1、一、控制系統的運動微分方程二、非線性數學模型的線性化三、拉氏變換和拉氏反變換四、傳遞函數五、系統方框圖和信號流圖六、控制系統傳遞函數推導舉例七、小結0、數學模型的基本概念第二章 數學模型0、數學模型的基本概念 數學模型數學模型 數學模型是描述系統輸入、輸出量以及內部各變量之間關系的數學表達式，它揭示了系統結構及其參數與其性能之間的內在關系。 靜態數學模型靜態數學模型：靜態條件（變量各階導數為零）下描述變量之間關系的代數方程。靜態模型是t時系統的動態模型。）動態數學模型動態數學模型：描述變量各階導數之間關系的微分方程。 第二章 數學模型 建立數學模型的方法建立數學模型的方法(1)解析法(2) 實

2、驗法 依據系統及元件各變量之間所遵循的物理或化學規律列寫出相應的數學關系式，建立模型。人為地對系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型進行逼近。這種方法也稱為系統辨識。數學模型應能反映系統內在的本質特征，同時數學模型應能反映系統內在的本質特征，同時應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。第二章 數學模型 數學模型的形式數學模型的形式(1) 時間域：微分方程、差分方程、狀態方程 (2)復數域：傳遞函數、結構圖(3) 頻率域：頻率特性 第二章 數學模型微分方程描述系統輸入-輸出模型，僅表示輸入輸出變量之間的關系。差分方程是含有未知函數及其導數的方

3、程。控制系統的動態數學模型 線性微分方程線性系統 線性定常系統 線性時變系統 微分方程連續時間系統 差分方程離散時間系統 偏微分方程控制系統中含有分布參數 非線性微分方程非線性系統一、控制系統的運動微分方程(一）建立數學模型的一般步驟一）建立數學模型的一般步驟 1、分析系統工作原理和信號傳遞變換的過程， 確定系統和各元件的輸入、輸出量； 2、從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據各變 量遵循的物理學定律，依次列寫出各元件、部件的 動態微分方程； 3、消去中間變量，得到描述元件或系統輸入、輸出 變量之間關系的微分方程； 4、標準化：右端輸入，左端輸出，導數降冪排第二章 數學模型（二）控制系統微

4、分方程的列寫控制系統微分方程的列寫P17 P17 1、機械系統機械系統中以各種形式出現的物理現象，都可簡化為質量、彈簧和阻尼三個要素：（1）質量（m）mfm(t)參考點x (t)v (t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm第二章 數學模型（2）彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121第二章 數學模型 K為彈簧剛度（3）阻尼dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()()()()()(2121CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)

5、第二章 數學模型C為黏性阻尼系數（4）機械平移系統)()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCimmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機械平移系統及其力學模型fC(t)靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響第二章 數學模型)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m（受控質量）、C （黏性阻尼系數）、K（彈性剛度）通常均為常數，故機械平移系統可以由二階常系數微分方程描述。第二章 數學模型顯然，微分方程的系數取決于系統的結構參數，而階次等于系統中獨立儲能元件（慣性質量、彈簧）

6、數量。 ( )ox t 為輸出位移( )if t 為輸入（4） 彈簧阻尼系統xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統系統運動方程為一階常系數微分方程。 )()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi第二章 數學模型（5）機械旋轉系統Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ 旋轉體轉動慣量；K 扭轉剛度系數；C 粘性阻尼系數 彈性軸的旋轉力矩 阻尼器產生的阻尼力矩還有慣性體產生的慣性力矩柔性軸第二章 數學模型( ) kT t( )cT t)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCKooCoiK)()()()(22t

7、KtKtdtdCtdtdJiooo第二章 數學模型3、電氣系統 P17-19 （1）電阻)()(tRitu電氣系統三個基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)第二章 數學模型(2)電容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t)(3)電感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)第二章 數學模型C為電容，L為電感。dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(4)R-L-C無源電路網絡第二章 數學模型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網絡一般R、L、C均為常數，上式為二階常系數微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtd

8、LCiooo若L=0，則系統簡化為：)()()(tututudtdRCioo第二章 數學模型)()(0)(21tititua(5)有源電網絡p18-19+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：第二章 數學模型00A00( )=-( )( )( )=-0Au tK utu tutK小結 物理本質不同的系統，可以有相同的數學模 型，從而可以拋開系統的物理屬性，用同一 方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方 法） 。 從動態性能看，在相同形式的輸入作用下， 數學模型相同而物理本質不同的系統其輸出 響應相似。相似系統是控制理論中進

9、行實驗 模擬的基礎。 第二章 數學模型 通常情況下，元件或系統微分方程的階次等 于元件或系統中所包含的獨立儲能元（慣性 質量、彈性要素、電感、電容、液感、液容 等）的個數；因為系統每增加一個獨立儲能 元，其內部就多一層能量（信息）的交換。 系統的動態特性是系統的固有特性，僅取決 于系統的結構及其參數。 第二章 數學模型二、非線性數學模型的線性化（一） 線性化問題的提出線性化問題的提出 2、線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系 統工作范圍，將非線性微分方程近似為線性 微分方程進行處理。 1、非線性現象：機械系統中的高速阻尼器， 阻尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系 統由于間隙的存在導致的非線性

10、傳輸特 性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線 性關系等。 第二章 數學模型3、線性系統是有條件存在的，只在一定的工 作范圍內具有線性特性； 4、非線性系統的分析和綜合是非常復雜的； 5、對于實際系統而言，在一定條件下，采用 線性化模型近似代替非線性模型進行處 理，能夠滿足實際需要。 第二章 數學模型（二）線性系統與非線性系統可以用線性微分方程描述的系統。如果方程的系數為常數，則為線性定常系統；如果方程的系數是時間t的函數，則為線性時變系統； 1、線性系統線性是指系統滿足疊加原理，即：)()()(2121xfxfxxf可加性：)()(xfxf 齊次性：)()()(2121xfxfxxf或：第二章

11、 數學模型用非線性微分方程描述的系統。非線性系統不滿足疊加原理。2、非線性系統為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統簡化為線性系統處理。 實際的系統通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內成立。 第二章 數學模型非線性系統舉例節流閥節流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統設液體不可壓縮，通過節流閥的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱體截面積；第二章 數學模型)()()(tqtHtHdtdAi上式為非線性微分方程，即此液位控制系統為非線性系統。 ：由節流閥通流面積和通流口的結構形式決定的系數，通流面積不變時，為常數。第二章 數學模型3、線性系統微

12、分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm為由系統結構參數決定的實常數，mn。 )()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章 數學模型4、 非線性數學模型的線性化非線性數學模型的線性化 （1）泰勒級數展開法 函數y=f(x)在其平衡點（x0, y0）附近的泰勒級數展開式為： 3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy第二章 數學模型)()()(000

13、 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的項，則：0)(xxdxxdfK或：y - y0 = y = Kx， 其中：上式即為非線性系統的線性化模型，稱為增量方程。y0 = f (x0)稱為系統的靜態方程；第二章 數學模型增量方程的數學含義就是將參考坐標的原點移到系統或元件的平衡工作點上，對于實際系統就是以正常工作狀態為研究系統運動的起始點，這時，系統所有的初始條件均為零。 對多變量系統，如：y = f (x1, x2)，同樣可采用泰勒級數展開獲得線性化的增量方程。 第二章 數學模型)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxx

14、xxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 靜態方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：第二章 數學模型（2）滑動線性化切線法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非線性關系線性化A線性化增量增量方程為：y y =xtg切線法是泰勒級數法的特例。第二章 數學模型5、系統線性化微分方程的建立、系統線性化微分方程的建立 步驟： （1）確定系統各組成元件在平衡態的工作點； （2）列出各組成元件在工作點附近的增量方程； （3）消除中間變量，得到以增量表示的線性化微 分方程； 第二章 數學模型例：單擺 P21根據牛頓第二定律這是一個非線性微分

15、方程因為則原微分方程可近似為以下線性方程:.2( )-sin ( )=( )iT t mgltmltTi(t)ml(t)350sin = -+sin3!5! 接近.2( )+sin ( )=( )imltmgltT t第二章 數學模型 實例：液位系統的線性化 )()()(tqtHtHdtdAi20022000)(! 21)(HHHdHHdHHHdHHdHH0000,ioiqHqq解解：穩態時：)(tH非線性項的泰勒展開為：第二章 數學模型節流閥節流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統HHHHHHdHHdHH0000021)(則：iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：注意到：Hdtd

16、HHdtd)(0第二章 數學模型)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi實際使用中，常略去增量符號而寫成：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：此時，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點的增量。第二章 數學模型6、線性化處理的注意事項線性化處理的注意事項 （1）線性化方程的系數與平衡工作點的選擇有關；（2）線性化是有條件的，必須注意線性化方程適 用的工作范圍； （3）某些典型的本質非線性，如繼電器特性、間隙、 死區、摩擦等，由于存在不連續點，不能通過泰 勒展開進行線性化，只有當它們對系統影響很小 時才能忽略不計，否則只能作為非線性問題處理。 第二章 數學模型inout0

17、近似特性曲線真實特性飽和非線性inout0死區非線性inout0繼電器非線性inout0間隙非線性第二章 數學模型例：閥控液壓缸線性化p20-21解：1）明確系統輸入與輸出：輸入為x,為閥芯位移的輸入；y為液壓缸活塞位移的輸出，q為負載流量，pL為負載壓差，m為負載質量。2)列寫原始微分方程：000= (,)qf xp(3):(1)qcqKxKp 表示成增量化形式為非線性函數，設閥的額定工作量為1( , )qq x p（）已知00 xp和，其靜態方程為：ppqxxqpxqpxqTaylorppxxppxx0000),(),(,)2(00級數形式展開成22()()=+(3)dydypA mDdt

18、dt(1)式（2）式聯立，求得 ，代入（3）式整理可得：液壓缸工作腔流動連續性方程為()(2)dyqAdt A為液壓缸工作面積。液壓缸平衡方程為：p22()()+(+ )=()(4)ccqK mK DdydyAKxAAdtdt通常將式（4）寫成.(t)+(+ )(t)=( )(5)ccqK mK DyA yK x tAA三、拉氏變換和拉氏反變換p22（一）拉氏變換（一）拉氏變換 設函數f(t)在t第二章 數學模型6、單位加速度函數02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst單位加速度函數0tf(t)函數的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過一定的轉換得到

19、。 第二章 數學模型 （四）拉氏變換積分下限的說明（四）拉氏變換積分下限的說明 在某些情況下，函數f(t)在t0處有一個脈沖函數。這時 必 須 明 確 拉 氏 變 換 的 積 分 下 限 是 0還是0+。0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst第二章 數學模型（五）（五）拉氏變換的主要定理拉氏變換的主要定理 1、疊加定理：(1)齊次性：Laf(t)=aLf(t)，a為常數；(2)疊加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b為常數；顯然，拉氏變換為線性變換。第二章 數學模型p232、實微分定理 0)()0(),0

20、()()(ttfffssFdttdfL00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst證明證明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：第二章 數學模型)0()()(fssFdttdfL所以：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同樣有：式中，f (0)，f (0)，為函數f(t)的各階導數在t=0時的值。第二章 數學模型)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn當f(t)及其各階導數在t=0時刻的值均為零時（零初始條件）：第二章 數學

21、模型(兩節課）3、復微分定理 222( )() ( )( )( ).( )( 1)( )(1, 2,3,.)nnnndF sLt f tdsdF sL t f tdsdF sL t f tnds=-輊=犏臌輊= -=犏臌若Lf(t)=F(s)，則除了F(s)的極點之外，有：證明：第二章 數學模型0000( )( ( )( )( )( )( )()( )()() ( )ststststF sL f tf t edtsddF sf t edtdsdsdf tedtdstf t edtLt f t由于兩邊對 求導得-=-=-4、積分定理p24 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsf

22、ssFdttfL)(1)(sFsdttfL當初始條件為零時：第二章 數學模型證明證明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst)(1)(sFsdttfLnn(1)()1111.( )()( )(0).(0)nnnnnLf tdtF sffsss-輊犏=+犏犏臌蝌同樣：當初始條件為零時：第二章 數學模型121(0)(0).(0)0nnffff-+-=5、延時定理 p24 ()00().1()( )().1()().1()()( )()( )( )( )asstastatasaassas

23、L f tataeF sL f tataf tata ef ta edtfedaefedeF s證：-=-+-=-=-=-揪井=+=設當t0時，f(t)=0，則對任意a0，有：函數 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 數學模型6、衰減定理 p24 ()00( )()( )( )( )()atatatstatstL ef tF saL ef tef t edtf t edtF sa證明：-+輊=+犏臌輊=+犏臌蝌例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat第二章 數學模型7、初值定理 證明證明：)(lim)0()(lim0ss

24、Fftfst初值定理建立了函數f(t)在t=0+處的初值與函數sF(s)在s趨于無窮遠處的終值間的關系。 00( )( )limlim( )lim0lim( )(0 )0stssstssdf tdf tLedtdtdtdf tedtdtsF sf)(lim)0(ssFfs即：第二章 數學模型8、終值定理 )(lim)()(lim0ssFftfst若sF(s)的所有極點位于左半s平面， 即：)(limtft存在。則：第二章 數學模型證明證明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss終值定理說明f(t)穩定值與sF(s)在s=0時的初值相同。)(lim)(

25、0ssFfs第二章 數學模型00000( )( )limlim( )lim()(0)stssstsdf tdf tLedtdtdtdf tedtdtff-輊輊犏犏=犏犏臌臌輊犏=犏臌=-又由于：)0()(lim)0()(0fssFffs即：9、卷積定理 p27 )()()()(sGsFtgtfL00( )* ( )() ( )( ) ()( )*( )ttf tg tf tgdfg tdg tf t若t0時， f(t)g(t)0，則f(t)和g(t)的卷積可表示為：其中，f(t)g(t)表示函數f(t)和g(t)的卷積。第二章 數學模型證明證明：0000( )( )() ( )().1() (

26、 )().1() ( )tstL f tg tLf tgdLf ttgdf ttgde dt 第二章 數學模型00( )( )tssfedged 令 - =-=蝌)()(sGsF( - )00( - ) 1( - )( )s tsf ttedtged 10、時間比例尺的改變p26 ()tL faF asa例：11)(ssFeLt1)(/asaasaFeLat第二章 數學模型證明：0stttL ffedtaa設,tua則 00=a =()stsautfedtf u eduasF as11、tx(t)函數的拉氏變換p26 證明： ( ) ( )=-dX sL tx tds第二章 數學模型-0-0-

27、0( )=( )=( )()=-( )=- ( )stststdX sdx t e dtdsdsdx tedtdstx t e dtL tx t12、證明：( )x tt第二章 數學模型( )=( )sx tLX s dst的拉氏變換為-0-0-00( )=( )=( )1=-( ) e1=( )( )= stssstsstsstX s dsx t e dtdsx te dsdtx tdttx tetx tLt 13、周期函數的象函數 設函數x(t)是以T為周期的周期函數，即x(t+T)=x(t)，則證明：令t=+nT， 則-023-0T2+-=0( ) =( )lim( )+( )+( )+

28、=( )stTTTstststTnnT TstnTnL x tx t e dtx t e dtx t e dtx t e dtx t e dt第二章 數學模型-01( ) =( )1-TstsTL x tx t e dte()00000 ( )()( )1( )1TsnTnTsnTsnTstsTL x txnT edexedx t edte（五）（五）求解拉氏反變換的部分分式法求解拉氏反變換的部分分式法 P28 例例2-3。 部分分式法 如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反變換可以容易

29、地求出，則：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)第二章 數學模型常用拉氏變換表常用拉氏變換表)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsAsBsF在控制理論中，通常：為了應用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，pn為方程A(s)=0的根的負值，稱為F(s)的極點。此時，即可將F(s)展開成部分分式。 第二章 數學模型 F(s)只含有不同的實數極點 P29niiinnpsAps

30、ApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()(式中，Ai為常數，稱為s = -pi極點處的留數。nitpiniiiieApsALsFL1111)(于是：第二章 數學模型例例：求)6(2)(22ssssssF的原函數。解解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)() 3(3232sssssssFsA第二章 數學模型54) 3(2)()2(2223sssssssFsA)0(5415831)()(231teesFLtftt215431158131)(ssssF即：第

31、二章 數學模型例例 求所示象函數的原函數求所示象函數的原函數f（t）s10s7s1s2) s (F23解：解：)5s)(2s ( s1s2s10s7s1s2) s (F23其中：其中：p10、p2-2、p3-51002121|0.1(2)(5)2 5sSssAss ss同理：同理：A2=0.5、A3-0.65s6 . 02s5 . 0s1 . 0) s (F25( )(0.10.50.6) 1( )ttf teet-=+- 其反變換為：其反變換為：P29 例例2-4。 F(s)含有共軛復數極點 P29-30nnpsApsApspsAsAsAsBsF332121)()()()(21212121)

32、()(pspspspsAsApspssF或或假設F(s)含有一對共軛復數極點-p1、-p2，其余極點均為各不相同的實數極點，則：式中，A1和A2的值由下式求解：上式為復數方程，令方程兩端實部、虛部分別相等即可確定A1和A2的值。第二章 數學模型niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(注意，此時F(s)仍可分解為下列形式：由于p1、p2為共軛復數，因此， A1和A2的也為共軛復數。ipsiipssFA)()(第二章 數學模型例例：求的原函數。10,)2()(222nnnssssF解解：)1)(1()(222nnnnnssssF21nd令：，則： sAjsjsAsAj

33、sjsssFdndndndnn3212)()()(第二章 數學模型dndnjsjsnAsAs212根據：dndnnjAAAj1212有：dndnjAAAj121即：nddnnAAAAA2; 121121由上式兩邊實部和虛部分別相等，得：第二章 數學模型2222)()(1)(dnndnnsssssF1022223sssAnnn而：sjsjsssFdndnn1)(2)(所以：222221()()1ndndndssss+=-+-2222)(sin,)(cosasteLasasteLatat第二章 數學模型tetetfdtdtnnsin1cos1)(2查拉氏變換表得：cos,sin1221 arctg

34、令，即：0),sin(11)(2ttetfdtn于是：0,sincos11122ttteddtn第二章 數學模型例例：求的原函數。) 1(1)(2sssssF解解：1232123211)(2210ssAsAsAjsjssssF1)(00sssFA23212123212)()() 1(jsjsAsAsFss第二章 數學模型0, 123)(2321)(21212121AAAAAA即：所以：11)(2sssssF2223211sss第二章 數學模型22222321212321211ssss2222232123312321211ssss第二章 數學模型查拉氏變換表得：tetetftt23sin3123

35、cos1)(22ttet23sin2123cos2332120,6023sin3212ttet第二章 數學模型 F(s)含有重極點 P31設F(s)存在r重極點-p0，其余極點均不同，則： )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。11110001.()()()()()rnrrrrrnAAAAAspspspspsp+-+=+第二章 數學模型00 ( )() rrAF s spsp=+=-010 ( )() rrdAF s spdssp-禳镲镲=+睚镲镲鉿= -022021 ( )() 2!rrdAF s sp

36、dssp-禳镲镲=+睚镲镲鉿=-011011 ( )() (1)!rrrdAF s sprdssp-禳镲镲=+睚镲-镲鉿=-第二章 數學模型01101()(1)!kp tktLespk-輊犏=犏+-臌注意到：01112111( ) ( ).(1)!(2)! .(0)rnp trrrrptp trnf tLF sAAttA errAeA et+-+=輊犏=+犏-臌+所以：第二章 數學模型例例：求的原函數。) 1()2(3)(2ssssF解解：12) 2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202ss

37、sssssssdsdsssFdsdA第二章 數學模型21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF)0(2)2()()(21teetsFLtftt于是：例2-7 P32第二章 數學模型（六）應用拉氏變換解線性微分方程（六）應用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟1、將微分方程通過拉氏變換變為 s 的代數方程； 2、 解代數方程，得到有關變量的拉氏變換表達式；3、應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。 第二章 數學模型原函數（微分方程的解）象函數微分方程象函數的代數方程拉氏反變換拉氏變換解代數方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第二章 數學模型 實例)()(6)(5)(22txtxdtt

38、dxdttxdiooo設系統微分方程為：若xi (t) =1(t)，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求xo(t)。解解：對微分方程左邊進行拉氏變換： )0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL第二章 數學模型)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo第二章 數學模型stLsXtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo對方程右邊進行拉氏變換：sxx

39、ssXssooo1)0()0()5()()65(2從而：第二章 數學模型61065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB第二章 數學模型) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏變換表得：當初始條件為零時：第二章 數學模型零狀態響應零輸入響應例

40、2-8 P321、應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始 條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式 中，因此，不需要根據初始條件求積分常數 的值就可得到微分方程的全解。 2、如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏 變換可以簡單地用sn代替dn/dtn得到。 由上述實例可見：第二章 數學模型3、系統響應可分為兩部分：零狀態響應和零輸入響應。 四、傳遞函數（一）（一）傳遞函數的概念和定義傳遞函數的概念和定義 1、 傳遞函數 第二章 數學模型在零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。 零初始條件：（1）t0時，輸入量及其各階導數均為0；（2）輸入量施加于系統之前，

41、系統處于穩定 的工作狀態，即t 0 時，輸出量及其各 階導數也均為0；第二章 數學模型（二）傳遞函數求解示例 1、質量-彈簧-阻尼系統的傳遞函數 )()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：按照定義，系統的傳遞函數為：mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機械平移系統及其力學模型fC(t)第二章 數學模型 2、R-L-C無源電路網絡的傳遞函數 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()(

42、)()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：第二章 數學模型3、幾點結論 傳遞函數是復數s域中的系統數學模型， 其參數僅取決于系統本身的結構及參數， 與系統的輸入形式無關。 若輸入給定，則系統輸出特性完全由傳遞函 數G(s) 決定，即傳遞函數表征了系統內在的 固有動態特性。 傳遞函數通過系統輸入量與輸出量之間的關 系來描述系統的固有特性。即以系統外部的 輸入輸出特性來描述系統的內部特性。 第二章 數學模型（三）傳遞函數的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdt

43、dbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio1、考慮線性定常系統當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統傳遞函數的一般形式：第二章 數學模型mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(令：)()()()()(sNsMsXsXsGio則：N(s)=0稱為系統的特征方程，其根稱為系統的特征根。特征方程決定著系統的動態特性。N(s)中s的最高階次等于系統的階次。2、特征方程、零點和極點特征方程、零點和極點 （1） 特

44、征方程第二章 數學模型式中，K稱為系統的放大系數或增益。當s=0時： G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數項都為零。因此K 反應了系統處于靜態時，輸出與輸入的比值。 第二章 數學模型（2）零點和極點 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG將G(s)寫成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數的極點；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，稱為傳遞函數的零點；系統傳遞函數的極點

45、就是系統的特征根。零點和極點的數值完全取決于系統的結構參數。第二章 數學模型（3）零、極點分布圖 將傳遞函數的零、極點表示在復平面上的圖形稱為傳遞函數的零、極點分布圖。圖中，零點用“O”表示，極點用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點分布圖0 12312-1-2-3-1-2j第二章 數學模型2、傳遞函數的幾點說明傳遞函數的幾點說明 （1）傳遞函數是一種以系統參數表示的線性定 常系統輸入量與輸出量之間的關系式；傳 遞函數的概念通常只適用于線性定常系統； （2）傳遞函數是 s 的復變函數。傳遞函數中的各 項系數和相應微分方程中的各項系數對應相 等，完全取決于系統結構參數

46、； 第二章 數學模型（3）傳遞函數是在零初始條件下定義的，即在零時刻之 前，系統對所給定的平衡工作點處于相對靜止狀態。 因此，傳遞函數原則上不能 反映系統在非零初始 條件下的全部運動規律； （4）傳遞函數只能表示系統輸入與輸出的關系，無法 描述系統內部中間變量的變化情況。 （5）一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的關 系，只適合于單輸入單輸出系統的描述。 第二章 數學模型3、脈沖響應函數、脈沖響應函數 初始條件為0時，系統在單位脈沖輸入作用下的輸出響應的拉氏變換為：)()()()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)稱為系統的脈沖響應函數（權函數）。系統的輸

47、出響應函數與傳遞函數包含關于系統動態特性的相同信息。第二章 數學模型（三）典型環節及其傳遞函數（三）典型環節及其傳遞函數 1、環節 具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環節。經常遇到的環節稱為典型環節。 任何復雜的系統總可歸結為由一些典型環節所組成。 第二章 數學模型2、 環節的分類 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG假設系統有b個實零點，c 對復零點，d 個實極點，e對復極點和v個零極點，由線性系統傳遞函數的零、極點表達式：可見：b+2c = m v+d+2e = n第二章 數學模型iiiiiisszs1),1(1

48、jjjjjjTsTTsps1),1(1對于實零點zi=i和實極點pj=j ，其因式可以變換成如下形式：第二章 數學模型1222222()()()() 21 (21)szszsjsjssss 對于復零點對z=+j和z+1= j ，其因式可以變換成如下形式：2222,1式中，第二章 數學模型對于復極點對pk=k+jk和pk+1=k jk ，其因式可以變換成如下形式：) 12(1 2 )()(2222221sTsTTssjsjspspskkkkkkkkkkkkk2222,1kkkkkkkT式中，第二章 數學模型ekkkkdjjvcbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(于是，系統的傳遞函數可以寫成：第二章 數學模型121,11,1, 12, 1,2222TssTTsssssK由上式可見，傳遞函數表達式包含六種不同的因子，即：一般，任何線性系統都可以看作是由上述六種因子表示的典型環節的串聯組合。上述六種典型環節分別稱為：第二章 數學模型比例環節：K一階微分環節：s+11222ss二階微分環節：s1積分環節：11Ts慣性環節：12122TssT振蕩環節：第二章 數學模型3、典型環節示例 q 比例環節 P33-34輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。其運動方程為：xo(t)=Kxi(t