1、飛行器結構力學基礎飛行器結構力學基礎電子教學教案電子教學教案西北工業大學航空學院西北工業大學航空學院航空結構工程系航空結構工程系第六章第六章 薄壁工程梁理論薄壁工程梁理論Engineering Beam Theory forThin-walled Structure第二講第二講6.3 自由彎曲時開剖面剪應力的計算自由彎曲時開剖面剪應力的計算6.4 自由彎曲時單閉室剖面剪應力的計算自由彎曲時單閉室剖面剪應力的計算 6.3 自由彎曲時開剖面剪應力的計算自由彎曲時開剖面剪應力的計算 1、公式推導、公式推導 考慮圖示的一個剖面周線為任意考慮圖示的一個剖面周線為任意的不閉合形狀，且沿縱向不變的開的不閉合

2、形狀，且沿縱向不變的開剖面薄壁梁。在橫向載荷作用下，剖面薄壁梁。在橫向載荷作用下，縱向任意剖面上的內力為縱向任意剖面上的內力為Qy、Mx和和Qx、My等。等。 假設整個剖面都能承受正應力。假設整個剖面都能承受正應力。為了決定剖面上某一點的剪應力為了決定剖面上某一點的剪應力，可先算出該點的剪流可先算出該點的剪流 q 。 現取出微元體現取出微元體abcd，ab邊和邊和cd邊上邊上由彎曲引起正應力分別由彎曲引起正應力分別 和和 ，而在側邊而在側邊ad和和bc上的剪流分別為上的剪流分別為 q 和和 。dzzdssqq由靜力平衡條件由靜力平衡條件Z = 0，可得：，可得：上式中等式左邊表示縱向軸力差，等

3、式右邊則表示縱向剪力差。上式中等式左邊表示縱向軸力差，等式右邊則表示縱向剪力差。上式表明，上式表明，縱向軸力差將引起縱向剪流縱向軸力差將引起縱向剪流，這種形式的剪流又稱為，這種形式的剪流又稱為彎曲剪流彎曲剪流。顯然。顯然彎曲剪流平衡軸力差彎曲剪流平衡軸力差。 或或0tdstdsdzzdzdssqqqdzdsdzsqtdzdsz 進一步，可得：進一步，可得：tdszdq積分后，得積分后，得 00)(qtdszsqqs式中積分常數式中積分常數 表示表示 s=0 邊上的剪流，對于開剖面而言，邊上的剪流，對于開剖面而言，s=0 的的邊為自由邊，故邊為自由邊，故 。 0q00q將正應力計算公式代入，注意

4、到將正應力計算公式代入，注意到0zNzsxxyxyysyxyyxxsyyxxxtdsJJzMzMkJytdsJJzMzMkJtdsxJMyJMzq00011yxQzMxyQzMyyxxxysyxsxysxxyyxysyxyxyxSJQSJQxtdsJQytdsJQxtdsJJQQkJytdsJJQQkJq000011yyxxxysyxsxySJQSJQxtdsJQytdsJQq00yxyxyyJJQQkQxxyyxxJJQQkQyxxyJJJk211分別稱為對分別稱為對 x 軸和軸和 y 軸的軸的當量剪力當量剪力。 sxytdsS0syxtdsS0分別表示從自由邊分別表示從自由邊 s=0 算起

5、，一直到所求剪流點算起，一直到所求剪流點 s 處，之間所有處，之間所有承受正應力的面積對形心軸承受正應力的面積對形心軸 x 軸和軸和 y 軸的軸的靜矩靜矩。 上式即是上式即是開剖面上任一點處縱向剪流的計算公式開剖面上任一點處縱向剪流的計算公式。注意到，該。注意到，該式僅適用于坐標軸為任意形心軸。式僅適用于坐標軸為任意形心軸。 當坐標軸取為形心主慣軸時，則剪流的計算公式可簡單為當坐標軸取為形心主慣軸時，則剪流的計算公式可簡單為 yyxxxySJQSJQq（1）剪流計算公式，滿足正應力計算公式所滿足的一切條件。）剪流計算公式，滿足正應力計算公式所滿足的一切條件。 （2）開剖面的彎曲剪流）開剖面的彎

6、曲剪流 q(s) 的分布規律僅取決于剖面靜矩的分布規律僅取決于剖面靜矩Sx 和和Sy 的分布規律，也就是說開剖面的彎曲剪流分布規律只與剖面的的分布規律，也就是說開剖面的彎曲剪流分布規律只與剖面的幾何特性有關，而與外載荷無關。因此，只要知道靜矩幾何特性有關，而與外載荷無關。因此，只要知道靜矩Sx 和和Sy 的的圖形，也就知道了彎曲剪流的圖形。圖形，也就知道了彎曲剪流的圖形。（3）由剪應力成對作用定理，在橫剖面上將出現與縱向剪流成由剪應力成對作用定理，在橫剖面上將出現與縱向剪流成對的剪流。因此，縱向剪流（即母線之間的剪流）可以用剖面上對的剪流。因此，縱向剪流（即母線之間的剪流）可以用剖面上的剪流來

7、表示。的剪流來表示。 2、幾點說明：、幾點說明：（4）彎曲剪流）彎曲剪流 q(s) 是由于縱向軸力是由于縱向軸力差引起的，因此，當壁板不承受正應差引起的，因此，當壁板不承受正應力時，該壁板上的剪流是一常數。力時，該壁板上的剪流是一常數。（5）對于只有集中面積承受正應力，而壁板只承受剪應力的薄對于只有集中面積承受正應力，而壁板只承受剪應力的薄壁結構，在計算剖面形心、慣性矩以及靜矩時，只需考慮集中面壁結構，在計算剖面形心、慣性矩以及靜矩時，只需考慮集中面積就可以了。此時，壁板上的剪流必為常數。積就可以了。此時，壁板上的剪流必為常數。 因此，薄壁梁在純軸力和純彎矩因此，薄壁梁在純軸力和純彎矩載荷作用

8、下，由于在剖面上產生的正載荷作用下，由于在剖面上產生的正應力相等，因而不會引起縱向剪流，應力相等，因而不會引起縱向剪流，也不會產生彎曲剪流。也不會產生彎曲剪流。 2、幾點說明：、幾點說明：關于剪流的方向：關于剪流的方向： 有兩種不同的表示方法：有兩種不同的表示方法： 本書中采用本書中采用平衡的觀點平衡的觀點確定剪流確定剪流的方向，的方向，剪流合力與剪力相平衡剪流合力與剪力相平衡。 由剪流計算公式可以看出，當由剪流計算公式可以看出，當剪力剪力 Qx 和和 Qy 與坐標軸正向一致時，與坐標軸正向一致時，剪流的正負與靜矩的正負是一致的。因此，當計算得到的剪流為剪流的正負與靜矩的正負是一致的。因此，當

9、計算得到的剪流為正時，它的流向與計算靜矩時正時，它的流向與計算靜矩時 s 的走向一致，若剪流為負值時，的走向一致，若剪流為負值時，其流向與其流向與 s 的走向相反。的走向相反。 一種是一種是合力的觀點合力的觀點，即剪流的合力就是作用，即剪流的合力就是作用在剖面上的剪力。（前剖面）在剖面上的剪力。（前剖面） 一種是一種是平衡的觀點平衡的觀點，即剪流的合力，即剪流的合力與剪力相平衡。（后剖面）與剪力相平衡。（后剖面）【例題【例題6-2】求圖示槽型剖面薄壁梁在剪力】求圖示槽型剖面薄壁梁在剪力 作用下的剪流，剖面周邊的厚度作用下的剪流，剖面周邊的厚度均為均為 t 。 yQ 解：解： （1）確定形心位置

10、和形心坐標軸。）確定形心位置和形心坐標軸。 由剖面的對稱性可知，通過腹板高由剖面的對稱性可知，通過腹板高度度 h 中點的中點的 x 軸是主慣性軸。軸是主慣性軸。且在剪力且在剪力作用下，剖面剪流可由公式中的第一項來作用下，剖面剪流可由公式中的第一項來計算，即計算，即 yQxxySJQq （2）計算剖面的慣性矩）計算剖面的慣性矩Jx。 621212)(2d2322hbththhbtstyJx （3）計算剖面的靜矩）計算剖面的靜矩Sx。 上緣條（上緣條（1-2段）上某一點段）上某一點 處的靜矩：處的靜矩： 1s1s1012121)(1htsytdssSsx線性變化，最大值在線性變化，最大值在2點，即

11、點，即 htbbSx21)(211s 腹板（腹板（2-3-4段）上任一點段）上任一點 處的靜矩：處的靜矩： 2s2221)(22242shtshtbsSx2s拋物線變化，其最大值在腹板的中點，即拋物線變化，其最大值在腹板的中點，即 821)2(242thhtbhSx剖面下半部分的靜矩可以由對稱性得到。因剖面下半部分的靜矩可以由對稱性得到。因此得到剖面的靜矩分布，如圖所示。此得到剖面的靜矩分布，如圖所示。 （4）求剖面剪流。）求剖面剪流。xyxxyShbthQSJQq622剪流的分布與靜矩的分布相同，只是數值上不同。剪流分布圖：剪流的分布與靜矩的分布相同，只是數值上不同。剪流分布圖： （5）校核

12、。）校核。剖面上的剪流應與剪力剖面上的剪流應與剪力Qy 平衡，即滿足平衡，即滿足 ， 。0X0Y顯然，圖示的剪流，滿足靜力平衡條件。顯然，圖示的剪流，滿足靜力平衡條件。 因為靜矩具有繼承性，因為靜矩具有繼承性，所以剪流具有連續性，即所以剪流具有連續性，即任任一點處流向該點的剪流與流一點處流向該點的剪流與流出該點的剪流之總和必為零出該點的剪流之總和必為零。這個結論很形象，對于我們這個結論很形象，對于我們在檢驗剪流的計算結果時會在檢驗剪流的計算結果時會有所幫助，特別是在剖面的有所幫助，特別是在剖面的分支處。分支處。（但在有集中面積的地方，但在有集中面積的地方，剪流的連續性不存在剪流的連續性不存在。

13、）。）靜矩的繼承性與剪流的連續性靜矩的繼承性與剪流的連續性工字型剖面的剪流分布工字型剖面的剪流分布 例例6-5 計算圖示開剖面薄壁梁在剪力作用下的剪流。設壁不承受正應力。計算圖示開剖面薄壁梁在剪力作用下的剪流。設壁不承受正應力。 （1）因為壁不受正應力，計算剖面的）因為壁不受正應力，計算剖面的幾何特性時，只需考慮元件的集中面幾何特性時，只需考慮元件的集中面積。圖中的積。圖中的 y 軸為對稱軸，故軸為對稱軸，故 y 軸為軸為形心主慣軸，形心形心主慣軸，形心 o 必在必在 y 軸上，且軸上，且有：有： 解：解：hAAhAhy3160則圖中的則圖中的x、y 即為形心主慣軸。即為形心主慣軸。22224

14、33122322AhhAhAyAJiix（2）剖面靜矩）剖面靜矩Sx AhyASiix3221AhAhyASiix3432232AhyASiix3243（3）計算）計算剖面剪流。剖面剪流。 xyxxySAhQSJQq234將各段上將各段上Sx 的代入，即得到剖面剪流圖。的代入，即得到剖面剪流圖。當壁板不承受正應力時，當壁板不承受正應力時，該壁板上的剪流是一常該壁板上的剪流是一常數。數。6.4 自由彎曲時單閉室剖面剪應力的計算自由彎曲時單閉室剖面剪應力的計算 1、公式推導、公式推導 現在討論圖示的棱柱型單閉室剖面薄壁梁。現在討論圖示的棱柱型單閉室剖面薄壁梁。在任意橫向載荷作用下，縱向任意剖面上的

15、在任意橫向載荷作用下，縱向任意剖面上的內力為內力為Qy、Mx、Qx、My、 Mz、 Nz等。等。 假設整個剖面都能承受正應力。為了決定假設整個剖面都能承受正應力。為了決定剖面上某一點的剪應力剖面上某一點的剪應力，可先算出該點的，可先算出該點的剪流剪流 q 。 與開剖面剪流求法相類似，這里取與開剖面剪流求法相類似，這里取 a 點點作為作為 s=0 的邊（稱的邊（稱 a 點為計算始點），現點為計算始點），現從結構中任取出一微元體為分離體，如圖從結構中任取出一微元體為分離體，如圖所示。所示。 由靜力平衡條件由靜力平衡條件Z = 0，可得：，可得： 或或0tdstdsdzzdzdssqqqdzdsdz

16、sqtdzdsz進一步，可得：進一步，可得：tdszdq積分后，得積分后，得 00)(qtdszsqqs積分常數積分常數 表示計算起始點表示計算起始點a（或（或 s=0）邊上的剪流，對于單閉邊上的剪流，對于單閉室剖面的閉合周邊，因為沒有自由邊，故一般地室剖面的閉合周邊，因為沒有自由邊，故一般地 。 0q00q將正應力計算公式代入，將正應力計算公式代入，00qqqSJQSJQqyyxxxySx 和和Sy 分別表示從分別表示從 s=0 邊算起，一直到所求剪流點邊算起，一直到所求剪流點 s 處，所有處，所有承受正應力的面積對形心軸承受正應力的面積對形心軸 x 軸和軸和 y 軸的軸的靜矩靜矩。00qq

17、qSJQSJQqyyxxxy 為由軸力差引起的彎曲剪流，它相當于在為由軸力差引起的彎曲剪流，它相當于在 a 處切開時的開剖處切開時的開剖面結構的剪流。面結構的剪流。q 現假想由現假想由 a 處沿縱向將剖面切開，在處沿縱向將剖面切開，在切口處沿縱向應有剪流存在，該剪流值切口處沿縱向應有剪流存在，該剪流值為為 。由剪應力成對作用定律，在橫。由剪應力成對作用定律，在橫剖面上也應有剪流存在，其值等于剖面上也應有剪流存在，其值等于 。顯然，顯然， 沿剖面中的閉合周邊為一常數沿剖面中的閉合周邊為一常數，如圖所示。由于如圖所示。由于 a 點是任選的，故點是任選的，故 隨隨 a 點位置是變化的。點位置是變化的

18、。 0q0q0q0q00qqqSJQSJQqyyxxxy 上式給出的單閉室剖面剪流計算公式的物理意義為：上式給出的單閉室剖面剪流計算公式的物理意義為：單閉室剖面的剪流單閉室剖面的剪流 q 就等于將單閉室剖面切開后的開剖就等于將單閉室剖面切開后的開剖面的剪流面的剪流 ，與切口處剪流，與切口處剪流 之和，如下圖圖示。之和，如下圖圖示。 q0q 設設Mz為外力（包括剪力和扭矩）為外力（包括剪力和扭矩）對極點對極點A的矩，并規定的矩，并規定Mz繞極點繞極點A反時針方向為正反時針方向為正，剖面上的剪流剖面上的剪流q對極點對極點A的矩以順時針方向為正的矩以順時針方向為正。則有：則有： 為了求出切口處的剪流

19、為了求出切口處的剪流 值，值，可利用對任意一極點可利用對任意一極點 A 的力矩平衡的力矩平衡方程，如圖所示。方程，如圖所示。 0qszdsq 式中，式中， 表示表示ds段上的剪力到極點段上的剪力到極點A的垂直距離的垂直距離 。 切口處剪流切口處剪流 的求法：的求法：0q 將單閉室剖面剪流計算公式代入：將單閉室剖面剪流計算公式代入：sszdsqdsq0 由于切口處的剪流由于切口處的剪流 只可能存只可能存在于剖面中具有閉合周邊的那部在于剖面中具有閉合周邊的那部分剖面上，且為常值。所以，分剖面上，且為常值。所以， 0qdsqdsqs00其中積分號其中積分號 表示積分范圍只包括閉合周邊的那一部分。表示

20、積分范圍只包括閉合周邊的那一部分。 等于圖中陰影部分面積的兩倍，積分項等于圖中陰影部分面積的兩倍，積分項 就等于閉合周就等于閉合周邊所圍面積的兩倍，通常用符號邊所圍面積的兩倍，通常用符號表示之，即表示之，即 ，又稱，又稱為為“扇形面積扇形面積”。 dsdsds于是，求得切口處的剪流值于是，求得切口處的剪流值 為為 0qszdsqq10當求得的當求得的 為正值時，表示為正值時，表示 的的方向沿閉合周邊為順時針方向，如方向沿閉合周邊為順時針方向，如為負值，則表示為負值，則表示 的方向沿閉合的方向沿閉合周邊為反時針方向。周邊為反時針方向。 0q0q0q 幾點說明：幾點說明： （1）單閉室剖面能夠承受

21、任意形式的載荷，剪流僅由靜力平衡）單閉室剖面能夠承受任意形式的載荷，剪流僅由靜力平衡條件就可以求出。因此，條件就可以求出。因此，單閉室剖面薄壁結構是幾何不變的，并單閉室剖面薄壁結構是幾何不變的，并且是靜定的且是靜定的。 （2）計算單閉室剖面剪流的步驟：先選擇一適當切口，將單閉）計算單閉室剖面剪流的步驟：先選擇一適當切口，將單閉室剖面切開為開剖面，計算開剖面剪流。然后利用剖面的力矩平室剖面切開為開剖面，計算開剖面剪流。然后利用剖面的力矩平衡方程，求出切口處的剪流。最后，將這兩部分剪流疊加，便得衡方程，求出切口處的剪流。最后，將這兩部分剪流疊加，便得到剖面的總剪流。其中開剖面剪流的方向完全按照開剖

22、面剪流方到剖面的總剪流。其中開剖面剪流的方向完全按照開剖面剪流方向的決定方法去確定，而切口處剪流的方向則是由力矩平衡方程向的決定方法去確定，而切口處剪流的方向則是由力矩平衡方程的解確定的。的解確定的。 （3）選擇適當的切口和選擇適當的力矩極點，可以使計算變的）選擇適當的切口和選擇適當的力矩極點，可以使計算變的簡單。例如若剖面有對稱軸，載荷作用在對稱線上，此時取切口簡單。例如若剖面有對稱軸，載荷作用在對稱線上，此時取切口在剖面的對稱軸上時，切口處的剪流為零，此時單閉室剖面的剪在剖面的對稱軸上時，切口處的剪流為零，此時單閉室剖面的剪流就等于開剖面的剪流。流就等于開剖面的剪流。 如果如果單閉室剖面薄

23、壁結構只承受扭矩單閉室剖面薄壁結構只承受扭矩Mz，這時：，這時：0q0qq 因此，因此，zMqq0上式即為單閉室剖面在扭矩作用下剪流的計算公式，又稱為上式即為單閉室剖面在扭矩作用下剪流的計算公式，又稱為BredtBredt（白雷特）公式（白雷特）公式。 可見，具有單閉室剖面的薄壁結構在純扭矩作用下，剖面上可見，具有單閉室剖面的薄壁結構在純扭矩作用下，剖面上的剪流為一常數，剪流的大小只與扭矩大小及剖面周線所圍面積的剪流為一常數，剪流的大小只與扭矩大小及剖面周線所圍面積有關，而與壁厚及剖面的幾何形狀無關。在剖面周邊長度一定的有關，而與壁厚及剖面的幾何形狀無關。在剖面周邊長度一定的情況下，為了提高單

24、閉室剖面薄壁結構的承扭能力，應盡可能擴情況下，為了提高單閉室剖面薄壁結構的承扭能力，應盡可能擴大剖面周邊所圍的面積。而對于周邊各處厚度不相同的剖面，各大剖面周邊所圍的面積。而對于周邊各處厚度不相同的剖面，各處的剪應力也是不同的，在厚度最小處，其剪應力越大。處的剪應力也是不同的，在厚度最小處，其剪應力越大。 解：解：取取0點為切口。點為切口?！纠}【例題6-6】計算圖示單閉剖室剖面薄壁結構在剪力】計算圖示單閉剖室剖面薄壁結構在剪力 作用下的剪流。剖面各作用下的剪流。剖面各壁的厚度為壁的厚度為 ， ，剖面其他幾何尺寸見圖示。，剖面其他幾何尺寸見圖示。yQtttt452412tt215剖面上、下部分

25、對稱，故剖面上、下部分對稱，故 x 軸即軸即為形心主慣軸。且有為形心主慣軸。且有 3233245)2(22121)2(121tcccttccttdsyJFx（1）求開剖面剪流）求開剖面剪流 q對于對于0-1段：段： yyxtydytyytdsS020)2(3254cyQSJQqyxxy1點的剪流為：點的剪流為： cQqy511對于對于1-2段：段： 2點的剪流為：點的剪流為： cQqy2122141tcstcSx12251sccQqy對于對于2-3-4段：段： 22222224545ycttcytdytcScyx223411101yccQqy3點的剪流為：點的剪流為： cQqy10113將以上

26、計算結果繪制成將以上計算結果繪制成 圖。圖。q 選選 O 為力矩極點。則為力矩極點。則Mz=0，開剖面剪流對力矩極點開剖面剪流對力矩極點A取矩，得取矩，得 （2）求切口）求切口0處的剪流處的剪流 0q24)2(2ccccQcQcdsqdsqqyyssz2417617411120 為負值，說明為負值，說明 的方向沿閉合周邊為逆時針方向，繪制的方向沿閉合周邊為逆時針方向，繪制 圖。圖。 0q0q0qcQcccQccQcccQcQcccQdsqyyyyyys617223210322222521222531具體計算中，只要計算幾個特殊點具體計算中，只要計算幾個特殊點就可以了，然后以相應的直線或曲就可以了，然后以相應的直線或曲線連接這幾個特殊點，則形成總剪線連接