1、 課程基本任務：闡明金屬在塑性成形時的共同性，即研究和探討金屬在各種塑性加工過程中可遵循的基礎和規律。 課程的目的：科學地、系統地闡明這些基礎和規律，為學習后續的工藝課程做理論準備，也為合理制訂塑性成形工藝規范及選擇設備、設計模具奠定理論基礎。第一章金屬塑性成形的物理基礎緒論：金屬材料的基本加工方法 切削加工法優點：尺寸精度高、表明光潔度好缺點：不能改變組織與性能，成本高，生成效率低 鑄造法優點：形狀復雜的產品缺點：質量低，組織與化學成分不均勻，如砂眼、縮孔、偏析等 塑性成形法第一節 金屬塑性成形的特點及分類一、金屬的塑性、塑性成形及其特點 什么是塑性？彈性極限彈性變形拉伸試樣拉力與伸長之間的

2、關系塑性變形 幾個基本的概念彈性：當作用力P23，則最大切應力為：max 2（六）應力偏張量和應力球張量 變形分為：體積的改變和形狀的改變 單位體積的改變：(1 2 3) 12E(2-12) 平均應力1 1 13 3 3(2-13)(2-11)2008年2月29日 x xy xz x m xy xz m 0 0 0 mij yx y yz yx y m yz 0ij ijm 體積變化與平均應力有關 三個正應力分量可寫成： x ( x m)m x m y ( y m)m y m z ( z m)m z m 應力張量可分解成以下兩個張量： zx zy z zx zy z m 0 0 m( 2-14

3、 )應力偏張量應力球張量1 0 0ij 0 1 0 0 0 1 式中ij為克氏符號，也稱單位張量。應力球張量式（2-14）中，ijm表示球應力狀態，也稱靜水應力狀態，稱為應力球張量，0。 物理意義：不能使物體產生形狀變化，只能使2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 32 2 2 2 2 2 2 2 2m m式（2-14）中，ij稱為應力偏張量。物理意義：只能使物體產生形狀變化，而不能使物體產生體積變化，即材料的塑性變形是由應力偏張量引起的。J3表示，代入式（2-7），可得 1 ( ) ( ) ( ) 0 z m y m x m x y z J 2 ) ( xy yx z

4、x x y y z z x J ) ( ) ( ) ( ) 6( xy yx zx z x y z x y ( 2-15 ) x xy xz 3 yx y yz J zx zy z ) ( 2 x y y z z x xy yz zx J 對于主坐標系 2 3 1 2 2 3 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) J1 3 2 1 3 J應力偏張量同樣存在三個不變量，J1、J2、( 2-16 ) 6J1 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 262 2 22 2 2J3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy)J1 x y z 應力偏張量三個不變量的物理意義 J

5、1=0，表示已經沒有靜水應力成分； J2與屈服準則相關； J3決定應變類型：1）J30，伸長類應變；2）J30，平面應變；3） J30，壓縮類應變。(七) 八面體應力和等效應力八面體應力八面體平面：正八面體的每個平面稱為八面體平面。八面體平面上的應力稱為八面體應力。圖1-4 八面體和八面體平面J 2八面體平面的方向余弦為:8是平均應力，即應力球張量；8與應力偏張量第二不變量J2有關。( 2-18 )13l m n 2 32313代入公式可得八面體正應力8和八面體切應力8：1 13 3 12 2 23 2 31 2 ( 1 2)2 ( 2 3)2 ( 3 1)2 8 2 S 2 2 1 2l2

6、2 2m2 3 2n2 (1l 2 2m2 3n2)2( 2-17 ) 1l2 2m2 3n28 ( x y z) ( x y)2 ( y z)2 ( z x)2 6( xy yz zx) 8 (1 2)2 (2 3)2 (3 1)2 3J2 ( x y)2 ( y z)2 ( z x)2 6( xy yx zx)( 1-17a )( 2-18a )( 2-19 )( 2-19a )32所得之參量稱為等效應力，也稱廣義應力或應力強度。13任意坐標系中八面體應力的表達式：132 28 122 2 對主坐標系:3 12 2 對任意坐標系: 等效應力的特點：1) 等效應力是一個不變量；2) 等效應力

7、在數值上等于單向均勻拉伸(或壓縮)時的拉伸(或壓縮)應力1；3) 等效應力并不代表某一實際平面上的應力，因而不能在某一特定的平面上表示出來；4) 等效應力可以理解為代表一點應力狀態中應力偏張量的綜合作用。1，230(八) 應力莫爾圓 應力莫爾圓是點應力狀態的幾何表示法。若已知某點的一組應力分量或主應力，就可以利用應力莫爾圓通過圖解法來確定該點任意方位平面上的正應力和切應力。 莫爾（Mohr）在1914年提出來的。設已知受力物體內某點的三個主應力1、2、3，且123。以應力主軸為坐標軸，作一斜微分面，其方向余弦為l、m、n，則有如下三個方程: 應力莫爾圓的求法： 2 3 2 3 l (1 2)(

8、1 3) 1 3 3 1 m (2 3)(2 1) 1 2 1 2 n (3 1)(3 2) 1l2 2m2 3n2 2 S 2 2 1 2l2 2 2m2 3 2n2 (1l2 2m2 3n2)2 ( a )l2 m2 n2 1若以l2、m2、n2為未知數，聯解方程組，可得2 22 22 22 22 22 2 2 2 2 22 2( 2-20 ) ,0 ,0 ,0 圓心都在軸上； 圓心到坐標原點的距離恰好分別為三個主切應力平面上的正應力。 三個圓的半徑隨斜分面的方向余弦值而變。圓心O1:圓心O2:圓心O3:332211 2 2 2P點表示斜微分面上的正應力和切應力。l、m、n分別為定值時斜微

9、分面上的、的變化規律 2 3 2 3 233 1 3 1 2 31 1 2 1 2 12 2 若式(2-20)中，三個方向余弦l、m、n分別為零，則可得到下列三個圓的方程( 2-21 )由式(2-21)畫得的三個圓叫做三向應力莫爾圓。它們的圓心位置與式(2-20)表示的三個圓相同，半徑分別等于三個主切應力。2 2 2 2 2 2222 22 2 2 2 2 2 ,0 ,0 ,0 三向應力莫爾圓圓心O1:圓心O2:圓心O3:332211 2 2 2半徑O1:半徑O2:3321 2 2半徑O3:21 2 R1 23 l (1 2 1 3)2 3 R1 )( 負3 1 R2 m (2 3)(2 1)

10、 R2 311 2 R3 n (3 1 3 2) )( R3 12 若123時，比較（2-20）和（2-21）,可得二組圓的半徑之間的關系上式說明三個圓的交點P一定落在由式（2-21）畫得的O1、O3圓以外和O3圓以內的陰影部分。(2-22)22 2 2 2 正 2 2 正 2 2 ij 0 5 0 例題1對于oxyz直角坐標系，受力物體內一點的應力狀態為1) 畫出該點的應力單元體；2) 試用應力狀態特征方程求出該點的主應力及主方向；3) 畫出該點的應力莫爾圓，并將應力單元體的微分面（即x、y、z面）標注在應力莫爾圓上。 5 0 5 5 0 5 (MPa) 5 50 02 2 22 2 2J2

11、 ( x y y z z x) xy yz zxJ3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy)解：1) 應力單元體如右圖所示2) 將各應力分量代如應力張量不變量公式(2-7)，可解得J1=5, J2=50, J3=0將解得的J1、J2、J3代入應力狀態特征方J1 x y z3 2( x )l yxm zxn 0 xyl ( y )m zyn 0求解得將應力分量代入式(2-6)，并與方向余弦一起寫成方程組將三個主應力數值分別代人上面方程組前三式中的任意兩式，并與方程組中的第四式聯解，可求得三個主方向的方向余弦為1 10, 2 0,3 5應力單位MPa(5)l 0m5n

12、 00l (5)m0n 05l 0m(5)n 0l2 m2 n2 1 xzl yzm( z )n 0如將110代入，求得：15m 0l 2 m 2 n2 15l 5n 0 對于1：1212l ,m 0,n 對于2：1212l ,m 0,n 對于2：l 0,m 1,n 0互相垂直3) 根據解得的三個主應力值可畫得的應力莫爾圓及x、y、z面在應力莫爾圓上的位置均見右圖。10-50(2.5,7.5)( 5,5)應力莫爾圓應力單元體(5,-5)(一) 位移和應變位移：變形體內任一點變形前后的直線距離稱位移。第二節 應變分析上式表示變形體內的位移場。位移是個矢量。在坐標系中，一點的位移矢量在三個坐標軸上

13、的投影稱為該點的位移分量，一般用u、v、w或角標符號ui來表示。它們都是坐標的連續函數。u=u (x, y, z)v=v (x, y, z)w=w (x, y, z)或：ui=ui(x, y, z)dzdxju izdy u iydx u ixu ix j 變形體內無限接近兩點的位移分量之間的關系M點的坐標為：ui(x, y, z)M點的坐標為：ui(x+dx, y+dy, z+dz)按照泰勒級數展開，并略去二階以上高階微量，得( 2-22 )位移增量ui寫成( 2-23 )若無限接近兩點的連線平行于某坐標軸，則式(2-23)變為( 2-24 ) 應變及分量 名義應變：又稱相對應變或工程應變，

14、用來表示變形的大小，可分正應變和切應變。 正應變：線元單位長度的變化叫做正應變，一般用表示。 工程切應變：單位長度上的偏移量或兩棱邊所夾直角的變化量，稱為工程切應變，也叫相對應變。棱邊PA的正應變為：rrx r1 rxrx棱邊在x, y, z方向上的正應變分別為：rzrzryryrxrx x ， z ， yrtry tan yx yx yx xy顯然yx xy，yz zy，zx xzyx可看成由棱邊PA和PC同時向內偏轉相同的角度yx和xy而成，這樣所產生的塑性變形效果是一樣的。定義xy12xy yx 切應變：工程切應變的一半也叫切應變。角標的意義是：第一個角標表示線元(棱邊)的方向;第二個角

15、標表示線元偏轉的方向。變形單元體有三個線應變和三組切應變，即(2-25) 對數應變 相對線應變：假設物體內兩質點相距為l0，經變形后距離為ln，則相對線應變為 相對線應變一般只適用于小應變情況，不足以反映塑性成形大變形的情況。 大變形l0到ln(l0, l1, l2ln)，可以近似地看作是各個階段相對應變之和，即( 2-26 ) 上式反映了物體變形的實際情況，故稱為自然應變或對數應變。 對數應變: 塑性變形過程中，在應變主軸方向保持不變的情況下應變增量的總和。 對數應變能真實地反映變形的積累過程，所以也稱真實應變，簡稱為真應變。 對數應變的優點：(1)相對應變不能表示變形的實際情況，而且變形程

16、度愈大，誤差越大。* 當變形程度小于10時，兩者的比較接近* 當變形程度大于10以后，誤差逐漸增加。(2) 對數應變為可疊加應變，而相對應變為不可疊加應變。顯然各階段的相對應變為假設某物體的原長為l0，經歷l1、l2變為l3，總的相對應變為(3) 對數應變為可比應變，相對應變為不可比應變。如果縮短一倍，尺寸變為0.5l0。，則其相對應變為拉伸和壓縮數值懸殊大，不具有可比性。假設某物體由l0拉長一倍后尺寸為2 l0 ，其相對應變為而用對數應變表示拉、壓兩種不同性質的變形程度時，并不失去可以比較的性質。例如在上例中，物體拉長一倍的對數應變為縮短一倍時的對數應變為(二) 塑性成形時的體積不變由基本假

17、設，塑性變形時，變形物體變形前后的體積保持不變，可用數學式子表達。設單元體初始邊長為dx、dy、dz，則變形前的體積為 V0=dxdydz忽略切應變引起的邊長和體積變化，則三個方向的線應變為變形后由于產生應變而體積變為：V 1 (1x)dx(1y)dy(1z)dz (1x y z)dxdydz單元體的體積變化率為： x y z V1V 0V 0VV 0在塑性變形時，體積變化很微小。所以由體積不變假設，得( 2-28 )( 2-27 ) x y z 0上式稱為體積不變條件。體積不變條件用對數應變表示更為準確。設變形體的原始長、寬、高分別為l0、b0、h0，變形后為l1、b1、h1 ，則體積不變條

18、件可表示為由上式可以看出，塑性變形時，三個線應變分量不可能全部同號，絕對值最大的應變分量永遠和另外兩個應變分量的符號相反。ij yx y yz zy z (三) 點的應變狀態及應變張量一點的應變狀態可以用過該點三個互相正交方向上的九個應變分量來表示。應變是一個二階張量。 x zx xy xz（2-29）（2-30） 0 0 31 0 0 ij 0 2 0 (四)點的應變狀態與應力狀態比較1.主應變、應變張量不變量、主切應變和最大切應變、主應變簡圖主應變：過變形體內一點存在有三個相互垂直的應變主方向(應變主軸)，該方向上線元沒有切應變，只有正應變，稱為主應變。若取應變主軸為坐標軸，則應變張量為

19、應變張量不變量：若已知一點的應變張量來求過該點的三個主應變，也存在一個應變狀態的特征方程。2 2 22 2 2 (12 23 31)I3 x yz 2 xy yz zx (x yz y zx z xy)123 3 I1 2 I2 I3 0I1、I2、I3叫做應變張量不變量。I1 x y z 1 2 3 0I2 (x y yz zx)( xy yz zx)（2-31）（2-32） 23 (2 3)31 (3 1) (1 3)（2-33）（2-34）1212若123，則最大切應變為：主切應變和最大切應變 ：在與應變主方向成45的方向上存在三對各自相互垂直的線元，它們的切應變有極值，稱為主切應變。主

20、切應變的計算公式為1212 max 主應變簡圖：用主應變的個數和符號來表示應變狀態的簡圖稱主應變狀態圖，簡稱為主應變簡圖或主應變圖。根據體積不變條件和特征應變，則塑性變形只能有三種變形類型。 特征應變：三個主應變中絕對值最大的主應變，反映了工序變形的特征，稱為特征應變。a) 壓縮類變形：特征應變為負應變，另外兩個應變為正應變。b) 剪切類變形：一個應變為零，其他兩個應變大小相等，方向相反。c) 伸長類變形：特征應變為正應變，另外兩個應變為負。xij yx xy xz x m xy xz m 0 0 yz 00 y yz yx y mm zy z zx zy z m 0 02. 應力偏張量和球張

21、量、八面體應變和等效應變 應變偏張量和應變球張量應變張量可以分解為兩個張量 m zx應變偏張量: 表示變形單元體形狀的變化；應變球張量: 表示變形單元體體積的變化；(x y)2 ( y z)2 (z x)2 6( xy yz zx)以三個應變主軸為坐標軸的主應變空間中，同樣可作出正八面體，八面體平面的法線方向線元的應變稱為八面體應變。八面體線應變為1 1 13 3 3八面體切應變為2 21313 (1 2)2 (2 3)2 (3 1)28 （2-35）(x y)2 ( y z)2 (z x)2 6( xy yz zx) 2 3 1 3單向應力狀態時，其主應變為1，23由體積不變條件得12代入上

22、式得：2 21 1 1 2 2 33 2 （2-36）2 22323(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2 等效應變取八面體切應變絕對值的 2 倍所得的參量稱為等效應變，也稱廣義應變或應變強度 28 1 w2 x u z 1 uiuj （五）幾何方程 幾何方程: 描述位移場與應變場之間關系的方程，稱為幾何方程。（只適合小應變）w y v x uxvywz1 v2 z1 u2 yx y z ;yz zy ;zx xz ;xy yx 簡記為：xi 2 xjij （2-37）uitu i (六) 應變增量和應變速率張量 全量應變反映單元體在某一變形過程或變形過程中的某個階段結束時的應變，稱之為全量

23、應變。 速度分量和速度場 位移速度：將質點在單位時間內的位移稱位移速度。速度分量: 位移速度在三個坐標軸上的投影稱位移速度分量，簡稱速度分量，表示為：位移矢量和增量 位移增量和應變增量 位移增量：如果物體在變形過程中，在一個極短的時間dt內，其質點產生極小的位移變化量稱為位移增量。速度分量為：( 2-38 )duit寫成角標： u i y x z y （2-40） x z 1 (dui)2 xj(du j)xi 簡記為：（2-40a）（2-39）此時的位移增量分量為：dui uidt位移增量與應變增量之間的關系(du)x(dv)y(dw)zdx d y dz 2 1 (dv) (dw)2 1

24、(dw) (du)21 (du) (dv)d xy d yxd yz d zyd zx d xzdij 2 xj一點的應變增量也是二階對稱張量，稱應變增量張量。( 2-41 ) 應變速率張量單位時間內的應變稱為應變速率，俗稱變形速度，用 ij 表示。若將式(2-39)代人式(2-40a)，得dzd y d yzdx d xy d xz dij 1 xi(u idt)(u jdt) dij dij 1 ui2 xj ij u j xi x y z xy yx 1u vyz zy 1v w zx xz 1 w u 將上式兩端除以時間dt，則得應變速率為（2-42）（2-42a）一點的應變速率也是一

25、個二階對稱張量，稱為應變速率張量。dt或者寫成u xv yw z 2 y x2z y 2 x z 應變速率表示變形程度的變化快慢，它與成形工具的運動速度和變形體的形狀尺寸及邊界條件有關，所以不能僅僅用工具或質點的運動速度來衡量物體內質點的變形速度。例如，均勻壓縮一柱體，下墊板不動，上壓板以 坐標原點，壓縮方向為x軸，柱體某瞬時高度為h(如右圖所示)度速 u 下移，取柱體下端為柱體內各質點在x方向上的速度為各質點在x方向的應變速率分量為設h=100mm，u 0 =-6mm/min，則 x=-10-3s-1，接近準靜壓縮。在錘上鍛造時，u 0 =-(5-9)m/s，則 x =-(50-90)s-1

26、 ；高速錘鍛造時，u 0 =(15-20) m/s,則 x =-(150-200) s-1 。若變形體內與某方向軸垂直的平面上無應力存在，并所有應力分量與該方向軸無關，則這種應力狀態即為平面應力狀態。(七) 平面問題和軸對稱問題(1) 平面應力問題 平面應力狀態特點是：1) 變形體內各質點在與某方向軸(如Z軸)垂直的平面上沒有應力作用，即z=zx=zy=0，Z軸為主方向，只有x、y、xy三個獨立的應力分量。2)x、y、xy沿Z軸方向均勻分布，即應力分量與Z軸無關，對Z軸的偏導數為零。在工程實際中，薄壁管扭轉、薄壁容器承受內壓、板料成形中的一些工序等由于厚度方向的應力相對很小而可以忽賂，一船均作

27、為平面應力狀態來處理。 0 平面應力狀態的應力張量(2-43)直角坐標系中，平面應變的應力平衡微分方程(2-44)平面應力狀態下任意斜微分面上的正應力、切應力以及主應力可由前面的公式求得，其中3=0。 0 0 zx z zy z z z yx y y y yz y x x xy x xz xd純切應力狀態屬平面應力狀態的特殊情況，此時，由平面應力狀態下的應力莫爾圓方程式得純切應力狀態下的應力莫爾圓方程純切應力狀態及其應力莫爾圓如圖所示。x ； y xy yx 1uvx （2-45）(2) 平面應變問題如果物體內所有質點都只在同一個坐標平面內發生變形，而在該平面的法線方向沒有變形，這種變形稱為平

28、面變形或平面應變。發生變形的平面稱塑性流平面。平面應變狀態下幾何方程為由塑性變形時體積不變條件及x0得x y u vx y2 y 平面應變的特點：1) 由于平面變形時，物體內與z軸垂直的平面始終不會傾斜扭曲，所以z平面上沒有切應力分量，即zx=zy=0，Z方向必為應力主方向，z即為主應力，且為x, y 的平均值, 又是平均應力，是一個不變量(3-86)2) 平面變形時的應力狀態就是純切應力狀態疊加一個應力球張量。因為以應力主軸為坐標軸，有上式號左側的偏應力是純切應力狀態，右側是球應力狀態，應力大小是平均應力。3) 平面變形時，由于z是不變量，而且其它應力分量都與z軸無關。應力平衡微分方程平面變

29、形狀態的主切應力和最大切應力( 2-46 )當旋轉體承受的外力對稱于旋轉軸分布時，則旋轉體內質點所處的應力狀態稱為軸對稱應力狀態。處于軸對稱應力狀態時，旋轉體的每個子午面都始終保持平面，而且子午面之間夾角保持不變。(3)軸對稱問題圓柱坐標系中應力張量為：( 2-47 )圓柱坐標系中平衡微分方程( 2-48 ) 軸對稱應力狀態特點：1) 在面上沒有切應力，即=z=0，故應力張量中只有四個獨立的應力分量，即、z、z，而且是一個主應力。2) 各應力分量與坐標無關，對的偏導數都為零。軸對稱的應力張量為：( 3-90 )應力平衡微分方程：( 3-90 )幾何方程為：第三章 屈服準則 屈服準則的概念在一定

30、的變形條件下，只有當各應力分量之間符合一定關系時，質點才開始進入塑性狀態，這種關系稱為屈服準則，也稱塑性條件，一般可表示為：f (ij) C上式稱為屈服函數，式中C是與材料性質有關而與應力狀態無關的常數，可通過實驗求得。下面介紹理想剛塑性材料的屈服準則。第一節 屈雷斯加屈服準則 1864年由法國工程師屈雷斯加(Tresca)提出。 表述：當受力物體中的最大切應力達到某一定值時，物體就發生屈服。或者說，材料處于塑性狀態時，其最大切應力是一不變的定值。maxC該定值只取決于材料在變形條件下的性質，而與應力狀態無關。所以該屈服準則又稱最大切應力不變條件。該準則可以寫成：若已知123，則（2-1）C1

31、 32max 與應力狀態無關材料單向均勻拉伸時，當拉伸應力1達到材料屈服點s時，材料進入塑性狀態，此時 max 1 s， min 0將上式代入（2-1），解得： s2C max s則（3-2） K21 3 s 2K（3-3） 2 3 2K s3 1 2K s上式即為屈雷斯加屈服準則的數學表達式，式中為材料屈服時的最大切應力值。若 不知主應力大小順序，則Tresca準則為：1 2 2K s第二節米塞斯（Mises）屈服準則 德國力學家米塞斯于1913年提出了另一個屈服準則，并稱之為米塞斯屈服準則。 表述在一定的變形條件下，當受力物體內一點的應力偏張量的第二不變量J2達到某一定值時，該點就開始進入

32、塑性狀態。更方便的表述形式是：當點應力狀態的等效應力達到某一遇應力狀態無關的定值時，材料就屈服，也即J 2 ( x y)2 ( y z)2 ( z x)2 6( xy yx zx 2 )C J 2 (1 2)2 ( 2 3)2 ( 3 1) C 2C s對第一種表述：f ( ij) J 2 C所以有：（3-4）1 2 26用主應力表示：16（3-4a）常數C可用單向拉伸屈服時的應力狀態求得：1 s， 2 3 0代入(3-4a)得：1 23( x y)2 ( y z)2 ( z x)2 6( xy yz zx) 2 2常數C也可用純切應力狀態求得： xy 1 2 K求解得：C K 2由于兩常數相

33、等，則： s13K s米塞斯屈服準則表示為：2 2用主應力表示為：(1 2)2 ( 2 3)2 ( 3 1)2 2 2 6K 2（3-5）（3-6）對第二種表述： (1 2)2 ( 2 3)2 ( 3 1)2 s12（3-7）(1 2)2 ( 2 3)2 ( 3 1)216EA 米塞斯屈服準則的物理意義：單位體積的彈性形變能（3-8）物理意義：當材料的質點內單位體積的彈性形變能（即形狀變化的能量）達到某臨界值時，材料就屈服。 對于絕大多數金屬材料，米塞斯屈服準則比屈雷斯加屈服準則更接近于實際。 兩個屈服準則的比較共同點是：(1) 屈服準則的表達式都和坐標的選擇無關，等式左邊都是不變量的函數；(

34、2) 三個主應力可以任意置換而不影響屈服，同時，認為拉應力和壓應力的作用是一樣(3) 各表達式都和應力球張量無關。不同點是：屈雷斯加屈服準則沒有考慮中間應力的影響米塞期屈服淮則考慮了中間應力的影響。第三節 屈服準則的幾何表達 幾個基本概念屈服表面:屈服準則的數學表達式在主應力空間中的幾何圖形是一個封閉的空間曲面稱為屈服表面。屈服軌跡：如把屈服準則表示在各種平面坐標系中，則它們都是封閉曲線，叫做屈服軌跡。 主應力空間：以應力主軸為坐標軸可構成一個主應力空間。(一) 主應力空間中的屈服表面主應力空間把矢量OP分解成OM及MP。 一種應力狀態(1、2、3) 可用主應力空間中的點P和矢量OP來代表。O

35、P向等傾線ON投影， OM表示應力球張量。 MP表示應力偏張量。主應力空間中的屈服表面米塞斯屈服表面s屈雷斯加屈服表面是一個內接于米塞斯圓柱面的正六棱柱面。屈服表面的幾何意義P點在屈服表面內部：彈性狀態；P點在屈服表面上：塑性狀態；P點不能在屈服表面外。理想塑性材料米塞斯屈服軌跡是在1、2 坐標平面上的橢圓，簡稱米塞斯橢圓。(二) 兩相應力狀態下的屈服軌跡屈雷斯加屈服軌跡是一個內接于米塞斯圓橢圓的六邊形，簡稱屈雷斯加六邊形。兩向應力狀態下的屈服軌跡 s s)、D(、 s s)、H(、 s s)、L(、 兩個屈服軌跡相同點（六個）。單向應力狀態：A (s, 0)、E (0, s)、G(-s, 0

36、)、K (0, s)；軸對稱應力狀態：C (s, s )、I (-s, -s ) 兩個屈服準則差別最大點（六個）。平面應力狀態：四個點:純切應力狀態：兩個點：2313132323131323B( s) s、 s)、J(s、 13131313s)F(s、 第四節 兩個屈服準則的統一表達式屈雷斯加屈服準則(123)，可寫成1 3 ss（3-9）中間主應力2不影響材料屈服。,米塞斯屈服準則(1 2)2 ( 2 3)2 ( 3 1)2 2 2 （3-10）中間主應力2對材料屈服有影響。為了將米塞斯屈服準則寫成類似式(3-9)的形式，羅德引入了參數(稱為羅德應力參數)。2 2 1 3 1 3 可推出，（

37、3-11）(1 3)(1 3)121 21 2 2 3 （3-12）由上式，米塞斯屈服準則可以寫成： s2231 3 設則23 2 1 3 s為中間應力影響系數，變化范圍為11.155、的關系如下：（3-13）（3-14）中間主應力2111應力狀態圓柱體應力狀態（單向應力疊加球張量）01.155平面變形應力狀態（純剪切疊加球張量）2311圓柱體應力狀態（單向應力疊加球張量）12 1 3 2 2 2 1 3 1 323 2 和的關系表（2-1）和的變化范圍 對于圓柱體應力狀態，兩個準則一致； 平面應變時，兩個準則差別最大，為15.5。設K為屈服時的最大切應力，則： s2 1 32K 兩個屈服準則

38、的統一表達為：1 3 2K（3-15）（3-16） 當K=0.5s時，為屈雷斯加屈服準則; 當K=0.5-0.577s時，為米塞斯屈服準則。第四章 本構方程 本構關系塑性變形時應力與應變之間的關系叫做本構關系，這種關系的數學表達式稱為本構方程，也叫做物理方程。第一節 塑性應力應變關系(一) 彈性變形時應力應變關系 單向應力狀態，符合虎克定律： E 2G（4-1）yz zx xy 復雜應力狀態，符合廣義虎克定律：x y z 12G12G12G1E1E1Ex y z；yz y z x；zx z x y；xy （4-2） 彈性模量E、泊松比和切變模量G之間關系：( 4-3 )E21G x y z y

39、 z x z x y 將式（4-2）中的x、y、z相加，整理得( 4-4）m1 2Em 式中，m、m為平均應變和平均應力。 上式表明，物體彈性變形時其單位體積變化率與平均應力成正比，說明應力球張量使物體產生彈性的體積改變。x y z 1E1E1Exyzx y z xz x yij 將式(4-2)中的前三式分別減去式(4-4)，可得簡記為：( 4-5 )yz12G12G12G12G12G12G如下形式：x/ y/ z/ x/；xy y/；yz z/；zx /12Gij /x y z x y z 1E1E1E12G( x m) ( x m)12E x m 12G x x( 4-6 )ij ij i

40、jm ij ( 4-7 )表明：應變偏張量與應力偏張量成正比廣義虎克定律可寫成張量形式mij/1 / 1 22G E彈性變形時應力應變關系的特點：1) 應力與應變完全成線性關系，即應力主軸與全量應變主軸重合。2) 彈性變形是可逆的，與應變歷史無關。因此，應力與應變之間存在統一的單值關系。3) 彈性變形時，應力球張且使物體產生體積的變化，泊松比 0.5。(二) 塑性成形時應力應變關系的特點1) 應力與應變之間的關系是非線性的，因此，全量應變主軸與應力主軸不一定重合。2) 塑性變形時可以認為體積不變，即應變球張量為零，泊松比0.5。3) 對于應變硬化材料，卸載后再重新加載時的屈服應力就是卸載時的屈

41、服應力，比初始屈服應力要高。4) 塑性變形是不可逆的，與應變歷史有關，即應力應變關系不再保持單值關系。對于理想塑性材料，則同一屈服應力s可以對應任何應變。對于應變硬化材料，則由e加載到f，對應的應變為e；如果由f 卸裁到e ，則應變為e 。顯然，兩者不等。說明同一應力狀態可以有不同的應變狀態與之對應。圖（3-1）單向拉伸時的應力應變關系 同樣的一種應力狀態，由于加載路線不同，就有幾種應變狀態與之對應； 同樣，一種應變狀態，也可有幾種應力狀態對應。圖（3-2）加載路線不同時的應力應變曲線第二節 塑性變形的增量理論增量理論增量理論又稱流動理論，是描述材料處于塑性狀態時，應力與應變增量或應變速率之間

42、關系的理論，它是針對加載過程中的每一瞬間的應力狀態所確定的該瞬間的應變增量。 列維米塞斯（Levy-Mises）理論基本假設:1) 材料是剛塑性材料，即彈性應變增量為零，塑性應變增量就是總的應變增量。dij ij d s2) 材料符合米塞斯屈服準則，即( 4-8 )3) 每一加載瞬時，應力主軸與應變增量主軸重合。4) 塑性變形時體積不變，即dxdy dz d1d 2d 3 0所以，應變增量張量就是應變增量偏張量，dij dij /在上述假設基礎上，可假設應變增量與應力偏量成正比，即/稱為列維米塞斯方程。xyzx y z dij ij d x md dx y z上式可寫成比例形式和差比形式dzx

43、zxdyzyzdxyxy ddz/dy/dx/( 4-9 )（4-10）( 4-10a)式（4-8）還可以寫成廣義表達式：及或 d ddz dxz xd 3d1 3 1dy dzy zd 2d 3 2 3dx dyx yd1d 2 1 2 2 1 23/x 1Ed x y z；d yz yzdd y z x；d zx zxd 1 （4-11）d z x y ；d xy xyd于是有：dx d y dz 2 2 2 1 1 232323比例系數d可按如下方法確定，將式（4-10a）分成三個式子，平方后相加得：92d 2 2 (d)2（4-12）所以，3 d2 d 上式稱為應力應變速率方程，也稱為

44、圣文南塑性流動方程。 圣維南塑性流動方程若將式（4-8）兩邊除以時間dt，可得：dij ddt dt2 速率，于是ij ij （4-13）x 2yz； yz yz2 y 2z x； zx zx2 3 z 2xy； xy 2 xy( 4-14 )同樣可寫成廣義表達式： x y z 1 1 3 1 3 dij dij dijdij dij dij dij （4-15）普朗特路埃斯（Prandtl-Reuss）方程普朗特路埃斯理論考慮總應變增量的分量由彈、塑性兩部分組成，即ep方程相同：/p /ij3 d p2 p彈性部分為：edmij12G/1 2Edij dij dij ij d d m1 2d

45、 ij ( 4-17)也可寫成由此可得普朗特路埃斯方程:dmij12G/12EEd ijd m/ / 12G/( 4-16 )上述理論的綜合歸納：1) 普朗特路埃斯理論與列維米塞斯理論的差別就在于前者考慮了彈性變形而后者不考慮，實質上后者是前者的特殊情況。2) 普朗特路埃斯理論和列維米塞斯理論都著重指出了塑性應變增量與應力偏量之間的關系。即3) 整個變形過程可由各瞬時段的變形積累而得，因此增量理論能表達加載過程的歷史對變形的影響，能反映出復雜加載情況。4) 上述理論僅適用于加載情況，并沒有結出卸裁規律，卸裁情況下仍按虎克定律進行。12 第三節 塑性變形的全量理論所謂比例加載，是指在加載過程中所

46、有的外力從一開始起就按同一比例增加。必須滿足如下條件：1) 塑性變形是微小的，和彈性變形屬同一數量級；2) 外載荷各分量按比例增加，中途不能卸載。3) 在加載過程中，應力主軸方向和應變主鈾方向固定不變，且重合。4) 變形體不可壓縮，即泊松比x x y z;yz yz3 2 y y z x;zx zx2 z z xy;xy xy在上述條件下，無論變形體所處的應力狀態如何，應變偏張量各分量與應力偏張量各分量成正比，即( 4-18 )式中比例系數，上式寫成廣義表達式：( 4-18a )/ijij3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 1 在塑性成形中，由于難于普遍保證比例加載，所以一般采用增量理論其

47、中主要是列維米塞斯方程或圣文南塑性流動方程。某些塑性加工過程，雖與比例加裁有一定偏離，運用全量理論也能得出較好的計算結果。小變形全量理論可以看成是廣義虎克定律在小變形中的推廣。第五章 真實應力應變曲線第一節 拉伸試驗曲線（一）標稱應力應變曲線標稱應力（名義應力或條件應力）和相對線應變PF 0ll0 0 條件應力相對伸長（5-1）（5-2）式中P拉伸載荷；F 試樣原始橫斷面積；l0試樣標距長度；0 l試樣標距的伸長量。第一特征點：屈服點c第二特征點：最高點b 均勻變形和局部變形的分界點第三特征點：破壞點k工程中用 0.2圖（5-1）條件應力應變曲線（二）拉伸時的真實應力應變曲線（1） 真實應力應

48、變曲線瞬時的流動應力，單向均勻拉伸（或壓縮）時各加載瞬間的載荷P與該瞬時間試樣的橫截面積F之比：真實應力應變曲線分為三類：1） 真實應力相對應變曲線2） 真實應力斷面收縮率3） 真實應力對數應變PFS (5-3)（2）真實應力對數應變曲線的確定a) 求屈服點s（忽略彈性變形）P sF 0 s 式中 Ps材料開始屈服時的載荷，由試驗機載荷刻度盤上讀出；F0試樣原始橫截面面積。b) 找出均勻變形各瞬時的真實應力和對數應變PFS 式中 P各加載瞬間的載荷，由試驗機載荷刻度盤上讀出；F各加載瞬間的橫截面面積，由體積不變條件求出。F c) 找出斷裂時的真實應力及對應的對數應變F 0l0lF 0l0l0l

49、式中 l試樣標距長度的瞬間伸長量，可由試驗機上的標尺讀出ll0l0 ll0 ln ln或FF 0 lnPkFkSk 式中 Pk試樣斷裂時載荷；Fk試樣斷裂處的橫截面積。lkl0 k lnF 0Fk k ln或式中 lk試樣斷裂時的標距總長度。圖（5-2）條件應力應變曲線與真實應力應變曲線 形狀硬化：由于出現縮頸而產生的應力升高的現象稱為形狀硬化。圖（5-3）縮頸處的應力分布 出現縮頸，細頸處斷面上不再受均布的單向拉伸應力，而是處于不均勻的三向拉伸應力作用下，需修正。要獲得材料實際的變形抗力與變形程度之間的關系，必須去除形狀硬化效應的影響。齊別爾（Siebel）提出修正公式：/d8 S1 S 式

50、中 S 去除形狀硬化后的真實應力；/d 細頸處直徑；細頸處試件外形的曲率半徑。 基于拉伸實驗的最大應變量受塑性失穩控制，一般應變1.0左右，精確段0.3左右。 基于壓縮實驗主要受摩擦限制，應變量可達第二節 壓縮試驗曲線2.0左右，甚至有人獲得應變量3.9。 直接消除摩擦的圓柱體壓縮法圖（5-4）圓柱壓縮試驗及其試樣 壓縮試驗設備Gleeble 1500, 3500, 3800等。 試樣尺寸(1)810mm;(2) 1015mm;(3)D0=20-30mm，D0/H0=1。壓縮時的對數應變為（參看圖5-4a）H 0H ln式中 H0、H試樣壓縮前后的高度。 S P F P F e 0 / /壓縮

51、時的真實應力為：式中 F0、F試件壓縮前、后的橫截面面積；P軸向載荷。 真實應力應變曲線的簡化形式及其近似數學表達式圖（5-5）真實應力應變曲線的基本類型1. 冪指數硬化曲線（圖4-5a）大多數金屬的真實應力應變曲線近似于拋物線形狀，可精確地用指數方程表達：S Bn式中 B與材料有關的常數；n硬化指數；B與n的數值參考表5-1。表5-1 幾種金屬材料20時的B、n值金屬名稱、牌號08152035456015Cr40Cr5CrNiMo1Cr18Ni9B(MPa)656.6748.0744.8901.2950.01087.2793.7861.91172.71450.0n0.240.100.200.

52、170.140.120.180.150.1280.62. 對于有初始屈服應力的冷變形金屬材料，可較好的表達為：（圖5-5b）m式中s初始屈服應力；B1、m與材料有關的參數3. 有初始屈服應力的剛塑性硬化直線（圖5-5c）表達式：式中 B2硬化系數，近似取 B2 (Sb s)/b4. 無加工硬化的水平直線（圖5-5d）S sS s B2 第二節 金屬塑性成形中的摩擦 摩擦的概念互相接觸的兩物體在壓力的作用下，當沿著接觸面有相對運動或相對運動的趨勢時，則接觸面間就有阻礙其運動的相互作用力，這種現象稱為摩擦。（一） 金屬塑性成形中摩擦的影響 優點：可利用摩擦阻力來控制金屬流動方向。 飛邊槽橋部的摩擦

53、保證金屬充填型腔。 軋制利用摩擦力使坯料咬入軋輥。a) 變形前b) 變形后 缺點：(1) 改變變形體內應力狀態(2) 引起不均勻變形，附加應力和殘余應力區為難變形區區為易變形區區為小變形區圖5-7 圓柱體坯料鐓粗時不均勻變形(3) 變形不均勻會使組織和性能不均勻(4) 產生附加應力由于各部分變形不均勻，因而引起其間相互平衡的內力及相應的應力，叫附加應力。(5) 產生殘余應力塑性變形的外力去除以后變形體內仍保留下來的應力稱為殘余應力。殘余應力的不良后果：尺寸形狀發生變化； 縮短制品的壽命；增大變形抗力； 降低金屬的塑性、沖擊韌性等。（5-1）（二）接觸表面上摩擦力的數學表達式常用的有：庫倫摩擦條

54、件和常摩擦條件1. 庫倫摩擦條件定義：認為摩擦符合庫倫定律，即摩擦力與接觸面上的正壓力成正比。數學表達式為：T P n或 nT摩擦力：摩擦切應力；n接觸面上的正壓應力；外摩擦系數(簡稱摩擦系數)。K Y摩擦系數的極限值為： 實用范圍：正壓力不太大、變形量較小的冷成形工序。（5-2）注意：摩擦切應力不能隨n的增大而無限制地增大，不能超過被加工金屬的剪切屈服強度，否則將產生塑性流動。剪切屈服強度K與拉伸屈服強度Y(真實應力)之間應滿足：0.50.5771 3 12（5-3）m為摩擦因子，取值范圍為0m1若m=1，=max=K，稱為最大摩擦條件。熱成形時，常采用最大摩擦力條件，比較方便。2. 常摩擦力條件定義：這一條件認為，接觸面上的摩擦切應力與剪切屈服強度K成正比，即mK第六章 塑性成型問題的解法 研究材料在不同模具和外力作用下發生變形時的應力、應變和流動狀態，是塑性成形理論的根本任務之一。 知道變形時的應力狀態，可以：計算變形力和功能消耗，合理選擇成形設備。通過力學分析，制定防止開裂的工藝。了解模腔內的壓力分布，合理設計模具。 知道變形時的應變和流動狀態，可以：預測金屬充填情況。預測是否產生折疊、缺肉等缺陷。預測流線是否合理 。求解變形時應力、應變的基本方程有：