1、內容提要內容提要7.1 7.1 典型非線性特性典型非線性特性 7.2 7.2 描述函數法描述函數法 * *7.3 7.3 相平面法相平面法 前面幾章討論的都是線性系統，實際上所有的實前面幾章討論的都是線性系統，實際上所有的實際系統都不可避免地帶有某種程度的非線性，只要具際系統都不可避免地帶有某種程度的非線性，只要具有一個非線性環節，就稱作有一個非線性環節，就稱作，因此嚴格的，因此嚴格的說所有系統都是非線性系統。說所有系統都是非線性系統。 在控制系統中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的在控制系統中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的靜靜特性曲線，不是一條直線，則稱為特性曲線，不是一條直線，則稱為非線性

2、特性非線性特性。如果這。如果這些非線性特性不能采用線性化的方法來處理，稱這類非些非線性特性不能采用線性化的方法來處理，稱這類非線性為線性為本質非線性本質非線性。為簡化對問題的分析，通常將這些。為簡化對問題的分析，通常將這些本質非線性特性用簡單的折線來代替，稱為本質非線性特性用簡單的折線來代替，稱為典型非線性典型非線性特性。特性。7.1.1 典型非線性特性的種類典型非線性特性的種類 飽和特性的靜特性曲線如圖飽和特性的靜特性曲線如圖7-1所示，其數學表達式所示，其數學表達式為：為： 式中，式中，a為線性區寬度；為線性區寬度；k為線性區斜率。飽和為線性區斜率。飽和特性的特性的是：輸入信號超過某一范圍

3、后，輸出不是：輸入信號超過某一范圍后，輸出不再隨輸入的變化而變化，而是保持在某一常值上。再隨輸入的變化而變化，而是保持在某一常值上。飽和特性在控制系統中是普遍存在的，常見的調節飽和特性在控制系統中是普遍存在的，常見的調節器就具有飽和特性。器就具有飽和特性。 yxka-a0圖圖7-1 飽和特性飽和特性M-M,|,M xaykxxaM xa 其數學表達式為其數學表達式為0,|(),(),xayk xaxak xaxa yxka-a0圖圖7-2 死區特性死區特性 死區又稱不靈敏區，在死區內雖有輸入信號，但其輸死區又稱不靈敏區，在死區內雖有輸入信號，但其輸出為零，其靜持性關系如圖出為零，其靜持性關系如

4、圖7-27-2所示。所示。若引入符號函數若引入符號函數 0101xxsignx,aaxxasignxxky )(0 死區小時，可忽略；大死區小時，可忽略；大時，需考慮。工程中，為抗時，需考慮。工程中，為抗干擾，有時故意引入。比如干擾，有時故意引入。比如操舵系統。操舵系統。 滯環特性滯環特性 滯環特性表現為正向與反向特性不是重疊在一起，而是滯環特性表現為正向與反向特性不是重疊在一起，而是在輸入在輸入-輸出曲線上出現閉合環路。其靜特性曲線如圖輸出曲線上出現閉合環路。其靜特性曲線如圖7-37-3所示。其數學表達式為：所示。其數學表達式為：()00k xasignxyybsignxy 這類特性，當輸入

5、信號小于間隙這類特性，當輸入信號小于間隙a時，輸出不變。當時，輸出不變。當xa時，輸出線性變化；輸入反向時，輸出保持在方向發生變時，輸出線性變化；輸入反向時，輸出保持在方向發生變化時的輸出值上，直到變化化時的輸出值上，直到變化2a后，才再線性變化。后，才再線性變化。 例如：鐵磁材料，齒輪的齒隙，液壓傳動中的間隙等。例如：鐵磁材料，齒輪的齒隙，液壓傳動中的間隙等。yx圖圖7-3 滯環特性滯環特性0b-ba-a繼電器特性繼電器特性 繼電器非線性特性一般可用圖繼電器非線性特性一般可用圖7-47-4表示，不僅包含表示，不僅包含死區死區，而且還具有，而且還具有滯環滯環特性，其數學表達式為：特性，其數學表

6、達式為：yx圖圖7-4 繼電器特性繼電器特性0ama-a -mab-b000000 xmaxaxaxmaaxxmaxaxaxmabbbsignxy, (1)若若a0，稱這種特性為，稱這種特性為，如圖，如圖7-5 (a)所示所示.(2)若若m=1，其靜特性如圖，其靜特性如圖7-5(b)所示，所示， 則稱為則稱為.(3)若若m-1，則稱為，則稱為， 如圖如圖7-5(c)所示。所示。圖圖7-5 三種繼電器特性三種繼電器特性（a）理想繼電器特性）理想繼電器特性 （b）死區繼電器特性（）死區繼電器特性（c）滯環繼電器特性）滯環繼電器特性yx0b-b(a)yx圖圖7-4 繼電器特性繼電器特性0ama-a

7、-mab-byxa-a0-bb(b)yxa-a0-bb(c) 非線性系統與線性系統最本質的區別為：由非非線性系統與線性系統最本質的區別為：由非線性微分方程描述，線性微分方程描述，故在非線，故在非線性系統中將出現一些線性系統見不到的現象，兩性系統中將出現一些線性系統見不到的現象，兩者之間有著不同的運動規律。者之間有著不同的運動規律。 上述介紹的是一些典型特性。實際中的非線性還上述介紹的是一些典型特性。實際中的非線性還有好多復雜的情況，有些是它們的組合；還有一有好多復雜的情況，有些是它們的組合；還有一些很難用一般的函數來描述，可以稱為不規則非些很難用一般的函數來描述，可以稱為不規則非線性。線性。

8、對于對于線性系統，其穩定性線性系統，其穩定性僅與系統的結構和參數有關，與系僅與系統的結構和參數有關，與系統的輸入信號及初始條件無關。而非線性系統卻復雜的多。統的輸入信號及初始條件無關。而非線性系統卻復雜的多。 考慮非線性一階系統：考慮非線性一階系統：2(1)xxxx x 設設t = 0時時,系統的初始狀態為系統的初始狀態為x0 (1)dxdtx x 000( )1ttx ex txx e 10 x(t)tx01x01，t lnx0/(x0 1) 時，隨時，隨t增大，增大，x(t) 遞增；遞增；t = lnx0 /(x0 1) 時，時，x(t)為為無窮大。當無窮大。當x0aAa時，時，比例系數總

9、小于比例系數總小于k k. P255表表7-1列出了常見的非線性系統的描述函數列出了常見的非線性系統的描述函數N(A)N(A)以及相應以及相應的負倒特性曲線的負倒特性曲線 -1/N(A)-1/N(A)，供分析時參考。，供分析時參考。，飽和特性，死區特性飽和特性，死區特性！7.2.3 7.2.3 組合非線性特性的描述函數組合非線性特性的描述函數 以上介紹了描述函數的基本求法，對于復雜的非線性特性，完以上介紹了描述函數的基本求法，對于復雜的非線性特性，完全可以利用這種方法求出其描述函數，但計算也復雜得多。此時全可以利用這種方法求出其描述函數，但計算也復雜得多。此時也可以將復雜的非線件特性分解為若干

10、個簡單非線性特性的組合，也可以將復雜的非線件特性分解為若干個簡單非線性特性的組合，即即串并聯串并聯，再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數求出復雜，再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數求出復雜非線件特性的描述函數。非線件特性的描述函數。212( )arcsin1 ()BkaaaN AAAAA 設有兩個非線性環節并聯，且其非線性特性都是設有兩個非線性環節并聯，且其非線性特性都是，即它們的描述函數都是，即它們的描述函數都是，如圖，如圖7-11所示。所示。N1N2+x(t)y12(t)y1(t) 圖圖7-11 兩個非線性環節并聯兩個非線性環節并聯y11(t) 當輸入為當輸入為x( t)Asint時

11、，則兩個環節輸出的時，則兩個環節輸出的基波分量基波分量分別為輸分別為輸入信號乘以各自的描述函數，即入信號乘以各自的描述函數，即21211212111NNNtANNtytANtytANty sin)()(sin)(sin)( 例例7.1 下圖為一個具有死區的非線性環節，求描述函數下圖為一個具有死區的非線性環節，求描述函數N(A).具有死區的非線性特性的并聯分解具有死區的非線性特性的并聯分解00Mkxy+xk0My解：解：可見，該死區非線性特性可分解為一個死區繼電器可見，該死區非線性特性可分解為一個死區繼電器特性和一個典型死區特性的并聯，描述函數為特性和一個典型死區特性的并聯，描述函數為 )(12

12、4arcsin2)(1arcsin2214)(222 AAAkMAkkAAAkAAMAN N1N2xyNyxz21NNN 必須首先求出這兩個非線性環節串聯后必須首先求出這兩個非線性環節串聯后等效的非線性等效的非線性特性特性，然后根據等效的非線性特性求出總的描述函數。，然后根據等效的非線性特性求出總的描述函數。yz021k2=2xy10k=222-2-110k=2x22-110k=2x22-2yy10k1=1xz2 例例7-2 7-2 求圖求圖7-127-12所示兩個非線性特性串聯后總的描所示兩個非線性特性串聯后總的描述函數述函數N(A)N(A)。解；這是一個死區特性和一個飽和特性相串聯。解；這

13、是一個死區特性和一個飽和特性相串聯。 根據各串聯環節輸入輸出之間的關系，可以等效為根據各串聯環節輸入輸出之間的關系，可以等效為一個一個的非線性特性。的非線性特性。 為求得這個等效非線性特性的描述函數，為求得這個等效非線性特性的描述函數，又可將其又可將其分解為兩個具有完全相同線性區斜率分解為兩個具有完全相同線性區斜率k=2和不同死區寬和不同死區寬度死區特性的并聯相減，故總的描述函數為：度死區特性的并聯相減，故總的描述函數為：21112222222( )arcsin1 ()22arcsin1 ()24212211arcsinarcsin1 ()1 ()(1)kN AAAAkAAAAAAAAAA 習

14、題：習題：1. 求圖示求圖示3個非線性環節串聯后等效的非線性特性，個非線性環節串聯后等效的非線性特性，并求其描述函數，其中并求其描述函數，其中Mh。0hM0M-M0M-Mh0M-M2. 圖示圖示2個非線性環節串聯后等效的非線性特性。個非線性環節串聯后等效的非線性特性。0M-M0ab0aM7.2.4 7.2.4 用描述函數法分析非線性系統用描述函數法分析非線性系統 前面介紹了描述函數的定義及其求法。通前面介紹了描述函數的定義及其求法。通過描述函數，一個非線性環節就可看作一個線過描述函數，一個非線性環節就可看作一個線性環節，而非線性系統就近似成了線性系統，性環節，而非線性系統就近似成了線性系統，于

15、是就可進一步應用線性系統的頻率法進行分于是就可進一步應用線性系統的頻率法進行分析。析。 這種方法只能用于分這種方法只能用于分析系統的析系統的穩定性穩定性和和自振蕩自振蕩。 1 1 非線性系統的穩定性分析非線性系統的穩定性分析 假設非線性元件和系統滿足假設非線性元件和系統滿足7.2節所要求的節所要求的描述函數法的應用條件，則非線性環節可以用描述函數法的應用條件，則非線性環節可以用描述函數描述函數N(A)來表示，而線性部分可用傳遞函來表示，而線性部分可用傳遞函G(s)或頻率特性或頻率特性G(j)表示，如圖表示，如圖7-15所示。所示。圖圖7-15 非線性系統典型結構圖非線性系統典型結構圖x(t)y

16、(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t) -()()()()()1()()1()()01()()CjNA GjjRjNA GjNA GjGjNA 由由 結結 構構 圖圖 可可 以以 得得 到到 線線 性性 化化 后后 的的 閉閉 環環 系系 統統的的 頻頻 率率 特特 性性 為為而而 閉閉 環環 系系 統統 特特 征征 方方 程程 為為或或x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖圖7-15 非線性系統典型結構圖非線性系統典型結構圖 - 通過對比會發現通過對比會發現:在線性系統分析中在線性系統分析中 當應用奈氏判據時，若當應用奈氏判據時，若滿足滿足G(j)-1+j0，系統是臨界穩

17、定的，即系統是等幅振蕩狀態。，系統是臨界穩定的，即系統是等幅振蕩狀態。 顯然，式顯然，式(7-29)中的中的-1/N(A)相當于線性系統中的相當于線性系統中的(-1，j0)點。點。區別在于，線性系統的臨界狀態是一個區別在于，線性系統的臨界狀態是一個。而非線性系。而非線性系統的臨界狀態是統的臨界狀態是-1/N(A)曲線。通常又將曲線。通常又將-1/N(A)曲線稱為曲線稱為負倒特負倒特性曲線性曲線。 綜上所述，利用奈氏判據，可以得到非線性系統的穩定性判綜上所述，利用奈氏判據，可以得到非線性系統的穩定性判別方法：別方法：G(j)G(j)- -1 1/N(A)/N(A)線性系統閉環特征方程線性系統閉環

18、特征方程: 1+G(j)=0或或 G(j)= -1非線性系統閉環特征方程非線性系統閉環特征方程: : 1+N(A)G(j)=0或或 G(j)= -1/N(A) 式式(7-29) (1)若若G(s)曲線不包圍曲線不包圍-1/N(A)曲線，如圖曲線，如圖7-16(a)所示，所示，則非線性系統是穩定的。則非線性系統是穩定的。 (2)若若G(s)曲線包圍曲線包圍-1/N(A)曲線，如圖曲線，如圖7-16(b)所示，則所示，則非線性系統是不穩定的。非線性系統是不穩定的。 (3)若若G(s)曲線與曲線與-1/N(A)曲線相交，如圖曲線相交，如圖7-16(c)所示，所示，則在理論上將產生等幅振蕩或稱為則在理

19、論上將產生等幅振蕩或稱為。0ImG(jw)-1/N(A)Re0ReImG(jw)-1/N(A)Im0G(jw)-1/N(A)M1M2Re圖圖7-16 非線性系統的穩定性分析非線性系統的穩定性分析 (a),(b),(c)2 自振蕩的分析與計算自振蕩的分析與計算 若若G(j)曲線與曲線與-1/N(A)曲線相交，則系統將產生自振蕩。曲線相交，則系統將產生自振蕩。 下面從信號的角度進一步分析下面從信號的角度進一步分析自振蕩產生的條件自振蕩產生的條件。 在圖在圖7-15所示非線性系統中，若產生自振蕩，則意味著系統中所示非線性系統中，若產生自振蕩，則意味著系統中有一個正弦信號在流通，不妨設非線性環節的輸入

20、信號為有一個正弦信號在流通，不妨設非線性環節的輸入信號為 x(t)=Asint 則非線性環節輸出信號基波分量為則非線性環節輸出信號基波分量為而線性部分的輸出信號為而線性部分的輸出信號為1( ) |( )|sin( )y tN AAtN A ( ) | () ( )|sin()( )c tG jN A AtG jN A x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖圖7-15非線性系統典型結構圖非線性系統典型結構圖 -( )0( )( )sin|()( )|sin()( )|()( )| 1()( )r tx tc tAtG jN AAtG jN AG jN AG jN A 根據系統存在

21、自振蕩的假設,故即所以x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖圖7-15 非線性系統典型結構圖非線性系統典型結構圖 -0ImG(jw)-1/N(A)ReM2M1 自振蕩也存在一個自振蕩也存在一個問題，因此必須進一步研究自問題，因此必須進一步研究自振蕩的穩定性。振蕩的穩定性。 若系統受到擾動偏離了原來周期運動狀態，當擾動消若系統受到擾動偏離了原來周期運動狀態，當擾動消失后，系統能夠重新收斂于原來的等幅振蕩狀態，稱為失后，系統能夠重新收斂于原來的等幅振蕩狀態，稱為，反之，稱為不穩定的自振蕩。，反之，稱為不穩定的自振蕩。 以上圖為例，以上圖為例，G (j)與與-1/N(A)曲線有兩個交

22、點，說明存曲線有兩個交點，說明存在兩個自振蕩點。對于在兩個自振蕩點。對于M1點，若受到干擾使振幅點，若受到干擾使振幅A增大，增大，則工作點將由點則工作點將由點M1移至移至a點。由于此時點。由于此時a點不被曲線點不被曲線G(j)包圍。系統穩定，振蕩衰減，振幅包圍。系統穩定，振蕩衰減，振幅A自動減小，工作點自動減小，工作點將沿將沿-1/N(A)曲線回到曲線回到M1點。反之亦然，所以點。反之亦然，所以M1點是穩點是穩定的自振蕩。同樣的方法可以分析點定的自振蕩。同樣的方法可以分析點M2是不穩定的振蕩是不穩定的振蕩點。點。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1 按照下述準則來判斷自振蕩的穩定

23、性是極為簡便的：按照下述準則來判斷自振蕩的穩定性是極為簡便的： 在復平面上自振蕩點附近。當按幅值在復平面上自振蕩點附近。當按幅值A增大的方向增大的方向沿沿-l/N(A)曲線移動時，若系統從不穩定區進入穩定區，曲線移動時，若系統從不穩定區進入穩定區，則該交點代表的是穩定的自振蕩；則該交點代表的是穩定的自振蕩；反之，若沿反之，若沿-l/N(A)曲曲線振幅線振幅A增大的方向是從穩定區進入不穩定區，則該交增大的方向是從穩定區進入不穩定區，則該交點代表的是不穩定的自振蕩。點代表的是不穩定的自振蕩。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1 值得注意的是，由前面推導自振蕩產生的條件可知，對于穩定的

24、自振蕩，計算所得到的是圖7-15中非線性環節的輸入信號x(t)Asint的振幅和頻率，而不是系統的輸出信號c(t)。兩者差一。兩者差一“ ”。x(t)y(t)N（A）G(s)r(t)=0c(t)圖圖7-15 非線性系統典型結構圖非線性系統典型結構圖 -對于穩定的自振蕩，振幅和頻率是確定的，并可測量得對于穩定的自振蕩，振幅和頻率是確定的，并可測量得到。計算時，振幅可由到。計算時，振幅可由曲線的自變量曲線的自變量的大小的大小來確定，而振蕩頻率由來確定，而振蕩頻率由曲線的自變量曲線的自變量來確定。來確定。 對于不穩定的自振蕩，由于實際系統不可避免地存對于不穩定的自振蕩，由于實際系統不可避免地存在擾動

25、，因此這種自振蕩是不可能持續的，僅是理論上在擾動，因此這種自振蕩是不可能持續的，僅是理論上的臨界周期運動，在實際系統中是測量不到的。的臨界周期運動，在實際系統中是測量不到的。例例7.37.3 具有理想繼電器特性非線性系統如圖具有理想繼電器特性非線性系統如圖7-177-17所示，所示，試確定其自振蕩的幅值和頻率。試確定其自振蕩的幅值和頻率。 解：理想繼電器特性的描述函數為解：理想繼電器特性的描述函數為01-110(1)(2)s ssc(t)_r(t)4()MNAA 2424244( )1( )401/( )0,1/( )1/( )( )103010(2)()(1)(2)54(54)MN AAAA

26、N AAN AAN AN AG sG jjjjj 當當時時，- -當當時時，因因此此- -曲曲線線就就是是整整個個負負實實軸軸。又又由由線線性性部部分分的的傳傳函函可可得得0ImG(j)-1/N(A)Re-1 2()()-1/( )Im()02/s()Re()1.6611.66( )4G jbG jN AG jG jG jAN A 由由上上式式可可以以畫畫出出曲曲線線，如如圖圖7 7- -1 15 5（ ）所所示示。由由圖圖知知，兩兩曲曲線線有有一一個個交交點點，且且對對應應于于該該點點的的自自振振蕩蕩是是穩穩定定的的。求求與與的的交交點點，令令得得（r ra ad d ）將將其其代代入入的的

27、實實部部得得所所以以0ImG(j)-1/N(A)Re-1由此求得：由此求得：A=2.1，=1.414rad/s24242103010(2)()(1)(2)54(54)G jjjjj (M)(h)013r(t)c(t)2( 1 )(0.5 1 )sss_例例7-4 7-4 設控制系統的結構圖如圖設控制系統的結構圖如圖7-18(a)所示，圖中死區所示，圖中死區繼電器特性的參數為繼電器特性的參數為a=1,b=3.(1)計算自振蕩的振幅和頻率計算自振蕩的振幅和頻率.(2)為消除自振蕩，繼電器特性參數應如何調整為消除自振蕩，繼電器特性參數應如何調整.解解：(1) 死區繼電器特性的負倒描述函數為死區繼電器特性的負倒描述函數為211( )112 1AAN AA 214 AhAMAN )(