1、工程流體力學(xué)本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：在許多工程實際問題中，流動參數(shù)在許多工程實際問題中，流動參數(shù)不僅在流動方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流不僅在流動方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流動方向的橫截面上也要發(fā)生變化。要研究此類動方向的橫截面上也要發(fā)生變化。要研究此類問題，就要用問題，就要用多維流的分析方法多維流的分析方法。本章主要討。本章主要討論理想流體多維流動的基本規(guī)律，為解決工程論理想流體多維流動的基本規(guī)律，為解決工程實際中類似的問題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步實際中類似的問題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步研究粘性流體多維流動奠定必要的基礎(chǔ)。研究粘性流體多維流動奠定必要的基礎(chǔ)。 當(dāng)把流體的流動看作是連續(xù)介質(zhì)的流動

2、，它必然遵守質(zhì)當(dāng)把流體的流動看作是連續(xù)介質(zhì)的流動，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。對于一定的控制體，必須滿足式（量守恒定律。對于一定的控制體，必須滿足式（3 32222）。它）。它表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所引起的流體質(zhì)量隨時間的表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所引起的流體質(zhì)量隨時間的變化率等于單位時間內(nèi)通過控制體的流體質(zhì)量的凈通量變化率等于單位時間內(nèi)通過控制體的流體質(zhì)量的凈通量。 首先推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程。首先推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程。 圖圖7-1 7-1 微元六面體微元六面體 設(shè)該微元六面體中心點(diǎn)設(shè)該微元六面體中心點(diǎn)O O（x, y, zx, y, z）上流體

3、質(zhì)點(diǎn)的速度為上流體質(zhì)點(diǎn)的速度為 、 、 ， 密度為密度為 ，于是和，于是和 軸垂直的兩個平面上的質(zhì)量流量如圖所示。軸垂直的兩個平面上的質(zhì)量流量如圖所示。 xvyvzv在在 方向上，單位時間通過方向上，單位時間通過EFGHEFGH面流入的流體質(zhì)量為：面流入的流體質(zhì)量為： x（a a）dydzdxvxvxx2單位時間通過單位時間通過ABCDABCD面流出的流體質(zhì)量面流出的流體質(zhì)量 ：（b b）dydzdxvxvxx2 則在則在 方向單位時間內(nèi)通過微元體表面的凈通量為（方向單位時間內(nèi)通過微元體表面的凈通量為（b b）- -（a a），），即即 dxdydzvxx（c1c1）xx同理可得同理可得 和和

4、 方向單位時間通過微元體表面的凈通量分別為方向單位時間通過微元體表面的凈通量分別為: : yzdxdydzvyydxdydzvzz（c2c2） （c3c3） 因此，單位時間流過微元體控制面的總凈通量為因此，單位時間流過微元體控制面的總凈通量為: :dxdydzvzvyvxdAvzyxnCS（c c） 微元六面體內(nèi)由于密度隨時間的變化而引起的質(zhì)量的變化率為：微元六面體內(nèi)由于密度隨時間的變化而引起的質(zhì)量的變化率為： dxdydztdxdydztdVtCVCV 將式（將式（c c），（），（d d）代入式（代入式（7-17-1），取），取 0 0，則可得到流場中任，則可得到流場中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程的

5、一般表達(dá)式為一點(diǎn)的連續(xù)性方程的一般表達(dá)式為: : dxdydz0tvzvyvxzyx0)(tv或或（7-17-1a a） 連續(xù)性方程表示了單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控連續(xù)性方程表示了單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動和非定常制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動和非定常流動。流動。 在定常流動中，由于在定常流動中，由于0t0zyxvzvyvx（對于不可壓縮流體（對于不可壓縮流體（ = =常數(shù)）常數(shù)）0zvyvxvzyx0 v或或（7-37-3a a）在其它正交坐標(biāo)系中流場中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程和柱

6、坐標(biāo)系中的表示式為在其它正交坐標(biāo)系中流場中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程和柱坐標(biāo)系中的表示式為 ： 0)()(1)(1zrvzvrvrrrt(7-4)(7-4) 對于不可壓縮流體對于不可壓縮流體 01rvzvvrrvrzr(7-4(7-4a)a) 式中式中 為極徑；為極徑； 為極角。為極角。r球坐標(biāo)系中的表示式為球坐標(biāo)系中的表示式為: :)sin(sin1)(122vrrrvrtr0)(sin1vr(7-5)(7-5)0cot2sin11rvrvvrvrrvrr（7-57-5a a）式中式中 為徑矩；為徑矩； 為緯度；為緯度； 為徑度。為徑度。r【例【例7-17-1】0zvyvxvzyx044zvyxzy

7、xzvz44 ),()(4yxfzyxvz0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv 流體與剛體的主要不同在于它具有流動性，極易變形。因流體與剛體的主要不同在于它具有流動性，極易變形。因此，流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中不但象剛體那樣可以有移動和轉(zhuǎn)動，此，流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中不但象剛體那樣可以有移動和轉(zhuǎn)動，而且還會發(fā)生變形運(yùn)動。一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動可以分而且還會發(fā)生變形運(yùn)動。一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動可以分解為移動，轉(zhuǎn)動和變形運(yùn)動。解為移動，轉(zhuǎn)動和變形運(yùn)動。 圖圖7-2 7-2 流體微團(tuán)運(yùn)動速度分量流體微團(tuán)運(yùn)動速度分量 222zzvyyvxxvvxx

8、xx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 如如圖圖 7 7- -2 2 所所示示，在在流流場場中中任任取取一一平平行行六六面面體體的的流流體體微微團(tuán)團(tuán)，以以該該流流體體微微團(tuán)團(tuán)的的運(yùn)運(yùn)動動速速度度為為討討論論對對象象。已已知知 t t 瞬瞬時時中中心心點(diǎn)點(diǎn) O O（x x, , y y, , z z）的的速速度度 kvjvivvzyx 。在在該該流流體體微微團(tuán)團(tuán)的的八八個個頂頂點(diǎn)點(diǎn)

9、( (x x 方方向向) )的的分分速速度度，可可以以利利用用泰泰勒勒級級數(shù)數(shù)展展開開式式，并并略略去去高高于于一一階階的的無無窮窮小小量量，如如圖圖。 為為了了簡簡化化討討論論，首首先先分分析析流流體體微微團(tuán)團(tuán)的的平平面面運(yùn)運(yùn)動動。如如圖圖7 7- -3 3 ， t t 瞬瞬時時矩矩形形 A AB BC CD D 所所示示（x x- -y y 平平面面） ，由由于于流流體體微微團(tuán)團(tuán)各各點(diǎn)點(diǎn)的的速速度度不不同同，在在t t 時時間間間間隔隔中中，經(jīng)經(jīng)過過平平動動、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動和和變變形形運(yùn)運(yùn)動動，微微團(tuán)團(tuán)的的位位置置和和形形狀狀都都發(fā)發(fā)生生了了變變化化。 具具體體分分析析如如下下： 圖圖7 7-

10、-3 3 流流體體微微團(tuán)團(tuán)的的平平面面運(yùn)運(yùn)動動速速度度分分量量 22yyvxxvvxxx22yyvxxvvxxx22yyvxxvvxxx22yyvxxvvxxx22yyvxxvvyyy22yyvxxvvyyy22yyvxxvvyyy22yyvxxvvyyyxDAyyBCx（1 1）平移運(yùn)動：如圖）平移運(yùn)動：如圖7-47-4（a a）所示，所示，矩形矩形ABCDABCD各角點(diǎn)具有相同的速各角點(diǎn)具有相同的速度度 。導(dǎo)致矩形。導(dǎo)致矩形ABCDABCD平移平移x x = = t t, , y y = = t t, , 其其ABCDABCD的的形狀不變。形狀不變。（2 2）線變形運(yùn)動：如圖）線變形運(yùn)動：

11、如圖7-47-4（b b）所示，線變形運(yùn)動取決于速度分量在它所示，線變形運(yùn)動取決于速度分量在它所在方向上的變化率（即線變形速率所在方向上的變化率（即線變形速率 和和 ），），導(dǎo)致矩形導(dǎo)致矩形ABCDABCD的變的變形量：形量：yxvv ,xvyvxvxyvy圖圖7-4 7-4 流體微團(tuán)的平面運(yùn)動流體微團(tuán)的平面運(yùn)動 txxvxx22tyyvyy22（3 3）角變形運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動：如圖）角變形運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動：如圖7-47-4（c c）、（）、（d d）所示，當(dāng)所示，當(dāng) txvxtxxvyy)2(2tantyvytyyvxx)2(2tanxvyvyx當(dāng)當(dāng)矩形矩形ABCDABCD只發(fā)生角變形運(yùn)動，如圖

12、只發(fā)生角變形運(yùn)動，如圖7-47-4（c c）所示。所示。 xvyvyx當(dāng)當(dāng)矩形矩形ABCDABCD只發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，形狀不變只發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，形狀不變在一般情況下在一般情況下 xvyvyx的同時，還會發(fā)生角變形運(yùn)動。這兩種運(yùn)動由和所決定。如圖的同時，還會發(fā)生角變形運(yùn)動。這兩種運(yùn)動由和所決定。如圖7-47-4（d d）(e)(e)所所示。示。亦就是亦就是矩形矩形ABCDABCD在發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動在發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圖圖7-4 7-4 流體微團(tuán)的平面運(yùn)動流體微團(tuán)的平面運(yùn)動 在角變形運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動同時發(fā)生的情況下，將會有以下關(guān)系式：在角變形運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動同時發(fā)生的情況下，將會有以下關(guān)系式： 2121（7-6） 于

13、是沿于是沿z z軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量：軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量： yvxvtttxyz2121圖圖7-4 7-4 流體微團(tuán)的平面運(yùn)動流體微團(tuán)的平面運(yùn)動 同理，沿同理，沿x x，y y軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量分別為軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量分別為: : zvyvyzx21xvzvzxy21流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度定義為流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度定義為: : Vkjizyx21（7-7） 其中，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量及模量為：其中，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量及模量為： yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx （7-8） 流體微團(tuán)沿流體微團(tuán)沿z z軸的角變形速度分量：軸的

14、角變形速度分量： yvxvtttxyz2121同理，可有流體微團(tuán)角變形速度分量及其模量為：同理，可有流體微團(tuán)角變形速度分量及其模量為： yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx（7-97-9） 前面在流體微團(tuán)的分析中，已給出前面在流體微團(tuán)的分析中，已給出O O點(diǎn)的速度，點(diǎn)的速度，與點(diǎn)與點(diǎn)O O相距相距微小矢徑的點(diǎn)微小矢徑的點(diǎn)A( )A( )的速度為的速度為 : :zzyyxx,zzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzzzAzyyyyAyxxxxAx (7-10) (7-10) 如果在式（如果在式（7-107-10）的第一式右端加入兩組等于

15、零的項：）的第一式右端加入兩組等于零的項： yxvyxvyy2121zxvzxvzz2121其值不變。經(jīng)過簡單組合，可將該式寫成其值不變。經(jīng)過簡單組合，可將該式寫成 ：zxvzvyyvxvzxvzvyyvxvxxvvvzxxyzxxyxxAx)(21)(21)(21)(21同理，有：同理，有： yzvyvxxvzvyzvyvxxvzvzzvvvxyvxvzzvyvxyvxvzzvyvyyvvvyzzxyzzxzzAzxyyzxyyzyyAy)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21和和將式（將式（7-87-8），（），（7-97-9）代入以上三式，便可將式（）代入以上三式

16、，便可將式（7-107-10）寫成）寫成 ：)()()()()()(xyyxzzvvvzxxzyyvvvyzzyxxvvvyxxyzzAzxzzxyyAyzyyzxxAx（7-107-10a a） 上式表明：各速度分量的第一項是平移速度分量，第二、上式表明：各速度分量的第一項是平移速度分量，第二、三、四項分別是由線變形運(yùn)動、角變形運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動所引起三、四項分別是由線變形運(yùn)動、角變形運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動所引起的線速度分量。此關(guān)系也稱為海姆霍茲的線速度分量。此關(guān)系也稱為海姆霍茲( (HelmholtzHelmholtz) )速度分解速度分解定理，該定理可簡述為：定理，該定理可簡述為： 在某流場在某流場

17、O O點(diǎn)鄰近的任意點(diǎn)點(diǎn)鄰近的任意點(diǎn)A A上的速度可以分成三個部分：上的速度可以分成三個部分：分別為分別為與與O O點(diǎn)相同的平移速度點(diǎn)相同的平移速度（平移運(yùn)動）；（平移運(yùn)動）；繞繞O O點(diǎn)轉(zhuǎn)動在點(diǎn)轉(zhuǎn)動在A A點(diǎn)點(diǎn)引起的速度引起的速度（旋轉(zhuǎn)運(yùn)動）；（旋轉(zhuǎn)運(yùn)動）；由于變形（包括線變形和角變形）由于變形（包括線變形和角變形）在在A A點(diǎn)引起的速度點(diǎn)引起的速度（變形運(yùn)動）。（變形運(yùn)動）。 根據(jù)流體微團(tuán)在流動中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動分為兩根據(jù)流體微團(tuán)在流動中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動分為兩類：有旋流動和無旋流動。類：有旋流動和無旋流動。 數(shù)學(xué)條件：數(shù)學(xué)條件： 當(dāng)當(dāng) 021V021V當(dāng)當(dāng) 無旋流動無旋流動

18、有旋流動有旋流動 通常以通常以 是否等于零作為判別流動是否有旋或無旋是否等于零作為判別流動是否有旋或無旋的判別條件。的判別條件。 V 在笛卡兒坐標(biāo)系中：在笛卡兒坐標(biāo)系中： kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz（7-11） 即當(dāng)流場速度同時滿足：即當(dāng)流場速度同時滿足： zvyvyzxvzvzxyvxvxy時流動無旋。時流動無旋。 需要指出的是，需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團(tuán)本身是否有旋流動和無旋流動僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動軌跡無關(guān)。發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動軌跡無關(guān)。 如圖如圖7-57-5（a a），），流體微團(tuán)的運(yùn)動為旋轉(zhuǎn)的圓

19、周運(yùn)動，其微團(tuán)流體微團(tuán)的運(yùn)動為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動，其微團(tuán)自身不旋轉(zhuǎn)，流場為無旋流動；圖自身不旋轉(zhuǎn)，流場為無旋流動；圖7-57-5（b b）流體微團(tuán)的運(yùn)動盡流體微團(tuán)的運(yùn)動盡管為直線運(yùn)動，但流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，管為直線運(yùn)動，但流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動為有旋流動。該流動為有旋流動。（a） （b） 圖圖7-5 7-5 流體微團(tuán)運(yùn)動軌跡流體微團(tuán)運(yùn)動軌跡 【例例7-27-2】 某一流動速度場為某一流動速度場為 ， ，其中，其中 是是不為零的常數(shù)，流線是平行于不為零的常數(shù)，流線是平行于 軸的直線。試判別該流動是有軸的直線。試判別該流動是有旋流動還是無旋流動。旋流動還是無旋流

20、動。 【解】【解】 由于由于 021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以該流動是有旋運(yùn)動。所以該流動是有旋運(yùn)動。 ayvx0zyvvaxx021xvzvzxy 理想流體運(yùn)動微分方程式是研究流體運(yùn)動學(xué)的重要理論基理想流體運(yùn)動微分方程式是研究流體運(yùn)動學(xué)的重要理論基礎(chǔ)。可以用礎(chǔ)。可以用牛頓第二定律牛頓第二定律加以加以推導(dǎo)推導(dǎo)。 在流場中取一平行六面體，如圖在流場中取一平行六面體，如圖7 76 6所示。其邊長分別為所示。其邊長分別為dxdx，dydy，dzdz，中心點(diǎn)為中心點(diǎn)為A A( (x,yx,y, ,z z) ) 。中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p=pp=p( (x,yx,y, ,z z)

21、 )，密度為密度為=( (x,yx,y, ,z z) ) 。因為研究的對象為理想因為研究的對象為理想流體，作用于六個面上的表面力只有壓力，作用于微元體上的流體，作用于六個面上的表面力只有壓力，作用于微元體上的單位質(zhì)量力單位質(zhì)量力 沿三個坐標(biāo)軸的分量分別為沿三個坐標(biāo)軸的分量分別為 。 fzyxfff,zyxA(x,y,z)2dxxpp2dxxppf圖圖7 76 6 理想流體運(yùn)動微分方程用圖理想流體運(yùn)動微分方程用圖 微元體在質(zhì)量力和表面力的作用下產(chǎn)生的加速度微元體在質(zhì)量力和表面力的作用下產(chǎn)生的加速度 ，根，根據(jù)牛頓第二定律據(jù)牛頓第二定律 ：adtdvmFxxdtdvdxdydzdydzdxxppd

22、ydzdxxppdxdydzfxx)2()2(兩端同除以微元體的質(zhì)量兩端同除以微元體的質(zhì)量 , ,并整理有：并整理有： dxdydzdtdvzpfdtdvypfdtdvxpfzzyyxx111 (7-12) (7-12) 寫成矢量式：寫成矢量式： dtvdpfgrad1 (7-13) (7-13) 將加速度的表達(dá)式代入（將加速度的表達(dá)式代入（7 71212）有：）有： zvvyvvxvvtvzpfzvvyvvyvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111（7 71414） 其矢量式為其矢量式為 ：vvtvpf)(1grad（7 71515）

23、公式（公式（7 71414）為理想流體運(yùn)動微分方程式）為理想流體運(yùn)動微分方程式，物理上表示物理上表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡。了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡。該式推導(dǎo)過程中對流體的壓縮性沒加限制，該式推導(dǎo)過程中對流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想故可適用于理想的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動和無旋流動。的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動和無旋流動。 將（將（7 71414）作恒等變形，便可以直接由運(yùn)動微分方程判定）作恒等變形，便可以直接由運(yùn)動微分方程判定流動是有旋還是無旋流動，在式（流動是有旋還是無旋流動，在式（7-147-14

24、）的第一式右端同時加）的第一式右端同時加減減 、 ，得，得: : xvvyyxvvzz 1xpfxvzvvxvyvvxvvxvvxvvtvxzxzyxyzzyyxxx由式（由式（7-87-8）得）得: : 122 122 122222zpfvvvztvypfvvvytvxpfvvvxtvzxyyxzyzxxzyxyzzyx（7-16） 寫成矢量形式寫成矢量形式 pvt1fv22v2（7-17） 如果流體是在有勢的質(zhì)量力作用下，流場是正壓性的，則：如果流體是在有勢的質(zhì)量力作用下，流場是正壓性的，則： xfxyfyzfz此時存在一壓強(qiáng)函數(shù)此時存在一壓強(qiáng)函數(shù): : pPFd（7 71818） 將壓強(qiáng)

25、函數(shù)對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)有將壓強(qiáng)函數(shù)對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)有: : xpxPF 1ypyPF1zpzPF1將上述關(guān)系代入式（將上述關(guān)系代入式（7-167-16），得），得: : 22 22 22222xyyxzFzxxzyFyzzyxFvvtvPvzvvtvPvyvvtvPvx（7-197-19） 寫成矢量形關(guān)系式寫成矢量形關(guān)系式 vv222tPvF（7-207-20） 二、歐拉積分二、歐拉積分 當(dāng)理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流當(dāng)理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動時，式（動時，式（7-197-19）右端為零。若在流場中任取一有向微元線）右端為零。若在流場中任取一有向微元線段段

26、，其在三個坐標(biāo)軸的投影分別為，其在三個坐標(biāo)軸的投影分別為d dx x、d dy y、d dz z，將它們分將它們分別依次乘式（別依次乘式（7-197-19）并相加，得）并相加，得: : l d0d2d2d2222zPvzyPvyxPvxFFF02d2FPv 上式為歐拉積分的結(jié)果，表明理想正壓性流體在有勢的質(zhì)上式為歐拉積分的結(jié)果，表明理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動時，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能在流量力作用下作定常無旋流動時，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能在流場中保持不變。場中保持不變。 積分積分 CPvF22（7-21） 三、伯努里積分三、伯努里積分 當(dāng)理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下作

27、定常有旋流當(dāng)理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動時，式（動時，式（7-197-19）右端第一項等于零。由流線的特性知，此）右端第一項等于零。由流線的特性知，此時流線與跡線重合，在流場中沿流線取一有向微元線段時流線與跡線重合，在流場中沿流線取一有向微元線段 ，其在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為其在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為d dx x= =v vx xd dt t，dydy= =v vy yd dt t，d dz z= =v vz zd dt t，將它們的左、右端分別依次乘式（將它們的左、右端分別依次乘式（7-197-19）的左、右端，相加）的左、右端，相加有有 l d02d2FPv積分有積

28、分有 CPvF22（7-22） 該積分為伯努里積分該積分為伯努里積分。表明理想正壓性流體在有勢的質(zhì)表明理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動時，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能沿量力作用下作定常有旋流動時，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能沿流線保持不變。通常沿不同流線積分常數(shù)值有所不同。流線保持不變。通常沿不同流線積分常數(shù)值有所不同。 本節(jié)本節(jié)主要講述主要講述理想流體有旋運(yùn)動的理論基礎(chǔ)，重理想流體有旋運(yùn)動的理論基礎(chǔ)，重點(diǎn)是速度環(huán)量及其表征環(huán)量和旋渦強(qiáng)度間關(guān)系的點(diǎn)是速度環(huán)量及其表征環(huán)量和旋渦強(qiáng)度間關(guān)系的斯托斯托克斯定理。克斯定理。 渦量用來描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。渦量的定義為：渦量用來描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)

29、動。渦量的定義為： V2(7-23) 渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為 ：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz(7-24) 在流場的全部或部分存在角速度的場，稱為在流場的全部或部分存在角速度的場，稱為渦量場渦量場。如同在如同在速度場中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場中同樣速度場中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度的概念。也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度的概念。 1 1渦線渦線: :渦線是在給定瞬時和渦量矢量相切的曲線。如圖渦線是在給定瞬時和渦量矢量相切的曲線。如

30、圖7-77-7所示。所示。 圖7-7 渦線 圖7-8 渦管根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為: : ),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx(7-25) 2 2渦管、渦束：渦管、渦束：在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時刻過該曲線每一點(diǎn)的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。如圖時刻過該曲線每一點(diǎn)的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。如圖7-87-8所所示。示。截面無限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)截面無限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的流體稱為渦束，

31、微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。動的流體稱為渦束，微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。3 3旋旋渦強(qiáng)度（渦通量）渦強(qiáng)度（渦通量） 在渦量場中取一微元面積在渦量場中取一微元面積dAdA，見圖見圖7-97-9（a a），），其上流體其上流體微團(tuán)的渦通量為微團(tuán)的渦通量為 ， 為為dAdA的外法線方向，定義的外法線方向，定義 2ndAdAnAddJn2)cos(2（7-26） 為任意微元面積為任意微元面積dAdA上的旋上的旋渦強(qiáng)度，也稱渦通量。渦強(qiáng)度，也稱渦通量。 任意面積任意面積A A上的旋上的旋渦強(qiáng)度為：渦強(qiáng)度為： dAdAJnAA2（7-27） 如果面積如果面積A A是渦束的某一橫截面積，就

32、稱為渦束旋渦強(qiáng)度，是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強(qiáng)度，它也是旋轉(zhuǎn)角速度矢量的通量。旋渦強(qiáng)度不僅取決于，而且取它也是旋轉(zhuǎn)角速度矢量的通量。旋渦強(qiáng)度不僅取決于，而且取決于面積決于面積A A。 1 1速度環(huán)量速度環(huán)量: :在流場的某封閉周線上，如圖在流場的某封閉周線上，如圖7-97-9（b b），），流體速度流體速度矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號 表示，即表示，即: : )(dzvdyvdxvldvzyx(7-28) 速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負(fù)與速度的方向和線積分的繞速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負(fù)與速度的方向和線積分的繞行方向有關(guān)。行方向有

33、關(guān)。對非定常流動，速度環(huán)量是一個瞬時的概念，應(yīng)根對非定常流動，速度環(huán)量是一個瞬時的概念，應(yīng)根據(jù)同一瞬時曲線上各點(diǎn)的速度計算，積分時為參變量。據(jù)同一瞬時曲線上各點(diǎn)的速度計算，積分時為參變量。 圖圖7-97-9微元面積、微元有向線段微元面積、微元有向線段 2 2斯托克斯（斯托克斯（StokesStokes）定理定理: :在渦量場中，沿任意封閉周線的在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即速度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即:JdAAdldvnAA2（7-29） 這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來，給出了通過速這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來

34、，給出了通過速度環(huán)量計算旋渦強(qiáng)度的方法。度環(huán)量計算旋渦強(qiáng)度的方法。 【例例7-37-3】已知二維流場的速度分布為】已知二維流場的速度分布為 ， ，試試求繞圓求繞圓 的速度環(huán)量。的速度環(huán)量。 yvx3xvy4222Ryx【解】【解】 此題用極坐標(biāo)求解比較方便，坐標(biāo)變換為此題用極坐標(biāo)求解比較方便，坐標(biāo)變換為: : cosrx sinry 速度變換為速度變換為 sincosyxrvvv,sincosxyvvv22sin3cos4rrv2022)sin3cos4(rdrr dr)sin3cos4(20222 2202227cos6rdrr【例【例7-47-4】 一二維元渦量場，在一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑

35、一二維元渦量場，在一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑 的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量 。若流體微團(tuán)在。若流體微團(tuán)在半徑半徑 處的速度分量處的速度分量 為常數(shù)，它的值是多少？為常數(shù)，它的值是多少？ mr1 . 0smJ/4 . 02rv【解】由斯托克斯定理得【解】由斯托克斯定理得 ：Jrvrdv202smrJv/21 . 024 . 021 1湯姆孫（湯姆孫（ThomsonThomson）定理定理 理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，沿任何封閉流體周線理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，沿任何封閉流體周線的速度環(huán)量不隨時間變化，即：的速度環(huán)量不隨時間變化，即：0dtd（7-30） 證明證明

36、 ： 在流場中任取一由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線在流場中任取一由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線K K，它隨流體的它隨流體的運(yùn)動而移動變形，但組成該線的流體質(zhì)點(diǎn)不變。沿該線的速度運(yùn)動而移動變形，但組成該線的流體質(zhì)點(diǎn)不變。沿該線的速度環(huán)量可表示為式（環(huán)量可表示為式（7-287-28），它隨時間的變化率為：），它隨時間的變化率為： )(dzvdyvdxvdtddtdzyx)()()()(dzdtdvdydtdvdxdtdvdzdtdvdydtdvdxdtdvzyxzyx（7-30a） 由于質(zhì)點(diǎn)線由于質(zhì)點(diǎn)線K K始終由同樣的流體質(zhì)點(diǎn)組成，始終由同樣的流體質(zhì)點(diǎn)組成， xdvdxdtd)(ydvdydtd)(zdvd

37、zdtd)(將其代入式（將其代入式（7-307-30a a）等號右端第一項積分式：等號右端第一項積分式：)2()2()()()(2222vdvvvddvvdvvdvvdzdtdvdydtdvdxdtdvzyxzzyyxxzyx 由理想流體的歐拉運(yùn)動微分方程，式（由理想流體的歐拉運(yùn)動微分方程，式（7-307-30a a）等號右端等號右端第二項積分式可表示為第二項積分式可表示為: : )(dzdtdvdydtdvdxdtdvzyx)1()1()1(dzzpfdyypfdxxpfzyx)(1)(dzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyx)(FdPd 將上面的結(jié)果代入式（將上面的結(jié)果代入式（7-

38、307-30a a），），并考慮到并考慮到 都是單都是單值連續(xù)函數(shù)，得值連續(xù)函數(shù)，得: : FPv .0)2(2FdPdvddtd（7-30b） 或或 常數(shù)常數(shù) 斯托克斯定理和湯姆孫定理表明，理想正壓性流體在有勢斯托克斯定理和湯姆孫定理表明，理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，渦旋不會自行產(chǎn)生，也不會自行消失。的質(zhì)量力作用下，渦旋不會自行產(chǎn)生，也不會自行消失。 2 2亥姆霍茲（亥姆霍茲（HelmholtzHelmholtz）定理定理 亥姆霍茲關(guān)于旋渦的三個定理，解釋了渦旋的基本性質(zhì)，亥姆霍茲關(guān)于旋渦的三個定理，解釋了渦旋的基本性質(zhì)，是研究理想流體有旋流動的基本定理。是研究理想流體有旋流動的基本

39、定理。 （1 1）亥姆霍茲第一定理：）亥姆霍茲第一定理：在理想正壓性流體的有旋流場中，在理想正壓性流體的有旋流場中，同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度相同。同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度相同。 21AA、21AA、1a2a2b1b1A2A 如圖如圖7 71010所示，在同一渦管上任取兩截面所示，在同一渦管上任取兩截面 ，在，在 之間的渦管表面上取兩條無限靠近的線段之間的渦管表面上取兩條無限靠近的線段 和和 。由于封。由于封閉周線閉周線 所圍成的渦管表面無渦線通過，旋渦強(qiáng)度為零。所圍成的渦管表面無渦線通過，旋渦強(qiáng)度為零。根據(jù)斯托克斯定理，沿封閉周線的速度環(huán)量等于零，即：根據(jù)斯托克斯定理，沿封閉周線的速度環(huán)量

40、等于零，即： 21aa21bb11221abbaa圖圖7 710 10 同一渦管上的兩截面同一渦管上的兩截面 K圖圖7 711 11 渦管上的封閉軸線渦管上的封閉軸線根據(jù)斯托克斯定理可知根據(jù)斯托克斯定理可知 01112222111221abbbbaaaabbaa01221bbaa2222abba由于由于 2211abab12AAAdAd常數(shù)常數(shù) 該定理說明，在理性正壓性流體中，渦管既不能開始，也不能該定理說明，在理性正壓性流體中，渦管既不能開始，也不能終止。但可以自成封閉的環(huán)狀渦管，或開始于邊界、終止于邊界終止。但可以自成封閉的環(huán)狀渦管，或開始于邊界、終止于邊界。 （2 2）亥姆霍茲第二定理（

41、渦管守恒定理）亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理） 理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，流場中的渦管始終理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，流場中的渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成。由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成。 如圖如圖7 71111所示，所示，K K為渦管表面上的封閉周線，其包圍的面積為渦管表面上的封閉周線，其包圍的面積內(nèi)渦通量等于零。由斯托克斯定理知，周線內(nèi)渦通量等于零。由斯托克斯定理知，周線K K上的速度環(huán)量應(yīng)等上的速度環(huán)量應(yīng)等于零；又由湯姆孫定理，于零；又由湯姆孫定理，K K上的速度環(huán)量將永遠(yuǎn)為零，即周線上的速度環(huán)量將永遠(yuǎn)為零，即周線K K上上的流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)在渦管表面上。換言之，渦管上流體質(zhì)點(diǎn)將永

42、的流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)在渦管表面上。換言之，渦管上流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)在渦管上，即渦管是由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成的，但其形狀可能遠(yuǎn)在渦管上，即渦管是由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成的，但其形狀可能隨時變化。隨時變化。 （3 3）亥姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理）亥姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理） 理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，任一渦管強(qiáng)度不隨時理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，任一渦管強(qiáng)度不隨時間變化。間變化。 若周線若周線K K為包圍渦管任意的截面為包圍渦管任意的截面A A的邊界線。由湯姆孫定理知，的邊界線。由湯姆孫定理知，該周線上的速度環(huán)量為常數(shù)。根據(jù)斯托克斯定理截面該周線上的速度環(huán)量為常數(shù)。根據(jù)斯托克斯

43、定理截面A A上的旋渦強(qiáng)上的旋渦強(qiáng)度為常數(shù)。因為度為常數(shù)。因為A A為任意截面，所以整個渦管各個截面旋渦強(qiáng)度都為任意截面，所以整個渦管各個截面旋渦強(qiáng)度都不瞬時間發(fā)生變化，即渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時間變化。不瞬時間發(fā)生變化，即渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時間變化。 由亥姆霍茲三定理可知，粘性流體的剪切應(yīng)力將消耗能量，由亥姆霍茲三定理可知，粘性流體的剪切應(yīng)力將消耗能量，使渦管強(qiáng)度逐漸減弱。使渦管強(qiáng)度逐漸減弱。 J 假設(shè)在理想不可壓縮的重力流體中，有一象剛體一樣以等角假設(shè)在理想不可壓縮的重力流體中，有一象剛體一樣以等角速度速度 繞自身軸旋轉(zhuǎn)的無限長鉛垂直渦束，其渦通量為繞自身軸旋轉(zhuǎn)的無限長鉛垂直渦束，其渦通量為J

44、 J。渦束渦束周圍的流體在渦束的誘導(dǎo)下繞渦束軸等速圓周運(yùn)動，由斯托克斯周圍的流體在渦束的誘導(dǎo)下繞渦束軸等速圓周運(yùn)動，由斯托克斯定理知，定理知， 。由于直線渦束無限長，該問題可作一個平面問題。由于直線渦束無限長，該問題可作一個平面問題研究。可以證明渦束內(nèi)的流動為有旋流動，稱為渦核區(qū)，其半徑研究。可以證明渦束內(nèi)的流動為有旋流動，稱為渦核區(qū)，其半徑為為 ；渦束外的流動區(qū)域為無旋流動，稱為環(huán)流區(qū)。；渦束外的流動區(qū)域為無旋流動，稱為環(huán)流區(qū)。 br在環(huán)流區(qū)內(nèi)，速度分布為在環(huán)流區(qū)內(nèi)，速度分布為: : 0rvrvv2brr （7-31） 在環(huán)流區(qū)內(nèi)，壓強(qiáng)分布由伯努里方程式導(dǎo)出。環(huán)流區(qū)內(nèi)半徑為在環(huán)流區(qū)內(nèi)，壓強(qiáng)分

45、布由伯努里方程式導(dǎo)出。環(huán)流區(qū)內(nèi)半徑為 的點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處的伯努里方程的點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處的伯努里方程: : rpvp22式中的式中的 即為即為 ， 為無窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)。將為無窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)。將 代入上式得代入上式得: : vvpv222282rpvpp（7-32） 由上式可知，在渦束外部的勢流區(qū)內(nèi)，隨著環(huán)流半徑的減小，由上式可知，在渦束外部的勢流區(qū)內(nèi)，隨著環(huán)流半徑的減小，流速上升而壓強(qiáng)降低；在渦束邊緣上，流速達(dá)該區(qū)的最高值，而流速上升而壓強(qiáng)降低；在渦束邊緣上，流速達(dá)該區(qū)的最高值，而壓強(qiáng)則是該區(qū)的最低值，即壓強(qiáng)則是該區(qū)的最低值，即 bbrv2222282bbbrpvpp渦束內(nèi)部的速度分布為渦束內(nèi)部的速度分布為

46、: : 0rvrvv)(brr （7-33） 由于渦束內(nèi)部為有旋流動，伯努利積分常數(shù)隨流線變化，故由于渦束內(nèi)部為有旋流動，伯努利積分常數(shù)隨流線變化，故其壓強(qiáng)分布可由歐拉運(yùn)動微分方程導(dǎo)出。對于平面定常流動，歐其壓強(qiáng)分布可由歐拉運(yùn)動微分方程導(dǎo)出。對于平面定常流動，歐拉運(yùn)動微分方程為拉運(yùn)動微分方程為: : ypyvvxvvxpyvvxvvyyyxxyxx11將渦核內(nèi)任意點(diǎn)的速度投影到直角坐標(biāo)上，則有，代入上式得將渦核內(nèi)任意點(diǎn)的速度投影到直角坐標(biāo)上，則有，代入上式得: : xpx12ypy12將將 和和 分別乘以以上二式，相加后得分別乘以以上二式，相加后得: : dxdy)(1)(2dyypdxxpy

47、dyxdx或或 )2(222yxddp積分得積分得: : CvCrCyxp2222222121)(21在與環(huán)流區(qū)交界處，在與環(huán)流區(qū)交界處， ，代入上式，得積分，代入上式，得積分常數(shù)：常數(shù)： bbbbrvvpprr,222bbbvpvpC得渦核區(qū)的壓強(qiáng)分布為得渦核區(qū)的壓強(qiáng)分布為 ：2222222121bbrrpvvpp（7-30） 由上式可知渦管中心的壓強(qiáng)最低，其大小由上式可知渦管中心的壓強(qiáng)最低，其大小為為 ，渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強(qiáng)差為，渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強(qiáng)差為 。2bcvppbbcbppvpp221 由以上討論可知，渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)差相等，由以上討論可知，渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)差相等，其數(shù)值均為其數(shù)值均為 。渦核區(qū)的壓強(qiáng)比環(huán)流區(qū)的的低。渦核區(qū)的