1、最優控制模型、理論及算法主講：劉瓊蓀 最優控制模型最優控制模型 基本原理基本原理 計算問題計算問題主要內容 最優化問題的實質就是利用數學工具在容許控制集中尋找一個最優控制函數或者最優控制方案，使所研究的系統能夠最優地達到預期的目標。最優化問題 靜態與動態，離散與連續最優化問題1. 病毒的傳播模型；2. 海洋生態平衡模型；3. 交通流量的控制模型；4. 導彈運行最佳軌跡。建立數學模型分為三步驟：最優化問題（1）需要確定狀態變量、控制變量、約束、目標；（2）對問題具體分析、數學描述和研究；（3）研究算法，并對算法的收斂性、誤差、有效性作出評價。1）狀態方程組）狀態方程組最優控制模型的數學描述( )

2、( ( ), ( ), )x tf x t u t tt 表示時間( )x tn表示 維狀態向量( )u tr表示 維控制向量2）容許控制集）容許控制集12( ),( ),.,( )|( ),1,2,., riiUu t u tu tu tm ir3）邊界條件與目標集）邊界條件與目標集最優控制模型的數學描述 動力系統的運動過程，就是系統從一個狀態轉移到另一個狀態的過程，在狀態空間中其運動軌跡將形成曲線x(t). 邊界值：初始狀態x(t0), 終端狀態x(tf)終端時刻和狀態可以是自由的，也可以是給定的。目標集： (),0, (),0ffffN x ttN x tt或4）目標）目標函數函數最優控

3、制模型的數學描述 控制變量用于控制狀態的轉移過程，效果的好壞取決于u(t)，效果性能指標.最少燃料、最少時間，最小能耗等控制問題。4）目標）目標函數函數最優控制模型的數學描述(1)Bolza0 ()( (),)( ( ), ( ), )ftffftJ u tx ttL x t u t t dt (2) Lagrange0 ()( ( ), ( ), )ftftJ u tL x t u t t dt能控性和能觀測性的概念 1960 1960年卡爾曼最先提出能控性和能觀測性的概年卡爾曼最先提出能控性和能觀測性的概念。對于一個控制系統，特別是多變量控制系統，念。對于一個控制系統，特別是多變量控制系統

4、，必須要回答的兩個問題是：必須要回答的兩個問題是：（1）能控性：在有限的時間內，控制作用能否使得在有限的時間內，控制作用能否使得系統從初始狀態轉移到要求的狀態？系統從初始狀態轉移到要求的狀態？（2）能觀測性：在有限的時間內，能否通過對系統在有限的時間內，能否通過對系統的輸出的測定來評估系統的初始狀態？的輸出的測定來評估系統的初始狀態？山羊山羊放牧系統中的最優控制模型及生態經濟效益放牧系統中的最優控制模型及生態經濟效益實例 1 草原放牧生態系統模型：( )x tt表示 時刻牧場種群數量0( )( )( )(0)dx tF xu tdtxx( )u tt表示 時刻畜牧類采食量( )F x 表示 牧

5、草的增長率放牧總利潤：0max( )( ) ( )tJ uePC x u t dthttp:/計算機病毒傳播計算機病毒傳播的的最優控制最優控制模型模型實例 2 計算機應用研究J,28(8),2011 狀態變量狀態變量當前當前以后以后S(數量)沒有感染可能感染C(數量)沾染病毒發現I(數量)感染傳播A(數量)不被感染不被感染參數參數含義含義沾染率 1，免疫率2感染率u(t)殺毒率狀態轉移因子計算機病毒傳播計算機病毒傳播的的最優控制最優控制模型模型實例 2 1212lnlnlnlnln( ) ln( ) lnlnlnlndSISSAdtAdASACAu t IAdtdICu t IAdtdCISC

6、ACdtA ，狀態方程組：狀態隨時間的變化率機理分析計算機病毒傳播計算機病毒傳播的的最優控制最優控制模型模型實例 2 控制集：2 ( )(0, ):0( )1,0Uu tLTu ttT 20( ) ( )( )/ 2TJ uI tutdt目標泛函：0000(0), (0), (0),(0)SSAA II CC初始條件：感染數量系統消耗min路徑選擇的路徑選擇的交通流量的最優控制模型交通流量的最優控制模型實例 3 城市機動車擁有量以及各種交通需求量急劇上升，城市道路所承受的負荷不斷增長，給城市管理和人民生活都帶來了巨大的考驗大連交通大學學報J, 31(6), 2010動態路徑選擇的交通系統最優控

7、制模型動態路徑選擇的交通系統最優控制模型實例 3 智能交通運輸系統(以下簡稱ITS)具有先進的檢測、通信、計算機系統集成控制技術，它能最大限度地發揮現有交通基礎設施的潛力，提高運輸效率，改進交通安全，緩解城市交通擁擠，節約能源的消耗，保護周圍環境，動態路徑選擇的交通系統最優控制模型動態路徑選擇的交通系統最優控制模型實例 3 （1）基本約束( )( ),saasu tu ta t流入率：( )( ),saasv tv ta t流出率：( )( ),saasx tx ta t流量：( ,)al m路段的狀態方程( )( )( ), ,sssaaadx tu tv ta s tdt動態路徑選擇的交通

8、系統最優控制模型動態路徑選擇的交通系統最優控制模型實例 3 （2）非負約束( )0,( )0,( )0, ,sssaaax tu tv ta s t( )0,( )0,( )0,aaax tu tv ta t邊界條件：(0)0,sava s（3）流量守恒約束( )( )( ), ,llsssalaa Aa Bv tg tu tls s t 動態路徑選擇的交通系統最優控制模型動態路徑選擇的交通系統最優控制模型實例 3 （4）先進先出原則不考慮超車現象（5）流量傳播約束假定交通流為連續流( )( )( ), ,at ctssaatx tvda s t( )( )( )ssaaax tv tc t動

9、態路徑選擇的交通系統最優控制模型動態路徑選擇的交通系統最優控制模型實例 3 0,min( )Tau saJx t dt( ). .( )( ), ,sssaaadx tstu tv ta s tdt( )( )( ), ,llsssalaa Aa Bv tg tu tls s t ( )0,( )0, ,ssaax tu ta s t(0)0,saxa s( )( ), ,( )ssaaax tv ta s tc t交通流的總量達最小嫦娥三號的著陸軌道和在嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優控制策略個階段的最優控制策略實例 4 (1)著陸準備軌道(2)主減速段(3)快速調整段(4)粗避障段(5

10、)精避障段(6)緩速下降階段234567123456min( )( )( )( )( )( )ttttttttttttJm t dtm t dtm t dtm t dtm t dtm t dt燃料消耗達最小嫦娥三號的著陸軌道和在嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優控制策略個階段的最優控制策略實例 4 (2)主減速段00coscossincoscosxytadvFdtmdvFgdtmmmmdte coscoscosae其中cosae引入角度修正因子coscos使得0.08,0.09,0.086aa嫦娥三號的著陸軌道和在嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優控制策略個階段的最優控制策略實例 4 (3

11、)快速調整階段的最優控制策略根據牛頓第二定律，建立飛行器水平水平方向上的動力學方程10cosxtedvFdtmmmmdFv m max102coscosFFk tk t設計控制參數k1，k2，使1. 最優控制中的變分法最優控制中的變分法（無約束）（無約束）最優控制模型的基本原理 在動態最優化問題中，目標函數通常是一個泛函。泛函可以簡單地理解為“函數的函數”。0 ( )=( ( ), ( ), )TJ x tL x s x s t ds1. 最優控制中的變分法最優控制中的變分法（無約束）（無約束）最優控制模型的基本原理定理1 連續泛函 的變分，等于泛函 對 的導數在 的值。即 ( )J x t

12、( )( )J x tx t 00 ( )( )| ( )( )JJ x tx tL x tx t 0( )( )( )x tx tx t其中定理2 如果可微泛函 在 上達到極大或極小，則 ( )J x t0( )x t0( )( )0 x tx tJ 在上有1）固定端點）固定端點的變分的變分問題問題最優控制模型的基本原理取極值的必要條件是容許極值曲線 滿足歐拉方程*( )x t0=( ( ), ( ), )fttJL x s x s t ds0LdLxdtx00( ),( )ffx txx tx邊界條件：2）可變端點）可變端點的變分的變分問題問題最優控制模型的基本原理取極值的必要條件是容許極

13、值曲線 滿足歐拉方程*( )x t0=( ( ), ( ), )fttJL x s x s t ds0LdLxdtx00( ),x tx始端邊界條件和終端橫截條件： , , ()0fTt tLL x x txx()()ffx tt給定曲線2. 最優控制最優控制問題求解（有約束）問題求解（有約束）最優控制模型的基本原理 把具有狀態方程約束的變分問題轉化為無約束變分問題。即轉換為哈密頓函數的極值問題。1）固定端點的）固定端點的最優控制最優控制問題問題最優控制模型的基本原理狀態方程：0=( ( ), ( ), )fttJL x s u s t ds( ) ( ), ( ), x tf x t u t

14、 t泛函指標：構造哈密頓函數： ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), TH x t u t tL x t u t tf x t u t t1）固定端點的）固定端點的最優控制最優控制問題問題最優控制模型的基本原理正則方程：控制方程：邊界條件：( ),( )HHx ttx 0Hu00( )x tx()ffx tx最優解 滿足以下方程和條件：*( ),( ),( )x tt u t第一步 構造哈密頓函數一般的計算步驟第二步 將最優控制變量代入正則方程中 ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), TH x t u t tL x t u t tf x t u t

15、t0Hu由，解出*( )= ( , )u tu x00( ) ( ), ( , ), ,( )( ),()ffx tf x t u xtx txHtx txx *( )( )xx tt解出，第三步 回代，得到*( )= ( ),( )( )u tu x ttu t山羊山羊放牧系統中的最優控制模型及生態經濟效益放牧系統中的最優控制模型及生態經濟效益實例 1 草原放牧生態系統模型：0( )( )( )(0)dx tF xu tdtxx放牧總利潤：0max( )( ) ( )tJ uePC x u t dthttp:/哈密頓函數：( ) ( )( ( )( )tHePC x u tF xu t實例

16、1 哈密頓函數：( ) ( )( ( )( )tHePC x u tF xu t正則方程：( )( )( )x tF xu t( )( ) ( )( )teC x u tF x ( )Hx t( )Htx 控制方程：0Hu( )0tePC x實例 1 聯立求解，可得：*( )( *),( )0utF xx t如果已知( )(1)xF xrxK，( )( )( )0( )C xF xF xPC x( ),CC xCx是常數（1）代入（1）式，得到122*(1)(1)84KCCCxPKrPKrPKr 實例 1 與之對應的最優控制為：minmax,*2,*( )( *),*(1),*,*,*Kxxu

17、xxxutF xxxrxxxKuxxKxx例2 計算機病毒傳播的控制問題1212lnlnlnlnln( ) ln( ) lnlnlnlndSISSAdtAdASACAu t IAdtdICu t IAdtdCISCACdtA ，狀態方程目標泛函20( ) ( )( )/ 2TJ uI tutdt初始條件0000(0), (0), (0),(0)SSAA II CC例2 計算機病毒傳播的控制問題哈密頓函數121ln( )( , )(ln)(lnln( ) ln)lnIH tL I uSSASACAu t IAA 3242ln( ) ln)()lnICu t IASCA 2( , )( )( )/

18、 2L I uI tu t其中例2 計算機病毒傳播的控制問題最優控制和最優狀態滿足如下正則方程組：1124lnln(ln)lnlnlndHIIAAdtSAA 322111422( )lnln()( ) ()lnlnu t IdCHSSASISCu t IdtAAAAAAAAA 314231( )ln( )lnlnlndSSHu tAu tAdtIIAIA 42232412ln(ln)dHAAdtC 橫截條件( )0,1,2,3,4iTi例2 計算機病毒傳播的控制問題控制方程：最優控制：*23( )lnln0u uHu tIAIAu*321( )maxmin( ()ln,1),0u tIA例2 計算機病毒傳播的控制問題數值仿真數值仿真初始條件(0)30, (0)40, (0)10, (0)20SAIC參數選取120.24,0.21,0.42,0.15,5采用Runge-Kutta四階微分方程數值求解法。例2 計算機病毒傳播的控制問題參考程序參考程序( (matlabmatlab) )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )x trx tax t