1、1考點測試50拋物線咼考概覽本考點是高考必考知識點， 常考題型為選擇題、 填空題、解答題，分值為 5 分或 12 分, 中、高等難度考綱研讀1掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率）2理解數形結合的思想3了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用第7步彳狂刷小題基礎練卜、基礎小題121拋物線y= 4X2的準線方程是（）A.y=- 1 By= 2 Cx=- 1 Dx=- 2答案 A解析 依題意，拋物線x2= 4y的準線方程是y= 1,故選 A.2設拋物線y2= 8x上一點P到y軸的距離是 4，則點P到該拋物線準線的距離為（）A. 4 B6 C8 D12答案 B

2、解析 依題意得，拋物線y2= 8x的準線方程是x=- 2，因此點P到該拋物線準線的距 離為 4+ 2=6，故選 B.3到定點A（2 , 0）與定直線l:x=- 2 的距離相等的點的軌跡方程為（）2 2A.y= 8xBy=- 8xC. x2= 8yDx2=- 8y答案 A解析由拋物線的定義可知該軌跡為拋物線且p= 4,焦點在x軸正半軸上，故選A.4.若拋物線y2= 2px(p0)上的點A(xo,2）到其焦點的距離是A到y軸距離的 3 倍,則p等于（）13A.B1C . D22答案 D32PPP解析 由題意 3xo=Xo+ 2,Xo= 4，則=2,Tp0,.p= 2,故選 D.5.過拋物線y2=

3、4x的焦點作直線交拋物線于A(xi, yd ,B(X2,y2)兩點，若Xi+X2=6, 則|AB等于()A. 4 B . 6 C . 8 D . 10答案 C解析 由拋物線y2= 4x得p= 2，由拋物線定義可得|AB=Xi+ 1 +X2+ 1 =Xi+X2+ 2, 又因為Xi+X2= 6，所以|AE| = 8,故選 C.6. 若拋物線y= 4X2上一點到直線y= 4X 5 的距離最短，則該點為()1A. (1 , 2) B . (0 , 0) C . , 1 D . (1 , 4)答案 C解析 解法一：根據題意，直線y= 4x 5 必然與拋物線y= 4x2相離，拋物線上到直線1的最短距離的點

4、就是與直線y= 4x 5 平行的拋物線的切線的切點.由y= 8x= 4 得x= ,故拋物線的斜率為 4 的切線的切點坐標是 2 , 1，該點到直線y= 4x 5 的距離最短.故選 C.7.已知動圓過點(1 ,0),且與直線x= 1 相切，則動圓的圓心的軌跡方程為答案y2= 4x解析 設動圓的圓心坐標為(x,y)，則圓心到點(1 , 0)的距離與其到直線x= 1 的距 離相等，根據拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2= 4x.&已知拋物線y2= 4x的焦點為F,準線與x軸的交點為M N為拋物線上的一點，且滿 足|NF=當|MN，則/NM=_.答案nn/ MNI=，即/NM=.66解

5、法二：拋物線上的點(x, y)到直線y= 4x 5 的距離是d=|4xy 5|*17=2|4x 4x 5|廠顯然當x= 2 時,d取得最小值，此時y = 1 .故選 C.解析 過N作準線的垂線，垂足是P,則有 |PN= |NF, |PN=|MN，/NM= /MNP又 cos /MN=4x扌 + 44、咼考小題5229.（2018全國卷I）設拋物線C:y= 4x的焦點為F,過點（一 2, 0）且斜率為召的直線3與C交于M N兩點，則FM- FN=（）A. 5 B . 6 C . 7 D . 8答案 D2 2解析 根據題意，過點（2, 0）且斜率為 3 的直線方程為y= 3（x+ 2），與拋物線方

6、程聯- 2立y3（x+ , 消去x并整理，得y2 6y+ 8= 0,解得M1 , 2） ,N（4 , 4），又F（1 ,y2=4x,0），所以FM= （0 , 2） ,FN=（3 , 4），從而可以求得FM- FN=0X3+ 2X4= 8，故選 D.10. （2017全國卷I）已知F為拋物線C:y2= 4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線11,I2,直線丨1與C交于AB兩點，直線l2與C交于D, E兩點，貝y|AE| + IDE的最小值為 （ ）A. 16 B . 14 C. 12 D . 10答案 A解析 因為F為y2= 4x的焦點，所以F（1 , 0）.一 1由題意直線丨1,丨2的斜率均存

7、在，且不為0,設11的斜率為k,則I2的斜率為一下，故直線11,12的方程分別為y=k（x一 1）,1y=k（x1）.得k2x2 (2k2+ 4)x+k2= 0.設A(X1,yd,B(X2,y2),由y=kx1，y= 4x,X1+X2=2k2+ 4k2，X1X2=1 ,6所以 |AB=, 1+k2 X1X2| =.1 +k2. X1+X224X1X27, 2同理可得 IDE= 4(1 +k).所以 |AB+ |DE=+ 4(1 +k) =42+ 1+ 1 +k= 8 + 4k+8 + 4X2 = 16,21當且僅當k2=R,即k=1時，取得等號故選 A.11. (2018全國卷川)已知點M 1

8、, 1)和拋物線C：y2= 4x，過C的焦點且斜率為ky1y24所以k=xxr y+g取AB的中點M(Xo,yo)，分別過點A,B作準線x= 1 的垂線，垂足分別為A,B.1 1 1 因為/AM= 90,所以 |MM| =AB= 2(IA”+ |BF|)= (|AA| + |BB|).因為M為AB的中點，所以MM平行于x軸.因為M 1, 1)，所以yo= 1，則y1+y2= 2，所以k= 2.12. (2018北京高考)已知直線I過點(1 , 0)且垂直于x軸.若I被拋物線y2= 4ax截得的線段長為 4，則拋物線的焦點坐標為 _.答案(1 , 0)解析 由題意得a0，設直線l與拋物線的兩交點

9、分別為A,B,不妨令A在B的上方， 則A(1 , 2a),B(1 , 2a)，故|AB= 4a= 4，得a= 1，故拋物線方程為y2= 4x,其焦 點坐標為(1 , 0).13. (2017天津高考)設拋物線y2= 4x的焦點為F,準線為I.已知點C在I上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若/FAC= 120,則圓的方程為答案(x+ 1)2+ (y .3)2= 1的直線與C交于A, B兩點若/AM= 90,貝Uk=_答案 2=4x1,=4x2,所以y2y2= 4x1 4x2,解析設A(X1,yj,B(X2,y2)，則弋廠2y1y282解析 由y= 4x可得點F的坐標為(1 , 0)，準

10、線I的方程為x=- 1.由圓心C在I上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點C的橫坐標為一 1,圓的半徑為 1,ZCAG=90.又因為/FAC=120,所以/OAF=30,所以|0A=.3，所以點C的縱坐標為3.所以圓的方程為(x+ 1)2+ (y , 3)2= 1 .三、模擬小題14. (2018沈陽監測)拋物線y= 4ax2(a0)的焦點坐標是()答案 C解析 將y= 4ax2(a 0)化為標準方程得x2= y(aM0),所以焦點坐標為選 C.15. (2018太原三模)已知拋物線y2= 4x的焦點為F,準線為I,P是I上一點，直線PF與拋物線交于M N兩點，若PF= 3MF則|MN=(

11、)答案 A解析 由題意F(1, 0)，設直線PF的方程為y=k(x1),MX1, yd ,NX2,y2)因為準線方程為x= 1,所以得 R 1, 2k).所以PF= (2 , 2k) ,MF=(1 X1,y1)，因為PF122 222=3MF所以 2= 3(1 X，解得 劉=3.把y=k(x 1)代入y= 4x,得kx (2k+ 4)x+k3=0，所以X1X2= 1，所以X2= 3,從而得 |MN= |MF+ |NF= (x1+ 1) + (x2+ 1) =x1+x2+ 2 =136 .故選A.316. (2018豫南九校聯考)已知點P是拋物線x2= 4y上的動點，點P在x軸上的射影 是點Q點

12、A的坐標是(8 , 7)，則|PA+ |PQ的最小值為()A. (0,a) B . (a, 0) C0，莎，故16A. B .8 C.16D8,331畫 D .9A. 7 B . 8 C . 9 D . 1010答案 C解析 延長PQ與準線交于M點，拋物線的焦點為F(0, 1)，準線方程為y= 1,根據 拋物線的定義知，|PF= |PM= IPQ+1 IPA+ IPQ= IPA+ IPM1T PA+ IPF 1|AF 1 =寸82+(7 1 丫一 1= 10 1= 9 .當且僅當A, P, F三點共線時，等號成立，則 IPA+ IPQ的最小值為9.故選 C.17. (2018青島質檢)已知點A

13、是拋物線 C:x2= 2py(p0)的對稱軸與準線的交點，過點A作拋物線C的兩條切線，切點分別為P, Q若厶APQ勺面積為 4,則實數p的值為()13A. 2 B1 C . D2答案 D2小lx =2py,x2 2pkx+p2= 0.由 = 4pk 4p= 0，得k= 1,所以得點P- p, 2,解法二：如圖，設點P(X1,y,111切線PB的方程為yy2=X2(xX2)，即y=X2Xpp2popp p1x2,代入A0, 2 得點P- p, 2Qp2,所以APQ勺面積為S=-X2pxp= 4,解得p= 2故解析解法設過點A且與拋物線C相切的直線為y=kx2.pQp2 所以APQ勺面積為pQX2

14、,y2).由題意得點A0,12y=貉求導得y1=pX,所以切線PA的方程為yy1=pX1(xxj，即y= *X1X 2px2,D.11選 D.12218. (2018沈陽質檢一)已知拋物線y= 4X的一條弦AB恰好以P(1 ,1)為中點，則弦AB所在直線的方程是 _ .答案 2x-y 1 = 0V2= 4X1,解析 設點A(X1,y1),B(X2,y2)，由A,B都在拋物線上，可得2作差得(如y2= 4x2,+y2)(y1y2)= 4(X1X2).因為AB中點為P(1 , 1)，所以y1+y2= 2,則有 2所以kAB=y_= 2,從而直線AB的方程為y 1= 2(X1)，即 2Xy 1 =

15、0.X1X2第2步精做大題能力練一、高考大題1.(2018全國卷I)設拋物線C：y2= 2x,點A(2 , 0) ,B(2,0)，過點A的直線I與C交于M N兩點.(1) 當I與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2) 證明：/ABIM=ZABN解(1)當I與x軸垂直時，I的方程為x= 2，可得M的坐標為(2 , 2)或(2 , 2).1 1所以直線BM的方程為y=尹+ 1 或y= -x 1.(2)證明：當I與x軸垂直時，AB為線段MN的垂直平分線，所以/ABIM=ZABN當直線I與x軸不垂直時，設直線I的方程為y=k(x 2)(k0),Mx1,y , N(X2,y2), 則X10,X20.jy=

16、k x 2 ,2由2得ky 2y 4k= 0,可知y1+y2= ,yty2= 4.y= 2x,k直線BM BN的斜率之和為yiy2X2yi+xiy2+2(yi+y2)kBM+kBN=+= X1+ 2+X2+ 2X1+ 2X2+ 2將X1= *+ 2,X2=y+ 2 及y1+y2,y1y2的表達式代入式分子，可得y1yX113綜上，/ABI=/ABNX2y1+X1y2+ 2(y1+y2)2y1y2+ 4k y1+yk8+ 8=0.所以kB卄kB=0，可知BM BN的傾斜角互補，所以/ABIWZABN14. . 22.(2018浙江高考)如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C y= 4

17、x上存在不同的兩點A B滿足PA PB的中點均在C上.設AB中點為M證明：PM垂直于y軸；2(2)若P是半橢圓x2+魯=1(x0)上的動點，求PAB面積的取值范圍.解 證明：設P(xo,yo),y1,yi,By2,y2.因為PA PB的中點在拋物線上，124y+xo所以yi,y2為方程，；*2= 42即y2 2yy+ 8xoy2= 0 的兩個不同的實根.所以yi+y2= 2yo,因此，PM垂直于y軸.yi+y2=2yo，(2)由(1)可知f2|yiy2= 8xoyo,12232所以 |PM= (yi+y2)xo=yo 3xo,84|yiy2| = 2 2y2 4xo.1因此，PAB的面積SPA

18、B=引PM丨yiy2|3223= (yo 4xo) 222yo因為Xo+ 4 = 1(Xo0,解得k0 或 0k0)，其焦點到準線的距離為 2,y1+ 2X1 1kx1+ 1X1 1+ 2.1 1所以 +=入1k 12X1X2(X1+X2)X1X21 11 yM1 yNX2 1k 1X217圓S：x2+y2py= 0,直線I:y=kx+1 與圓和拋物線自左至右順次交于A B, C, D四點.18當k= 0 時，直線11與拋物線只有一個交點，不符合題意，舍去.5. (2018珠海摸底)已知橢圓C,拋物線C2的焦點均在x軸上, 均為原點Q從每條曲線上各取兩個點，其坐標分別是(3 , 2 .3),(

19、1)若線段AB BC CD的長按此順序構成一個等差數列，求正數(2)若直線li過拋物線焦點且垂直于直線I,li與拋物線交于點M分別為P,Q求證：直線PC過定點.解由題意可得p= 2,所以拋物線x2= 4y,圓S的方程可化為x2+ (y1)2= 1,其圓心S(0 , 1)，圓的半徑為k的值；N,設MN AD的中點1,設點A(xi,yi) ,D(x2,y2).由Ty=kx+1,得x2 4kx 4= 0,所以X1+X2= 4k,2所以y1+y2=k(X1+X2) + 2 = 4k+ 2,所以 |AB+ |CD= IAS+ IDS IBC=y1+ 1 +y2+ 1 2=y1+y2= + 2 = 2|B

20、Q= 4,2(2)證明：因為X1+當k工0時，用*替換k可得P- 右+ 1 ,所以kp=k21所以PQ的直線方程為y (2k2+ 1)=k21(x 2k),化簡得y=k21x+ 3，過定點(0 ,3).所以k=負值舍去).192，歩C的中心和C2的頂點(2, 0) , (4 , 4),20(1) 求C,C2的標準方程；(2) 是否存在直線I滿足條件：過C2的焦點F;與G交于不同的兩點M N且滿足OML ON若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.2解 設拋物線G：y= 2px(pz0),2則有 I = 2p(xz0),x據此驗證四個點知(3 , - 2 3) , (4 , - 4)在拋物

21、線上,易得，拋物線C2的標準方程為y2= 4x.把點(一 2, 0) ,. 2, 代入可得a2= 4,b2= 1,2xo所以橢圓C的標準方程為-+y2= 1.4由拋物線的標準方程可得 Q 的焦點F(1 , 0), 當直線I的斜率不存在時，直線I的方程為x= 1.直線I交橢圓C于點M1,-2,N1，-申,SMW0,不滿足題意.當直線I的斜率存在時，設直線I的方程為y=k(x-1),并設點Mx1,y1),N(x2,y?).由 =k(x-1,由2,2“|x+ 4y= 4,、22228k2消去y,得(1 + 4k)x 8k x+4(k 1) = 0,于是X1+X2= 1 +2,i 十 4k4(k2 1XX1X2=1 + 4k 2 21)k(X2 1) =kX1X2(為 +X2)+ 1 =k-3k221 + 4k由OMLON# X1X2+y1y2= 0.2 2 2將代入式，得 辛+4+*+%=0,解得k= 2,所以存在直線I滿足條件，且I的方程為 2xy- 2= 0 或 2x+y 2= 0.6. (2018石家莊質檢二)已知圓C：(X-a