1、新課程標準的理念下如何進行有效的數學教學一、新課標理念下的有效的數學教學1.1 新課標對數學的界定性描述  “數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程”。 （修訂后的數學定義為：數學是研究空間形式和數量關系的 一門學科） 在基本理念中又說“數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數據、進行計算、推理和證明，數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象，數學為其他科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發展的基礎。1.1 新課標對數學的界定性描述數學在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創造力等方面有著獨特的作用；數學是

2、人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分。”這是新課標對數學“功能性”的描述。  以上是新課標對數學是什么的回答。1.2 有效的數學教學問題的提出在新課標的基本理念3中指出“數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。”“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，學習實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”這里就提出了有效的數學教學的問題及其方式。這也一直是在實際教學中困擾一線教師的“想說愛你不容易”的大問題。二、如何進行有效性的數學教學2.1 創設情境應注意有效

3、性  所謂情境教學，是指在教學過程中教師有目的地引入或創設具有一定情趣色彩的生動具體的場境，以引起學生一定的興趣或生活體驗，從而幫助學生理解教材，并使學生心理機能得到發展的一種教學模式。新課標強調讓學生在現實情境和已有的生活、知識經驗的基礎上學習和理解數學，這樣使學生認識到數學就在生活中，數學就在自己的身邊，使他們學習數學不那么枯燥。這一點己形成大家的共識。值得注意的兩個問題： （1）創設問題情境是必要的： 它符合數學的自身發展規律，數學的發展史表明，數學的發展一方面是來自于外部，即現實社會發展的需要（如數不夠用了，使數進行了三次擴充），另一方面源自于數學的內部（如羅巴切夫

4、幾何，否認第五公設）。“問題是數學的心臟”，數學學習也同樣如此。（2）創設情境的理論背景-建構主義的觀點 談到創設情境有一個重要的理論不得不介紹，近20年來在西方逐漸形成的建構主義理論。建構主義這種學習理論是為了改進教學提出的理論，主要目的在于了解發展過程中的各種活動如何引發學生的自主學習，以及在學習過程中教師如何扮演支持者的角色。建構主義的代表人物:是皮亞杰（瑞士教育學心理學專家）。建構主義理論內容很豐富，但其核心是：以學生為中心，強調學生對知識的主動探索、主動發現和對所學知識意義的主動建構。 建構主義認為，知識不是通過老師傳授得到的，而是學習者在一定的情境背境下，借助他人的幫助，

5、利用必要的學習資料，通過意義建構的方式而獲得的。這里建構主義學習理論強調“情境”是學習環境中的四大要素之一。因此，要促成學生順利地完成有關知識的學習，就必要創設有效的問題情境。幾年來新課標教學實踐也說明“創設情境”深受師生的歡迎，特別是在新課的引入及教學激趣方面效果較好。任何一種理論都不是十全十美的，建構主義也有三大缺陷： 忽視教師的作用； 忽視情感的作用； 片面強調知識結構的重要性，不利于常識性和實際知識內容的傳授。同樣，情境設計也存在一個教學效率的問題，因為新課程中既有過程性的目標，還有知識技能目標，情境設計熱熱鬧鬧，最后一堂課的教學內容不能完成，教學目標不能實現，那怎么叫是有效的情境教學

6、呢？更有甚者，目前普遍存在一些，情境設計牽強作秀，生搬硬套或形同虛設，或為應付公開課，應付評比來突擊情境創設等等。有效的情境創設，就是要有效果，有效率。例1 有位老師講勾股定理時是這樣設計的：師：下面是三個直角三角形三邊的長3，4，5；5，12，13；7，24，25。請同學們找出各個三角形三邊之間的關系。生：（很高興地）老師，我找出來了，3²=4+5，5²=12+13；7²=24+25。師：啞然！例2 某教師在“角平分線性質”一節的教學中，要求學生：1在紙上畫AOB并折出AOB的平分線；2在角平分線上任取一點P；3過P分別作兩邊的垂線，垂足為C、D，探討PC與PD

7、的關系。這是典型的情境創設未達到設計效果的兩個實例。什么樣的情境創設才算是有效的呢？ 激趣性興趣是最好的老師，能吸引學生；直觀性源于生活，學生易于接受；可及性學生跳一跳，夠得到，能力所及；開放性能逐步深入，有層次感，或多解型；有挑戰性使學生享受過程中的快樂，體驗困難與成功。2.2 有效數學教學的關鍵在于教師要當好“三者”新課標的基本理念中第4條“數學教學活動”是這樣說的：學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。 我個人認為這“三者”指的是課堂的數學教學活動這一段的“現場教學”的時間段，實際上教師在課堂教學之前，要認真備課，不管是個人備課，還是集體備課，

8、實際上都是一個課堂教學的設計者，要設計教案，教案設計不當就會產生無效的教學甚至錯誤的教學結果。例3 中學數學教學參考2006，1-2P9課例：圓的面積（上海作者）的探究的教學設計。 如圖，半徑為r的圓內切于正方形，顯然有 S<4r²。教師要求學生將1/4個圓剪碎，然后填充滿另三個曲邊三角形，結果還多一點，于是得S>3r²。 這個設計，一是不可操作（實驗無法完成），二是與無限細分方能以直代曲的理論是不符的。對學生產生誤導。是典型的設計錯誤。如何當好設計者、組織者、引導者與合作者。以上面例1“勾股定理”為例：人類總想弄清楚其他星球上是否存在“人”類，并試圖與他們取得

9、聯系，由于文字和語言都不通，怎樣進行第一次接觸呢？數學家曾建議用“勾股定理”的圖形作為與外星人交流的試探符號。可見勾股定理的重要性與通俗性。 勾股定理是我國勞動人民最早（公元前100多年）發現的，在周髀算經中記載的有“勾三股四弦五”一說。 勾股定理反映的是直角三角形的三邊之間的關系，三邊之間存在什么關系呢？我們一起來探討：（1）（特殊化）將四個等腰（長為1）直角三角板，拼成 正方形，其面積為2。（設斜邊x,x²=1²+1²） （2）在方格紙上作兩直角邊為10cm、15cm的Rt，量斜邊長（18 + cm）（325=10²+1

10、5²，18²=324） （3）聯系勾三股四弦五,猜想 a²+b²=c²。 （4）證明：（輔助線的引導，證明略） 我認為這種方式既體現了新課標的理念：情境、探究、體驗、過程），實質上是在教師“控”“引”下的“半開放”的探究。課堂如戰場，也是瞬息即變的，常常會發生許多你意想不到，始料未及的事件。這時，教師的臨堂發揮及時應變的能力很重要。如前面例1所說明勾股定理的探究時，學生得出3²=4+5，5²=12+13；7²=24+25。老師不能“慌堂”，更不能否定學生的結論。這一是扼殺了學生的思維的

11、積極性，甚至學習數學的熱情；二是暴露了教師的功底和應變能力。這時老師應該說，“很不錯，你發現了小數的平方等于兩個大數之和，能進一步觀察兩個大數之間的關系嗎？它們的差為多少？這樣必然不難得到：設三角形的三邊之長分別為a,b,c, 且ab c, c-b=1。a²=(b+c)·1=(b+c)(c-b)=c²-b²，這不就是我們所需要的結果嗎！這就是“引導者”與“合作者”的作用，既鼓勵了學生，又成功地挽救“課堂”，一舉多得。這當然需要教師在教學上的聰明才智和平常的豐厚的積淀。說到合作者，除課堂之中外，更多的是體現在教師與學生平常的一問一答之中 例4 有個學生問，

12、老師“兩個無理數的和會為有理數嗎？”老師不屑一顧地回答：“會，作代數和，把無理數部分消去就行，如（1+ 2 ）+（1-2）不就得了！”學生“啊！”的一聲走了，看得出他并不解渴， 其實，令a=1.12112111211112, b=0.21221222122221,均為無理數a+b=1.33333333333333= 4/3為有理數。 老師的巧妙構數，不是簡單的消去無理數部分，雖然蘊含有他暫還不懂的極限思想，但會讓學生覺得數學美妙無窮。23 有效的數學學習必須完成課程目標（四個方面） 新課標在指出“動手實踐、自主探索與合作交流”是有效數學學習的重要方式的同時，在課程的總體目標

13、中提出了知識與技能，數學思考，解決問題，情感與態度四個方面的具體目標。著名的數學教育家波利亞曾精辟地指出：“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹的科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學；  但另一方面，創造過程中的數學，看上去卻像一門實驗性的歸納科學。”過去數學教學的一個很大問題就是教師只傳授抽象的數學概念、數學法則，而學生沒有自己的活動和創造經驗作支撐。  新課程強調通過觀察、模仿、嘗試、實驗、猜想等手段來獲得對數學知識、數學方法的感性認識。這是對傳統教學的有效矯正。但在實際教學中，又出現了情境簡單化、活動形式化以及為活動而活動、為探究而探究的現象。例如&#

14、160;學習了三角形全等以后，對矩形的對角線相等這一性質，本來是不費力的事，但有的老師還是為了“體現新課標理念”，全班疊紙，量長度； 韋達定理，由已知的幾個方程的根，可以發現規律，真正可靠還是求根公式來證； P（A）=0，A是不可能事件嗎？實驗是難以回答的，關鍵是理性思考。例5 一次示范探究課中一例：將一張長方形的紙，讓學生對折，對折a次，有多少條折痕。學生探究，互動交流，多數學生能想到正確答案，少數學生有困難。最后老師邊示范，邊操作，邊填表：次數 123n折痕數 1372n _1  整個過程，熱熱鬧鬧，有操作，有探究，有互動，結果也正確無誤，但在關鍵的位置忽略了

15、數學思考，沒能教會學生為什么折痕增加數是2，4，8，其實表中只需增加折后的“塊數”，教學效果就不一樣了。次數n塊數 162n折痕數 152n _1 這樣學生就知道2n是怎么來的，還知道遇到問題如何思考，如何抓問題的本質。說到探究性問題，近幾年來一直是中考高考中的熱門話題。光就表格中正整數的探究題就不少，而且往往是由高考輻射及中考。例6 （2006年常德）下圖是一個有規律排列的數表，請用含n的代數式表示第n行第n列的數：_。解法1 （高中方法）對角線上的數為1，3，7，13，21，為一階等差數列， ak+1 - ak =2k， Sk=ak+1 -1 =2(1+2+k)=k(k+1)，

16、ak+1 = k(k+1)+1. 數表中 an=ak+1,即 k+1=n， 故 an=(n-1)n+1=n²-n+1.解法2 （ 初中方法）第n行的第一個數為n²，然后逐列遞減。 即 n²- (n-1)=n²-n+1。又如在歷屆高考中，以楊輝三角形式的數表形式出現的探究性試題屢見不鮮，常出常新。例7 （2007年湖南卷）將楊輝三角形中奇數換為1，偶數換為0，得數表 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 第1次全行都是1的為第1行； 第2次全行都是1的第3行； 第n

17、次全行都是1的是第_行  第61行中1的個數是_ 簡解 續寫兩行第6行 1 0 1 0 1 0 1第7行 1 1 1 1 1 1 1 1規律：第1，3，7行全為1，猜想第2n-1行全為1，63=64-1，即第63行全為1（64個1）逆推第62行32個1，第61行中也為32個1。 2.4 有效的數學學習必須掌握基本的數學知識與技能，并做到學以致用。 新課標的基本理念中指出：“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法”。在“知識技能目標”表格中（靈活運用）欄中要求“能綜合運用知識，靈活、合理地選擇與運用有關的方法完成特定的數學任務。” 在應用意識方面提出“面對實際問題時，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識方法尋求解決問題的策略。” （人教版八（上）P150第11題）如圖1，ABD與ACE都是等邊三角形，求證：BE=CD。這是傳統的經典的一道平幾題，學習了三角形全等，學生都會做（只需用“邊角邊”定理），而且其變式題特多。七下第六章學習了“平面直角坐標系。可以布置這樣的題目。例8 如圖2，在直角坐標系xOy中，B（1，0），點A在第四象限，且AOB為正三角形，點C為x軸