1、2019年上海市長寧區中考數學一模試卷、選擇題（本大題共 6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個正確選項，在答題紙相應題號的選項上用2B鉛筆正確填涂】1.拋物線y=2 （x+2） 2-3的頂點坐標是（A . (2, - 3)B. (-2, - 3)C. ( 2, 3)D. (2, 3)2.如圖，點D、E分別在 ABC的邊AB、AC上，下列條件中能夠判定 DE/ BC的是（）A瑞崎B "BD ACC.BD CEABAED.AEAC3.在 RtA ABC 中,/ C= 90 ,如果 cosB=-, BC= a,那么AC的長是（A. 2班aB. 3ac. VTc4.A.I; l=2|

2、 -|B.E是與三方向相同的單位向量C.D.5.在直角坐標平面內，點。是坐標原點，點 A的坐標是（3, 2）,點B的坐標是（3, - 4）.如1 I FC，、，I亍馬那么下列說法正確的是（果以點。為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點A、B中有一點在圓 。內，另一點在圓O外，那么r的值可以取（B. 4C. 3D. 26.在4ABC中，點D在邊BC上，聯結AD,下列說法錯誤的是（2A.如果/ BAC=90° , AB =BD?BC,那么 AD ± BCB.如果 ADXBC, AD2=BD?CD,那么/ BAC=90°C.如果 ADXBC, AB2=BD?BC,那

3、么/ BAC=90°D.如果/ BAC=90。，AD2=BD?CD,那么 AD ± BC二、填空題(本大題共 12題，每題4分，？t分48分)【在答題紙相應題號后的空格內直接填寫答案】第11題圖BACDEF7 .若線段a、b、c、d滿足'=工=鼻，則土的值等于 b d 5 b+d 8 .如果拋物線y= (3-m) x2-3有最高點，那么 m的取值范圍是 .9 .如果兩個相似三角形的周長的比等于1:4,那么它們的面積的比等于 .10 .邊長為6的正六邊形的邊心距為 .11 .如圖，已知 AD/BE/CF,若 AB = 3, AC =7, EF = 6,則 DE 的長為

4、.a /dF/ C12 .已知點 P在線段 AB上，滿足 AP: BP=BP: AB,若BP = 2,則AB的長為.13 .若點 A ( - 1, 7)、B (5, 7)、C ( - 2, - 3)、D (k, - 3)在同一條拋物線上，則 k 的值 等于.14 .如圖，在一條東西方向筆直的沿湖道路l上有A、B兩個游船碼頭，觀光島嶼 C在碼頭A的北偏東60。方向、在碼頭 B的北偏西45。方向，AC = 4千米.那么碼頭 A、B之間的距離等于 千米.(結果保留根號)北15 .在矩形 ABCD中，AB=2, AD = 4,若圓A的半徑長為5,圓C的半徑長為 R,且圓A與圓C 內切，則R的值等于.1

5、6 .如圖，在等腰 ABC中，AB = AC, AD、BE分別是邊 BC、AC上的中線，AD與BE交于點F, 若BE=6, FD=3,則 ABC的面積等于 .17 .已知點P在ABC內，連接PA、PB、PC,在 PAB、4PBC和PAC中，如果存在一個三角形與 ABC相似，那么就稱點 P為乙ABC的自相似點.如圖，在 RtAABC中，/ ACB=90。，AC=12, BC=5,如果點P為RtAABC的自相似點，那么/ ACP的余切值等于 18 .如圖，點P在平行四邊形 ABCD的邊BC上，將 ABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊 ADA的垂直平分線上，如果 AB=5, AD=8, tanB=3

6、,那么BP的長為.三、解答題（本大題共 7題，？t分78分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應位置上】19 . （10 分）計算：Vscot2 60 +864/一送行20 . （ 10分）如圖，AB與CD相交于點E, AC / BD ,點F在DB的延長線上，聯結 BC,若BC平 分/ ABF, AE = 2, BE=3.（1）求BD的長；（2）設靛=；,箴=總 用含;、1的式子表示BC.3一 一、,_，_ ,_ _ _321 . (10分)如圖，AB是圓。的一條弦，點 O在線段 AC上，AC = AB, OC = 3, sinA = -.5求：(1)圓O的半徑長；(2) BC的長.22

7、. (10分)如圖，小明站在江邊某瞭望臺DE的頂端D處，測得江面上的漁船 A的俯角為40° .若瞭望臺DE垂直于江面，它的高度為3米，CE=2米，CE平行于江面 AB,迎水坡BC的坡度i=1: 0.75,坡長 BC=10 米.(參考數據：sin40 ° =0.64, cos40° =0.77, tan40° =0.84, cot40° =1.19)(1)求瞭望臺DE的頂端D到江面AB的距離；(2)求漁船A到迎水坡BC的底端B的距離.(結果保留一位小數)A B23 . (12分)如圖，點 D、E分別在 ABC的邊AC、AB上，延長 DE、CB交于

8、點F,且AE?AB = AD?AC.(1)求證：/ FEB = / C;AB FD(2)連接 AF,若總=黑，求證：EF?AB = AC?FB.24 . (12分)如圖，在直角坐標平面內，拋物線經過原點。、點B (1, 3),又與x軸正半軸相交于點A, / BAO=45。，點P是線段AB上的一點，過點 P作PM / OB,與拋物線交于點 M,且點M在第一象限內.(1)求拋物線的表達式;(2)若/ BMP = /AOB,求點P的坐標;(3)過點M作MC，x軸，分別交直線 AB、x軸于點N、C,若 ANC的面積等于 PMN的面積的2倍，求1些的值.x325 - (14分)已知銳角/ “如的余弦值為

9、甘點C在射線BN上,BC = 25,點A在/”歡的內部,且/ BAC = 90° , / BCA=Z MBN .過點A的直線DE分別交射線 BM、射線BN于點D、E.點F在線段BE上(點F不與點B重合)，且/ EAF = Z MBN.(1)如圖1,當AFXBN時，求EF的長;(2)如圖DF ,當 ADF與 ACE相似時，請直接寫出(3)聯結BD的長.C爸用圖DE C 圖二2,當點E在線段BC上時，設BF = x, BD=y,求y關于x的函數解析式并寫出函數定義域;2019年上海市長寧區中考數學一模試卷參考答案與試題解析、選擇題（本大題共 6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個正

10、確選項，在答題紙相應題號的選項上用2B鉛筆正確填涂】1 .拋物線y=2 （x+2）2-3的頂點坐標是（A. (2, 3)B. ( 2, 3)C. (- 2, 3)D. (2, 3)h,【分析】利用二次函數的頂點式是：y=a （x-h） 2+k（aw0,且a, h, k是常數），頂點坐標是（k）進行解答.【解答】解：= y=2 （x+2） 2-3，拋物線的頂點坐標是（-2, -3）故選：B.【點評】 本題主要是對拋物線中頂點式的對稱軸，頂點坐標的考查.2 .如圖，點D、E分別在 ABC的邊AB、AC上，下列條件中能夠判定 DE/BC的是（）bTBD ACc BD CEC AB-AE【分析】如果一

11、條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.根據平行線分線段成比例定理對各個選項進行判斷即可.【解答】 解：A.由迪=典，不能得到DE/BC,故本選項不合題意;AB BC,AD AE 人一一人B.由而=配，不能得到 DE/BC,故本選項不合題意;,BDC由瓦,不能得到DE / BC,故本選項不合題意;,AD AB ,一 D由近=正能得到DE"BC，故本選項符合題意;故選：D.【點評】 本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.3 .在 RtABC 中，/

12、C= 90° ,如果 cosB = , BC= a,那么 AC 的長是（ U1B. 3aC.屈aAC的長.【分析】 依據cosB =工，BC=a,即可得到AB = 3a,再根據勾股定理，即可得到 3【解答】 解：= cosB=工，BC=a, 3AB=3a, . / C=90。，RJABC 中，AC= JabJbc'，（3產-整=2第，故選：A.B【點評】 本題考查了銳角三角函數的定義以及勾股定理.在直角三角形中，銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做/ A的余弦，記作cosA.4.如果。|=2, h= 多,那么下列說法正確的是（）A.畝=2，B. k是與三方向相同的單位向量c. 2七

13、一三=cD. t 111【分析】根據平面向量的模和向量平行的定義解答.【解答】解：A、由工=得到市=奈|=1,故本選項說法錯誤.Hi1 *4B、由h= 丁已得到b是與它的方向相反，故本選項說法錯誤.c、由h= 丁/得到2k + z= C,故本選項說法錯誤. 乙T 1 T a II TD、由b= F定得到k4乙故本選項說法正確.故選：D.【點評】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定義，向量的方向與大小以及向量平行的定義等知識點，難度不大.5.在直角坐標平面內，點。是坐標原點，點A的坐標是（3,2）,點B的坐標是（3,- 4）.如果以點。為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點A、B中有一點

14、在圓 。內，另一點在圓O外，那么r的值可以取（）A . 5B. 4C. 3D. 2【分析】先根據兩點間的距離公式分別計算出OA、OB的長，再由點 A、B中有一點在圓 。內，另一點在圓O外求出r的范圍，進而求解即可.【解答】解：二點A的坐標是（3, 2）,點B的坐標是（3, -4）,0A =0B=«32+q，=5，以點。為圓心，r為半徑的圓 0與直線AB相交，且點A、B中有一點在圓。內，另一點在圓 0 外， VHr<5，. . r = 4符合要求.故選：B.【點評】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷.關鍵要記住若半徑為r,點到圓心的距離為 d,則有：當d>r時，點在圓外；當

15、d=r時，點在圓上，當dvr時，點在圓內.也考查了坐標與圖形 性質.6.在4ABC中，點D在邊BC上，聯結AD ,下列說法錯誤的是（）A .如果/ BAC=90 ° , AB2=BD?BC,那么 AD ± BCB.如果 ADXBC, AD2=BD?CD,那么/ BAC=90°C.如果 ADXBC, AB2=BD?BC,那么/ BAC=90°D.如果/ BAC=90° , AD2=BD?CD,那么 AD ± BC【分析】根據相似三角形的判定定理證明相應的三角形相似，根據相似三角形的性質判斷即可.【解答】解：A、AB2=BD?BC,又/

16、B=/BBADA BCA, ，/BDA = / BAC=90° ,即ADXBC,故A選項說法正確，不符合題意;2B、. AD =BD?CD,迪=辿，又/ ADC = / BDA=90。,BD ADADCA BDA, ./ BAD = Z C, . / DAC + /C=90° , ./ DAC + Z BAD = 90° , ./BAC = 90。，故B選項說法正確，不符合題意;C、AB2=BD?BC,ABBD,又/ B=Z BABBADc/dA BCA, ，/BAC = / BDA=90° ,即ADXBC,故C選項說法正確，不符合題意；D、如果/ BA

17、C=90° , AD2=BD?CD,那么AD與BC不一定垂直，故 D選項錯誤，不符合題意;故選：D.【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的 關鍵.、填空題(本大題共 12題，每題4分，？t分48分)【在答題紙相應題號后的空格內直接填寫答案】第11題圖BACDEF7 .若線段a、b、c、d滿足於=5= 則坐的值等于 ：. b d 5 b+d5【分析】根據等比的性質即可求出典工的值.b+d【解答】 解：二線段a、b、c、d滿足b d 5,a+c 4.=b+d 5一“4故答案為：葺.5【點評】考查了比例線段，關鍵是熟練掌握等比的性質.8 .如

18、果拋物線y= (3-m) x2-3有最高點，那么 m的取值范圍是 m>3【分析】由于拋物線y= (3-m) x2-3有最高點，這要求拋物線必須開口向下，由此可以確定的范圍.【解答】 解：二.拋物線y= (3-m) x2- 3有最高點，3- m< 0,即 m> 3.故答案為m>3.【點評】 本題主要考查二次函數的最值的知識點，解答此題要掌握二次函數圖象的特點，本題比較 基礎.9 .如果兩個相似三角形的周長的比等于1: 4,那么它們的面積的比等于1: 16 .【分析】由兩個相似三角形的周長的比等于1: 4,即可求得它們的相似比，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求

19、得它們的面積的比.【解答】 解：二.兩個相似三角形的周長的比等于1: 4,，它們的相似比為1:4,，它們的面積的比等于 1： 16.故答案為：1： 16.【點評】此題考查了相似三角形的性質.注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形 的對應高線、角平分線、中線的比等于相似比.10 .邊長為6的正六邊形的邊心距為3%行.【分析】已知正六邊形的邊長為6,欲求邊心距，可通過邊心距、邊長的一半和內接圓半徑構造直角三角形，通過解直角三角形求解即可.【解答】 解：如圖所示，此正六邊形中 AB=6,則/AOB = 60° ; .OA = OB, .OAB是等邊三角形， .OGXAB, ./

20、AOG=30° , .OG=OA?cos30° =6x§ = 3£,故答案為3正.A G B【點評】本題考查了正多邊形和圓的計算問題，屬于常規題.11 .如圖，已知 AD/BE/CF,若 AB = 3, AC =7, EF = 6,則 DE 的長為 最L-r【分析】根據AB=3, AC=7,可得BC=4,再根據AD / BE / CF ,即可得出坐=坐，即坐=與,EF BC 64進而彳#到DE的長.【解答】解：.AB=3, AC=7,BC = 4,. AD / BE / CF,.DE_ AB ,EF BC0n DE 3即丁二解得de = ,9故答案為：下

21、.【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例；熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問題的關鍵.12 .已知點P在線段AB上，滿足AP： BP=BP： AB,若BP = 2,則AB的長為 標+1 .【分析】根據黃金分割點的定義，知 AP是較長線段，得出 BP = q±AB,代入數據即可得出 AB的長.【解答】 解：二.點P在線段AB上，滿足AP： BP=BP： AB,. P為線段AB的黃金分割點，且 BP是較長線段,BP =VS-1AB,. 市T ab=2,2解得AB=加+1 .故答案為：奉+1.【點評】本題考查了比例線段、黃金分割的概念：如果一個

22、點把一條線段分成兩條線段，并且較長 線段是較短線段和整個線段的比例中項，那么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線 段的黃金分割點；較長線段是整個線段的返二倍.213 .若點 A ( - 1, 7)、B (5, 7)、C ( - 2, - 3)、D (k, - 3)在同一條拋物線上，則 k 的值 等于 6 .【分析】利用拋物線的對稱性得到 A和B點，C點和D點為拋物線上的兩組對稱點，由點 A、B的 坐標得到拋物線的對稱軸，然后利用對稱軸求出k的值.【解答】解：二拋物線經過 A ( - 1, 7)、B (5, 7),點A、B為拋物線上的對稱點，拋物線解析式為直線 x= 2,. C (- 2

23、, - 3)、D (k, - 3)為拋物線上的對稱點，即C ( - 2, - 3)與D (k, - 3)關于直線x=2對稱，k - 2 = 2 - (- 2),k= 6.故答案為6.【點評】 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式.也考 查了二次函數的性質.14 .如圖，在一條東西方向筆直的沿湖道路l上有A、B兩個游船碼頭，觀光島嶼 C在碼頭A的北偏東60。方向、在碼頭 B的北偏西45。方向，AC = 4千米.那么碼頭 A、B之間的距離等于(2正+2)千米.(結果保留根號)北【分析】 作CDLAB于點D,在RtAACD中利用三角函數求得 CD、AD的長，然后在

24、 RtABCD中求得BD的長，即可得到碼頭 A、B之間的距離.【解答】 解：如圖，作 CDXAB于點D.在 RtAACD 中，/ CAD = 90° 60° =30° , .CD=AC?sin/CAD = 4xL=2 (km) , AD = AC?cos30° =4X近=2/ (km),22 RtABCD 中，/ CDB=90° , / CBD = 45° ,BD = CD = 2 (km), . AB = AD+BD = 2五+2 (km), 故答案是：(2正+2).北【點評】本題考查了解直角三角形的應用，作出輔助線，轉化為直角三角

25、形的計算，求得CD的長是關鍵.15.在矩形 ABCD中，AB=2, AD = 4,若圓A的半徑長為5,圓C的半徑長為 R,且圓A與圓C 內切，則R的值等于 5-2行或5+2F .【分析】 先利用勾股定理計算出 AC=2在，討論：當點C在。A內時，5-R=2近；當點A在。C 內時，R-5 = 2在,然后分別解關于 R的方程即可.【解答】 解：二.在矩形 ABCD中，AB=2, AD=4,AC= J2?+ £= 2&,當點C在。A內時，圓A與圓C內切，.5-R=2，,即 R= 5-2;當點A在。C內時，圓A與圓C內切，.R- 5=2,即 R=5+2立；綜上所述，R的值為5 - 2

26、/或5+2在.故答案為5-2泥或5+2班.B【點評】 本題考查了圓與圓的位置關系：兩圓的圓心距為d、兩圓的半徑分別為r、R：兩圓外離? d>R +r；兩圓外切？ d=R+r；兩圓相交？ R-rvdvR + r (R> r);兩圓內切？ d=R-r (R>r);兩圓內含？ dvRr (R> r).16.如圖，在等腰 ABC中，AB = AC, AD、BE分別是邊 BC、AC上的中線,AD與BE交于點F ,若BE=6, FD=3,則 ABC的面積等于90D【分析】過E作EG，BC于G,根據已知條件得到點F是 ABC的重心，求得AD = 3DF = 9,根據-19EG = A

27、D=, 22'等腰三角形的性質得到 ADXBC, BD = CD,根據平行線分線段成比例定理得到CG=CD,根據勾股定理得到 bgZbeAg',根據三角形的面積公式即可得到結論.【解答】 解：過E作EGLBC于G, AD、BE分別是邊BC、AC上的中線, .點F是4ABC的重心,AD = 3DF = 9, AB = AC, AD是邊BC上的中線,ADXBC, BD=CD, BE是邊AC上的中線,AE = CE, ADXBC, EGXBC,EG / AD,八 19 .EG = WaD = E cg = =cd,222 BE =6,BG =ikaBC=*1bG = 26，.ABC

28、的面積=當X9X2/J=95, 故答案為：9.7y.B D G C【點評】本題考查了三角形的重心，等腰三角形的性質，三角形的面積，平行線分線段成比例定理， 正確的作出輔助線是解題的關鍵.17.已知點 P在4ABC內，連接 PA、PB、PC,在 PAB、4PBC和APAC中，如果存在一個三角 形與 ABC相似，那么就稱點 P為乙ABC的自相似點.如圖，在 RtAABC中，/ ACB=90° ,AC=12, BC=5,如果點P為RtAABC的自相似點，那么/ ACP的余切值等于 .【分析】 先找到RtAABC的內相似點，再根據三角函數的定義計算/ACP的余切即可.【解答】解：.AC=12

29、, BC = 5, ./ CAB v/ CBA,故可在/ CAB內作/ CBP=Z CAB,又.點P為4ABC的自相似點， 過點C作CPXPB,并延長 CP交AB于點D,則ABPCs ACB, 點P為4ABC的自相似點， ./ BCP = Z CBA,ACP = / BAC,acp的余切=££=BC5故答案為：一P點的位置是解題的關鍵.【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質，利用條件先確定出18.如圖，點P在平行四邊形 ABCD的邊BC上，將 ABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊 AD 的垂直平分線上，如果 AB=5, AD=8, tanB=2,那么BP的長為 絲或7

30、.3-r【分析】 如圖1,過A作AHXBC于H,連接DB',設AH = 4x, BH = 3x,根據勾股定理得到AbZaM+B/： 5x=5,根據旋轉的性質得到 AB' =AB=5, AM=DM=AD = 4，/ AMN =ZHNM = 90° ,根據勾股定理得到 MB'=寸. "+AM=3,求得 HN=MN = 4,根據相似三 角形的性質即可得到結論；如圖2,由知，MN=4, MB' = 3, BN=7,求得NB=NB',推出點P與N重合，得到 BP =BN=7.【解答】 解：如圖1 ,過A作AH，BC于H ,連接DB ',

31、設BB'與AP交于E,AD的垂直平分線交 AD于M , BC于N ,.設 AH = 4x, BH = 3x,-ab=7ah2+bh£=5x=5. AH=4, BH=3, 將4ABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊AD的垂直平分線 MN ±, . ABZ = AB=5, AM = DM =JlAD = 4, Z AMN = Z HNM =90° ,2 1'四邊形AHNM是正方形，MB = .($田,，2 + 工=3,.-.HN = MN=4, BN = 7, B' N= 1 ,-BB，= 7bn2+b7 nz=5Vs，BE = BBZ =三坐2

32、2 '. /BEP = / BNB' = 90 , /PBE = /B' BN,A BPEA BB' N,.PB BEbT"一麗PB平七-p25BP = ;7如圖 2,由知，MN = 4, MB' = 3, BN= 7,NB = NB，,:點N在BB '的垂直平分線上， ,將AABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊AD的垂直平分線上， 點P也在BB'的垂直平分線上， 點P與N重合，BP = BN = 7,綜上所述，BP的長為寺或7.25故答案為：發或7.【點評】 本題考查了翻折變換（折疊問題），線段垂直平分線的性質，勾股定理，正確

33、的作出圖形 是解題的關鍵.三、解答題（本大題共 7題，？t分78分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應位置上】19. (10 分)計算：V3cct2 60sin30+-7：, . A .cos45 -cosSO【分析】直接利用特殊角的三角函數值把相關數據代入進而得出答案.【解答】解：原式=內:+(M+y) 3=-行孥.V 3【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵.20. （ 10分）如圖，AB與CD相交于點 E, AC / BD ,點F在DB的延長線上，聯結 BC,若BC平分/ ABF, AE = 2, BE=3.（1）求BD的長；（2）設E£=

34、e, E1=七，用含/、七的式子表示 五.DB【分析】（1）利用角平分線的性質和平行線的性質得到AB =AC=5,然后結合平行線截線段成比例求得BD的長度.（2）由平行線截線段成比例和平面向量的三角形法則解答.【解答】 解：（1） BC平分/ ABF, ./ ABC = / CBF. AC / BD, ./ CBF =Z ACB. ./ ABC = / ACB.AC = AB.AE=2, BE = 3,AB = AC = 5. AC II BD,BD ,5BE,AC AEBD 3BD =竽;(2) . AC / BD,EC AE 2.=一.ED EB 3:正=總EC=-克.1 BC= BE+

35、EC= _ g - -rt【點評】考查了平行線的性質和平面向量，需要掌握平行線截線段成比例和平面向量的三角形法則,難度不大.(10分)如圖，AB是圓O的一條弦，點 O在線段 AC上，AC = AB, OC = 3, sinA = -.5(1)圓O的半徑長;求:【分析】(1)過點O作OHLAB,垂足為點H,設OH = 3k, AO=5k,AB = 2AH = 8k,求得AC = AB=8k,列方程即可得到結論;(2)過點C作CGLAB,垂足為點 G,在 RtAACG 中，/ AGC=90°,解直角三角形即可得到結論.【解答】解:(1)過點 O 作 OHLAB,在 RtAOAH中中，/

36、OHA = 90° ,-SinA=S35'設 OH=3k, AO=5k, OHXAB,AB =2AH = 8k, .-.AC = AB = 8k, .-.8k=5k+3,AO = 5,即。O的半徑長為5；(2)過點C作CGAB,垂足為點G,在 RtAACG 中，/ AGC=90°AC=8,CG = -, AG=，公弋Ga=工，BG =;在 RtACGB 中，/ CGB=90° ,【點評】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵.22. （10分）如圖，小明站在江邊某瞭望臺DE的頂端D處，測得江面上的漁船 A的俯角為40°

37、.若瞭望臺DE垂直于江面，它的高度為3米，CE=2米，CE平行于江面 AB,迎水坡BC的坡度i=1: 0.75,坡長 BC=10 米.（參考數據：sin40 ° =0.64, cos40° =0.77, tan40° =0.84, cot40° =1.19）（1）求瞭望臺DE的頂端D到江面AB的距離;（2）求漁船A到迎水坡BC的底端B的距離.（結果保留一位小數）CG, BG【分析】（1）延長DE交AB于點F,過點C作CGXAB,垂足為點G,利用坡度表示出的長，進而求出答案;_ , AF (2)在RtAADF中，利用cotA=常，得出AF的長，進而得出答案

38、.【解答】 解：（1）延長DE交AB于點F,過點C作CGLAB,垂足為點G, 由題意可知 CE = GF=2, CG = EF在 RtA BCG 中，/ BGC=90° ,. i=CG=lBG 0.753'設 CG=4k, BG = 3k,則 BC= VcG+BG = 5k= 10,k=2,. BG = 6,CG= EF = 8,. DE = 3, . DF = DE+EF=3+8=11 (米), 答：瞭望臺DE的頂端D到江面AB的距離為11米;(2)由題意得/ A = 40。，在 RtAADF 中，/ DFA = 90° ,cotA= JiL DF.期1.1911

39、.AF=11X 1.19=13.09 (m), . AB = AF - BG-GF = 5.09 5.1 (米)，答：漁船A到迎水坡BC的底端B的距離為5.1米.A B GF【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確掌握銳角三角函數關系是解題關鍵.23. (12分)如圖，點 D、E分別在 ABC的邊AC、AB上，延長 DE、CB交于點F,且AE?AB = AD?AC.(1)求證：/ FEB = / C;KR CD(2)連接 AF,若轉=咨，求證：EF?AB = AC?FB.【分析】(1)證明 AEDs ACB即可解決問題；RR RR(2)證明 EFBsFAB,可得7r = 言，由AF=AC

40、,可得結論; Ar Ad【解答】 證明：(1) AE?AB=AD?AC.AE AD = AC 肥又/ A=Z A,AEDA ACB, ./AED = / C, 又. / AED = Z FEB, ./ FEB = Z C.(2)/ FEB = / C, / EFB = / CFD , .EFBACFD, ./ FBE = Z FDC,D D B D CFAF - - B B B D FA1F CFBAc/dA CDF , ./ FEB = Z CAF=AC, . / FEB = Z C, ./ FEB = Z AFB,又. / FBE = Z ABF,EFBc/dA fab,EF FB而一而，

41、 AF=AC, . EF?AB = AC?FB.【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所 學知識解決問題，屬于中考常考題型.24. (12分)如圖，在直角坐標平面內，拋物線經過原點O、點B (1, 3),又與x軸正半軸相交于點A, / BAO=45。，點P是線段AB上的一點，過點 P作PM / OB,與拋物線交于點 M,且 點M在第一象限內.(1)求拋物線的表達式；(2)若/ BMP = /AOB,求點P的坐標；(3)過點M作MCx軸，分別交直線 AB、x軸于點N、C,若 ANC的面積等于 PMN的面積的A (4, 0),【分析】(1)過點B作BH

42、，x軸，垂足為點H,根據等腰直角三角形的性質可求點用待定系數法可求拋物線的表達式;BO,直線AB,直(2)根據平行線的性質可得BM / OA,可求點M坐標，用待定系數法可求直線線PM的解析式，即可求點 P坐標；(3)延長MP交x軸于點D,作PGXMN于點G,根據等腰直角三角形的性質可得AC=CN, PG= NG,根據銳角三角函數可得 tan/BOA=3=tan/MPG =G,可得 MG = 3PG = 3NG,根據面PG積關系可求罌的值.NC【解答】 解：(1)如圖，過點B作BHx軸，垂足為點 H,點 B (1, 3)BH = 3, OH= 1, . / BAO = 45° , /

43、BHA = 90°AH = BH = 3,OA = 4，點 A (4, 0)拋物線過原點 。、點A、B,二設拋物線的表達式為 y= ax2+bx (awO)f0=16a+4ba+b=3解得：a= - 1, b = 4拋物的線表達式為：y= - x2+4x(2)如圖，PM / OBPMB + ZOBM = 180 ,且/ BMP = Z AOB,AOB + ZOBM = 180BM / OA,設點M (m, 3),且點M在拋物線y=- x2+4x±,23= - m +4m,m= 1 (舍去)， m= 3，點 M (3, 3),點 O (0, 0),點 A (4, 0),點 B

44、 (1, 3)直線OB解析式為y=3x,直線AB解析式為y=- x+4,PM II OB,.設PM解析式為y=3x+n,且過點M (3, 3)3= 3 x 3+n,n= - 6二. PM解析式為y = 3x - 6,y=3x-6, <y-x+4解得：x=苴，y=W22 點 p（與,2 2G,(3)如圖，延長 MP交x軸于點D,作PG，MN于點 PG1MN , MCI AD PG / ADZ MPG = Z MDC , Z GPN = Z BAO = 45又. / PGC = 90 , Z ACG = 90° ,AC = CN, PG= NG, PM / OB, ./ BOA =

45、 Z MDC ,Z MPG = Z BOA點B坐標（1, 3）.-.tanZBOA=3 = tanZ MPG = PGMG = 3PG= 3NG,MN = 4PG, ANC的面積等于 PMN的面積的2倍,ACx NC=2x -x MNx PG,bi）2112 NC“= 2X MN X 一MN = MN2,42'MN r【點評】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法可求函數解析式，平行線的性質，銳角三角函數等知識，正確作出輔助線是解題的關鍵.25. (14分)已知銳角/ MBN的余弦值為 上，點C在射線BN上，BC=25,點A在/ MBN的內部，5且/ BAC = 90° ,

46、/ BCA=/ MBN.過點A的直線DE分別交射線 BM、射線BN于點D、E.點F在線段BE上(點F不與點B重合)，且/ EAF = Z MBN.(1)如圖1,當AF±BN時，求EF的長；(2)如圖2,當點E在線段BC上時，設BF = x, BD=y,求y關于x的函數解析式并寫出函數定 義域；(3)聯結DF,當 ADF與 ACE相似時，請直接寫出 BD的長.MA/M圖1圖2備用圖【分析】(1)由銳角三角函數可求 AC =15,根據勾股定理和三角形面積公式可求AB, AF的長,即可求EF的長；(2)通過證 FAEsFCA和 BDEsCFA,可得y關于x的函數解析式；(3)分ADFsCEA, ADFCAE兩種情況討論，通過等腰三角形的性質和相似三角形性質 可求BD的長.【解答】 解：(1)二.在 RtABC 中，/ BAC=90° ,.cos/BCA=cos/ MBN = -9-=tL=,BC 5南而AC= 15ABy -Ac=20 S；A ABC= 7J-X ABXAC = J-XBCX