1、運籌與優化模型運籌與優化模型第二章第二章 初等分析優化模型初等分析優化模型 設備更新問題的數學模型設備更新問題的數學模型 確定性存儲問題數學模型確定性存儲問題數學模型 隨機性存儲問題數學模型隨機性存儲問題數學模型第二章第二章 初等分析優化模型初等分析優化模型第第1節節 設備更新問題的優化模型設備更新問題的優化模型 設備更新設備更新 是指對在技術上或經濟上不宜是指對在技術上或經濟上不宜繼續使用的設備，用新的設備更換或用繼續使用的設備，用新的設備更換或用先進的技術對原有設備進行局部改造。先進的技術對原有設備進行局部改造?；蛘哒f是以結構先進、技術完善、效率或者說是以結構先進、技術完善、效率高、耗能少

2、的新設備，來代替物質上無高、耗能少的新設備，來代替物質上無法繼續使用，或經濟上不宜繼續使用的法繼續使用，或經濟上不宜繼續使用的陳舊設備。陳舊設備。 設備更新的兩種形式 一種是設備的原型更新一種是設備的原型更新(叫簡單更新叫簡單更新)。 是指用同類型的新設備代替舊設備。它適用于設備的技術壽命尚可但物質壽命已盡，或設備制造廠受技術水平限制不能提供新的機型 二是設備的技術更新。二是設備的技術更新。 是指用技術上更加先進、效率更高的先進設備來代替技術壽命已盡、經濟上不宜繼續使用的陳舊設備。 設備更新應遵循的原則(1)(1)設備更新應當結合企業的經濟條件，有計劃、有重點、有設備更新應當結合企業的經濟條件

3、，有計劃、有重點、有步驟地進行。步驟地進行。 (2)(2)要做好調查摸底工作，根據企業的實際需要和可能，安要做好調查摸底工作，根據企業的實際需要和可能，安排設備的更新工作。注意克服生產薄弱環節，提高企業的綜合生排設備的更新工作。注意克服生產薄弱環節，提高企業的綜合生產能力。產能力。 (3)(3)有利于提高生產的安全程度，有利于減輕工人勞動強度有利于提高生產的安全程度，有利于減輕工人勞動強度，防止環境污染。，防止環境污染。 (4)(4)更新設備要同加強原有設備的維修和改造結合起來，如更新設備要同加強原有設備的維修和改造結合起來，如改造后能達到生產要求的，可暫不更新。改造后能達到生產要求的，可暫不

4、更新。 (5)(5)講求經濟效益，做好設備更新的技術經濟分析工作。主講求經濟效益，做好設備更新的技術經濟分析工作。主要包括確定設備的最佳更新周期、計算設備投資回收期等。要包括確定設備的最佳更新周期、計算設備投資回收期等。 設備的壽命設備的壽命 1 1、設備的自然壽命、設備的自然壽命 設備的自然壽命，又稱物質壽命。它是指設備從投人使用開設備的自然壽命，又稱物質壽命。它是指設備從投人使用開始，直到因物質磨損而不能繼續使用、報廢為止所經歷的時間。始，直到因物質磨損而不能繼續使用、報廢為止所經歷的時間。它主要是由設備的有形磨損所決定的。它主要是由設備的有形磨損所決定的。 2 2、設備的技術壽命、設備的

5、技術壽命 設備的技術壽命，又稱有效壽命。它是指從設備開始使用到設備的技術壽命，又稱有效壽命。它是指從設備開始使用到因技術落后而被淘汰所延續的時間，也即是指設備在市場上維持因技術落后而被淘汰所延續的時間，也即是指設備在市場上維持其價值的時期。技術壽命主要是由設備的無形磨損所決定的，它其價值的時期。技術壽命主要是由設備的無形磨損所決定的，它一般比自然壽命要短。科學技術進步越快，技術壽命越短。一般比自然壽命要短。科學技術進步越快，技術壽命越短。 3 3、設備的經濟壽命、設備的經濟壽命 設備的經濟壽命，是從經濟的角度來看設備最合理的使用期設備的經濟壽命，是從經濟的角度來看設備最合理的使用期限，具體言之

6、，是指設備從投入使用開始，到團繼續使用經濟上限，具體言之，是指設備從投入使用開始，到團繼續使用經濟上不合理而被更新所經歷的時間。它是由維護費用的提高和使用價不合理而被更新所經歷的時間。它是由維護費用的提高和使用價值的降低決定的。設備的經濟壽命就是從經濟觀點值的降低決定的。設備的經濟壽命就是從經濟觀點( (即成本觀點即成本觀點或收益觀點或收益觀點) )確定的設備更新的最佳時刻。確定的設備更新的最佳時刻。 港作拖輪最佳經濟壽命研究設備更新問題的數學模型設備更新問題的數學模型 一、劣化數值法模型一、劣化數值法模型 設備在使用過程中，由于磨損使其性能不斷下降，費用消耗上設備在使用過程中，由于磨損使其性

7、能不斷下降，費用消耗上升，完全是一個低劣化的過程。因此采用低劣化數值法來確定升，完全是一個低劣化的過程。因此采用低劣化數值法來確定設備的經濟使用壽命，基本上包含了影響其經濟使用壽命的主設備的經濟使用壽命，基本上包含了影響其經濟使用壽命的主要因素，其公式為要因素，其公式為 其中其中T為經濟使用壽命；為經濟使用壽命；k0 為設備原值；為各種影響因素的費為設備原值；為各種影響因素的費用低劣化增長強度。用低劣化增長強度。 此模型來源于運籌學中存貯論的經濟訂購批量（此模型來源于運籌學中存貯論的經濟訂購批量（Economic ordering quantity）公式，簡稱）公式，簡稱EOQ 公式或平方根公

8、式。公式或平方根公式。 /20kT 實際上，若假定設備經過使用之后殘值為零，則每年費用實際上，若假定設備經過使用之后殘值為零，則每年費用為為k k0 / 0 / T T。隨著。隨著T T的增長，這種平均費用不斷減少。但是隨著的增長，這種平均費用不斷減少。但是隨著T T的增長，設備的磨損加劇，其維持費用又不斷上升，這就叫的增長，設備的磨損加劇，其維持費用又不斷上升，這就叫做機械設備低劣化。若這種低劣化每年以的數值增加，則第做機械設備低劣化。若這種低劣化每年以的數值增加，則第T T年的低劣化數為年的低劣化數為T T，T T年中的平均低劣化值為年中的平均低劣化值為T T / 2/ 2，據此，據此，平

9、均年費用效益損失平均年費用效益損失為求其最小值，令為求其最小值，令 ，即得前述平方根公式。，即得前述平方根公式。yTkT/20d yd T0二、二、 最小平均成本法更新模型最小平均成本法更新模型最小平均成本法，是求這樣的設備使用年限最小平均成本法，是求這樣的設備使用年限 T，使平均成本使平均成本 C (T ) 達到最小達到最小 其中其中 k 為設備原值，為設備原值，E(r) 為第為第 r 年維持費用，年維持費用，T 為使用年限。求為使用年限。求 。 由于由于 T 是離散的，不能求微分，可用差分逼近，記是離散的，不能求微分，可用差分逼近，記 C TkE rTrT( )( )01min()Tc T

10、 C TC TC T( )()()1 令令 ，可近似地求出穩定點，可近似地求出穩定點 T *，這樣，得，這樣，得 從這個方程中近似地解出從這個方程中近似地解出 T*，即為對應最小平均成本，即為對應最小平均成本的經濟使用年限。的經濟使用年限。 應指出，求應指出，求 ，相當于近似地求出。即，相當于近似地求出。即 在實際應用中，一般是采用這種求解算法來實在實際應用中，一般是采用這種求解算法來實現模型的求解?，F模型的求解。 C T() 0TE TE rkrT()( )1010min( )TC T min|()( )|TrTT E TE rk101 考慮設備殘值的計算方法設備年平均總成本等于設備的年平均

11、資產恢復成本與年度運營成本之和。設備年平均總成本等于設備的年平均資產恢復成本與年度運營成本之和。它的計算公式如下：它的計算公式如下：式中：式中：n設備使用期限，在設備經濟壽命計算中，設備使用期限，在設備經濟壽命計算中，n是一個自變量；是一個自變量；j設備使用年度，設備使用年度，j的取值范圍為的取值范圍為1到到n；ACnn年內設備的年平均總成本；年內設備的年平均總成本；K0購置成本；購置成本；Cj 在在n年使用期間的第年使用期間的第j年度設備的運營成本；年度設備的運營成本；Ln 設備在第設備在第n年的凈殘值。年的凈殘值。njjnnCnnLKAC101 如果設備的經濟壽命為m年，則m應滿足如下不等

12、式： ACm+1ACm ；ACm-1ACm 例例1：某型號轎車購置費為3萬元，在使用中有如下表的統計資料，如果不考慮資金的時間價值，試計算其經濟壽命。使用年度j1234567j年度運營成本5000600070009000115001400017000n年末殘值15000750037501875100010001000使用期使用期限限n資產恢復資產恢復成本成本K0-Ln年等額資產年等額資產恢復成本恢復成本（K0-Ln)/n年度運年度運營成本營成本Cj使用期限使用期限內營運成內營運成本累計本累計年等額年等額營運成營運成本本年等額總年等額總成本成本= =+ +11500015000500050005

13、0002000022250011250600011000550016750326250875070001800060001475042812570319000270006750137815*2900058001150038500770013500*6290004833140005250087501358372900041431700069500992914072解解：該型轎車在不同使用期限的年等額總成本如下表所示： njjC1njjCn11 由計算結果可以看出，該型號轎車使用5年時，其年等額總成本最低（AC5=13500元），使用期限大于或小于5年時，其年等額總成本均大于13500元，故該汽車

14、的經濟壽命為5年。在實際問題中，人們往往不只是考慮費用支出情況（即成本情在實際問題中，人們往往不只是考慮費用支出情況（即成本情況），也考慮收入情況，并且更重視的是經濟效益。這樣，我況），也考慮收入情況，并且更重視的是經濟效益。這樣，我們在構造模型時，應權衡費用支出與經濟收入這兩方面的狀況們在構造模型時，應權衡費用支出與經濟收入這兩方面的狀況做出綜合分析。前述兩種模型都只是著眼于一個方面。為此，做出綜合分析。前述兩種模型都只是著眼于一個方面。為此，我們考慮使用下面的模型來研究設備的更新，稱為最大總收益我們考慮使用下面的模型來研究設備的更新，稱為最大總收益法?？紤]法?？紤] 式中：式中： 設備設備t

15、年內的總收益函數；年內的總收益函數； 設備設備t年內的總收入函數；年內的總收入函數； 設備設備t年內的總維持費用函數；年內的總維持費用函數； 設備原值；設備原值； 三、最大總收益法三、最大總收益法 y tytytk( )( )( )120y t ( )y t1( )yt2( )k0k0對對y(t)求最大值，可令求最大值，可令解得的解得的T 就是最佳經濟使用年限。其幾何意義如就是最佳經濟使用年限。其幾何意義如圖所示圖所示 0/dTdy 當設備費用很大時，利率對設備更新所產生的影響是應當考慮的。為此，將當設備費用很大時，利率對設備更新所產生的影響是應當考慮的。為此，將上面的最大總收益法加以改進，成

16、為下面的效益分析法。考慮上面的最大總收益法加以改進，成為下面的效益分析法?？紤] 式中：式中： T 設備使用年限；設備使用年限； B（T） T年內設備的總效益；年內設備的總效益； R（t ） 第第t年的收入函數；年的收入函數； P（t ） 第第t年的費用支出函數；年的費用支出函數； S（t ） 第第t年時的設備殘值；年時的設備殘值； i 年利率；年利率； K0 設備原值設備原值 四、效益分析法四、效益分析法 C TkE rTrT( )( )0100)()()()(KeTSdtetPtRTBiTTit該函數可稱為效益函數，該函數可稱為效益函數， 求其最大值點就求其最大值點就是最佳更新期。令是最佳更

17、新期。令得得 解該方程即可得最佳更新期解該方程即可得最佳更新期T。 dB TdT( ) 0R TP TiS TS T( )( )( )( ) 對設備來說，應考慮設備的長遠使用費用。為此，需要建對設備來說，應考慮設備的長遠使用費用。為此，需要建立設備的費用方程。立設備的費用方程。 設其裝卸設備的原值為設其裝卸設備的原值為 k0，第，第 t 年度的維持費用為年度的維持費用為 yt , 年年利率為利率為 r，第二年的費用換算成第一年時，費用的換算系數，第二年的費用換算成第一年時，費用的換算系數為為V=1 / (1r) = 即第二年的維持費用換算成第一年時應為即第二年的維持費用換算成第一年時應為y2V

18、，類似地，第，類似地，第n年年的維持費用換算成第一年時，其值為的維持費用換算成第一年時，其值為yn 。折算后的總費用為。折算后的總費用為 y(n)k0y1y2Vy3V 2yn (k0y1) y2 y3 yn k0y1y2Vyn (1 )五、費用方程法更新模型五、費用方程法更新模型 ()11rVn1Vn1VnVn1Vn2Vn21Vn1VnVn2因為因為|V| 1，所以據無窮遞縮等比數列求和公式，應，所以據無窮遞縮等比數列求和公式，應有有 1 = 1 / (1 )從而從而 當當 y(n) y(n1) 和和 y(n) k2 kn ， Q0 Q1 Q2 Qn ， Q0 是最小是最小訂購數量，通常為訂購

19、數量，通常為0； Qn 為最大批量，通常無限制。為最大批量，通常無限制。經濟訂貨批量折扣模型（經濟訂貨批量折扣模型（2 2）下圖是下圖是 n = 3時時 c(Q) 和和 TC 的圖形表示：的圖形表示：當訂貨當訂貨量為量為QQi -1 ， Qi ) 時，由于時，由于 c(Q)= ki ，則有則有由此可見，總費用由此可見，總費用 TC 也是也是 Q 的分段函數，具體表示如下：的分段函數，具體表示如下：OQQ1Q2k3k2c(Q)k1OQ1Q2QQ3TCTC1TC2TC3niDkcQDQcTCiii, 2, 1213)(1Q3經濟訂貨批量折扣模型（經濟訂貨批量折扣模型（3 3） TC(Q) = TC

20、i， QQi -1 ， Qi ) ， i = 1，2，n。 由微積分的有關知識可知，分段函數由微積分的有關知識可知，分段函數TC(Q)的最小值只的最小值只可能在函數導數不存在的點、區間的端點和駐點達到。為此可能在函數導數不存在的點、區間的端點和駐點達到。為此，我們需要先找出這些點。由于，我們需要先找出這些點。由于 TCi 中的中的 Dki 是常數，求導是常數，求導數為數為0，所以，類似于模型一，所以，類似于模型一，得得 TCi 的駐點的駐點 由由TC 的圖形知，如果的圖形知，如果 TCi 的駐點的駐點 滿足滿足 Qi-1 r 時不補充；當時不補充；當 H r 時進行補充，每次補充的數量時進行補

21、充，每次補充的數量為為Q 。二、二、 需求為隨機變量的訂貨批量、再訂貨點模型需求為隨機變量的訂貨批量、再訂貨點模型 例例8 8. .某裝修材料公司經營某品牌的地磚，公司直接從廠家進這種某裝修材料公司經營某品牌的地磚，公司直接從廠家進這種產品。由于公司與廠家距離較遠，雙方合同規定，在公司填寫訂貨單后產品。由于公司與廠家距離較遠，雙方合同規定，在公司填寫訂貨單后一個星期廠家把地磚運到公司。公司根據以往的數據統計分析知道，在一個星期廠家把地磚運到公司。公司根據以往的數據統計分析知道，在一個星期里此種地磚的需求量服從以均值一個星期里此種地磚的需求量服從以均值 =850箱，方差箱，方差 =120箱的箱的

22、正態分布，又知道正態分布，又知道每次訂貨費為每次訂貨費為250元，每箱地磚的成本為元，每箱地磚的成本為48元，存貯元，存貯一年的存貯費用為成本的一年的存貯費用為成本的20%，即，即每箱地磚一年的存貯費用為每箱地磚一年的存貯費用為4820% = 9.6元。元。公司規定的服務水平為允許由于存貯量不夠造成的缺貨情況公司規定的服務水平為允許由于存貯量不夠造成的缺貨情況為為5%。公司應如何制定存貯策略，使得一年的訂貨費和存貯費的總和公司應如何制定存貯策略，使得一年的訂貨費和存貯費的總和為最少？為最少？ 解：首先按經濟訂貨批量存貯模型求出最優訂貨批量解：首先按經濟訂貨批量存貯模型求出最優訂貨批量Q 。已知

23、每已知每年的平均需求量年的平均需求量 D =8 50 52 = 44200 箱箱/年，年，c1 = 9.6 元元/箱年，箱年， c3 = 250元，得元，得需求為隨機變量的訂貨批量、再訂貨點模型（需求為隨機變量的訂貨批量、再訂貨點模型（2 2） 于是，每年平均約訂貨于是，每年平均約訂貨 44200/151729次。由服務水平，得次。由服務水平，得P (一個星期的需求量一個星期的需求量 r ) = 1 =1 0.05=0.95 進一步，有進一步，有 查標準正態分布表，得查標準正態分布表，得 進一步，有進一步，有 r = 1047，安全存貯量為安全存貯量為 r d m =1047 850 =197

24、箱箱。 在這樣的存貯策略下，在訂貨期有在這樣的存貯策略下，在訂貨期有95%的概率不會出現缺貨，的概率不會出現缺貨，有有5%的概率會出現缺貨。的概率會出現缺貨。箱)(15176 . 9250442002213cDcQ.95. 0r.645.1r需求為隨機變量的訂貨批量、再訂貨點模型（需求為隨機變量的訂貨批量、再訂貨點模型（3 3） 需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型是另一種處理多周期的存貯問題需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型是另一種處理多周期的存貯問題的模型。在這個模型里，管理者要定期例如每隔一周、一個月等檢查產品的的模型。在這個模型里，管理者要定期例如每隔一周、一個月等檢查產品的庫存量，根據

25、現有的庫存量來確定訂貨量，在這個模型中管理者所要做的決庫存量，根據現有的庫存量來確定訂貨量，在這個模型中管理者所要做的決策是：依照規定的服務水平制定出產品的存貯補充水平策是：依照規定的服務水平制定出產品的存貯補充水平M。一旦確定了一旦確定了M，也也就確定了訂貨量就確定了訂貨量Q 如下所示：如下所示：Q = M H，式中式中H 為檢查時的庫存量。為檢查時的庫存量。 這個模型很適合于經營多種產品并進行定期清盤的企業，公司只要制定這個模型很適合于經營多種產品并進行定期清盤的企業，公司只要制定了各種產品的存貯補充水平，根據清盤的各種產品的庫存量，馬上可以確定了各種產品的存貯補充水平，根據清盤的各種產品

26、的庫存量，馬上可以確定各產品的訂貨量，同時進行各種產品的訂貨。各產品的訂貨量，同時進行各種產品的訂貨。三、需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型三、需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型 需求為隨機變量的定期檢查庫存量的存貯模型處理存貯問題的典需求為隨機變量的定期檢查庫存量的存貯模型處理存貯問題的典型方式如圖型方式如圖12-1012-10所示。所示。需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型（需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型（2 2）存貯水平存貯水平0Q QQ QQ QQ Q時間時間檢查檢查周期周期檢查檢查周期周期訂貨期訂貨期訂貨期訂貨期缺貨缺貨M單位產品單位產品維持時間維持時間存貨補充水平存貨補充水平圖圖

27、 12-10 在圖在圖12-1012-10中，我們看到在檢查了存貯水平中，我們看到在檢查了存貯水平H H之后，我之后，我們立即訂貨們立即訂貨Q=M-HQ=M-H，這時庫房里的實際庫存量加上訂貨量，這時庫房里的實際庫存量加上訂貨量正好為存貯補充水平正好為存貯補充水平M M（訂貨的（訂貨的Q Q單位產品在過了訂貨期才單位產品在過了訂貨期才能到達）。從圖上可知這能到達）。從圖上可知這M M單位的產品要維持一個檢查周單位的產品要維持一個檢查周期再加上一個訂貨期的消耗，所以我們可以從一個檢查周期再加上一個訂貨期的消耗，所以我們可以從一個檢查周期加上一個訂貨期的需求的概率分布情況，結合規定的服期加上一個訂

28、貨期的需求的概率分布情況，結合規定的服務水平來制定存貯水平務水平來制定存貯水平M M，以下我們舉例說明。，以下我們舉例說明。需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型（需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型（3 3） 例例9 9 某百貨商店經營幾百種商品，該商店每隔兩周清盤一次，根據清盤某百貨商店經營幾百種商品，該商店每隔兩周清盤一次，根據清盤情況同時對幾百種商品進行訂貨，這樣便于管理。又因為其中很多商品可以情況同時對幾百種商品進行訂貨，這樣便于管理。又因為其中很多商品可以從同一個廠家或批發公司進貨，這樣也節約了訂貨費用?，F在商店管理者要從同一個廠家或批發公司進貨，這樣也節約了訂貨費用?，F在商店管理者要求

29、對這幾百種商品根據各自的需求情況和服務水平制定出各自的存貯水平。求對這幾百種商品根據各自的需求情況和服務水平制定出各自的存貯水平?，F要求對其中兩種商品制定出各自的存貯水平?，F要求對其中兩種商品制定出各自的存貯水平。 商品商品A A是一種名牌香煙。一旦缺貨，顧客不會在商店里購買另一種品牌的是一種名牌香煙。一旦缺貨，顧客不會在商店里購買另一種品牌的煙，而去另外的商店購買，故商店規定其缺貨的概率為煙，而去另外的商店購買，故商店規定其缺貨的概率為2.5%2.5%。商品。商品B B是一種普是一種普通品牌的餅干，一旦商店缺貨，一般情況下，顧客會在商店里購買其他品牌通品牌的餅干，一旦商店缺貨，一般情況下，顧

30、客會在商店里購買其他品牌的餅干或其他兒童食品，故商店規定其缺貨概率為的餅干或其他兒童食品，故商店規定其缺貨概率為15%15%。根據以往的數據，通。根據以往的數據，通過統計分析，商品過統計分析，商品A A每每1414天需求服從均值天需求服從均值A A=550=550條，均方差條，均方差A A=85=85條的正態分條的正態分布，商品布，商品B B每每1414天需求服從均值天需求服從均值B B=5300=5300包，均方差包，均方差B B=780=780包的正態分布。包的正態分布。需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型（需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型（4 4）需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型（需求為隨機變量的定期檢查存貯量模型（5 5） ,97.5%.1.961.965501.9685717,85%.AAAAAAAAABBBBBBMMMMMABAABB解：設商品A的存貯補充水平為M ,商品B的存貯補充水平為M ，從統計知識可知：P(商品A的需求dM )=1-查標準正態分布表，得：，（條）P(商品