1、第 1 頁 共 13 頁f(c) = 0 f(xAn) = n xA(x-1)f(1/x) = -1/xA2f( Vx) = 1/2Vxf( In x) = 1/xf(logax) = 1/xIna(a為底)f(aAx) = aAx *naf(eAx) = eAxf(sinx) = cosxf(cosx) = -sinxf(tanx) = (secA2)x = 1/(cosA2)xf(cotx) = -(cscA2)x = -1/(sinA2)xf(secx) = cesx * tanxf(cscx) = -cscx * cotxf(arcsinx) = 1/-xAV2) (1f(arccos

2、x) = -1/V(-1xA2)f(arctanx) = 1/1+xA2在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：1. y=fg(x),y=fg(x)?g(x) fg(x) 中 g(x )看作整個變量， 而 g(x) 中把 x 看作變量2. y=u/v,y=uv-uv/vA23. y=f(x) 的反函數是 x=g(y )，則有 y=1/x證：1. 顯而易見， y=c 是一條平行于 x 軸的直線，所以處處的切線都是平行于 x 的，故斜率為 0。用導數的定義做也是一樣的：y=c, y=c-c=0,lim x 宀 0 y/ x=0。2.這個的推導暫且不證， 因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣

3、到 n 為任意實數的一般情況。在得到y=ex y=eAx和 y=lnx y=1/x這兩個結果后能用復合函數的求導給予證明。第 2 頁 共 13 頁3. y=aAx,y=aA(x+ x)-aAx=aAx(aA x-1)y/ x=aAx(aA x-1)/ x如果直接令x-0，是不能導出導函數的，必須設一個輔助的函數3= aA x-1 通過換元進行計算。由設的輔助函數可以知道：x=loga(1+3)。所以(aA x-1)/ x=3/loga(1+3)=1/loga(1+3 )人人1/3顯然，當x 0 時，3也是趨向于 0 的。而 lim3 0(1+3 )人人1/3=e,所以 lim3 01/loga

4、(1 +3)A1/3=1/logae=lna 。把這個結果代入 lim x 0 y/ x=lim x0aAx(aA x-1)/ x 后得到 lim x 0 y/ x=aAxlna 。可以知道，當 a=e 時有 y=eAx y=eAx 。4. y=logax y=loga(x+ x)-logax=loga(x+ x)/x=loga(1+ x/x)Ax/x y/ x=loga(1+ x/x)A(x/ x)/x因為當x 0 時，x/x 趨向于 0 而 x/ x 趨向于g,所以 lim x 0loga(1+ x/x)A(x/x) = logae,所以有lim x 0 y/ x = logae/x。可以

5、知道,當 a=e 時有 y=lnx y=1/x。這時可以進行 y=xAn y=nxA(n-1) 的推導了。因為 y=xAn, 所以 y=eAln(xAn)=eAnlnx,所以 y=eAnlnx ?(nlnx)=xAn ?n/x=nxA(n-1)。5. y=sinx y=sin(x+ x)-sinx=2cos(x+ x/2)sin( x/2) y/ x=2cos(x+ x/2)sin( x/2)/ x=cos(x+ x/2)sin( x/2)/( x/2)所以 lim x0y/x=lim x0cos(x+ x/2) ?lim x0sin( x/2)/(x/2)=cosx6. 類似地,可以導出 y

6、=cosx y=-sinx 。7. y=tanx=sinx/cosxy=(sinx)cosx-sinx(cos)/cosA2x=(cosA2x+sinA2x)/cosA2x=1/cosA2x8. y=cotx=cosx/sinx第3頁共 13 頁y=(cosx)s in x-cosx(s in x)/s inA2x=-1/s inA2x9. y=arcs inxx=s inyx=cosyy=1/x=1/cosy=1/V1-si nA2y=1/V1咲人咲人210. y=arccosxx=cosyx=-si nyy=1/x=-1/siny=-1/V1-cosA2y=-1/V1幟人幟人211. y=

7、arcta nxx=ta nyx=1/cosA2yy=1/x=cosA2y=1/secA2y=1/1+ta nA2x=1/1+xA212. y=arccotxx=cotyx=-1/si nA2yy=1/x=-si nA2y=-1/cscA2y=-1/1+cotA2y=-1/1+xA2另外在對雙曲函數shx,chx,thx 等以及反雙曲函數 arshx,archx,arthx合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與4. y=u 土 v,y=u 土 v5. y=uv,y=uv+uv1 基本求導公式（C）丄0（C為常數）（xn）J nxn4；般地，（x）hx11 - 1(X)=1,(x2) =2

8、x,(丄)一4，(X)二1。xx2X般地，(ax)二ax|na(a 0,a = 1)。2求導法則四則運算法則等和其他較復雜的復特別地:（ex）、ex；1(ln x)x般地,(logax)1xln a(a 0, a 1)。第4頁共 13 頁設f(x) ,g(x)均在點x可導，則有：(I) (f (x) _g(x) = f (x) _ g (x)；(n) (f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)，特別(Cf(x)JCf (x)(C為常數);kf (x)dx二k f (x)dx(k為常數)5、定積分f(x)dx二F(x) |： =F(b)-F(a)bbbak1f(x) k2g(

9、x)dxaf (x)dx k?ag(x)dx分部積分法設u(x) ,v(x)在a,b上具有連續導數u(x),v(x)，則bbbau(x)dv(x) =u(x)v(x)a -av(x)du(x)6、線性代數特殊矩陣的概念(m)(g(x)f(x)(x)吧W)，特別說廠黑。g2(x)3.微分 函數y = f (x)在點x處的微分：dy = y dx = f (x)dx4、常用的不定積分公式(1)x dx = x C(：北-1), dx = x c, xdx = c, x dx =土 X24x3dx二仝c43x3.;(2)exdx二exC;axdx =xaIn aC (a 0,a = 1);(3)第5

10、頁共 13 頁(1 )、零矩陣10 0101,(2)、單位矩陣In =+0_*00 印0(3)、對角矩陣A =_00a2+ *、對稱矩陣aij=aji, A2121- 3 - 5】2 -57一010二階丨2粽10 1o o o_o_- -2 22 2第6頁共 13 頁a bc d g h |ce dg cf dh7、MATLAB件計算題例 6 試寫出用 MATLAB件求函數y=1n(.x X2 ex)的二階導數 解:clear;syms x y;y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x);dy=diff(y,2)例:試寫出用 MATLAB 軟件求函數y=ln( x ex)的一階導數/的命

11、令語句。clear;syms x y;y=log(sqrt(x)+exp(x);dy=diff(y)2 A3例 11 試寫出用 MATLAB件計算定積分-exdx的命令語句。1x解：clear;syms x y; y=(1/x)*exp(xA3);in t(y,1,2)1x3例試寫出用 MATLAB 軟件計算定積分一e dx的命令語句。x解：clear;syms x y;y=(1/x)*exp(xA3);i nt(y)MATLAB件的函數命令表 1 MATLAB 軟件中的函數命令0a22a2n下三角形矩陣A=0a?0+0 0ann1000 anai211(5)、上三角形矩陣A二a1n-ana1

12、2a1n1ana21an1、矩陣轉置A =a21a22*a2n轉置后AT=a12a22+ *an2an1an2ann1Ia1 na2nann(6)-nJ-nJf f h h+ + + +b b d degeg+ + + +a a c_c_-nJ-nJf f h he e g_g_+-I-II IJ J b bd d a a c_c_6、矩陣運算嚴 +bg af + bhy的命令語句。第7頁共 13 頁函數axTXxeln xlg xlog；ix第8頁共 13 頁MATLABxAasqrt(x)exp(x)log( x)log10(x)log 2(x)abs(x)運算符號運算符+-*/A功能加減

13、乘除乘方典型例題例 1 設某物資要從產地Al,A2,A調往銷地 Bl,B2, B3, B4,運輸平衡表（單位：噸）和運價表（單位：百元/噸）如下表所示：運輸平衡表與運價表、銷地產地BiB3供應量BB2BBB4A17311311A41928A974105需求量365620（1）用最小元素法編制的初始調運方案，（2）檢驗上述初始調運方案是否最優，若非最優，求最優調運方案，并計算最低運輸 總費用。解：用最小元素法編制的初始調運方案如下表所示： 運輸平衡表與運價表、銷地 產地B1EbB3供應量B1B2BBB4A437311311A3141928A63974105需求量36562011= 1 , 12=

14、 1 , 22= 0, 24=一 2已出現負檢驗數，方案需要調整，調整量為1調整后的第二個調運方案如下表：運輸平衡表與運價表、銷地產地BB2B3B4供應量BB2B3A527311311A23141928A363974105找空格對應的閉回路，計算檢驗數:第9頁共 13 頁需求量365620求第二個調運方案的檢驗數：11= 1已出現負檢驗數，方案需要再調整，調整量為2調整后的第三個調運方案如下表：運輸平衡表與運價表銷地 產地、BB2B3B4供應量BB2B3A257311311A21341928A363974105需求量365620求第三個調運方案的檢驗數:所有檢驗數非負，故第三個調運方案最優，最

15、低運輸總費用為:2X3+ 5X3+ 1X1 + 3X8+ 6X4 + 3X5= 85 （百元）例2某物流公司下屬企業經過對近期銷售資料分析及市場預測得知， 乙、丙三種產品，均為市場緊俏產品，銷售量一直持續上升經久不衰。該企業生產的甲、 今已知上述三種產品的單位產品原材料消耗定額分別為4 公斤、4 公斤和 5 公斤；三種產品的單位產品所需工時分別為 6 臺時、3 臺時和 6 臺時。另外，三種產品的利潤分別為 400 元/件、250 元/件和 300 元/件。由于生產該三種產品的原材料和工時的供應有一定限制，原材料每天只能供應180公斤，工時每天只有 150 臺時。1.試建立在上述條件下，如何安排

16、生產計劃，使企業生產這三種產品能獲得利潤最大 的線性規劃模型。2.寫出用 MATLAB件計算該線性規劃問題的命令語句。解：1、設生產甲、乙、丙三種產品分別為X1件、X2件和X3件，顯然X1,X2,X3 0線性規劃模型為max S二400X1250X2300X3|4X14X25X3空1806x13x26x3込150X1，X2，X302解上述線性規劃問題的語句為：clear;C=-400 250 300;A=4 4 5;6 3 6;B=180;150;LB=0;0;0;X,fval,exitflag=li nprog(C,A,B,LB)12= 2 , 14= 1 ,22= 2,23= 1 , 31

17、= 9,33= 12第10頁共 13 頁x例 5 設y，求：y1 +x(ex) (1 x) -ex(1x) xex2 = 2(1 x)2(1 x)2例 7 某廠生產某種產品的固定成本為2 萬元，每多生產 1 百臺產品，總成本增加 1 萬元，銷售該產品q百臺的收入為R(q) = 4q 0.5q2(萬元)。當產量為多少時，利潤最大？ 最大利潤為多少？解：產量為q百臺的總成本函數為：Qq) =q+ 22利潤函數L(q) =R(q) C(q) = 0.5q+ 3q 2令MLq) =q+ 3= 0 得唯一駐點q= 3 (百臺)故當產量q=3 百臺時，利潤最大，最大利潤為2 _ _L(3)= 0.5X3

18、+3X32=2.5 (萬元)例 8 某物流企業生產某種商品， 其年銷售量為 1000000 件，每批生產需準備費 1000 元， 而每件商品每年庫存費為0.05 元，如果該商品年銷售率是均勻的，試求經濟批量。解:庫存總成本函數C(q)q 100000000040q令C(q) =1-100000。000=0得定義域內的唯一駐點q= 200000 件。40q即經濟批量為 200000 件。1例 9 計算定積分：(x 3ex)dx033解:_1 0AB0 1設y=(1 +解:21，-12_24x，求：y24-111-1-111-1一10 ? 26y J(1 x2) lnx (1 x2)(lnx)丄2

19、xln x一2，求:J 11 x2AB CT1L：2-2一6一6一3解:解:例 10112150(x 3ex)d(x3ex)|0=3e-2321(x22)dx1x計算定積分:第11頁共 13 頁1(x2-)d(-x32l n|x|)| 廠寸2ln3x33教學補充說明解:第12頁共 13 頁1.對編程問題，要記住函數e , lnx, 、x在 MATLAB件中相應的命令函數 exp（x）,log（x） , sqrt（x）;2 對積分問題，主要掌握積分性質及下列三個積分公式：xadx = xa 1c（az 1）a +1exdx =exc1 dx =In|x | cx7.記住兩個函數值：e0= 1,

20、ln 1 = 0。模擬試題一、單項選擇題：（每小題 4 分，共 20 分）1.若某物資的總供應量（ C ）總需求量，可增設一個虛銷地，其需求量取總供應量 與總需求量的差額，并取各產地到該銷地的單位運價為 0，則可將該不平衡運輸問題化為平衡運輸問題。（A）等于（B）小于（C）大于（D）不超過2.某物流公司有三種化學原料A, A2, A3。每公斤原料 A 含 B,B, R 三種化學成分的含量分別為 0.7 公斤、0.2 公斤和 0.1 公斤；每公斤原料A含B, B, B3的含量分別為 0.1 公斤、0.3 公斤和 0.6 公斤；每公斤原料 Aa含 Bi, B, B3的含量分別為 0.3 公斤、0.

21、4 公斤 和 0.3 公斤。每公斤原料A, A2, Aa的成本分別為 500 元、300 元和 400 元。今需要 B1成分 至少 100 公斤，B2成分至少 50 公斤，B 成分至少 80 公斤。為列出使總成本最小的線性規劃 模型，設原料A,A A的用量分別為 劉公斤、X2公斤和X3公斤，則目標函數為（D）。(A) maxS= 500 x1+ 300 x2+ 400 x3(B) minS= 100 x1+ 50 x2+ 80 x3(C) maxS= 100X1+ 50X2+ 80X3(D) minS=3.設A J1|4 -x(A) 4(C) 24. 設運輸某物品2 12、,B，并且A=B,則

22、x=（ C ）o7|x 7（B） 3（D） 1q噸的成本（單位：元）函數為Qq） =q2+ 50q+ 2000，則運輸該物品100 噸時的平均成本為（ A ）元/噸。(A) 170(B)250(C) 1700(D) 170005.已知運輸某物品q噸的邊際收入函數為MRq），則運輸該物品從 100 噸到 300 噸時的收入增加量為(D)o300(A)MR(q)dq C(0)*100(C). MR(q)dq100(B)300MR(q)dq300(D)100MR(q)dq二、計算題：6.已知矩陣（每小題 7 分，共 21 分）A0|012B= 4C一10-2，求:AB+ C第13頁共 13 頁7.設

23、y占，求:(1 x3)218.計算定積分：o(x3- 2ex)dx131-1解：o(x 2ex)dx=( x 2ex)|o三、編程題：(每小題 6 分，共 12 分)9.試寫出用MATLAB 軟件求函數y =1 n( . x x2 ex)的二階導數y的命令語句。解: clear;syms x y;y=Iog(sqrt(x+xA2)+exp(x);dy=diff(y,2)1 10.試寫出用 MATLAB件計算定積分xexdx的命令語句。J0解: clear;syms x y; y=x*exp(sqrt(x);i nt(y,0,1)四、應用題(第 11、12 題各 14 分，第 13 題 19 分

24、，共 47 分)11.某物流企業生產某種商品，其年銷售量為 1000000 件，每批生產需準備費 1000 元,而每件商品每年庫存費為 0.05 元，如果該商品年銷售率是均勻的，試求經濟批量。解:庫存總成本函數C(q)=q 100000000040q入11000000000C令C(q40 -q2得定義域內的惟一駐點q=200000件。即經濟批量為 200000 件。12.某物流公司下屬企業經過對近期銷售資料分析及市場預測得知，該企業生產的甲、 乙、丙三種產品，均為市場緊俏產品，銷售量一直持續上升經久不衰。今已知上述三種產品的單位產品原材料消耗定額分別為4 公斤、4 公斤和 5 公斤；三種產品的

25、單位產品所需工時分別為 6 臺時、3 臺時和 6 臺時。另外，三種產品的利潤分別為 400 元/件、250 元/件和 300 元/件。由于生產該三種產品的原材料和工時的供應有一定限制，原材料每天只能供應180公斤，工時每天只有 150 臺時。試建立在上述條件下，如何安排生產計劃，使企業生產這三種產品能獲得利潤最大的線性規劃模型，并寫出用MATLAB 軟件計算該線性規劃問題的命令解：AB+C = f00 12-1卩41+ |21-1-103解：才=(l nx)P+x3)(I nx)(1+x1 +X332|3x In xx_(1 x3)2=2e - 74第14頁共 13 頁語句。解：設生產甲、乙、

26、丙三種產品分別為X1件、X2件和X3件，顯然X1,X2,xs 0線性規劃模型為maxS =400 xr250 x2 300 x34x 4x25x3空1806x-i3x26x3乞150 x,X2,X3_0解上述線性規劃問題的語句為：clear;C=-400 250 300;A=4 4 5;6 3 6;B=180;150;LB=0;0;0;X,fval,exitflag=li nprog(C,A,B,LB)線性規劃習題1.某物流公司下屬企業生產甲、乙兩種產品，要用A, B, C 三種不同的原料，從工藝資料知道：每生產一件產品甲，需用三種原料分別為1，1，0 單位；生產一件產品乙，需用三種原料分別為

27、 1, 2, 1 單位。每天原料供應的能力分別為 6，8, 3 單位。又知，銷售一件 產品甲，企業可得利潤 3 萬元；銷售一件產品乙，企業可得利潤 4 萬元。試寫出能使利潤最 大的線性規劃模型，并用 MATLAB件計算(寫出命令語句，并用 MATLAB 軟件運行)。解：設生產甲產品x1噸，乙產品x2噸。線性規劃模型為：maxS=3%4x2,+x2蘭6x12x2二8x2乞3xX2一0用 MATLAB件計算該線性規劃模型的命令語句為： clear; C=-3 4; A=1 1;1 2;0 1; B=6;8;3; LB=0;0; X,fval=li nprog(C,A,B,LB)2. 某物流公司有三種化學產品 A, A2,A都含有三種化學成分 B1, B2, B3,每種產品成 分含量及價格(元/斤)如下表，今需要 B 成分至少 100 斤，B2成分至少 50 斤，B3成分至少 80 斤，試列出使總成本最小的線性規劃模型。第15頁共 13 頁B0.70.20.10.10.30.60.30.40.3產品價格（元/斤）500300400解：設生產A產品Xj公斤,生產