1、2022-4-8第三章1復變函數級數復變函數級數 泰勒級數和羅朗級數泰勒級數和羅朗級數孤立奇點的分類孤立奇點的分類(P35)第三章第三章基本內容：函數級數的基本概念、冪級數、泰勒級、 羅朗級數、孤立奇點分類基本運算：將給定函數展開成冪級數，是本章的重點和難點級數理論是分析復變函數的有力工具，它不但在理論上有意義，而且有很重要的實用價值，故本章也是復變函數論的重要內容之一 簡介2022-4-8第三章31 復變函數級數的基本概念復變函數級數的基本概念 2 復變函數級數的性質復變函數級數的性質 3 絕對收斂性的判別法絕對收斂性的判別法 3.1復變函數級數和解析函數級數復變函數級數和解析函數級數202

2、2-4-8第三章41 復變函數級數的基本概念復變函數級數的基本概念 )()()()(211zwzwzwzwkkk),(i),()(yxvyxuzwkkknkknzwzS1)()()(limzSnn，前n項和 在某點z存在，則稱（3.1）在z點收斂收斂，該極限稱為級數在z點的和，否則稱為在z點發散發散. 其中（3.1）（3.2）若級數2022-4-8第三章51)(kkyw11),(i),(kkkkyxvyxu0)(limzwnn 復變函數級數歸結為兩個實變函數項級數收斂的必要條件（3.3）2022-4-8第三章6任意給定一個小的正數任意給定一個小的正數 0，總存在充分大的正整數，總存在充分大的正

3、整數N，當當nN時對于任何自然數時對于任何自然數P，恒有，恒有柯西判據柯西判據：收斂的充要條件)()(zSzSnpnpkknzw1)(絕對收斂絕對收斂： 1)(kkzw若 在z點收斂，則 1)(kkzw在該點絕對收斂 一致收斂一致收斂：設)(zwk(k=1,2,)定義在域D(或曲線l)上,若對任意給定 0存在與z無關的正整數N,使得當nN時,對任何自然數P,(3.4)恒成立，稱級數（3.1）在D(或 l)上一致收斂 2022-4-8第三章7定理一定理一：絕對收斂級數，一定是收斂級數 定理二定理二：絕對收斂級數的乘積也是絕對收斂的，乘積的和等于 和的乘積(且與排列次序無關)11)(),(kkkk

4、zfFzgG11)()(kllkzfzgGF1,)()(lklkzfzg定理三定理三： )(zwk), 3 , 2 , 1( k在區域D內連續，且 1)(kkzw在D內一致收斂級數和在D內也是連續的.2 復變函數級數的性質復變函數級數的性質2022-4-8第三章8定理四定理四： 若 )(zwk), 3 , 2 , 1( k在曲線l上連續，且 1)(kkzw則級數和S(z)在l上也是連續的，且可在l上逐項積分，即在l上一致收斂，lkklzzwzzS1d)(d)(1d)(klkzzw定理五定理五： 若在區域D內滿足 kkazw)(實常數 ), 2 , 1( k且 1kka收斂，則 1)(kkzw在

5、D內是絕對且一致收斂的.2022-4-8第三章9魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯(Weierstrass)定理定理:若 )(zwk), 3 , 2 , 1( k在閉區域 D上是單值解析的， 1)(kkzw在l上是一致收斂的，則() 1)(kkzw在 D上一致收斂； ()級數和S(z)在D內是解析的 ()在D內有 = 1)()(dd)(kknnnzwzzS= 1)()(knkzw(n=1,2,),且該級數在D內任何閉區域上都一致收斂.2022-4-8第三章10(1)達朗貝爾(dAlembert)判別法： 如果(至少當k充分大時) kkww1發散則絕對收斂則是常數11 1)( )( 1kkkkwzwqq(

6、2)柯西(Cauchy)判別法如果(至少當k充分大時) kkw發散則絕對收斂則是常數11)( 1)( )( 1kkkkzwzwqq3 絕對收斂性的判別法絕對收斂性的判別法2022-4-8第三章11(3)高斯判別法：如果(至少當k充分大時) )1(11kokwwkk(其中是常數） 當1時，級數 1)(kkzw絕對收斂，而當1時， 1)(kkzw發散.各判據依次增強，其復雜程度依次增加.可逐項項求導解析且一致收斂的級數逐項積分連續的一致收斂級數可絕對收斂絕對收斂級數的乘積仍解析、絕對且一致收斂級數，可進行四則運算、逐項積分、逐項求導 2022-4-8第三章121 冪級數的斂散性冪級數的斂散性 2

7、冪級數的收斂圓冪級數的收斂圓3.2 冪級數的收斂性2022-4-8第三章13以b為中心的冪級數 0)(kkkbza阿貝爾阿貝爾(Abel)定理定理：若 0)(kkkbza在 0zz 數在圓域 bzbz0內絕對收斂，而且在該圓域內的任何閉)(0bzbz解析). 1 冪級數的斂散性冪級數的斂散性收斂，則該級 域上一致收斂.即在 絕對且一致收斂(連續、2022-4-8第三章14證明：在 0z收斂的必要條件 0)(lim0kkkbza存在正數M， 使得 Mbzakk )(0(k=0,1,2,),在區域 C(: bzbz0) 上有 kkkkkbzbzbzabza00)()(kbzM0，而 幾何級數 00

8、kkbz是收斂的，則由3.1定理五 00)(kkkzza在 c上是絕對且一致收斂的.10bz2022-4-8第三章15推論一推論一:若 0)(kkkbza在 1zz 發散，則該級數在圓 bzbz1外處處發散.利用Abel定理采用反證法證明.推論二推論二:對于冪級數 0)(kkkbza, 必存在一個R0,使得在圓 Rbz內處處收斂，而在圓外處處發散.2022-4-8第三章16收斂圓收斂圓： Rbz，R為收斂半徑，在該圓內 0)(kkkbza處處絕對且一致收斂，在圓外處處發散.定定 理理:在收斂圓內冪級數 0)(kkkbza可逐項積分或求導任意次，收斂半徑不變 2 冪級數的收斂圓冪級數的收斂圓20

9、22-4-8第三章17證：每一項是冪函數都解析，必連續，而級數在收斂圓 內絕對且一致收斂可逐項積分或求導.反證法證收斂半徑不變：RRRR導積積導積RR積RR RR積類似可證 導RR 收斂性的強弱 逐項求導，收斂性變弱逐項積分，收斂性變強收斂半徑：運用達朗貝爾或Cauchy判別法1limnnnaaRnnna1lim或 .積分或求導雖不改變收斂半徑，但改變2022-4-8第三章18冪級數在收斂圓內是一個解析函數，本節討論在圓內解析的函數展開成Taylor級數的問題 1 解析函數的解析函數的Taylor級數級數 2 多值函數的泰勒級數多值函數的泰勒級數3.3 解析函數的解析函數的Taylor級數展開

10、級數展開(P40)2022-4-8第三章19定理定理：若f(z)在 1 解析函數的解析函數的Taylor級數級數Rbz內是解析的，則f(z) 在該圓域內可展開為絕對且一致收斂的冪級數 0)()(kkkbzazf!)()(kbfakk， 且此展開是唯一的 2022-4-8第三章20證：一致收斂是指在閉域內，故對任何 RR 1，證明級數在 1Rbz上是絕對收斂 對如圖 1:1RbzCRRRR11( )， 應用Cauchy公式 1d)(i21)(RCzfzf對于 1Rbz上任一點z,注意到 111RRbbz，則)()(11bzbzbbzb11101)()(kkkbbz是絕對且一致收斂的，可逐項積分，

11、代回上式，得 2022-4-8第三章21kkCkbzbfzfR)( d)()(i21)(011kkkbzkbf)(!)(0)(已證得展開式，其絕對一致收斂性和展開唯一性的論證見書P41-42 2022-4-8第三章22a）按定理計算 !)()(kbfakkb）據展開的唯一性及冪級數在收斂圓內絕對且一致收斂(且解析)的性質，可利用 z11等函數的展開式，通過級數的四則運算、逐項積分、求 導、函數復合或宗量代換等.1.1展開方法展開方法：、ez、sinz、cosz等初等初2022-4-8第三章23： a）按定理R=展開中心b到與b最鄰近的奇點之間的距離(這是 最直觀最方便的方法，實變函數的冪級數理

12、論中無此結果)； b）或求得展開式后，據 1limkkkaaRkkka1lim或 求. 1.2收斂半徑收斂半徑2022-4-8第三章24a）確定b是f(z)的解析點，與b最鄰近的奇點收斂半徑 b）按定理 !)()(kbfakk，或將待展開的f(z)通過代換、 四則運算、 求導、積分、函數復合或宗量代換等同展開式已知的 z11、 ) 1( 110zzzkk)( !10zzkekkz)( )!12() 1(sin012zzkzkkk)( )!2() 1(cos02zzkzkkk、 、 1.3一般步驟一般步驟ez、sinz、cosz聯系起來等2022-4-8第三章25例1證明 2121zzzzeee

13、證： )( !12022zzlellz絕對收斂級數可逐項相乘)!1)(!1(020121llkkzzzlzkee引入指標n=k+l作為新級數的編號，則 0021)!(!1nnkknkknzzk0021)!( !1nnkknkzzknknn021!)(nnnzz21zze)( !11011zzkekkz2022-4-8第三章26例2證明 zzezsinicosi證： 0i!)i (knznze01202)!12()i ()!2()i (kkkkkzkz01202)!12() 1(i)!2() 1(kkkkkkzkzkzzsinicos特例： z=x(實數)則 xxexsinicosi(尤拉公式)

14、2022-4-8第三章272 多值函數的泰勒級數多值函數的泰勒級數 在黎曼面上除支點外，其函數值是單值確定的，所以支點是多值函數的奇點. 例3將 ln(1+z)在z=0的鄰域內展開為泰勒級數 解:在黎曼面上只有支點性奇點-1和 1ln)1ln(0zz)!1() 1()1ln(dd10nzznznn則11) 1(1ln)1ln(nnnznz), 2 , 1 , 0( 2i1ln mm2022-4-8第三章28多值函數在每一葉黎曼面上是一個單值分支，上式就是第m個單值分支的展開式，m=0通常稱為主值分支. 2022-4-8第三章29例4將 mz)1 ( (m為非整數)在z=0的鄰域內展開. 解:

15、)1ln()1 (zmmez的支點為-1、. mzmz1)1 (0) 1() 1()1 (dd0 nmmmzzzmnn 1!) 1() 1(1)1 (nnmmznmmmmz) 1(zkmme2i1 (k=0,1,2,) k取不同值對應不同的單值分支. 2022-4-8第三章30 3. 函數(1-z)-1、ez、sinz、cosz在思考與討論題：1. 冪級數的收斂半徑為R，該級數在絕對收斂，在0)(kkkbzaRbzRbz)(Rbz內上一致收斂，級數的每一項 是解析的，所以，可以逐項求導、逐項積分，且不改變收 斂半徑；在共同收斂區域上的冪級數可以進行四則運算.你 認為呢？2. 為什么Taylor

16、級數的收斂半徑等于展開中心到被展開函數的 最近的奇點的距離？4. Taylor展開的條件是什么？將函數以b為中心進行 Taylor展開和在z=b的鄰域內進行Taylor展開有無區別？作業：p55：3.1 (1)、(3)，3.2 (1)，3.4 (1)，3.5內的Taylor展開式.Rz 2022-4-8第三章311 Laurent級數級數 2 Laurent定理定理 3.4 解析函數的洛朗解析函數的洛朗(Laurent)級數級數2022-4-8第三章3201)()()(kkkkkkkkkbzabzabza 負冪部分-主要部分 正冪部分-解析部分在 1Rbz上收斂令 bz 1，則負冪部分1nnn

17、a211Rbz收斂 2Rbz上收斂 若 21RR ，則Laurent級數發散 若 21RR ，則Laurent級數在 12RbzR上收斂Laurent級數級數在2022-4-8第三章33若f(z)在 12RbzR內單值解析，則f(z)在該環域內可展開為絕對且一致收斂的級數kkkbzazf)()(lkkbfad)()(i211， （l是環域內繞b一周的任意閉曲線）該展開是唯一的. 運用復通域上的Cauchy公式證明，證法類似Taylor定理的證明.1)含有含有(z-b)的負冪項的負冪項，但b不一定是奇點：為奇點時當上不一定有奇點或上必有奇點，或，bRRRbzRRbz022121Laurent定理

18、定理2022-4-8第三章342) !)()(kbfakkl內必有被積函數的奇點，故Cauchy導數公式不再成立.特例：R2=0時，b為奇點沒有導數； 02R即使b為解析點， k取負值時的導數也無意義. 3) 環域的特例環域的特例 02R10RbzbzRR21,， ， 4) 展開方法展開方法：按定理計算回路積分求展開系數； 依據Laurent級數 在環域內絕對且一致收斂性、展開的唯一性展開.2022-4-8第三章35按定理展成Taylor級數 !)()(kbfakk與實函冪級數展開相似 Laurent級數 lkkbfad)()(i211較復雜 根據冪級數在收斂域上是絕對一致收斂且解析的性質，則

19、可運用根據冪級數在收斂域上是絕對一致收斂且解析的性質，則可運用z11、ez、sinz、cosz 等的展開式和冪級數的四則運算、等的展開式和冪級數的四則運算、 逐項求導、 逐項積分、變量代換及函數的復合展開 教材中介紹的幾種展開方法的名稱只能作為參考 3.5 3.5 泰勒級數和洛朗級數展開的泰勒級數和洛朗級數展開的幾種常用方法幾種常用方法(P47)2022-4-8第三章36(1)利用利用 011kkzz1z()例1 211z在 z1上 222111111zzz02211112kkzzz0221kkz) 1( z2022-4-8第三章37例2 ) 1(1zz21 :1izDizD2:2, ).(解

20、:先部分分式111)1(1zzzz) i(i11zzii11i1zz01) i() i(nnnz11) i(ikkkz) 1i(z) i(i1111zz0101)2i( ) i() i1 () 1(ii111i1)2i1i1i( ) i() i1 () 1(i1i11i11nkkknkkkzzzzzzzz1D2Di1-1xyoD12022-4-8第三章38010111)i2( ) i() i1() i()2i1 ( ) i(i)1 () 1() i(i) 1(1kkkkkkkkkkkzzzzzzz2022-4-8第三章39(2)利用利用ez、sinz、cosz 等的展開式等的展開式如 011!

21、1kkzzke代換) 01(zz(3)級數逐項求導或逐項積分級數逐項求導或逐項積分例3 3) 1() 1(zzz)1 ( z解:原式= 332) 1() 1(zzzz1121dd) 1(1223zzz011111111kkzzzz)1(z2022-4-8第三章4003)2)(1(21kkzkk) 1(z02013)2)(1()2)(1(21) 1() 1(kkkkzkkzkkzzz n=k+1 n=k+2 21) 1() 1(21nnnnznnznn121) 1() 1(21nnnnznznnnn) 1(z2022-4-8第三章41(4)級數相乘或相除級數相乘或相除例4 cotz)0 (z34

22、5131sincoscotzzzzzzP49 運用級數乘法或待定系數法據cotz是奇函數并可知最低冪項為z-1 ，故設 0121cotllzbz代入 zzzcossincot2022-4-8第三章4202)!2() 1(mmmmz)()!12() 1(012012lllnnnzbzn002)!122() 1(mmllmlmlmbzmllllmbm0)!122() 1()!2(1), 2 , 1 , 0( m依次令 , 2 , 1 , 0210bbbm2022-4-8第三章43(5)其它展開法其它展開法 例如： 5ii5)i 2(sinzzeezzzzzzzeeeeeei5i 3iii 3i55

23、10105i321i 210i 25i 2161iii 3i 3i5i5zzzzzzeeeeeezzzsin103sin55sin161將最右端各項展開，即得 z5sin的展開式. 總之：就是將待展開函數通過四則運算、積分、求導、宗量代換就是將待展開函數通過四則運算、積分、求導、宗量代換 函數復合等方式與展開式已知的函數聯系起來，再運用級函數復合等方式與展開式已知的函數聯系起來，再運用級 數的上述運算將其展開數的上述運算將其展開.2022-4-8第三章44僅討論單值函數或多值函數單值分支的奇點. 設b為f(z)的孤立奇點，則3.6 孤立奇點的分類和特性孤立奇點的分類和特性(P50)kkkbza

24、zf)()(10Rbz()（3.5.1） 2022-4-8第三章45b是f(z)的奇點，但展開式中無(z-b)的負冪項0)()(kkkbzazf)0(1Rbz0)(limazfbz例如：z=0是 zzsin的可去奇點 1sinlim)0( )!12() 1(! 5! 311sin00242zzzzkzzzzzkkk但f(z)仍不能在 1Rbz展開成泰勒級數， z=b是f(z)的奇點，若 )( )(lim)( )()(0bzzfbzzfzFz經過補充定義可去奇點b成為F(z)的解析點(1)可去奇點可去奇點2022-4-8第三章46mkkkbzazf)()()0(1Rbz0, 1mam，則b是f(z)的m階極點，m=1時為單極點. )(lim0zfz，則b是f(z)極點，其