1、第二章有理數及其運算知識梳理正數和負數正數和負數的概念負數：比0 小的數正數：比0 大的數0 既不是正數，也不是負數注意 ：字母a 可以表示任意數，當a表示正數時，-a是負數；當a 表示負數時，-a是正數；當a 表示0 時，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數是正數，帶負號的數是負數，這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷）正數有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數的符號是正號。2. 具有相反意義的量若正數表示某種意義的量，則負數可以表示具有與該正數相反意義的量，比如：零上 8表示為： +8；零下 8表示為： -8 3.0表示的意義 0表示“ 沒有”

2、，如教室里有0 個人，就是說教室里沒有人； 0是正數和負數的分界線， 0既不是正數，也不是負數。如：有理數1. 有理數的概念正整數、0、負整數統稱為整數（0 和正整數統稱為自然數）正分數和負分數統稱為分數正整數，0，負整數，正分數，負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數。理解 ：只有能化成分數的數才是有理數。 是無限不循環小數，不能寫成分數形式，不是有理數。有限小數和無限循環小數都可化成分數，都是有理數。注意 ：引入負數以后，奇數和偶數的范圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8也是偶數，-1,-3,-5也是奇數。2. 有理數的分類按有理數的意義分類按正、負來分正整數正整數整數正有理數負整

3、數正分數有理數有理數0（ 0 不能忽視）正分數負整數分數負有理數負分數負分數總結：正整數、0 統稱為非負整數（也叫自然數）負整數、 0 統稱為非正整數正有理數、0 統稱為非負有理數負有理數、0 統稱為非正有理數數軸數軸的概念規定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。注意 ：數軸是一條向兩端無限延伸的直線；原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可；同一數軸上的單位長度要統一；數軸的三要素都是根據實際需要規定的。2. 數軸上的點與有理數的關系所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，正有理數可用原點右邊的點表示，負有理數可用原點左邊的點表示， 0 用原點表示。所有的有理數都可以用數軸上的點

4、表示出來，但數軸上的點不都表示有理數，也就是說，有理數與數軸上的點不是一一對應關系。（如，數軸上的點 不是有理數）3. 利用數軸表示兩數大小在數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大；正數都大于0，負數都小于0，正數大于負數；兩個負數比較，距離原點遠的數比距離原點近的數小。4. 數軸上特殊的最大（小）數最小的自然數是 0，無最大的自然數；最小的正整數是 1，無最大的正整數；最大的負整數是 -1 ，無最小的負整數5.a 可以表示什么數 a>0 表示 a 是正數；反之， a 是正數，則 a>0； a<0 表示 a 是負數；反之， a 是負數，則 a<0 a=0 表示 a

5、是 0；反之， a 是 0, ，則 a=06. 數軸上點的移動規律根據點的移動，向左移動幾個單位長度則減去幾，向右移動幾個單位長度則加上幾，從而得到所需的點的位置。相反數相反數只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，其中一個是另一個的相反數， 0 的相反數是注意：相反數是成對出現的；相反數只有符號不同，若一個為正，則另一個為負；0。 0 的相反數是它本身；相反數為本身的數是0。2. 相反數的性質與判定任何數都有相反數，且只有一個； 0 的相反數是0；互為相反數的兩數和為0，和為0 的兩數互為相反數，即a， b 互為相反數，則a+b=0互為相反數的非零兩數商為負1，即a， b 互為相反數，則a= -

6、1(ab3. 相反數的幾何意義在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩個數，在數軸上的對應點（ 0除外）在原點兩旁，并且與原點的距離相等。0 的相反數對應原點；原點表示0 的相反數。說明：在數軸上，表示互為相反數的兩個點關于原點對稱。4. 相反數的求法求一個數的相反數，只要在它的前面添上負號“- ”即可求得（如：5 的相反數是-5 ）；求多個數的和或差的相反數是，要用括號括起來再添“- ”，然后化簡（如；5a+b的相反數是- （ 5a+b）。化簡得-5a-b）；求前面帶“- ”的單個數，也應先用括號括起來再添“- ”，然后化簡( 如：-5的相反數是- （ -5 ）

7、，化簡得5)5. 相反數的表示方法一般地，數a 的相反數是-a，其中 a 是任意有理數，可以是正數、負數或0。當 a>0 時， -a<0 （正數的相反數是負數）當 a<0 時， -a>0 （負數的相反數是正數）當 a=0 時， -a=0 ，（ 0 的相反數是0）6. 多重符號的化簡多重符號的化簡規律: “ +”號的個數不影響化簡的結果，可以直接省略；“- ”號的個數決定最后化簡結果；即：“- ”的個數是奇數時，結果為負，“- ”的個數是偶數時，結果為正。絕對值絕對值的幾何定義一般地，數軸上表示數a 的點與原點的距離叫做a 的絕對值，記作|a|。2. 絕對值的代數定義一個

8、正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數； 0 的絕對值是0.如果a>0，那么 |a|=a ；如果 a<0，那么 |a|=-a；如果 a=0，那么 |a|=0 。可歸納為：a0， <> |a|=a（非負數的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數是非負數。） a 0， < > |a|=-a（非正數的絕對值等于其相反數；絕對值等于其相反數的數是非正數。）3. 絕對值的性質任何一個有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。所以，a 取任何有理數，都有|a| 0。即 0 的絕對值是 0；絕對值是 0 的數是 0. 即： a=0 < 一個數的絕對

9、值是非負數，絕對值最小的數是 > |a|=0；0. 即： |a| 0；任何數的絕對值都不小于原數。即：|a| a；絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|=a （ a>0），則互為相反數的兩數的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，則 |a|=|b|；絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b|，則 a=b 或 a=-b ；x= ± a；若幾個數的絕對值的和等于0，則這幾個數就同時為0。即 |a|+|b|=0，則a=0 且b=0。（非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0，則有且只有這幾個非負數同時為0）4. 有理數大小的比較利用數軸比較

10、兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；異號兩數比較大小，正數大于負數。5. 絕對值的化簡當 a 0 時， |a|=a；當 a 0 時， |a|=-a6. 已知一個數的絕對值，求這個數一個數a 的絕對值就是數軸上表示數a 的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0 的數是0，沒有絕對值為負數的數。有理數的加減法1. 有理數的加法法則同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反

11、數的兩數相加，和為零；一個數與零相加，仍得這個數。2. 有理數加法的運算律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)在運用運算律時，一定要根據需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規律：互為相反數的兩個數先相加“相反數結合法”；符號相同的兩個數先相加“同號結合法”；分母相同的數先相加“同分母結合法”；幾個數相加得到整數，先相加“湊整法”；整數與整數、小數與小數相加“同形結合法”。3. 加法性質一個數加正數后的和比原數大；加負數后的和比原數小；加0 后的和等于原數。即：當 b>0 時， a+b>a當 b<0 時， a+b<a當 b=0 時，

12、a+b=a4. 有理數減法法則減去一個數，等于加上這個數的相反數。用字母表示為：a-b=a+(-b)。5. 有理數加減法統一成加法的意義有理數加減法混合運算中，根據有理數減法法則，可以將減法轉化成加法后，再按照加法法則進行計算。在和式里，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：按這個式子表示的意義讀作“負8、負 7、負 6、正 5 的和”按運算意義讀作“負8減 7減 6加 5”有理數的乘除法1. 有理數的乘法法則法則一：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（“同號得正，異號得負”專指

13、“兩數相乘”的情況，如果因數超過兩個，就必須運用法則三）法則二：任何數同 0 相乘，都得 0；法則三：幾個不是 0 的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數；法則四：幾個數相乘，如果其中有因數為0, 則積等于0.2. 倒數乘積是1 的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數，用式子表示為a· 1 =1（ a 0），就是說aa和 1 互為倒數，即a 是 1 的倒數，1aaa注意： 0 沒有倒數；是 a 的倒數。求假分數或真分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分數的倒數時，先把帶分數化為假分數，再把分子、分母顛倒位置；正數的倒數是

14、正數，負數的倒數是負數。（求一個數的倒數，不改變這個數的性質）；倒數等于它本身的數是1 或 -1, 不包括 0。3. 有理數的乘法運算律乘法交換律：一般地，有理數乘法中，兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。即ab=ba乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，在把積相加。即 a(b+c)=ab+ac4.有理數的除法法則（ 1）除以一個不等0 的數，等于乘以這個數的倒數。（ 2）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0 除以任何一個不等于0 的數，都得 05.有理數的乘除混合運算（ 1）乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。（ 2）有理數的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照先乘除后加減的順序進行。有理數的乘方1.乘方的概念求 n 個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在a n 中， a 叫做底數， n 叫做指數。2.乘方的性質（ 1）負數的奇次冪是負數