1、第四章 截面的幾何性質 概述： 討論的問題：介紹與截面形狀和尺寸有關的幾何量(靜矩、慣性矩、慣性積）的定義及計算方法；平行移軸公式，轉軸公式等。 在實際工程中發現，同樣的材料，同截面積，由于橫截面的形狀不同，構件的強度、剛度有明顯不同，如一張紙（或作業本），兩端放在鉛筆上，明顯彎曲，更不能承載東西了.但把同一張紙折成波浪狀（象石棉瓦狀） ，這時紙的兩端再擱在鉛筆上，不僅不彎曲，再放上一支鉛筆,也不彎曲.可見,材料截面的幾何形狀對強度、剛度是有一定影響的，研究截面幾何性質的目的就是解材料力學截面的幾何性質決如何用最少的材料，制造出能承擔較大荷載的桿件的問題的. 41 截面的靜矩和形心截面的靜矩和

2、形心 一、靜矩的定義 設平面圖形，取zoy坐標系，取面積元dA，坐標為（z,y），整個截面對z、y軸的靜矩為： 整個截面對z軸的靜矩； 整個截面對y軸的靜矩；dAyczcyzczooAyzdAsydA材料力學截面的幾何性質 若將 理解為垂直于紙面的力， 便是對z軸的力矩， 則為對z軸的合力矩，故稱為面積矩。 若形心坐標為 ，靜矩也可寫成： 性質： 1、同一截面對不同軸的靜矩亦不同；靜矩可以是正、可以是負或零； 2、單位： ； 3、當坐標軸原點過形心， ；yzs ccyz,ASyASzzcyc,cyA czAdA0, 0 yzccssyzydA33, cmmm0yxss材料力學截面的幾何性質 反

3、之，若 ，坐標軸原點必過截面形心。 二、形心位置的計算二、形心位置的計算 形心位置： 對面積連續分布的（非組合圖形）圖形：AydAAsyAzdAAszAzcAyciiiciiciiiiccAAyyAAzzicyA 材料力學截面的幾何性質 對組合圖形：；iiciyAzSiciizAys個分圖形的形心坐標；第、個分圖形的面積；第iyziAciciiyxss,材料力學截面的幾何性質 例1，求四分之一圓截面對z,y軸的形心位置 解：取如圖示的坐標系, 先求dyz yydAsAz dR2320cossin33R344323RRRAsyzcdyRdzy z zdAsAz czooAyzdAsczdzdRd

4、yRyRzcossincosdzy z zdAsAz czooAyzdAscz dRRR sinsincos 材料力學截面的幾何性質dRo232sincos34 RAszyc233sin31oR,5027022mmA材料力學截面的幾何性質 三、組合截面的靜矩 例1：如圖由兩個矩形截面組合成的T形截面，y軸為對稱軸， 對z，y軸的靜矩。 解：因為是組合圖形,又關于軸對稱， 故有：）；，（0021zzAzSiiciy2211AyAyAysiciiz, )(10625. 2350270302270303001525mm ,3030021mmA50300czoAyzdAs30270材料力學截面的幾何性

5、質 4-2 慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積 一、慣性矩的定義 -面積對坐標軸的二次矩. 設一平面圖形，取一元面積 ，坐 標為(z,y)，距原點的距離為 ，方位 角為 ，定義： 平面圖形對z,y軸的慣性積;而 y;2 dAyIAz;2dAzIAyzydAIAzydAIdAdAyzIIAAAyz2222定義：.極慣性矩yczyzII、czooAyzdAs;2 dAyIAzyzII、材料力學截面的幾何性質 二、性質 1、 恒為正， 可正、可負、也可以為零，其正負值與坐標軸的位置有關。 2、單位：（長度）4； 例4-4 ： 計算直徑為d的圓截面對形心軸z,y的慣性矩和慣性積。 解：用平面極坐標zyIdA

6、yIAz2 dddoo 2222sinddodo2232sin dod）、 yz (）、（yzdd2cos1214120204cz).,(rdddA .cos;sinzydA446424dd4641dIIyz材料力學截面的幾何性質 由于對稱： 極慣性矩：對過形心的一對軸的慣性積 因坐標軸是對稱軸，如對左右的 （如上圖）， 結論：截面如有一根對稱軸，則截面對這根軸與另一根與之垂直的軸的 .432122dIIIIIyzyz0sincos22 ddzydAIodozy0ydAzzydA446424dd0zyI3121bhIz材料力學截面的幾何性質 對矩形截面，過形心軸的慣性矩： 若為組合圖形，對z軸

7、，y軸的慣性矩： 因 , 元面積對z軸的慣性矩就等于將各元面積對z軸的慣性矩求和，因質量連續分布，求和則為積分。3121hbIybczhoAyzdAsziizII，yiiyIIdAyIz2，yzyzIIIIIII2221材料力學截面的幾何性質 應用于圓環的情形,可看成兩個圓形截面， .16432322124444DdDdDIIIyz式中的），（zzIAr2其他如表4.1.材料力學截面的幾何性質 *慣性半徑（回轉半徑）的概念： 如以r表示某一截面對某軸的慣性半徑，定義 例43中的矩形截面：AIrzzyyIAr2AIryyhhhh bbhAIrzz289. 03212123Azryrcz.zyIo

8、AyzdAsczhoAyzdAsziizII材料力學截面的幾何性質 補充例子：試計算圓弧右上方陰影部分面積的慣性積 解：因為慣性矩與慣性積等于各微 元面積的慣性矩或慣性積之和， 所 以 rzyABCDzyzyIIIrBczoCzrD.884444rrrIzy;8212104220000200222222ryrryrryrArrzyrdyyrydyzyzdzydyyzdydzyzdAI）（;4040 rrAABCDzyrzydydzzydAIzyyzIII,材料力學截面的幾何性質 4-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 一、公式 如圖示：任一平面過形心c的坐標系 ，截面對

9、該軸的為 ,與 平行的坐標系為 ，截面對該 軸的為 由圖知： , zoycyczahczoo o z yy o z yy o z c.y zyzIII、zbzyay dAbzdAzIAAy22 dAbzbdAdAzAAA222AbIy20AbIIyy2y材料力學截面的幾何性質 結論：截面對與形心軸平行的任意 軸 的慣性矩等于截面對過形心軸y 的慣性矩加上 . 同理可得： 平行移軸定理：截面對平行于形心軸的其它任意軸平行移軸定理：截面對平行于形心軸的其它任意軸的慣性矩等于該截面對形心軸的慣性矩加上其面積乘以的慣性矩等于該截面對形心軸的慣性矩加上其面積乘以兩軸之間距離的平方。兩軸之間距離的平方。A

10、b2AaIIzz2 dAaybzdAy zIAy z dAabbydAzadAzydAAAAAAbaIccyz00AabIIccyzyzyzyzIII,材料力學截面的幾何性質 意義:提供了計算平面圖形對平行于形心軸的其它軸的 的方法;也可反算對形心軸的慣性矩及慣性積。 例子: 求矩形截面對邊界軸z 軸的慣 性矩和截面對z軸的慣性半徑. 解： 123bhIzhbhIIzz2233331412bhbhbh.289. 0321577. 033313hhrhhhbbhAIrzzzczhoziizIIa yy o z ziyiizyyiiyziizIIIIII,材料力學截面的幾何性質二、組合截面的慣性矩

11、及慣性積公式: 例子:求下平面圖形的 解：圖由一個矩形和兩個半圓組成,設矩形 的慣性矩為 ，每個半圓的為 , 半圓對過形心 軸的慣性矩 ,1zI312121adIz4731033. 512100280mmcz422726492dIcz?zI2zI1002 a4080dczoa32 d47221047. 332822mmdadIIczz 80d422726492dIcz材料力學截面的幾何性質 所以4810227. 1(221mmIIIzzz）兩個半圓的材料力學截面的幾何性質 45 慣性矩和慣性積的轉軸公式慣性矩和慣性積的轉軸公式 討論的問題：兩組坐標系共原點，且旋轉了一角度 ，平面對這兩組坐標系

12、的慣性矩或慣性積之間的關系。 如圖： 相對 轉過一角度 , 平面對 坐標系的 與對 的 之間的關系- 11oyzzyyzIII,1111,yzyzIII11oyzoyz,zyIzyyzIII,zyI材料力學截面的幾何性質 概念： 一、主慣性軸與主慣性矩 定義：截面對一對坐標軸的慣性積為零，則這一對坐標軸稱為主慣性軸，截面對主慣性軸的慣性矩即為主慣性矩。 二、形心主慣性軸和主慣性矩 定義：截面對過形心的一對坐標軸（互相垂直）的慣性積為零，則這一對軸稱為形心主慣性軸，平面對形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。 由上知要確定形心慣性軸，必須先求 再令其為零。為方便，先求平面對 z、y軸的 由此計算

13、相對它轉過一個角度 的 。, ,zyyzIII1111111,yzyzzyyzIIIyozIIIzoy坐標系的平面對坐標系的為設平面對oyz11oyz材料力學截面的幾何性質轉軸公式的推導： 面元 的坐標（z、y）與 二者之間的關系為： 11,yzyBDoEocz1sincosyzsincos1xy y EBCDADdAzydAyIAAz221sincos1 材料力學截面的幾何性質同理有dAzydAzdAyAAAsincos2sincos2222 zydAdAzdAyAAAcossin2sincos2222zyyzIIIcossin2sincos22zyzyAyIIIdAzIcossin2sin

14、cos22211yzzyzyAyzIIIIdAyzIcossincossinsincos2211112sincossin22cos121sin2cos121cos22材料力學截面的幾何性質 利用轉軸公式2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII1zI材料力學截面的幾何性質 將 與 相加得： 結論：平面對同一原點的不同的一組互相垂直的坐標軸的慣性矩之和是一常數。 三、主慣性軸及主慣性矩的求解- 由 求解： 即 因 在 內變化， 不同對應不同的坐標系，從而有不同的 ，其中必有一對值最大,對慣性軸的慣性矩

15、最大。1yI常數 yzyzI I I I11011yzI02cos2sin200zyyzIIIyzzyIIItg2202011oyzyzII,11oyz01材料力學截面的幾何性質 可由 及 確定.且因 ,其中1個極大，1個為極小。 在 內有兩個 值滿足上式， 的具體確定： （1）先設一角度 （2）再由分子 及 的正負，判斷 在哪一個象限;如: ;011ddIz011ddIy1cIIyz112000yzzyIIItg2即yzzyIIItg2即;2 dAyIAzzyI2yzII 02002 ,2 , 0, 02在第一象限yzzyI II1802 ,2 , 0, 0200在第二象限yzzyIII材料

16、力學截面的幾何性質 ; ; ; 確定了 后，再將 代入式411中求得對主慣性軸的主慣性矩 （極大）1802 ,2 , 0, 0200在第三象限yzzyIII002 ,2 , 0, 02在第四象限yzzyIII2222zyyzyzzoIIIIIIyzzyIIItg2即yzzyIIItg2即極小2222zyyzyzyoIIIIII02002122sintgtg材料力學截面的幾何性質 說明：主軸的慣性矩是圖形對一點的所有坐標軸慣性矩中的極大值和極小值。 證明： 利用 ，0202112costg002sin2cos22zyyzyyzoIIIIII2122112222tgtgItgIIIIzyyzyz2

17、22241241122）（）（yzzyyzzyzyyzzyyzyzIIIIIIIIIIIIII222222222zyyzzyzyyzyzyzIIIIIIIIIII材料力學截面的幾何性質222224224122yzzyyzyzzyzyyzzyyzyzyzIIIIIIIIIIIIIIIIII222242422zyyzzyzyzyyzyzyzyzIIIIIIIIIIIIII）（22222412zyyzzyyzyzIIIIIIII材料力學截面的幾何性質 2222zyyzyzzoIIIIII 224212zyyzyzIIIII002sin2cos22zyyzyzyoIIIIII材料力學截面的幾何性質02

18、00221221122tgtgItgIIIIzyyzyz222241221122yzzyyzzyzyyzzyyzyzIIIIIIIIIIIIII2222224124122zyyzzyzyyzyzyzIIIIIIIIIII22222222142zyyzzyzyyzyzyzIIIIIIIIIII材料力學截面的幾何性質 實際上，求出了 ，2222zyyzyzyoIIIIIIzoIzoyzyoI I I I ccyz,材料力學截面的幾何性質 五、組合圖形截面的形心主慣性軸及形五、組合圖形截面的形心主慣性軸及形心主慣性矩的計算心主慣性矩的計算 1、求形心位置，定初始參考軸z、y，將圖形拆開，求各自的形心坐標，再在形心c處作兩根平行于z、y的 軸，不一定為主軸； 2、求各圖形對自己形心軸的 進而求組合圖形的-。 3、由 求 ，即確定主軸； 4、求對主軸的 。，、ciciyzycizciIII0zcycI0yozoII,212211AAzAzAzc材料力學截面的幾何性質 例48：求形心主慣性矩 解：圖分成兩塊，取參考坐 標 系 zoy ，、兩塊的形 心如圖示； 1、求組合圖形的形心坐標 mm40101