1、小菜鳥數(shù)學壓軸題30道1如圖，O是RtABC的外接圓，AB為直徑，ABC=30°，CDOC于C，EDAB于F，（1）判斷DCE的形狀；（2）設O的半徑為1，且OF=，求證：DCEOCB2如圖1，拋物線 y=x2x+6與x軸交于A、B兩點（點A在B 的左側(cè)），交y軸交于點C，點D是線段AC的中點，直線BD與拋物線 y=x2x+6交于另一點E，交y軸交于點F（1）求直線BE的解析式；（2）如圖2，點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD、PF，當PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G（不與E、B重合），使得PGGE的值最小，求出點G的坐標及PGGE的最小值；（3）如圖3，將OBF繞點

2、B順時針旋轉(zhuǎn)度（0°180°），記旋轉(zhuǎn)過程中的OBF為O1BF1，直線O1F1與x軸交于點M，與直線BE交于點N在OBF旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一個合適的位置，使得MNB是一個等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由3中點、平行線、等腰直角三角形、等邊三角形都是常見的幾何圖形！（1）如圖1，若點D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且EDF=90°，連接AD、EF，當BC=5，F(xiàn)C=2時，求EF的長度；（2）如圖2，若點D為等邊三角形ABC邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且EDF=90&#

3、176;；M為EF的中點，連接CM，當DFAB時，證明：3ED=2MC；（3）如圖3，若點D為等邊三角形ABC邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且EDF=90°；當BE=6，CF=0.8時，直接寫出EF的長度4已知如圖1，拋物線y=x2x+3與x軸交于A和B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，點D的坐標是（0，1），連接BC、AC（1）求出直線AD的解析式；（2）如圖2，若在直線AC上方的拋物線上有一點F，當ADF的面積最大時，有一線段MN=（點M在點N的左側(cè)）在直線BD上移動，首尾順次連接點A、M、N、F構(gòu)成四邊形AMNF，請求出四邊形AMNF的周長最小時點N的橫

4、坐標；（3）如圖3，將DBC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)°（0°180°），記旋轉(zhuǎn)中的DBC為DBC，若直線BC與直線AC交于點P，直線BC與直線DC交于點Q，當CPQ是等腰三角形時，求CP的值5在直角坐標系中，我們不妨將橫坐標，縱坐標均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”（1）求函數(shù)y=x+2的圖象上所有“中國結(jié)”的坐標；（2）若函數(shù)y=（k0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”，試求出常數(shù)k的值與相應“中國結(jié)”的坐標；（3）若二次函數(shù)y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”，試問該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖

5、形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結(jié)”？6如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l：與x軸、y軸分別交于點A和點B（0，1），拋物線經(jīng)過點B，且與直線l的另一個交點為C（4，n）（1）求n的值和拋物線的解析式；（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標為t（0t4）DEy軸交直線l于點E，點F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關系式以及p的最大值；（3）M是平面內(nèi)一點，將AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到A1O1B1，點A、O、B的對應點分別是點A1、O1、B1若A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A1的橫坐標7

6、如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax22ax3a（a0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的一點，若ACE的面積的最大值為，求a的值；（3）設P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由8如圖，拋物線y=ax2+c（a0）與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點（點C在x軸正半軸上），ABC為等腰直角三

7、角形，且面積為4，現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，與x軸的另一點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H（1）求a、c的值（2）連接OF，試判斷OEF是否為等腰三角形，并說明理由（3）現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交于點P，是否存在這樣的點Q，使以點P、Q、E為頂點的三角形與POE全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由9概念理解把一個或幾個圖形分割后，不重疊、無縫隙的重新拼成另一個圖形的過程叫做“剖分重拼”如圖1，一個梯形可以剖分重拼為一個三角形；如圖2，任意兩個正方形可以剖分重拼為一個正方形嘗試操

8、作如圖3，把三角形剖分重拼為一個矩形（只要畫出示意圖，不需說明操作步驟）閱讀解釋如何把一個矩形ABCD（如圖4）剖分重拼為一個正方形呢？操作如下：畫輔助圖作射線OX，在射線OX上截取OM=AB，MN=BC以ON為直徑作半圓，過點M作MI射線OX，與半圓交于點I；圖4中，在CD上取點F，使AF=MI，作BEAF，垂足為E把ADF沿射線DC平移到BCH的位置，把AEB沿射線AF平移到FGH的位置，得四邊形EBHG請說明按照上述操作方法得到的四邊形EBHG是正方形拓展延伸任意一個多邊形是否可以通過若干次的剖分重拼成一個正方形？如果可以，請簡述操作步驟；如果不可以，請說明理由10在數(shù)學興趣小組活動中，

9、小明進行數(shù)學探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上（1）小明發(fā)現(xiàn)DGBE，請你幫他說明理由（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長（3）如圖3，小明將正方形ABCD繞點A繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE將相交，交點為H，寫出GHE與BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由11在RtACB和RtAEF中，ACB=AEF=90°，若點P是BF的中點，連接PC，PE特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC上，則結(jié)論：PC=PE成立（不

10、要求證明）問題探究：把圖1中的AEF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)（1）如圖2，若點E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）記=k，當k為何值時，CPE總是等邊三角形？（請直接寫出k的值，不必說明理由）12如圖，在RtABC中，C=90°，AC=4cm，BC=5cm，D是BC邊上一點，CD=3cm，點P為邊AC上一動點（點P與A、C不重合），過點P作PEBC，交AD于點E點P以1cm/s的速度從A到C勻速運動（1）設點P的運動時間為t（s），DE

11、的長為y（cm），求y關于t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；（2）當t為何值時，以PE為半徑的E與以DB為半徑的D外切？并求此時DPE的正切值；（3）將ABD沿直線AD翻折，得到ABD，連接BC如果ACE=BCB，求t的值13如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B=60°，AB=10，BC=4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設AP=x（1）求AD的長；（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；（3）設ADP與PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值1

12、4如圖，在直角梯形OABC中，OABC，A、B兩點的坐標分別為A（13，0），B（11，12）動點P、Q分別從O、B兩點出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿x軸向終點A運動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC方向運動；當點P停止運動時，點Q也同時停止運動線段PQ和OB相交于點D，過點D作DEx軸，交AB于點E，射線QE交x軸于點F設動點P、Q運動時間為t（單位：秒）（1）當t為何值時，四邊形PABQ是平行四邊形（2）PQF的面積是否發(fā)生變化？若變化，請求出PQF的面積s關于時間t的函數(shù)關系式；若不變，請求出PQF的面積（3）隨著P、Q兩點的運動，PQF的形狀也隨之發(fā)生了變化，試問何時會出現(xiàn)等腰PQF？

13、15如圖，在RtACB中，ACB=90°，AC=3，BC=6，D為BC上一點，CD=2，射線DG，BC交AB于點G點P從點A出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿AB方向運動，點Q從點D出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿射線DG運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點B時停止運動，點Q也隨之停止，過點P作PEAC于點E，PFBC于點F，得到矩形PECF，點M為點D關于點Q的對稱點，以QM為直角邊，在射線DG的右側(cè)作RtQMN，使QN=2QM設運動時間為t（單位：秒）（1）當點N恰好落在PF上時，求t的值（2）當QMN和矩形PECF有重疊部分時，直接寫出重疊部分圖形面積S與t的函數(shù)關系式以及自變量t的

14、取值范圍（3）連接PN、ND、PD，是否存在這樣的t值，使PND為直角三角形？若存在，求出相應的t值若不存在，請說明理由16如圖，ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中點，點P從B出發(fā)，以a厘米/秒（a0）的速度沿BA勻速向點A運動，點Q同時以1厘米/秒的速度從D出發(fā)，沿DB勻速向點B運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設它們的運動時間為t秒（1）若a=2，那么t為何值時BPQ與BDA相似？（2）已知M為AC上一點，若當t=時，四邊形PQCM是平行四邊形，求這時點P的運動速度（3）在P、Q兩點運動工程中，要使線段PQ在某一時刻平分ABD的面積，點P的運

15、動速度應限制在什么范圍內(nèi)？【提示：對于一元二次方程，有如下的結(jié)論：若x1x2是方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個根，則x1+x2=，x1x2=】17如圖所示，A、B兩城市相距200km現(xiàn)計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)為什么？（參考數(shù)據(jù)：1.732，1.414）18AB，CD是O的兩條弦，直線AB，CD互相垂直，垂足為點E，連接AD，過點B作BFAD，垂足為點F，直線B

16、F交直線CD于點G（1）如圖1，當點E在O外時，連接BC，求證：BE平分GBC；（2）如圖2，當點E在O內(nèi)時，連接AC，AG，求證：AC=AG；（3）如圖3，在（2）條件下，連接BO并延長交AD于點H，若BH平分ABF，AG=4，tanD=，求線段AH的長19如圖1，直線lAB于點B，點C在AB上，且AC：CB=2：1，點M是直線l上的動點，作點B關于直線CM的對稱點B，直線AB與直線CM相交于點P，連接PB（1）如圖2，若點P與點M重合，則PAB=，線段PA與PB的比值為（2）如圖3，若點P與點M不重合，設過P，B，C三點的圓與直線AP相交于D，連接CD，求證：CD=CB；PA=2PB；（3

17、）如圖4，若AC=2，BC=1，則滿足條件PA=2PB的點都在一個確定的圓上，在以下小題中選做一題：如果你能發(fā)現(xiàn)這個確定的圓的圓心和半徑，那么不必寫出發(fā)現(xiàn)過程，只要證明這個圓上的任意一點Q，都滿足QA=2QB；如果你不能發(fā)現(xiàn)這個確定的圓的圓心和半徑，那么請取出幾個特殊位置的P點，如點P在直線AB上，點P與點M重合等進行探究，求這個圓的半徑20問題探究：（一）新知學習：圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓（即如果四邊形EFGH的對角互補，那么四邊形EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上）（二）問題解決：已知O的半徑為2，AB，CD是O的直徑P是上任意一點，過點

18、P分別作AB，CD的垂線，垂足分別為N，M（1）若直徑ABCD，對于上任意一點P（不與B、C重合）（如圖一），證明四邊形PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長；（2）若直徑ABCD，在點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程中，證明MN的長為定值，并求其定值；（3）若直徑AB與CD相交成120°角當點P運動到的中點P1時（如圖二），求MN的長；當點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程中（如圖三），證明MN的長為定值（4）試問當直徑AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值21已知如圖平面直角坐標系中，點O是坐標原點，矩形ABCO是頂點坐標分別為A（3，0）、B（3，4

19、）、C（0，4）點D在y軸上，且點D的坐標為（0，5），點P是直線AC上的一動點（1）當點P運動到線段AC的中點時，求直線DP的解析式（關系式）；（2）當點P沿直線AC移動時，過點D、P的直線與x軸交于點M問在x軸的正半軸上是否存在使DOM與ABC相似的點M？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）當點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、R（R0）為半徑長畫圓得到的圓稱為動圓P若設動圓P的半徑長為，過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E、F請?zhí)角笤趧訄AP中是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請求出最小面積S的值；若不存在，請說明理由22如圖1，在平面直角坐標系中，正方

20、形OABC的頂點A（6，0），過點E（2，0）作EFAB，交BO于F；（1）求EF的長；（2）過點F作直線l分別與直線AO、直線BC交于點H、G；根據(jù)上述語句，在圖1上畫出圖形，并證明=；過點G作直線GDAB，交x軸于點D，以圓O為圓心，OH長為半徑在x軸上方作半圓（包括直徑兩端點），使它與GD有公共點P如圖2所示，當直線l繞點F旋轉(zhuǎn)時，點P也隨之運動，證明：=，并通過操作、觀察，直接寫出BG長度的取值范圍（不必說理）；（3）在（2）中，若點M（2，），探索2PO+PM的最小值23在矩形ABCD中，點F在AD延長線上，且DF=DC，M為AB邊上一點，N為MD的中點，點E在直線CF上（點E、C不

21、重合）（1）如圖1，若AB=BC，點M、A重合，E為CF的中點，試探究BN與NE的位置關系及的值，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，且若AB=BC，點M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若點M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的結(jié)論兩個是否成立，請直接寫出你的結(jié)論24某數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8問題思考：如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之

22、和的最小值（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點K，當點P運動時，在APK、ADK、DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由問題拓展：（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8若點P從點A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點D運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長（4）如圖3，在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BN=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值25如圖，在ABCD中，AB=13，BC=50，BC

23、邊上的高為12點P從點B出發(fā)，沿BADA運動，沿BA運動時的速度為每秒13個單位長度，沿ADA運動時的速度為每秒8個單位長度點Q從點B出發(fā)沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動設點P的運動時間為t（秒）連結(jié)PQ（1）當點P沿ADA運動時，求AP的長（用含t的代數(shù)式表示）（2）連結(jié)AQ，在點P沿BAD運動過程中，當點P與點B、點A不重合時，記APQ的面積為S求S與t之間的函數(shù)關系式（3）過點Q作QRAB，交AD于點R，連結(jié)BR，如圖在點P沿BADA運動過程中，當線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值（4）設

24、點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C、D，直接寫出CDBC時t的值26小明在一次數(shù)學興趣小組活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：問題情境：如圖1，四邊形ABCD中，ADBC，點E為DC邊的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，求證：S四邊形ABCD=SABF（S表示面積）問題遷移：如圖2：在已知銳角AOB內(nèi)有一個定點P過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N小明將直線MN繞著點P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，MON的面積存在最小值，請問當直線MN在什么位置時，MON的面積最小，并說明理由實際應用：如圖3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情，防疫部門計劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站P

25、的一條直線MN為隔離線，建立一個面積最小的三角形隔離區(qū)MON若測得AOB=66°，POB=30°，OP=4km，試求MON的面積（結(jié)果精確到0.1km2）（參考數(shù)據(jù)：sin66°0.91，tan66°2.25，1.73）拓展延伸：如圖4，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B、C、P的坐標分別為（6，0）（6，3）（，）、（4、2），過點p的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將四邊形OABC分成兩個四邊形，求其中以點O為頂點的四邊形面積的最大值27如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C=90°，B=E=30

26、76;（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定ABC，使DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關系是；設BDC的面積為S1，AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關系是（2）猜想論證當DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60°，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DEAB交BC于點E（如圖4）若在射線BA上存在點F，使SDCF=SBDE，請直接寫出相應的BF的長28如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+x+3交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點W，頂點為C，拋物線的對稱軸與x軸的交點為D（1）求直線BC的解析式；（2）點