1、1 / 28第一章數(shù)和數(shù)的運(yùn)算一概念（一）整數(shù)1整數(shù)的意義自然數(shù)和0都是整數(shù)。2自然數(shù)我們在數(shù)物體的時(shí)候，用來表示物體個(gè)數(shù)的1,2,3叫做自然數(shù)。一個(gè)物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。3計(jì)數(shù)單位 一（個(gè)）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億 都是計(jì)數(shù)單位。 每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。4數(shù)位 計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。5數(shù)的整除整數(shù)a除以整數(shù)b（b工0）,除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。如果數(shù)a能被數(shù)b（b豐0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。 倍數(shù)和約數(shù)是相互依

2、存的。因?yàn)?5能被7整除,所以35是7的倍數(shù),7是35的約數(shù)。一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,其中最小的約數(shù)是1,最大的 約數(shù)是它本身。例如：10的 約數(shù)有1、2、5、10,其中最小的約數(shù)是1,最大的約數(shù)是10。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12其中最小的倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù),都能被2整除,例如：202、480、304,都能被2整除。 個(gè)位上是0或5的數(shù),都能被5整除,例如：5、30、405都能被5整除。 一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除,這個(gè)數(shù)就能被3整除,例如：12、108、204都能被3整除。一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和

3、能被9整除,這個(gè)數(shù)就能被9整除。能被3整除的數(shù)不一定能被9整除,但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除,這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16、404、1 256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除,這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、4 600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。一個(gè)數(shù),如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù), 這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（

4、或素?cái)?shù)）,100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、2 / 2879、83、89、97。一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè) 數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。 其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)， 叫做這個(gè)合 數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3X5,3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如把28分

5、解質(zhì)因數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)。 其中最大的一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù), 例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和1 8的公約數(shù),6是它們的最大公約數(shù)。公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù),叫做互質(zhì)數(shù),成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù),有下列幾種情況：1和任何自然數(shù)互質(zhì)。相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí),這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí),這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì),如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì), 就說這幾個(gè) 數(shù)兩兩互質(zhì)。如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù),那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù),它

6、們的最大公約數(shù)就是1。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù), 其中最小的一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù),如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、183的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18其中6、12、18是2、3的公倍數(shù)，6是它們的 最小公倍數(shù)。如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù),那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù),那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。（二）小數(shù)1小數(shù)的意義把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾可以用小數(shù)表示。一位小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分

7、之幾,三位小數(shù)表示千分之幾一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、 小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。 數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn), 小數(shù)點(diǎn)左邊的 數(shù)叫做整數(shù)部分,小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分,小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。在小數(shù)里,每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位 “十分之一”3 / 28和整數(shù)部分的最低單位 “一”之間的進(jìn)率也是10。2小數(shù)的分類純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0.368都是純小數(shù)。帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。 例如： 有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 都是有限小數(shù)。無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)， 叫做無限小數(shù)。例如：

8、4.33無限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限， 這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：n循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分， 有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)， 這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.5550.033312.109109一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分， 依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99的循環(huán)節(jié)是“9” ，0.5454的循環(huán)節(jié)是“54” 。純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。656 混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。33寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié)，末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)

9、圓點(diǎn)。如果循環(huán) 節(jié)只有一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。例如：3.777 簡寫作0.5302302 簡寫作（三）分?jǐn)?shù)1分?jǐn)?shù)的意義把單位“1平”均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。 在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1平”均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。把單位“1平”均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。2分?jǐn)?shù)的分類真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。3約分和

10、通分把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。（四）百分?jǐn)?shù)1表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率 或百分比。百分?jǐn)?shù)通 常用%來表示。百分號是表示百分?jǐn)?shù)的符號。二方法3.25、5.26都是帶小數(shù)。 例如：41.7、25.3、0.233.1415926例如：3.1110.53.12220.033并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、4 / 28（一）數(shù)的讀法和寫法1.整數(shù)的讀法： 從高位到低位， 一級一級地讀。 讀億級、 萬級時(shí)， 先按照個(gè)級的讀法去讀， 再在后面加一個(gè) “億”

11、或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀 一個(gè)零。2.整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒有，就在那個(gè) 數(shù)位上寫0。3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作 “點(diǎn)”，小數(shù)部分 從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下角， 小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。5.分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀 “分之 ”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法 來讀。6.分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。7.百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)

12、，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀 法來讀。8.百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。（二）數(shù)的改寫一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億 ”作單位的數(shù)。有時(shí)還可以根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。1.準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位 的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。例如把1254300000改寫成以萬做單位的數(shù)是12543 0萬； 改寫成 以億做單位 的數(shù)12.543億。2.近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個(gè)

13、近似數(shù)來表示。 例如：1302490015省略億后面的尾數(shù)是13億。3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù) 的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略345900萬后面的尾數(shù)約是35萬。省略4725097420億后面的尾數(shù)約是47億。4.大小比較1.比較整數(shù)大小：比較整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位， 最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大； 最高位上的數(shù)相同，就看下一位， 哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就 大。2.比較小數(shù)的大小：先看它們的整數(shù)部分，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；

14、 十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大 3.比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù) 大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個(gè)數(shù)的大小。（三）數(shù)的互化1.小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個(gè)零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分。2.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成 有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。3.一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成 有限小數(shù)；如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。4.小數(shù)化成百分

15、數(shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動兩位，同時(shí)在后面添上百分號。5 / 285.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)： 把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)， 只要把百分號去掉， 同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位。6.分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。7.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù)。（四）數(shù)的整除1.把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商 是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。2.求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商 只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積， 這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大

16、公約數(shù)3.求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公約數(shù)去除，一 直除到互質(zhì) （或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的 最小公倍數(shù)。4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì) ； 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)； 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)， 這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)； 兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。（五）約分和通分約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分?jǐn)?shù) 為止。通分的方法： 先求出原來的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)， 然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍 數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。三性質(zhì)和規(guī)律（一）商不變的規(guī)律 商不變的規(guī)

17、律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同的倍，商不變。（二）小數(shù)的性質(zhì) 小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。（三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動引起小數(shù)大小的變化1.小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，原來的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動兩位，原來的數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動三位，原來的數(shù)就擴(kuò)大1000倍2.小數(shù)點(diǎn)向左移動一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動三位，原來的數(shù)就縮小1000倍3.小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“0補(bǔ)足位。（四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)： 分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù) （零除外），分?jǐn)?shù)的大小

18、不變。（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系1.被除數(shù)禰數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)2.因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。3.被除數(shù) 相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。四運(yùn)算的意義（一）整數(shù)四則運(yùn)算1整數(shù)加法： 把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。 在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加6 / 28數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。 加數(shù)+加數(shù)=和 一個(gè)加數(shù)=和另一個(gè)加數(shù)2整數(shù)減法： 已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。在減法里， 已知的和叫做被減數(shù)， 已知的加數(shù)叫做減數(shù)， 未知的加數(shù)叫做差。 被減數(shù)是總數(shù)， 減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。加法和減法互為逆運(yùn)算。3整數(shù)乘法：求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算叫做

19、乘法。 在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。 在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。一個(gè)因數(shù)X個(gè)因數(shù)=積一個(gè)因數(shù)=積旳一個(gè)因數(shù)4整數(shù)除法： 已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。 乘法和除法互為逆運(yùn)算。在除法里，0不能做除數(shù)。因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0，所以任何一個(gè)數(shù)除以0，均得不到 一個(gè)確定的商。被除數(shù)哪除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù) 命 被除數(shù)=商除數(shù)（二）小數(shù)四則運(yùn)算7 / 281.小數(shù)加法： 小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的

20、運(yùn)算。2.小數(shù)減法：小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。 已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)， 數(shù)的運(yùn)算.3.小數(shù)乘法：小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同， 就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算； 小數(shù)的意義是求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾是多少。求另一個(gè)加一個(gè)數(shù)乘純4.小數(shù)除法：小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同， 因數(shù)的運(yùn)算。5.乘方:求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。例如(三) 分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算1.分?jǐn)?shù)加法： 分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。2.分?jǐn)?shù)減法： 分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。 數(shù)的運(yùn)算。3.分?jǐn)?shù)乘法：就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，3X3 =32是把兩個(gè)數(shù)合并成一

21、個(gè)數(shù)的運(yùn)算。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)求另一個(gè)加8 / 28分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算。4.乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)。5.分?jǐn)?shù)除法：分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。 就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)， 因數(shù)的運(yùn)算。(四) 運(yùn)算定律1.加法交換律： 兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。2.加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第 相加它們的和不變，即(a+b)+c=a+(b+c)。3.乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即aXb=bXa。4.乘法

22、結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再乘以第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第 相乘，它們的積不變，即(aXb)Xc=aX(bXc)。5.乘法分配律： 兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加，即a C+b c。6.減法的性質(zhì)： 從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-（b+c）。（五）運(yùn)算法則1.整數(shù)加法計(jì)算法則： 相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。2.整數(shù)減法計(jì)算法則：相同數(shù)位對齊， 從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的 數(shù)合并在一起，再減。3.整數(shù)乘法計(jì)

23、算法則： 先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去 乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。4.整數(shù)除法計(jì)算法則：先從被除數(shù)的高位除起， 除數(shù)是幾位數(shù)， 就看被除數(shù)的前幾位； 如果不夠除，就多看一位， 除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補(bǔ) “0占”位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。5.小數(shù)乘法法則： 先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠，就用“0補(bǔ)”足。6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：先按照整數(shù)除法的法則去除， 商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對

24、齊； 如果除到被除數(shù)的末尾 仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添 “0”，再繼續(xù)除。7.除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則： 先移動除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0）”，求另一個(gè)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)(a+b)Xc=9 / 28然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。8.同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。9.異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。10.帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法:整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。11.分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則:分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，

25、 用分子相乘的 積作分子，分母相乘的積作分母。12.分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。（六）運(yùn)算順序1.小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。2.分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。3.沒有括號的混合運(yùn)算:同級運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級運(yùn)算 先算乘、除法，后算加減法。4.有括號的混合運(yùn)算:先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。5.第一級運(yùn)算： 加法和減法叫做第一級運(yùn)算。6.第二級運(yùn)算： 乘法和除法叫做第二級運(yùn)算。第二章 度量衡一 長度（一）什么是長度 長度是一維空間的度量。（二）長度常用單位*公里（km） *米（m） *分米（d

26、m） *厘米（cm） *毫米（mm） *微米（um）（三）單位之間的換算*1毫米 =1000微米* 1厘米 =10毫米* 1分米 =10厘米*1米 =1000毫米*1千米 =1000米二 面積（一）什么是面積 面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。（二）常用的面積單位*平方毫米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米（三）面積單位的換算*1平方厘米 =100平方毫米* 1平方分米=100平方厘米* 1平方米 =100平方分 米*1公傾 =10000平方米* 1平方公里 =100公頃三 體積和容積（一）什么是體積、容積 體積，就是物體所占空間的大小。 容積，箱子、

27、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。（二）常用單位1體積單位*立方米*立方分米*立方厘米2容積單位*升*毫升10 / 28（三）單位換算1體積單位* 1立方米=1000立方分米* 1立方分米=1000立方厘米2容積單位* 1升=1000毫升* 1升=1立方米* 1毫升=1立方厘米四 質(zhì)量（一）什么是質(zhì)量 質(zhì)量，就是表示表示物體有多重。（二）常用單位*噸t *千克kg *克g（三）常用換算*一噸=1000千克* 1千克= 1000克五 時(shí)間（一）什么是時(shí)間 是指有起點(diǎn)和終點(diǎn)的一段時(shí)間（二）常用單位世紀(jì)、 年 、 月 、 日 、 時(shí) 、分、秒（三）單位換算* 1世紀(jì)=100年* 1

28、年=365天平年*一年=366天 閏年*一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31天*四、六、九、十一是小月小月小月有30天*平年2月有28天 閏年2月有29天* 1天= 24小時(shí)* 1小時(shí)=60分* 1分=60秒六 貨幣（一）什么是貨幣貨幣是充當(dāng)一切商品的等價(jià)物的特殊商品。貨幣是價(jià)值的一般代表，可以購買任何別的商 品。（二）常用單位*元*角*分（三）單位換算* 1元=10角* 1角=10分第三章 代數(shù)初步知識一、用字母表示數(shù)1用字母表示數(shù)的意義和作用*用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡明的表達(dá)出來，同時(shí)也可以表示運(yùn)算的結(jié)果。2用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性質(zhì)、幾何形體的計(jì)算公式11 /

29、 28(1)常見的數(shù)量關(guān)系路程用s表示，速度v用表示，時(shí)間用t表示，三者之間的關(guān)系：s=vt v=s/t t=s/v總價(jià)用a表示，單價(jià)用b表示，數(shù)量用c表示，三者之間的關(guān)系：a=bc b=a/c c=a/b(2)運(yùn)算定律和性質(zhì)加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc減法的性質(zhì)：a-(b+c) =a-b-c(3)用字母表示幾何形體的公式長方形的長用a表示，寬用b表示，周長用c表示，面積用s表示。c=2(a+b)s=ab正方形的邊長a用表示，周長用c表示，面積用s表示。c= 4a

30、s=a2平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。s=ah三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。s=ah/2梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示。s=(a+b)h/2 s=mh圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長用c表示，面積用s表示。c=nd=2nrs=nr2扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數(shù)，面積用s表示。s=nn r2/360長方體的長用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用v表示。v=shs=2(ab+ah+bh) v=abh正方體的棱長用a表示，底面周長c用表示，底面積用s表示， 體積用v表示.s= 6a 2

31、v=a3圓柱的高用h表示，底面周長用c表示，底面積用s表示， 體積用v表示.s側(cè)=ch s表=s側(cè)+2s底v=sh圓錐的高用h表示，底面積用s表示，體積用v表示.v=sh/33用字母表示數(shù)的寫法 數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí)，乘號可以記作“.，”或者省略不寫，數(shù)字要寫12 / 28在字母的前面。當(dāng)“1”與任何字母相乘時(shí)， “1”省略不寫。 在一個(gè)問題中，同一個(gè)字母表示同一個(gè)量，不同的量用不同的字母表示。 用含有字母的式子表示問題的答案時(shí)， 除數(shù)一般寫成分母， 如果式子中有加號或者減號， 要 先用括號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。4將數(shù)值代入式子求值*把具體的數(shù)代入式子求值時(shí)

32、， 要注意書寫格式： 先寫出字母等于幾， 然后寫出原式， 再把 數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。*同一個(gè)式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。二、簡易方程（一）方程和方程的解1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 注意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。方程和算術(shù)式不同。 算術(shù)式是一個(gè)式子， 它由運(yùn)算符號和已知數(shù)組成， 它表示未知數(shù)。 方程 是一個(gè)等式，在方程里的未知數(shù)可以參加運(yùn)算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時(shí)，方程才成立 。2方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。三、解方程 解方程，求方程的解的過程叫做解方程。四、列方程解應(yīng)用題

33、1列方程解應(yīng)用題的意義*用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。2列方程解答應(yīng)用題的步驟*弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示；*找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系；*列方程，解方程；*檢查或驗(yàn)算，寫出答案。3列方程解應(yīng)用題的方法*綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們 之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過程，其思考方向是從已知到未知。*分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和 所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程， 其思考方向是從未知到已知。4列方程解應(yīng)用題

34、的范圍 小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：a一般應(yīng)用題；b和倍、差倍問題；c幾何形體的周長、面積、體積計(jì)算；d分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；e比和比例應(yīng)用題。五比和比例13 / 281比的意義和性質(zhì)（1）比的意義 兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。“：”是比號，讀作 “比 ”。比號前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前 項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。同除法比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。 比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時(shí)也可能是整數(shù)。比的后項(xiàng)不能是零。 根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系， 可知比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子， 后項(xiàng)相當(dāng)于分母， 比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。（2）比的性質(zhì) 比的前項(xiàng)

35、和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù) （0除外） ，比值不變， 這叫做比的基本性質(zhì)。（3）求比值和化簡比求比值的方法： 用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)， 它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù)， 也可以是小數(shù)或分 數(shù)。根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡單的整數(shù)比。 它的結(jié)果必須是一個(gè)最簡比， 即前、 后項(xiàng) 是互質(zhì)的數(shù)。（4）比例尺 圖上距離：實(shí)際距離=比例尺 要求會求比例尺； 已知圖上距離和比例尺求實(shí)際距離； 已知實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。 線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對應(yīng)的實(shí)際距離。（5）按比例分配在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中， 常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。 這種分配的方法 通常

36、叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。2比例的意義和性質(zhì)（1）比例的意義 表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。 組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。 兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。（2）比例的性質(zhì) 在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。（3）解比例根據(jù)比例的基本性質(zhì)， 如果已知比例中的任何三項(xiàng)， 就可以求出這個(gè)數(shù)比例中的另外一個(gè)未 知項(xiàng)。求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例。3正比例和反比例（1）成正比例的量兩種相關(guān)聯(lián)的量， 一種量變化， 另一種量也隨著變化， 如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比 值（也就是商）一定，這兩種量就叫做

37、成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。 用字母表示y/x=k（一定）（2）成反比例的量兩種相關(guān)聯(lián)的量， 一種量變化， 另一種量也隨著變化， 如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積 一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。用字母表示x Xy=k（定）第四章 幾何的初步知識14 / 28一 線和角（1）線*直線 直線沒有端點(diǎn)；長度無限；過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條，過兩點(diǎn)只能畫一條直線。*射線 射線只有一個(gè)端點(diǎn)；長度無限。*線段 線段有兩個(gè)端點(diǎn)，它是直線的一部分；長度有限；兩點(diǎn)的連線中，線段為最短。*平行線 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。 兩條平行線之間的垂線長度都相等。*垂線

38、兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線 相交的點(diǎn)叫做垂足。從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線的長叫做這點(diǎn)到直線的距離。（2）角（1）從一點(diǎn)引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做 角的邊。（2）角的分類銳角：小于90的角叫做銳角。直角：等于90的角叫做直角。鈍角：大于90而小于180的角叫做鈍角。 平角：角的兩邊成一條直線，這時(shí)所組成的角叫做平角。平角180。周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角是360。二 平面圖形1長方形（1）特征對邊相等，4個(gè)角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。（2）計(jì)算公式c=2（a+b） s=ab2

39、正方形（1）特征： 四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。（2）計(jì)算公式c= 4as=a23三角形（1）特征由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。 （2）計(jì)算公式s=ah/2（3） 分類按角分銳角三角形 ：三個(gè)角都是銳角。直角三角形 ：有一個(gè)角是直角。等腰三角形的兩個(gè)銳角各為45度，它有一條對稱軸。 鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角。按邊分15 / 28不等邊三角形：三條邊長度不相等。 等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個(gè)底角相等；有一條對稱軸。等邊三角形：三條邊長度都相等；三個(gè)內(nèi)角都是60度；有三條對稱軸。4平行四邊形（1）特征 兩組對邊分別平行的四

40、邊形。相對的邊平行且相等。 對角相等，相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形。（2）計(jì)算公式s=ah5梯形（1）特征只有一組對邊平行的四邊形。中位線等于上下底和的一半。 等腰梯形有一條對稱軸。（2） 公式s=（a+b）h/2=mh6圓（1） 圓的認(rèn)識平面上的一種曲線圖形。圓中心的一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母o表示。 半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用r表示。 在同一個(gè)圓里，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。 同一個(gè)圓里有無數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。同一個(gè)圓里，直徑等于兩個(gè)半徑的長度，即d=2r。 圓的大小由半

41、徑?jīng)Q定。 圓有無數(shù)條對稱軸。（2）圓的畫法 把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）； 把有針尖的一只腳固定在一點(diǎn)（即圓心）上； 把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個(gè)圓。（3）圓的周長圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母n表示。（4）圓的面積 圓所占平面的大小叫做圓的面積。（5）計(jì)算公式d=2r r=d/2 c=nd c=2nrs=nr27扇形（1）扇形的認(rèn)識 一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。 圓上AB兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，讀作 “弧AB”。頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。 在同一個(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)。 扇形有

42、一條對稱軸。（2）計(jì)算公式s=nnr2/36016 / 288環(huán)形(1)特征 由兩個(gè)半徑不相等的同心圓相減而成，有無數(shù)條對稱軸。(2)計(jì)算公式s=n(R2r2)9軸對稱圖形(1)特征如果一個(gè)圖形沿著一條直線對折， 兩側(cè)的圖形能夠完全重合， 痕所在的這條直線叫做對稱軸。正方形有4條對稱軸， 長方形有2條對稱軸。 等腰三角形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸。 等腰梯形有一條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。菱形有4條對稱軸，扇形有一條對稱軸。三 立體圖形(一) 長方體1特征 六個(gè)面都是長方形(有時(shí)有兩個(gè)相對的面是正方形)。 相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。 有8個(gè)頂點(diǎn)。相交于一個(gè)頂點(diǎn)的

43、三條棱的長度分別叫做長、寬、高。 兩個(gè)面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。 把長方體放在桌面上，最多只能看到三個(gè)面。長方體或者正方體6個(gè)面的總面積，叫做它的表面積。2計(jì)算公式s=2(ab+ah+bh)V=shV=abh(二) 正方體1特征 六個(gè)面都是正方形 六個(gè)面的面積相等12條棱，棱長都相等 有8個(gè)頂點(diǎn) 正方體可以看作特殊的長方體2計(jì)算公式S表= 6a 2 v=a3（三）圓柱1圓柱的認(rèn)識 圓柱的上下兩個(gè)面叫做底面。 圓柱有一個(gè)曲面叫做側(cè)面。 圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫做高 。 進(jìn)一法：實(shí)際中，使用的材料都要比計(jì)算的結(jié)果多一些 ，因此，要保留數(shù)的時(shí)候，省略的 位上的是4或者比4小，都要向前

44、一位進(jìn)1。這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法。2計(jì)算公式s側(cè)=chs表=s側(cè)+s底&v=sh/3（四）圓錐1圓錐的認(rèn)識 圓錐的底面是個(gè)圓，圓錐的側(cè)面是個(gè)曲面。從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高。測量圓錐的高： 先把圓錐的底面放平， 用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面， 豎直地量出 平板和底面之間的距離。這個(gè)圖形就是軸對稱圖形。 折17 / 28把圓錐的側(cè)面展開得到一個(gè)扇形。2計(jì)算公式v= sh/3（五）球1認(rèn)識 球的表面是一個(gè)曲面，這個(gè)曲面叫做球面。 球和圓類似，也有一個(gè)球心，用O表示。 從球心到球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。通過球心并且兩端都在球面上的線段

45、，叫做球的直徑，用d表示，每條直徑都相等，直徑的長度等于半徑的2倍，即d=2r。2計(jì)算公式d=2r第五章 簡單的統(tǒng)計(jì)一 統(tǒng)計(jì)表（一）意義*把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫在一定格式的表格內(nèi)， 用來反映情況、 說明問題， 這樣的表格就叫做統(tǒng) 計(jì)表。（二）組成部分*一般分為表格外和表格內(nèi)兩部分。 表格外部分包括標(biāo)的名稱， 單位說明和制表日期； 表 格內(nèi)部包括表頭、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個(gè)方面。（三）種類*單式統(tǒng)計(jì)表：只含有一個(gè)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。*復(fù)式統(tǒng)計(jì)表：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。*百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表： 不僅表明各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的具體數(shù)量， 而且表明比較量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比 的統(tǒng)計(jì)表。（四）制作步驟1搜集數(shù)據(jù)2整理數(shù)

46、據(jù)： 要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。3設(shè)計(jì)草表：要根據(jù)統(tǒng)計(jì)的目的和內(nèi)容設(shè)計(jì)分欄格內(nèi)容、分欄格畫法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格，每格長 度。4正式制表：把核對過的數(shù)據(jù)填入表中， 并根據(jù)制表要求， 用簡單、 明確的語言寫上統(tǒng)計(jì)表的名稱和制表 日期。二 統(tǒng)計(jì)圖（一）意義*用點(diǎn)線面積等來表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形叫做統(tǒng)計(jì)圖。（二）分類1條形統(tǒng)計(jì)圖用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量， 根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直條， 然后把這些直線按 一定的順序排列起來。優(yōu)點(diǎn)：很容易看出各種數(shù)量的多少。 注意：畫條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，直條的寬窄必須相同。取一個(gè)單位長度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體情況而確定； 復(fù)式條形

47、統(tǒng)計(jì)圖中表示不同項(xiàng)目的直條， 要用不同的線條或顏色區(qū)別開， 并在制圖日期下面 注明圖例。制作條形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:（1）根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。18 / 28（2）在水平射線上，適當(dāng)分配條形的位置，確定直線的寬度和間隔。（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少。（4）按照數(shù)據(jù)的大小畫出長短不同的直條，并注明數(shù)量。2折線統(tǒng)計(jì)圖用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量， 根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)， 然后把各點(diǎn)用線段順次連接起 來。優(yōu)點(diǎn)：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。注意： 折線統(tǒng)計(jì)圖的橫軸表示不同的年份、 月份等時(shí)間時(shí)， 不同時(shí)

48、間之間的距離要根據(jù)年份 或月份的間隔來確定。制作折線統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:（1）根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。（2）在水平射線上，適當(dāng)分配折線的位置，確定直線的寬度和間隔。（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少。（4）按照數(shù)據(jù)的大小描出各點(diǎn)，再用線段順次連接起來，并注明數(shù)量。3扇形統(tǒng)計(jì)圖用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)， 用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。 優(yōu)點(diǎn)： 很清楚地表 示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系。 制扇形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟： （1）先算出各部分?jǐn)?shù)量占總 量的百分之幾。（2）再算出表示各部分?jǐn)?shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。（3）取適當(dāng)?shù)陌霃疆嬕粋€(gè)圓，并按照上面算

49、出的圓心角的度數(shù)，在圓里畫出各個(gè)扇形。（4）在每個(gè)扇形中標(biāo)明所表示的各部分?jǐn)?shù)量名稱和所占的百分?jǐn)?shù)，并用不同顏色或條紋把各個(gè)扇形區(qū)別開。第五章 簡單的統(tǒng)計(jì)一 統(tǒng)計(jì)表（一）意義*把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫在一定格式的表格內(nèi)， 用來反映情況、 說明問題， 這樣的表格就叫做統(tǒng) 計(jì)表。（二）組成部分*一般分為表格外和表格內(nèi)兩部分。 表格外部分包括標(biāo)的名稱， 單位說明和制表日期； 表 格內(nèi)部包括表頭、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個(gè)方面。（三）種類*單式統(tǒng)計(jì)表：只含有一個(gè)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。*復(fù)式統(tǒng)計(jì)表：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。*百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表： 不僅表明各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的具體數(shù)量， 而且表明比較量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比 的統(tǒng)計(jì)

50、表。（四）制作步驟1搜集數(shù)據(jù)2整理數(shù)據(jù)： 要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。3設(shè)計(jì)草表：要根據(jù)統(tǒng)計(jì)的目的和內(nèi)容設(shè)計(jì)分欄格內(nèi)容、分欄格畫法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格，每格長 度。4正式制表：把核對過的數(shù)據(jù)填入表中， 并根據(jù)制表要求， 用簡單、 明確的語言寫上統(tǒng)計(jì)表的名稱和制表19 / 28日期。二 統(tǒng)計(jì)圖（一）意義*用點(diǎn)線面積等來表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形叫做統(tǒng)計(jì)圖。（二）分類1條形統(tǒng)計(jì)圖用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量， 根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直條， 然后把這些直線按 一定的順序排列起來。優(yōu)點(diǎn)：很容易看出各種數(shù)量的多少。 注意：畫條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，直條的寬窄必須相同。取一個(gè)單位長

51、度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體情況而確定； 復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖中表示不同項(xiàng)目的直條， 要用不同的線條或顏色區(qū)別開， 并在制圖日期下面 注明圖例。制作條形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:（1）根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。（2）在水平射線上，適當(dāng)分配條形的位置，確定直線的寬度和間隔。（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少。（4）按照數(shù)據(jù)的大小畫出長短不同的直條，并注明數(shù)量。2折線統(tǒng)計(jì)圖用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量， 根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)， 然后把各點(diǎn)用線段順次連接起 來。優(yōu)點(diǎn)：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。注意： 折線統(tǒng)計(jì)圖的橫軸表示不

52、同的年份、 月份等時(shí)間時(shí)， 不同時(shí)間之間的距離要根據(jù)年份 或月份的間隔來確定。制作折線統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:（1）根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。（2）在水平射線上，適當(dāng)分配折線的位置，確定直線的寬度和間隔。（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少。（4）按照數(shù)據(jù)的大小描出各點(diǎn)，再用線段順次連接起來，并注明數(shù)量。3扇形統(tǒng)計(jì)圖用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)， 用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。 優(yōu)點(diǎn)： 很清楚地表 示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系。 制扇形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟： （1）先算出各部分?jǐn)?shù)量占總 量的百分之幾。（2）再算出表示各部分?jǐn)?shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。（3）

53、取適當(dāng)?shù)陌霃疆嬕粋€(gè)圓，并按照上面算出的圓心角的度數(shù)，在圓里畫出各個(gè)扇形。（4）在每個(gè)扇形中標(biāo)明所表示的各部分?jǐn)?shù)量名稱和所占的百分?jǐn)?shù)，并用不同顏色或條紋把各個(gè)扇形區(qū)別開。五 應(yīng)用（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用1簡單應(yīng)用題（1） 簡單應(yīng)用題： 只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡單 應(yīng)用題。20 / 28（2） 解題步驟：a審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問題。讀題時(shí)，不丟字不添字邊 讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。b選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手， 逐步根據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系

54、四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并 標(biāo)明正確的單位名稱。C檢驗(yàn)： 就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過程是否正確， 是否符合 題意。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，馬上改正。2復(fù)合應(yīng)用題 （1）有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通 常叫做復(fù)合應(yīng)用題。（2）含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。 求比兩個(gè)數(shù)的和多（少）幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。（3）含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。 已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的和（或差）。 已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。（4）解答連乘連

55、除應(yīng)用題。（5）解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。（6）解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量 關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。d答案：根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。（ 3 ）解答加法應(yīng)用題：a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。b求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。（4 ）解答減法應(yīng)用題：a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。-b求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙 數(shù)比甲數(shù)少多少。c求比一

56、個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題： 已知甲數(shù)是多少， ，乙數(shù)比甲數(shù)少多少， 求乙數(shù)是多少。（5 ）解答乘法應(yīng)用題：a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)，求總數(shù)。21 / 28b求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)是多少，另一個(gè)數(shù)是它的幾倍，求另一個(gè)數(shù) 是多少。（ 6）解答除法應(yīng)用題：a把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份 的，求每一份是多少。b求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和每份是多少，求可以分成幾份。C求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的 幾倍。d已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用

57、題。（7）常見的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量 路程=速度刈寸間 工作總量=工作時(shí)間XX效 總產(chǎn)量=單產(chǎn)量X數(shù)量3典型應(yīng)用題 具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題。（1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。 解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應(yīng)的總份數(shù)。 算術(shù)平均數(shù)：已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對應(yīng)的份數(shù)， 求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系 式：數(shù)量之和數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。數(shù)量關(guān)系式 （部分平均數(shù)X權(quán)數(shù)）的總和+（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。差額平均數(shù)：是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分， 求的是標(biāo)準(zhǔn)

58、數(shù)與各數(shù) 相差之和的平均數(shù)。數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)-小數(shù)）吃=小數(shù)應(yīng)得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差的和主、份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和 =總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。例：一輛汽車以每小時(shí)100千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時(shí)60千米 的 速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“1”，則汽車行駛的總路程為 “2”，從甲地到乙地的速度為100，所用的時(shí)間為 甲地速度為60千米 ，所用的時(shí)間是 ，汽車共行的時(shí)間為+為2-=75（千米）（2）歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變 化的規(guī)律是相同的，

59、這種問題稱之為歸一問題。 根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。根據(jù)球癡單一量之后， 解題采用乘法還是除法， 歸一問題可以分為正歸一問題， 反歸一問題。 一次歸一問題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量 ”的歸一問題。又稱 “單歸一。 ”兩次歸一問題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量 ”的歸一問題。又稱 “雙歸一。 ”正歸一問題：用等分除法求出 “單一量 ”之后，再用乘法計(jì)算結(jié)果的歸一問題。 反歸一問題：用等分除法求出 “單一量 ”之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問題。解題關(guān)鍵： 從已知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量 （單一量） ，然后以它為標(biāo)準(zhǔn)， 根據(jù)題目的， 汽車

60、從乙地到汽車的平均速度22 / 28要求算出結(jié)果。數(shù)量關(guān)系式：單一量漸數(shù)=總數(shù)量（正歸一）總數(shù)量屮一量=份數(shù)（反歸一）例 一個(gè)織布工人，在七月份織布4774米 ， 照這樣計(jì)算， 織布6930米 ，需要多 少天？分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。693 0-（477 4-31）=45（天）（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù) 量的個(gè)數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)（或單位數(shù)量）。特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和 反比例算法彼此相通。數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量X單位個(gè)數(shù)M個(gè)單位數(shù)量=另一個(gè)單位數(shù)量單位數(shù)