1、第第5章章 離散時間傅里葉變換離散時間傅里葉變換The Discrete-Time Fourier Transform基基 本本 內內 容容1. 離散時間傅里葉變換；離散時間傅里葉變換；2. 常用信號的離散時間傅里葉變換對常用信號的離散時間傅里葉變換對; ;3. 傅里葉變換的性質；傅里葉變換的性質；4. 系統的頻率響應與系統的頻域分析方法系統的頻率響應與系統的頻域分析方法；參考資料v信息信號與系統信息信號與系統. .陳元亨陳元亨, ,成都：四川大學出版社，成都：四川大學出版社，2003 2003 v信號與系統信號與系統( (第二版第二版).).鄭君里，應啟珩，楊為理，鄭君里，應啟珩，楊為理，北

2、京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，20002000v注釋注釋: :CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 連續時間傅立葉變換連續時間傅立葉變換 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換 5.0 引言引言v本章將采用與討論本章將采用與討論CTFT完全相同的思想方法，完全相同的思想方法，來研究離散時間非周期信號的頻域分解問題。來研究離散時間非周期信號的頻域分解問題。v在研究如何從在研究如何從FS 引出離散時間非周期信號的頻引出離散時間非周期信號的頻

3、域描述時，可以看到，域描述時，可以看到，DTFT與與CTFT既有許多相既有許多相類似的地方，也同時存在一些重要的類似的地方，也同時存在一些重要的區別。區別。v抓住抓住DTFT與與CTFT之間的相似之處并關注其差之間的相似之處并關注其差別，對于掌握和加深對頻域分析方法的理解具有別，對于掌握和加深對頻域分析方法的理解具有重要意義。重要意義。5.1 非周期信號的表示非周期信號的表示: :離散時間傅里葉變換離散時間傅里葉變換Representation of Aperiodic Signals: The Discrete-time Fourier Thransform一一. 從從DFS到到DTFT:2

4、 jknNkkNx na e對周期信號對周期信號 ,由由DFS有有 x n設非周期信號設非周期信號 ,對其周期重復得到對其周期重復得到周期信號周期信號 。 x n12 ,x nNnN其中其中2/2/22/2/21 1 NjknNknNNjknNnNax n eNx n eN21 jknNnx n eNN() jj nnX ex n e2 NkN時，當當令令0012 /jkkaX eNN（） 0001 ()jknjkjknkkNkNx na eX eeN則則21 ()2jj nx nx nX eed則則deeXnxnjj2)(21)() jjnnX ex n eDTFT對：對：表明表明: :離散

5、時間序列可以分解為幅度為離散時間序列可以分解為幅度為 的復指數分量的線性組合。的復指數分量的線性組合。 deXj)(21jX e （）對對是以是以2為周期的為周期的, ,即即: :(2)()()jjkX eX e21()jkNXeN下列關系成立：下列關系成立：21( )jknNknax n eN( )cos(0)1x nn( )cos(/8)x nn( )cos(/4)x nn注意注意: :對于離散時間信號對于離散時間信號, ,頻率位于頻率位于偶數倍附近偶數倍附近是慢變化信號是慢變化信號( (低頻信號低頻信號); ); 頻率位于頻率位于奇數倍附奇數倍附近是快變化信號近是快變化信號( (高頻信號

6、高頻信號). ). ( )cos(/2)x nn( )cos()x nn( )cos(3/2)x nn( )cos(7/4)x nn( )cos(15/8)x nn( )cos(2)x nn例例: :低通特性低通特性高通特性高通特性01()1jnj njnX ea eae 二二. .常用離散信號的傅里葉變換常用離散信號的傅里葉變換21()12 cosjX eaa通常通常 是復函數，用它的模和相位表示是復函數，用它的模和相位表示: :()jX e1sin()tg1cosjaX ea 1.( )( ),1nx na u na01a10a 時，高通特性時，高通特性, ,擺動指數衰減擺動指數衰減10a

7、 x n（ ）由圖可以得到由圖可以得到: :時，低通特性時，低通特性, ,單調指數衰減單調指數衰減01ax n（ ）)() 1()(nuanuanxnn1 01022()111112 cosjnj nnj nnjnnjnnnnnjjjX ea ea ea ea eaeaaeaeaa( ),1nx naa2.可以得出結論可以得出結論: :實偶序列實偶序列實偶函數實偶函數低通特性低通特性1111(21)1(1)()1sin(21)2 sin2NjNjNjjnjnNeeX eeeN1,( )0,x n11NnNn3.矩形脈沖矩形脈沖: :當當12N 時，可得到時，可得到: :有同樣的結論有同樣的結論

8、: :實偶信號實偶信號實偶函數實偶函數與對應的連續時間信號比較與對應的連續時間信號比較, 0, 1)(tx11TtTt111sin2)(TTTjX如圖所示如圖所示: :1)()(njnjenxeX)(n0n1)(jeX10如圖所示如圖所示: :( )( )x nn4.離散時間理想低通濾波器離散時間理想低通濾波器1 ( )()2jjnx nXeedWX(e j)sin ( )Wnx nn1,|()0,jWX eelse1 2sin =WjnWedW nn積分區間積分區間應為應為225.收斂條件有兩組：收斂條件有兩組：( ),nx n )jX e（)jX e（ 則則 存在，且級數一致收斂存在，且級

9、數一致收斂 于于 。)jX e（2( ),nx n1. 1. 則級數以均方誤差最小的準則則級數以均方誤差最小的準則 收斂于收斂于 。考察考察 的收斂過程，如圖所示：的收斂過程，如圖所示：( )n三三. DTFT的收斂問題的收斂問題1sin( )()2, ( )( )Wjj nWWnx nX eednWx nx n若v但隨著但隨著 的振蕩頻率變高，起伏的的振蕩頻率變高，起伏的幅度趨小幅度趨小; ;,( )Wx nWv當當 時，振蕩與起伏將完全消失，不會出時，振蕩與起伏將完全消失，不會出現吉伯斯現吉伯斯(Gibbs)現象，也不存在收斂問題。現象，也不存在收斂問題。由圖可以得到以下結論由圖可以得到以

10、下結論: :v當以部分復指數分量之和近似信號時，也會當以部分復指數分量之和近似信號時，也會 出現起伏和振蕩出現起伏和振蕩; ;5.3 離散時間傅立葉變換的性質離散時間傅立葉變換的性質Properties of the Discrete-Time Fourier Transform DTFT也有很多與也有很多與CTFT類似的性質，當然也有類似的性質，當然也有某些明顯的差別。某些明顯的差別。一、周期性一、周期性 (periodic)：比較：比較：這是與這是與CTFT不同的。不同的。(2 )()()jjX eX e則則若若jx nX e（ ）（），)()()()(2121jjebXeaXnbxnax

11、二二. 線性線性 (linearity):三三. 時移與頻移時移與頻移 (shifiting):00()( )()jnjx n eX e ( )(),jx nX e若若則則00()()j njx nnX ee時移特性時移特性頻移特性頻移特性2()123( )?FTjjjX eeex n 例例1.( )( )2 (1)3 (2)x nnnn解解: :根據時移性質根據時移性質, ,有有: :()( )( 1)( )()FTnj njx nx n eX e 例例2:11: (- )= 1FTnjx na u na e解例例3.( )(),1()?FTnjx na unaX e 11( )()()1F

12、Tnjjx na unX ea e根據反轉性質根據反轉性質, ,有有: :四四. 時域反轉時域反轉 (reflaction):()()jxnX e若若則則( )(),jx nX e五五. . 共軛對稱性共軛對稱性 (symmetry properties):)()(),()(*jjeXnxeXnx若若則則由此可進一步得到以下結論由此可進一步得到以下結論: :Re()Re()Im()Im()jjjjX eX eX eX e)()(),()(*jjjjeXeXeXeX即即1. 1. 若若)(nx是實信號，則是實信號，則)()(*nxnx()() () ()jjjjX eX eX eX e 2. 2

13、. 若若)(nx是實偶信號，則是實偶信號，則),()(nxnx*( )( )()()jx nx nxnX e()()(),jjjX eX eXe于是有于是有: :即即是實偶函數。是實偶函數。)(jeX*( )(),( )( )x nxnx nx n 3. 3. 若若是實奇信號，是實奇信號，)(nx()()(),jjjX eX eXe 于是有于是有: :表明表明是虛奇函數。是虛奇函數。)(jeX0( )(1)(1) ()()( )()(2)1jjjnjjkkx nx neX eX ex kX eke 六六. 差分與求和差分與求和 (Differencing and Accumulation):）

14、je1 (說明說明: :在在DTFT中中對應于對應于CTFT中的中的 。j()( )(0) ( )FTtX jxdXj CT signal:DT signal:1( )(2)1jku nke 例例4:4:( )( )nku nk( )1FTn七七. 時域內插時域內插 ( Interpolation ):，0),/()(knxnxk定義定義為為的整數倍的整數倍其他其他nkn在原來信號連續在原來信號連續k個值之間插入個值之間插入k-1-1個零值。個零值。( /3)x n()( )()jj nj rkkkknrXexn exrk e( )()jkrjkrx r eX e( )()( )( / )()

15、FTjFTjkkx nX exnx n kX e則周期為周期為2/|k|?)(0),/()(jkFTkeXknxnx，問題問題: :信號的時域與頻域特性之間有一種相反的關系信號的時域與頻域特性之間有一種相反的關系, , 隨著隨著k k增加增加xk n展開，其傅里葉變換被壓縮展開，其傅里葉變換被壓縮. .k=2k=3) 2/(nx) 3/(nxdedXjnnxj)()(八八. 頻域微分頻域微分( Differention in Frequency ):222)(21)(deXnxjn九九. . Parseval定理定理: :2)(jeX稱為稱為的的能量譜密度函數。能量譜密度函數。)(nx若若則則

16、( )(),jx nX e1 1nja u nae解例例5.( )( ),1()?FTnjx nna u naX e 利用頻域微分性質利用頻域微分性質: :1()()1jjdX ejdae 5.4 卷積特性卷積特性( The Convolution Property ) ( )( )* ( ),()()(),jjjy nx nh nY eX eH e若若則則說明：說明：該特性提供了對該特性提供了對LTI系統進行頻域分析系統進行頻域分析的理論基礎。的理論基礎。即是即是DLTIDLTI系統的頻率特性系統的頻率特性。()jH e)()()(jjnkeUeXkxkjjkeeX)2(11)(kjjjke

17、XeeX)2()(1)(0例例: :求和特性的證明求和特性的證明)(*)()(nunxkxnk對方程兩邊進行對方程兩邊進行FT變換，可得到變換，可得到:00()()NMkkkka y nkb x nk00()()NMjkjjkjkkkka eY eb eX e用差分方程表征的離散線性時不變用差分方程表征的離散線性時不變(DLTI)(DLTI)系統系統: :00()()()MjkjkjkNjjkkkb eY eH eX ea e 可見可見 是一個有理函數。當需要得到是一個有理函數。當需要得到時時, , 往往是先從方程得到往往是先從方程得到 進而通過反變進而通過反變換得到換得到 。)(jeH)(n

18、h),(jeH)(nh離散時間理想低通濾波器離散時間理想低通濾波器c1( )()21 2sin =ccjjnjnh nH eedednn非因果系統非因果系統沖激響應沖激響應:離散時間理想離散時間理想低通濾波器低通濾波器cH(e j)()jlpH e()jlpH e+( 1)n1( )w n2( )w n3( )w n4( )w n( 1)n( )y n( )x n/4()jlpH e()1()21()()()()()()()jjjjjjjlplpW eX eW eHeW eHeX e ()()(2 )()32()()() ()() ()jjjjjjlplpW eW eHeX eHeX e 4(

19、)()()jjjlpWeHeXe()34()()()()()()jjjjjjlplpY eW eW eHeHeX e 5.5 相乘性質相乘性質( (調制性質調制性質) )（The Multiplication Property)()(21)()(21)(),()()(212)(2121jjjjjeXeXdeXeXeYnxnxny如果如果則則由于由于 和和 都是以都是以 為周期的，為周期的，1()jX e因此上述卷積稱為因此上述卷積稱為周期卷積周期卷積。22()jXe)()()(ncnxny)(nc)(nx,) 1()(nnc()2(2)jkC ek ()22()01() ()2() ()()jjjjX eC edX edX e 例例7:7:( )( 1)nj nc ne 1()()()2jjjY eX eC e