1、專題10導數的應用一、考綱要求：1 .了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次)；2 .了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數一般不超過三次)；會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數一般不超過三次)；3 .利用導數研究函數的單調性、極(最)值，并會解決與之有關的方程(不等式)問題；4 .會利用導數解決某些簡單的實際問題.二、概念掌握及解題上的注意點：1 .在某區間內f'(x)>0(f'(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分

2、不必要條件.2 .可導函數f(x)在(a,b)上是增(減)函數的充要條件是：對？xC(a,b),都有f'(x)>0(f'(X)W0)且f'(x)在(a,b)上的任何子區間內都不恒為零.3 .對于可導函數f(x),(x。=0是函數f(x)在x=x0處有極值的必要不充分條件.4 .用導數證明函數f(外在(a,b)內的單調性的步驟一求：求f'(x);二定：確定f'(x)在a,b內的符號；三結論：作出結論：f'(x)>0時為增函數；f'(x)<0時為減函數.5 .研究含參數函數的單調性時，需注意依據參數取值對不等式解集的影響進行

3、分類討論.1)討論分以下四個方面二次項系數討論，根的有無討論，根的大小討論，根在不在定義域內討論2)討論時要根據上面四種情況，找準參數討論的分點3)討論完必須寫綜述.6 .利用導數研究函數極值問題的一般流程7.已知函數極值點和極值求參數的兩個要領(1)列式：根據極值點處導數為。和極值列方程組，利用待定系數法求解.(2)驗證：因為一點處的導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證根的合理性三、高考題例分析例1(2018新課標I)已知函數f(x)J_-x+alnx.x(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明：1va-2.勺一乂2【解答

4、九(1)函數的定義域為co,e函數的導數r-y2a,x+1.X2Xx2設g(x)=x2-ax+l,當aWOE寸，g(x)恒成立，即P(x)<。恒成立，此時星額f(x)在0,田)上是雇困數，當a>0時，判別式=a2-4,當0vaw4時，0,即g(x)>0,即f'(x)v0恒成立，此時函數f(x)在(0,+8)上是減函數，當a>2時，x,f'(x),f(x)的變化如下表：x(0,三八/)22(鼠相-42，222，+OO)f'(x)一0+0一f(x)遞減遞增遞減綜上當a<2時,f(x)在(0,+8)上是減函數,當a>2時，在(0,三號工)，

5、和(史為五，+8)上是減函數,WW邙m上是增函數.(2)由(1)知白>，而，XJ(產，則f(Xi)-f(x2)-(x2-Xj)(1+-)+a(Inx!-Inx2)=2(曲-%)(lnx【Trw。slx2f(K1)-f(a(lnii-Ini9)典1£-=-2+,勺一或2X一甕2“3-cIn/-lnx9)則問題轉為證明即可，盯一乃即證明lnxJ-lnx2>3tJ-x2,即證21叫>內-1-在(0,1)上恒成立f叼設h(x)=2lnx-x+,(0vxv1),其中h(1)=0,x求導得h'(x)=Z-1-=-0-2""=(，T)_<0,xJ

6、”J則h(x)在(0,1)上單調遞減，1. h(x)>h(1),即2lnx-x+>0,x故2lnx>x-,xf(x2)貝U-<a-2成立.町“例2(2018新課標n)已知函數f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,證明：當x>0時，f(x)>1;(2)若f(x)在(0,+8)只有一個零點，求a.【解答】證明：(1)當a=1時，函數f(x)=ex-x2.貝Uf'(x)=ex-2x,令g(x)=ex2x,貝Ug'(x)=ex-2,令g'(x)=0,得x=ln2.當e(0,ln2)時，h'(x)<0,當C(ln2,+8)時，h

7、'(x)>0,.h(x)>h(ln2)=e1n2-2?ln2=2-2ln2>0,.f(x)在0,+8)單調遞增，f(x)>f(0)=1,解工，f（X）在（0,+0O）只有T零點一方程m-標=0在400）只有一個根,<0j+<»）只有一個根nK即圖數I與G（x）二的圖象在（0,赤）只有一個交點-當xE（。，2）時，Gf（X）<0,當£時，GYx）>Q，6<x）在<0,2）遞填在3）遞增，當今。時G（x）-+oo?當今+oo時，G（X）"K0,213在（0,田）只有一個零點時，白=G44例3（2018

8、新課標出）已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.（1）若a=0,證明：當1vxv0時，f（x）<0;當x>0時，f（x）>0;（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a.【解答】(1)證明：當a=0時，f(x)=(2+x)In(1+x)-2x,(x>-1).f'（回（H1）*'可得xC(1,0)時，f(x)w0,xC(0,+oo)時，f(x)>0f'（x）在（-1,0）遞減，在（0,+8）遞增,f'(x)>f'(0)=0,.f(x)=(2+x)In(1+x)-2x在(-1,+8)上單調遞增，又f(0)

9、=0.當1vxv0時，f(x)v0;當x>0時，f(x)>0.(2)解：由f(x)=(2+x+ax2)In(1+x)-2x,得(x)=(1+2ax)ln(1+x)+2+肝、J-2=&工(”如)出)皿(、x+1x+1令h(x)=ax2-x+(1+2ax)(1+x)In(x+1),h'(x)=4ax+(4ax+2a+1)In(x+1).當a>0,x>0時，h'(x)>0,h(x)單調遞增，.h(x)>h(0)=0,即f'(x)>0,.f(x)在(0,+8)上單調遞增，故x=0不是f(x)的極大值點，不符合題意.當a<0

10、時，h"(x)=8a+4aln(x+1)+lz?_,x+1顯然h(x)單調遞減，令h，(O)見解得a=-L6，當l<x<o時,h-(x)Xb當x>0時h"(x)<o,(x)在(-1,0)上單調遞增,在0,+8)上單調遞減，(x)士愕(0)=0,二h(x)單調遞減，又hg,當一KZO時>h(x)>6即F<x)>o,當x>0B寸，h(x)<0,即r(x)<o,'f(x)在(-1,0)上單調遞增,在(0,3)上單調遞順，量=0是fX)的極大值點，符合題意3若一工vav0,貝Uh(0)=1+6a>0,h

11、(e4且1)=(2a1)(1eg)v60,.h(x)=0在(0,+8)上有唯一一個零點，設為xo,，當0vxvx。時，h"(x)>0,h'(x)單調遞增，h'(x)>h'(0)=0,即f'(x)>0,導數應用練習一、選擇題1.函數f(x)=exx的單調遞增區間是()A.(巴1B.1,+oo)C.(巴0D.0,+8)D 解析：= f(x) = exx，f'(x)=ex1,令(x)>0,得ex-1>0,即x>0,故f(X)的單調遞增區間是0,+8).1 32 .已知函數f(x)=2x3+ax+4,則“a>0

12、”是“f(x)在R上單倜遞增的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析：f'(x)=gx2+a,當a>0時，f'(x)>0恒成立，故"a>0"是"f(x)在R上單調遞增”的充分不必要條件.3 .若哥函數f(x)的圖象過點怪，2|；則函數g(x)=exf(x)的單調遞減區間為()A.(一00,0)B(-00,一2)C.(2,1)D.(-2,0)D解析：設氟函數就=嗎因為圖象過點僧，所以*=停廣，a=2,所以人力二城，故於)令/&)=硒+加以=武"+物)<0,2<

13、z<0,故函數的)的單調遞減.區間為(一20).4 .已知函數y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數y=f'(x)的圖象如圖2-11-2所示，則該函數的圖象是()不、CD圖2-11-2B解析：由y=f'(x)的圖象知，y=f(x)在1,1上為增函數，且在區間1,0)上增長速度越來越快，而在區間(0,1上增長速度越來越慢.5 .(2017安徽二模)已知f(x)=n,則()xA.f(2)>f(e)>f(3)B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(3)>f(2)>f(e)D.f(e)>f(3)>f(2)D解析工力的定義域

14、是(0,+8f3=)令/(力=o,得工=已，當了E(。，時，/>0,人力單調遞增，當x©+8)時，/q)co,漢幻單調通戒，故，一時，加皿=心尸3而心尸苧=塔用尸竽=*：.J)>JP)>J2r故選D6.下列函數中，既是奇函數又存在極值的是()A.y=x3B.y=ln(x)C.y=xexD.y=x+1D解析：由題可知，B,C選項中的函數不是奇函數，A選項中，函數y=x3單調遞增(無極值)，而D選項中的函數既為奇函數又存在極值.37. (2016四川局考)已知a為函數f(x)=xI2x的極小值點，則a=()A.4B.-2C.4D.2D解析：由題意得f'(x)=3

15、x212,令f'(刈=0得*=±2,.當x<2或x>2時，f'(x)>0;當2<x<2時，f'(x)<0,，f(x)在(巴2)上為增函數，在(2,2)上為減函數，在(2,十°°)上為增函數.f(x)在x=2處取得極小值，a=2.一”.128.函數f(x)=2xlnx的取小值為()A.(1,2)B.(巴3)u(6,+8)C.(3,6)D.(8,-1)U(2,+oo)B解析：=f'(x)=3x2+2ax+(a+6),由已知可得f'(x)=0有兩個不相等的實根，A=4a24X3(a+6)>

16、0,即a2-3a-18>0,'a>6或av3.10 .(2018山東省實驗中學診斷)若函數f(x)在R上可導，且滿足f(x)xf'(x)>0,則()A.3f(1)<f(3)B.3f(1)>f(3)C.3f(1)=f(3)D.f(1)=f(3)7fxTxfx-fxB解析：由于f(x)>xf'(x),則一1=-2<0恒成立，因此xx在R上是單調遞減函數,一一<f，即3f(1)>f(3).3111 .函數f(x)在定義域R內可導，若f(x)=f(2x),且當xC(8,1)時，(x1)f'(x)<0,設a=f(

17、0),b=f2J,c=f(3),則()A.avbvcB.cvbvaD. bvcvaC.cvavbC解析：依題意得，當了<1時，/>0,用)為增函數;又大3)=人1)，且一lVQVVL因此有貝_1)%O)V局，即有火3)<火0)<冏，c<a<b.1 2，一一12. (2017安徽江淮十校第二次聯考)設函數f(x)=2x9lnx在區間a1,a+1上單調遞減，則實數a的取值范圍是()A.1<a<2B.a>4C.a<2D.0<a<3A解析：易知函數f(x)的定義域為(0,十°°),(x)=x9,由f'(

18、x)=x9v0,xx一一,一、,.，12,一,解得0vxv3.因為函數f(x)=2x9lnx在區間a-1,a+1上單倜遞減，所以a-l>0,a+1<3,解得1vaw2,選A解析,對人工)求導，得/(»=一/+犬+勿=g+/24.二、填空題,+00金存在單調遞增區間，則a的取值范圍13 .若函數f(x)=-x3+x-*009' 解析：當 x>0 時，f (x) =- 2xv0;當 xwo 時，f ' (x) = 3x23 = 3(x 1)( x+ 1),+2ax在323當工住,+8)時，f的最大值為/停)=/2人令畀法0,解得心一小所以心的取值范圍是-

19、5+8)14 .若函數f(x)=2x33mx+6x在區間(2,十叼上為增函數，則實數m的取值范圍為解析：:f'(x)=6x26mx6,當xC(2,+8)時，f'(x)>0恒成立,即x2m刈1>0恒成立，1x+一恒成立.x令g(x)=x+1,g'(x)=13,xx當x>2時，g'(x)>0,即g(x)在(2,+°°)上單調遞增,1.me2+-=2x3-3x,x<0,15 .設函數f(x)=*則f(x)的最大值為2x,x>0,當xv1時，f'(x)>0,f(x)是增函數，當一1vxv0時，f

20、9;(x)V0,f(x)是減函數，.f(x)wf(1)=2,f(x)的最大值為2.16 .已知函數f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍是.(00,2)解析；皆口=0時，顯然#0有兩個零點，不符合題恚.當詩0葉，f*)=3工一版,令*)=Q,解得的=0,xi=-當足>0時，!>(>)所以函數用)=加一笈3+1在(-8,0)和+8)上為增函數，在(0,富上為減函數，因為而)存在唯一零點加，且或)>0則又0)<0,即1<0,不成立.當。<0時，(<0,所以函數#()=&'3W+1在

21、(一8,孤(6+8)上為減國數，在0)上為增函繳，因為麻c)存在唯一零點制,且灰>0,則©>0,即&*-3-*+lAO,解得立>2或Z2,又因為O<0,故口的職值范圍為(一8,-2).三、解答題17 .已知函數f(x)=£+alnx-3,其中aCR,且曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的4x21切線垂直于直線y=x.(1)求a的值；(2)求函數f(x)的單調區間.解(1)對f(x)求導得f'(x)=131,4xx1一3.一由f(x)在點(1,f(1)處的切線垂直于直線y=2x,得f(1)=-4-a=-2,解得a5=7x53.x24x

22、5.一(2)由(1)知f(x)=4+4xlnx2,則f(x)=-4x2，令f(x)=0,解得x=1或x=5.因x=-1不在f(x)的定義域(0,+8)內，故舍去.當xC(0,5)時，f'(x)<0,故f(x)在(0,5)內為減函數；當xC(5,+8)時，f'(x)>0,故f(x)在(5,+8)內為增函數.所以f(x)的單調減區間為(0,5),單調增區間為(5,+8).18 .已知函數f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)要使f(x)在(0,2)上單調遞增，試求a的取值范圍；(2)當a<0時，若函數滿足f(x)max=1,f(x)min=3,試求y=&

23、quot;X)的解析式.解(1)f'(x)=3x2+2ax.依題意f'(x)>0在(0,2)上恒成立，即2ax>3x2.x>0,，2a>3x,，2a>6,.a>3,即a的取值范圍是3,+8).(2)/*)=-3山+癡=耳_3了+力).d<o,當工£(-8,時，/q)wo,用)遞我.當工/必。時，f(x)>o?龍)遞增.當工60,+8)%/a)wo,遞咸，/工)皿=<0)=1,=_3,3匕=1.f(x)=-x33x2+1.19 .已知函數f(x)=ex+axa(aeR且aw0).(1)若f(0)=2,求實數a的值，并

24、求此時f(x)在2,1上的最小值；(2)若函數f(x)不存在零點，求實數a的取值范圍.解(1)由f(0)=1a=2,得a=1.易知f(x)在2,0)上單調遞減，在(0,1上單調遞增，所以當x=0時，f(x)在2,1上取得最小值2.(2)f'(x)=ex+a,由于ex>0.當a>0時，f'(x)>0,f(x)是增函數，當x>1時，f(x)=ex+a(x-1)>0.當x<0時，取x=：,則f:a；<1+a(a-1i=a<0.所以函數f(x)存在零點，不滿足題意.當a<0時，f'(x)=ex+a,令f'(x)=0,

25、得x=ln(-a).在(00,in(-a)上，f'(x)<0,f(x)單調遞減，在(ln(a),十刃上,一(x)>0,f(x)單調遞增,所以當x=ln(a)時，f(x)取最小值.函數f(x)不存在零點，等價于f(ln(a)=eln(a)+aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0,解得一e2<a<0.綜上所述，所求實數a的取值范圍是e2<a<0.20 .設函數f(x)=ln(x+a)+x2.(1)若當x=1時，f(x)取得極值，求a的值，并求f(x)的單調區間；(2)若f(x)存在極值，求a的取值范圍.解(1)f'(x)=+2x,依

26、題意，有f'(1)=0,故a=.x十a2u 本 * 1 / 2x+ 1x + l從而 f ( x) =73x+2，且f(x)的定義域為3- -koo2、“3,當一2vxv 1時，f'(x)>0；當一1vxv一1當x>2時，f'(x)>0.f(x)在區間在u1,-2夕:單調遞減12比勵的定義域為(一a +8), / Q)=2x+Zm+1x+ati2xa+2zn+l=0的判別式/二328,若0為0即一SSoWW時，/d)沁故大力無楨值.若/>0,即aV亞或a>yjl,則2+M十1=0有兩個不同的實根，h=一日-7-2_一&+,一-22&

27、#39;“尸2，當&<一時,a故r0)>0在定義域上恒威立，故人力無極值.*心亞時*敢人幻在(一劉)上述增，(11*袋)上述藏b(X2*+8)上述陳故人力在，=為，x=總取得極值.蝶上，©存在極值時，口的取值病困為(血，十8).21.已知函數f(x)=x2+alnx.(1)當a=-2時，求函數f(x)的單調遞減區間；2,(2)若函數g(x)=f(x)+-在1,+8)上單倜，求實數a的取值范圍.x2解(1)由題意知，函數的定義域為(0,+8),當a=-2時，f'(x)=2x-=x2 x+l x-l由f ' ( x) V 0得0V x< 1,故f (x)的單調遞減區間是(0,1)，m，a2一，(2)由題意得g(x)=2x+x-x2,函數g(x)在1,