1、等邊三角形1、 （ 2013 涼山州）如圖，菱形 ABCD 中，/ B=60 , AB=4,則以 AC 為邊長的正方形 ACEF 的 周長為（）A. 14 B. 15 C. 16 D. 17考點：菱形的性質；等邊三角形的判定與性質；正方形的性質.分析：根據菱形得出 AB=BC 得出等邊三角形 ABC 求出 AC,長，根據正方形的性質得出AF=EF=EC=AC=4 求出即可.解答：解：四邊形 ABCD 是菱形， AB=BC/ B=60, ABC 是等邊三角形， AC=AB=4正方形 ACEF 的周長是 AC+CE+EFAF=4X 4=16,故選 C.點評：本題考查了菱形性質，正方形性質，等邊三角

2、形的性質和判定的應用，關鍵是求出AC 的長.2、（ 2013?自貢）如圖，將一張邊長為 3 的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正三角形的棱柱，這個棱柱的側面積為（）A.B. 9C.D.考 剪紙問題；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質.3718684占：八、專操作型.題：分 這個棱柱的側面展開正好是一個長方形，長為3，寬為 3 減去兩個三角形的高，再用析：長方形的面積公式計算即可解答.解 解：將一張邊長為 3 的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正三角形的 答：棱柱，這個正三角形的底面邊長為1,高為- if =匸；，側面積為長為 3,寬為 3-一；的長方形，面積為 9- 3.

3、 故選 A點 此題主要考查了剪紙問題的實際應用，動手操作拼出圖形，并能正確進行計算是解答 評：本題的關鍵.3、 （ 2013?雅安）如圖，正方形 ABCD 中，點 E、F 分別在 BG CD 上, AEF 是等邊三角形， 連接 AC 交 EF 于 G,下列結論： BE=DF/ DAF=15， AC 垂直平分 EF,BE+DF=E, SCEF=2SABE.其中正確結論有（）個.A. 2B. 3C. 4D. 5考 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.占：八、分 通過條件可以得出 ABEAADF 而得出/ BAEKDAF BE=DF 由正方形的性質就可以 析：得出EC=FC 就可

4、以得出 AC 垂直平分 EF,設 EC=x BE=y，由勾股定理就可以得出 x與 y 的關系，表示出 BE 與 EF,利用三角形的面積公式分別表示出SCEF和 2SMBE再通過比較大小就可以得出結論解 解：四邊形 ABCD 是正方形，答： AB=BC=CD=D / B=ZBCDMD=ZBAD=90 .AEF 等邊三角形，AE=EF=AJF / EAF=60 ./BAE+ZDAF=30.在 Rt ABE 和 Rt ADF 中，AE=AF(AB二AD，Rt ABERt ADF( HL),BE=DF正確.ZBAEZDAF/DAF+ZDAF=30,即ZDAF=15正確，/ BC=CDBC- BE=CD

5、- DF,及 CE=CF/ AE=AFAC垂直平分 EF.正確.設 EC=x 由勾股定理，得=：x, AG 八2 AC= “ 肚2 AB=二BE= x=_EF：-x, CG2 BE+DF=；x -XM. :x，錯誤, CE=-氏it-貸V3K- V-22 2SAABE=:SAABE=SACEF，正確.綜上所述，正確的有 4 個，故選 C.本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性 質解題時關鍵.4、（ 2013?十堰）如圖，梯形 ABCD 中, AD/ BC AB=DC=3 AD=5ZC

6、=60，則下底 BC 的長占八、 、評:為（ ）A. 8B. 9C. 10考 等腰梯形的性質；等邊三角形的判定與性質.3718684占：八、D. 11分析:首先構造直角三角形，進而根據等腰梯形的性質得出/B=60 ,BF=EC AD=EF=5 求出 BF 即可.解答:解：過點 A 作 AFLBC 于點 F,過點 D 作 DELBC 于點 E,梯形 ABCD 中, AD/ BC AB=DC=3 AD=5 / C=6C , / B=60 , BF=EC AD=EF=5 cos60=_ =_=AB 3 2解得：BF=1.5 ,故 EC=1.5 , BC=1.5+1.5+5=8.故選：A.占八、 、評

7、：此題主要考查了等腰梯形的性質以及解直角三角形等知識，根據已知得出BF EC 的長是解題關鍵.5、（ 2013?牡丹江）如圖，在 ABC 中/A=60, BML AC 于點 M, CNL AB 于點 N, P 為 BC 邊的中點，連接 PM PN 則下列結論：PM=PN錘卑；3APMN 為等邊三角形；當AB AC/ ABC=45 時，BN 近 PC.其中正確的個數是（）A.考占：八、 、1 個B. 2 個C. 3 個D. 4 個相似三角形的判定與性質；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線.3718684分析:根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷正確；先證明 ABMh ACN 再根

8、據相似三角形的對應邊成比例可判斷正確；先根據直角三角形兩銳角互余的性質求出/ ABMMACN=30 ,再根據三角形的內角和定理求出/ BCN# CBM-60 ,然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角 的和求出/BPNfCPM-120,從而得到/ MPN-60 ,又由得PM-PN 根據有一個角是 60的等腰三角形是等邊三角形可判斷正確；當/ABC-45 時，/ BCN-45 ,由 P 為 BC 邊的中點，得出 BN 近 PB 矩 PC 判斷正 確.解答:解： BMLAC 于點 M CNLAB 于點 N, P 為 BC 邊的中點，PM 丄 BC PN 二 BC,闿2PM-PN 正確；2在

9、 ABM 與厶 ACN 中，/A-ZA, /AMBMANC-90,ABMTAACN,正確；AB AC3TZA-60 , BMLAC 于點 M, CNL AB 于點 N, ZABMZACN-30,在厶 ABC 中，ZBCNZCBIVF180-60-30X2-60,點 P 是 BC 的中點，BMLAC CNLABPM-PN-PB-PC ZBPN-ZBCN ,ZCPM-ZCBM/ MPN=60 ,PMN 是等邊三角形，正確；當/ABC=45 時，TCNLAB 于點 N,/ BNC=90，/ BCN=45 ,BN=CNTP為 BC 邊的中點， PNL BC, BPN 為等腰直角三角形 BN= -：PB

10、=二 PC,正確.故選 D.點 本題主要考查了直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，相似三角形、評：等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，仔細分析圖形并熟練掌握性質是解題的關鍵.6、（2013?遵義）如圖，將邊長為 1cm 的等邊三角形 ABC 沿直線 I 向右翻動（不滑動），點 B 從開始到結束，所經過路徑的長度為（）A.二- cmB（2+上n）cm C23考 弧長的計算；等邊三角形的性質；旋轉的性質.占：八、分 通過觀察圖形，可得從開始到結束經過兩次翻動，求出點B 兩次劃過的弧長，即可得析：出所經過路徑的長度.解 解： ABC 是等邊三角形，答：AC

11、B=60 ,/ AC（ A） =120,點 B 兩次翻動劃過的弧長相等，則點 B 經過的路徑長=2X亠n.120用故選 C.點 本題考查了弧長的計算，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，得到點B 運動的路徑，注評：意熟練掌握弧長的計算公式.7、 （ 2013 臺灣、23）附圖為正三角形 ABC 與正方形 DEFG 勺重迭情形，其中 D E 兩點分別 在AB BC 上，且 BD=BE 若 AC=18, GF=6 貝 U F 點到 AC 的距離為何？（）A. 2 B. 3C. 12- 4；D . 6 :;- 6考點：正方形的性質；等邊三角形的性質.分析： 過點 B 作 BHLAC 于 H,交 GF 于

12、K 根據等邊三角形的性質求出/ A=ZABC=60， 然 后判定 BDE是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質求出/ BDE=60，然后根據同位角相 等，兩直線平行求出 AC/DE 再根據正方形的對邊平行得到DE/ GF 從而求出 AC/ DE/ GF,再根據等邊三角形的邊的與高的關系表示出KH,然后根據平行線間的距離相等即可得解.解答：解：如圖，過點 B 作 BHLAC 于 H 交 GF 于 K, / ABC 是等邊三角形，/ A=Z ABC=60 ,/ BD=BE BDE 是等邊三角形，4D. 3 cm-TT cm33718684/ BDE=60 , / A=Z BDE AC/ DE四邊形

13、DEFG 是正方形，GF=6 DE/ GF AC/ DE/ GFF點到 AC 的距離為 6 一：:- 6.故選 D.點評：本題考查了正方形的對邊平行，四條邊都相等的性質，等邊三角形的判定與性質，等邊三角形的高線等于邊長的 3倍，以及平行線間的距離相等的性質，綜合題，但難度不大,熟記各圖形的性質是解題的關鍵.8、 （ 2013 荷澤）我們規定：將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形 的“面線”，“面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）已知等邊三角形的邊長為 2，則它的“面徑”長可以是拎討，.;（或介于.:?和 二之間的任意兩個實數）（寫

14、出 1 個即可）.考點：等邊三角形的性質.專題：新定義；開放型.分析：根據等邊三角形的性質，（1）最長的面徑是等邊三角形的高線；（2 ）最短的面徑平行于三角形一邊，最長的面徑為等邊三角形的高，然后根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑.解答：解：如圖，（1 ）等邊三角形的咼 AD 是最長的面徑，AD= _： 2=：:;（2）當 EF/ BC 時，EF 為最短面徑，此時，（2=,2 2解得 EF=_ :.所以，它的面徑長可以是.:,二（或介于.一：和一；之間的任意兩個實數）.故答案為：二一；（或介于.和 二之間的任意兩個實數）.點評：本題考查了等邊三角形的性質，讀懂題意，弄明白面徑的

15、定義， 并準確判斷出等邊三角形的最短與最長的面徑是解題的關鍵.9、（ 2013?鐵嶺）如圖，在 ABC 中，AB=2 BC=3.6,/ B=60，將 ABC 繞點 A 按順時針旋 轉一定角度得到厶 ADE 當點 B 的對應點 D 恰好落在 BC 邊上時，則 CD 的長為 1.6 .考點：旋轉的性質.3718684分析：由將 ABC 繞點 A 按順時針旋轉一定角度得到 ADE 當點B 的對應點 D 恰好落在 BC邊上，可得 AD=AB 又由/ B=60，可證得厶 ABD 是等邊三角形，繼而可得 BD=AB=2 則可求KH=18-6X2_-KH=18:;6=9 ：; 3：6=6：6,即丄=_：,得

16、答案.解答：解：由旋轉的性質可得：AD=AB/ B=60 ,ABD 是等邊三角形， BD=AB/ AB=2 BC=3.6, CD=BC BD=3.6 - 2=1.6 . 故答案為：1.6 .點評：此題考查了旋轉的性質以及等邊三角形的判定與性質此題比較簡單，注意掌握旋轉 前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用.10、 (2013?宜昌)如圖，點 E, F 分別是銳角/A兩邊上的點，AE=AF 分別以點 E, F 為圓心，以 AE 的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D,連接 DE, DF.(1) 請你判斷所畫四邊形的性狀，并說明理由；(2) 連接 EF,若 AE=8 厘米，/ A=60,求線段 EF

17、 的長.考點：菱形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質.分析：(1)由 AE=AF=ED=DF 根據四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形；(2)首先連接 EF,由 AE=AF / A=60，可證得厶 EAF 是等邊三角形，則可求得線段 EF 的長.解答：解：(1)菱形.理由：根據題意得：AE=AF=ED=DF四邊形 AEDF 是菱形；(2)連接 EF,/ AE=AF / A=60, EAF 是等邊三角形， EF=AE=8 厘米.點評：此題考查了菱形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質此題比較簡單，注意掌 握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.11、 (2013?天津)

18、如圖，在邊長為 9 的正三角形 ABC 中，BD=3 / ADE=60，貝 U AE 的長為考點：相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.3718684分析： 先根據邊長為 9, BD=3,求出 CD 的長度， 然后根據/ ADE=60 和等邊三角形的性質，證明 ABBADCE 進而根據相似三角形的對應邊成比例，求得CE 的長度，即可求出 AE 的長度.解答：解： ABC 是等邊三角形，/B=ZC=60,AB=BC CD=BC BD=9- 3=6； / BAD/ ADB=120/ADE=60 , / ADB/ EDC=120 , / DAB/ EDC又/ B=/ C=60 , ABD DCE

19、BDE，I .63 CE即解得：CE=2故 AE=AG CE=9- 2=7.故答案為：7.點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質以及等邊三角形的性質，根據等邊三角形的性質證得厶 ABBADCE 是解答此題的關鍵.12、（2013 聊城）如圖，在等邊厶 ABC 中，AB=6, D 是 BC 的中點，將 ABD 繞點 A 旋轉后得到厶 ACE 那么線段 DE 的長度為_.考點：旋轉的性質；等邊三角形的判定與性質.分析：首先，利用等邊三角形的性質求得AD=3 -;然后根據旋轉的性質、等邊三角形的性質推知 ADE 為等邊三角形，則 DE=AD解答：解：如圖，在等邊厶 ABC 中，/ B=60, A

20、B=6, D 是 BC 的中點， ADL BD/BADdCAD=30, AD=ABcos30 =6X 二=3：:.2根據旋轉的性質知，/ EACdDAB=30 , AD=AE / DAEdEACdBAD=60, ADE 的等邊三角形， DE=AD=3 二即線段 DE 的長度為 3；.故答案是：3 :點評：本題考查了旋轉的性質、 等邊三角形的性質.旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等， 對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等.13、（2013?德州）如圖，在正方形 ABCD 中，邊長為 2 的等邊三角形 AEF 的頂點 E、F 分別 在 BC和 CD 上，下列結論：C

21、E=CF / AEB=75 : BE+DF=EF S正方形ABC=23.其中正確的序號是（把你認為正確的都填上）.考占:V八 、正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.分析：根據三角形的全等的知識可以判斷的正誤；根據角角之間的數量關系，以及三角形 內角和為180判斷的正誤；根據線段垂直平分線的知識可以判斷的正確，利用 解三角形求正方形的面積等知識可以判斷的正誤.解答：解：四邊形 ABCD 是正方形, AB=ADAEF 是等邊三角形， AE=AF/在 Rt ABE 和 Rt ADF 中,TAB=AD(AE二爐 Rt ABE Rt ADF ( HL), BE=DF/ BC=DC B

22、C- BE=CD- DF, CE=CF說法正確；/ CE=CF ECF 是等腰直角三角形，/CEF=45 ,/AEF=60 ,/AEB=75 ,說法正確；如圖，連接 AC,交 EF 于 G 點， AC 丄 EF,且 AC 平分 EF,/CAOZDAF DFMFG BE+D 啟 EF,說法錯誤；/ EF=2, CE=CF=j ,設正方形的邊長為 a ,在 Rt ADF 中，a?+ (a-2)=4 , 解得 a 近噸,2則 =23 ,S正方形 ABC=23 ,說法正確，故答案為.點評：本題主要考查正方形的性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是

23、有一點麻煩.14、(2013?黃岡)已知 ABC 為等邊三角形，BD 為中線，延長 BC 至 E ,使 CE=CD=1 連接 DE 貝 UDE 乙考點：等邊三角形的性質；等腰三角形的判定與性質.3481324分析：根據等腰三角形和三角形外角性質求出BD=DE 求出 BC,在 Rt BDC 中，由勾股定理求出 BD 即可.解答：解： ABC 為等邊三角形，/ABCdACB=60,AB=BC BD 為中線, / DBC 二 / ABC=30 ,1/ CD=CE/E=ZCDE/E+ZCDEMACB/E=30 =ZDBCBD=DE/ BD 是 AC 中線,CD=1 ,AD=DC=1ABC 是等邊三角形

24、， BC=AC=1 + =2 , BDL AC在 Rt BDC 中，由勾股定理得： BD=-=.；，即 DE=BD=:;,故答案為：.：；點評：本題考查了等邊三角形性質，勾股定理，等腰三角形性質，三角形的外角性質等知識 點的應用，關鍵是求出 DE=BD 和求出 BD 的長.15、 （2013?黔西南州）如圖，已知 ABC 是等邊三角形，點 B、C D E 在同一直線上，且 CG=CDDF=DE 貝 E= 15 度.考點：等邊三角形的性質；三角形的外角性質；等腰三角形的性質.分析：根據等邊三角形三個角相等， 可知/ ACB=60 ,根據等腰三角形底角相等即可得出/E的度數.解答：解： ABC 是

25、等邊三角形，/ ACB=60 , / ACD=120 ,/ CG=CP/ CDG=30 , / FDE=150 ,/ DF=DE / E=15 .故答案為：15.點評：本題考查了等邊三角形的性質，互補兩角和為180以及等腰三角形的性質，難度適中.16、（2013 年廣東湛江）如圖，所有正三角形的一邊平行于 x 軸，一頂點在y軸上.從內到外，它們的邊長依次為2,4,6,8, L ,頂點依次用 A、A?、人、人丄表示，其中 A,A,與 x 軸、底邊 A4 與 A4A5、A4A5與A7As、L 均相距一個單位，則頂點 A 的坐標是_ ， A92的坐標是_ .解析：考查正三角形的相關知識及找規律的能力

26、。 由圖知，A 的縱坐標為：（31AA sin6C121M31，A0,J3 1，而A的橫坐標為：AA sin30 2 - 1,2 2由題意知，A的縱坐標為1，A21, 1，容易發現A2、A、A、L、A92、L這些 點在第四象限，橫縱坐標互為相反數，QA2、A、A、L、Ag2、L的下標 2、5、7、L、92、L有規律：92 2 30 3 2 31 1 3，人2是第 31 個正三角形（從里往外）的右端點，A9231, 3117、 (2013 福省福州 19)如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 的坐標為(-2, 0),等邊 三角形 AOC 經過平移或軸對稱或旋轉都可以得到 OB D.(1)_

27、 AOC 沿 x 軸向右平移得到厶OBD 則平移的距離是 _ 個單位長度；AOC 與厶 BOD關于直線對稱，則對稱軸是 _ ; AOC 繞原點 O 順時針旋轉得到厶 DOB 則旋轉角度可以是度；(2) 連結 AD,交 OC 于點 E,求/AEO 的度數.考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；軸對稱的性質；平移的性質.專題：計算題.分析：(1)由點 A 的坐標為(-2, 0),根據平移的性質得到 AOC 沿 x 軸向右平移 2 個單 位得到 OBD則厶 AOC 與厶 BOD 關于 y 軸對稱；根據等邊三角形的性質得/ AOC= BOD=60 , 則/AOD=120，根據旋轉的定義得 AOC 繞原點

28、 O 順時針旋轉 120得到 DOB(2)根據旋轉的性質得到 OA=OD 而/ AOCMBOD=60，得到/ DOC=60，所以 OE 為等腰 AOD 的頂角的平分線，根據等腰三角形的性質得到OE 垂直平分 AD,則/ AEO=90 .解答：解：(1)：點 A 的坐標為(-2, 0),AOC 沿 x 軸向右平移 2 個單位得到 OBDAOC 與厶 BOD 關于 y 軸對稱；AOC 為等邊三角形，/ AOCHBOD=60,/ AOD=120 , AOC 繞原點 O 順時針旋轉 120得到 DOB(2)如圖，等邊 AOC 繞原點 O 順時針旋轉 120得到 DOB OA=OD/ AOCHBOD=6

29、0,/ DOC=60 ,即 OE 為等腰 AOD 的頂角的平分線， OE 垂直平分 AD,:丄AEO=90 .故答案為 2； y 軸；120.點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角.也考查了等邊三角形的性質、軸對稱的性質以及平移的性質.18、 (2013?湖州)如圖，已知 P 是OO外一點，PO 交圓 O 于點 C, OC=CP=2 弦 AB 丄 OC 劣 弧 AB的度數為 120,連接 PB.(1 )求 BC 的長；(2)求證：PB 是OO的切線.考點：切線的判定；等邊三角形的判定與性質；垂徑定理.分析：(1)首先

30、連接 OB 由弦 AB 丄 OC 劣弧 AB 的度數為 120,易證得 OBC 是等邊三角 形，則可求得 BC 的長；(2)由 OC=CP=2 OBC 是等邊三角形，可求得 BC=CP 即可得/ P=ZCBP 又由等邊 三角形的性質，/ OBC=60 , / CBP=30 ,則可證得 OBLBP,繼而證得 PB 是OO的 切線.解答：(1)解：連接 OB弦 AB 丄 OC 劣弧 AB 的度數為 120 ,弧 BC 與弧 AC 的度數為：60 ,/ BOC=60 ,/ OB=O, OBC 是等邊三角形,BC=OC=2(2)證明：TOC=CP BC=OC BC=CP/ CBPdCPB OBC 是等

31、邊三角形，/OBCMOCB=60, / CBP=30 ,/OBPMCBPMOBC=90, OBL BP,/點 B 在OO上， PB 是OO的切線.點評：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質此題難度 適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.19、(2013?萊蕪)如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90，以 AC 為一邊向外作等邊三角形 ACD 點 E 為 AB的中點，連結 DE(1) 證明 DE/ CB(2)探索 AC 與 AB 滿足怎樣的數量關系時， 四邊形DCBE 是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.分析：

32、(1)首先連接 CE 根據直角三角形的性質可得CE=AB=AE 再根據等邊三角形的性質可得 AD=CD 然后證明厶 ADEACDE 進而得到/ ADEMCDE=30 , 再有/ DCB=150可證明 DE/ CB(2)當 AC.二或 AB=2AC 時，四邊形 DCBE 是平行四邊形.若四邊形 DCBE 是平行四邊形，則 DC/ BEMDCBMB=180進而得到/ B=30,再根據三角函數可推出 AC土J或 AB=2AC解答：(1)證明：連結 CE.點 E 為 Rt ACB 的斜邊 AB 的中點, CE=AB=AE/ ACD 是等邊三角形,AD=CDAD 二 DC在厶 ADE 與厶 CDE 中，低二 DE ,;AE=CEADEACDE( SSS,MADEMCDE=30./ DCB=150 ,MEDCMDCB=180. DE/ CB(2)解：/ DCB=150 ,