞推可得，遞推可得，),(1iiiiyxhyy 1111)1)(1( ppiihChCehLhLe)1(1 )1(112hLhCehLpi )1()1()1(1()

18、1(2101ipihLhLhLhCehL hLhLhCehLipi1)1()1(1101 LhLhCehLnpi1)1()1(01 1e)1()(01 abLpiLhCehL)1(1 )1(1121hLhCehLepii 11)1( piihCehLe遞推關系：遞推關系： 1e)1(01 LhnpiLhCehL. 1 , 0)( ,e)1( xmxxmm整數整數因初值準確，因初值準確， 1e)1()(011 abLpiiLhCehLe. 0 0 e即即 1 , , 1 , 0 ),(1e)(1 nihOLhCepabLpi),(max piihOe 顯顯然然有有所以原算法是所以原算法是 p 階

19、收斂的階收斂的. 這個定理說明當初值準確時，通過控制局部截斷這個定理說明當初值準確時，通過控制局部截斷誤差可以控制整體截斷誤差，誤差可以控制整體截斷誤差，因此設計數值方法時，因此設計數值方法時，要得到好的算法、高的收斂階和精度，可以首先從要得到好的算法、高的收斂階和精度，可以首先從局部截斷誤差的分析入手。局部截斷誤差的分析入手。 p 階方法階方法 p 階收斂階收斂注：上述定理對于隱式方法也成立。注：上述定理對于隱式方法也成立。11(,) (,).iiiiiixy xyxy 因因為為總總可可以以寫寫成成的的形形式式收斂性收斂性若一個數值方法的局部截斷誤差為若一個數值方法的局部截斷誤差為, )(

20、1 phOLTE),1( p則稱該數值方法與原問題是則稱該數值方法與原問題是相容相容的。的。所以對單步法而言，所以對單步法而言， 初值準確初值準確 關于關于 y 滿足滿足Lipschitz條件條件 相容性相容性 關于關于 y 滿足滿足Lipschitz條件條件, p (p1) 階方法，即局部截斷誤差為階方法，即局部截斷誤差為 ),(1 phO原原 p 階算法是階算法是 p 階收斂的階收斂的 初值準確，初值準確，即即),(00 xyy 證明：證明：只要考察條件只要考察條件.對于改進的歐拉方法，有對于改進的歐拉方法，有 2 , 1 , 0 ),(),(2 , 12 , 1 , 0 ),(1111

21、kyxfyxfhyyniyxfhyyiiiiiiiiii若原方程右端項若原方程右端項, Lipschitz ),(連連續續關關于于 yyxf則改進的歐拉方法是二階收斂的則改進的歐拉方法是二階收斂的.例例5. 證明：證明：),(),(21),(1111 iiiiiiiiyxfyxfyxyx yyLhLyyhLyyL 2)2(22),(,(),(21),(iiiiiiiiyxfhyhxfyxfyx 即即考察考察),(,(),(21),(yxfhyhxfyxfyx 易見，易見，),(,(),(,(),(),(21),(),( yxfhyhxfyxfhyhxfyxfyxfyxyx ),(),(2 yx

22、fhyyxfhyyyL L yy 故故 關于關于 y 滿足滿足Lipschitz 條件條件.“一個算法一個算法 p 階收斂階收斂”的實際意義：的實際意義：利用改進的歐拉方法求解以下初值問題利用改進的歐拉方法求解以下初值問題時，時， ,1)0(10 ,2dd yxyxyxy分別取步長分別取步長 h = 0.1和和0.05。再由例再由例5 結論可證改進的歐拉方法是二階收斂的。結論可證改進的歐拉方法是二階收斂的。那二階收斂在數值形式上表現為什么呢？那二階收斂在數值形式上表現為什么呢？可以證明原方程右端項可以證明原方程右端項, Lipschitz ),(連連續續關關于于 yyxf可得改進的歐拉方法是二

23、階收斂的?？傻酶倪M的歐拉方法是二階收斂的。實際從理論上，實際從理論上，（直接驗證有困難，可借助真解的單調性得（直接驗證有困難，可借助真解的單調性得 L= 3）。）。ixiy)(ixy)(iixyy 改進改進精確解精確解誤差誤差0.01.000000001.000000000.000000000.11.095909091.095445120.000463980.21.184096571.183215960.000880610.31.266201361.264911060.001290300.41.343360151.341640790.001719360.51.416401931.4142135

24、60.002188370.61.485955601.483239700.002715900.71.552514091.549193340.003320750.81.616474781.612451550.004023230.91.678166361.673320050.004846311.01.737867401.732050810.00581659半步長數值解半步長數值解半步長誤差半步長誤差1.000000000.000000001.095561120.000116001.183436980.000221031.265235850.000324791.342074540.000433761.414766630.000553061.483927110.000687411.550034920.000841581.613472330.001020781.674550960.001230911.733529620.001478821 . 0 h05. 0 h步長減為原來的一半，則誤差減為原來誤差的步長減為原來的一半，則誤差減為原來誤差的1/4.上題中若初值不準確，上題中若初值不準確， 1e)1()(2011 abLiiLhCehLe,001. 1)0( y不妨設不妨設可得如下數值結