1、第二講第二講 參數方程參數方程回歸課本回歸課本1.曲線的參數方程曲線的參數方程普通地普通地,在取定的坐標系中在取定的坐標系中,假設曲線上恣意一點的坐標假設曲線上恣意一點的坐標(x,y),都是某個變數都是某個變數t的函數的函數并且對于并且對于t取的每一個允許值取的每一個允許值,由方程組所確定的點由方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數方程那么方程就叫做這條曲線的參數方程,聯絡聯絡x,y之間關系的變數之間關系的變數t叫做參變數叫做參變數,簡稱參數簡稱參數.相對于參相對于參數方程而言數方程而言,直接給出點的坐標間關系的方程叫做曲線的直接給出點的坐標間關

2、系的方程叫做曲線的普通方程普通方程.( )( )xf tyg t2.直線的參數方程直線的參數方程經過點經過點M0(x0,y0),傾斜角為傾斜角為的直線的直線l的普通方程是的普通方程是y-y0=(x-x0)tan,而過而過M0(x0,y0),傾斜角為傾斜角為的直線的直線l的參數方程為的參數方程為參數參數t的幾何意義是表示直線的幾何意義是表示直線l上以定點上以定點M0為起點為起點,任任一點一點M(x,y)為終點的有向線段為終點的有向線段M0M的數量的數量.2 00().xxtcostyytsin為參數3.圓的參數方程圓的參數方程圓心為圓心為(a,b),半徑為半徑為r,以圓心為頂點且以圓心為頂點且x

3、軸同向的射線按逆時軸同向的射線按逆時針方向旋轉到圓上一點所在半徑成的角針方向旋轉到圓上一點所在半徑成的角的參數的圓的參的參數的圓的參數方程是數方程是,.xarcosybrsin4.橢圓的參數方程橢圓的參數方程以橢圓的離心角以橢圓的離心角為參數為參數,橢圓橢圓2222,0,)2 (.xacosybsinxyab1 ab0 的參數方程為考點陪練考點陪練1.(2010)cos(t)()A.B.C.D1,23.xtyt 湖南 極坐標方程和參數方程為參數 所表示的圖形分別是圓直線直線圓圓圓直線直線22222:cos ,cos ,xyx,xxy0,t,3xy 10,.A.1,23xtyt 解析即表示圓消

4、后 得表示直線故選答案答案:A222.0t5()A.B.C.D.321xtyt 參數方程 表示的曲線是線段雙曲線的一支圓弧射線解析解析:消去消去t,得得x-3y-5=0.0t5,-1y24.答案答案:A1122.1.1.13.xy.1t()Axt ytBysintysintCxcostycostDxtantytant把方程化為以 為參數的參數方程是答案答案:D12121(4.lt),ly3x4,ll_1 3.xtyt 設直線 的參數方程為為參數直線 的方程為則 與 間的距離為11222:l3xy20.ll|4( 2)|310.53( 1)d 解析 將 化為普通方程為與 間的距離10:35答案1

5、 5.3x4ym0(,),m_2_.xcosysin 若直線與圓為參數 沒有公共點 則實數 的取值范圍是22:,x1y21.|3 14 ( 2)|1,0.5m0m1m 解析 消去參數得直線與圓沒有公共點解得或答案答案:(-,0)(10,+)類型一類型一參數方程的概念參數方程的概念解題預備解題預備:參數方程與普通方程都是曲線的表示方式參數方程與普通方程都是曲線的表示方式,都可以都可以用來處理曲線的問題用來處理曲線的問題,用參數方程處置數學問題用參數方程處置數學問題,關鍵在于關鍵在于恰當地選擇參數恰當地選擇參數.102,2 ).,A(1B 2,.)12, 3xcosysin【典例 】已知參數方程判

6、斷點和是否在方程的曲線上 分析分析 利用參數方程判別時利用參數方程判別時,須看有無解須看有無解,也可利用普通方也可利用普通方程來判別程來判別.22222212322212,3:A B,0,2 ) ,.A,B.:,xy4.AB14,( 32154.A,B).cossincossin解 解法一 把 兩點的坐標分別代入方程組得或在內 式有解式無解點在曲線上點不在曲線上解法二 將參數方程化為普通方程將 、 坐標代入得點在曲線上點不在曲線上類型二類型二參數方程與普通方程的互化參數方程與普通方程的互化解題預備解題預備:曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同方曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同方式式

7、.普通地普通地,可以經過消去參數從參數方程得到普通方程可以經過消去參數從參數方程得到普通方程.假假設知道變數設知道變數x,y中的一個與參數中的一個與參數t的關系的關系,例如例如x=f(t),把它代把它代入普通方程入普通方程,求出另一個變數與參數的關系求出另一個變數與參數的關系y=g(t),那么那么就是曲線的參數方程就是曲線的參數方程.在參數方程與普通方程的互化中在參數方程與普通方程的互化中,必需使必需使x,y的取值范圍堅持的取值范圍堅持一致一致.),( )(xf tyg t 2(a,b),1t,?2t,?(a,b) 1sincosxsinycosasinbcos0.cossin,.,xatco

8、sybtsinxatcosybtsin【典例 】在方程為正常數 中當 為參數為常數時 方程表示何種曲線當 為常數為參數時 方程表示何種曲線解 方程是正常數得、不同時為零方程表示一條直線 222222222 2t,xaybt ,.t0,a,b .()()1,xacostybsintxaybtt當 為非零常數時 原方程組為 得即它表示一個圓當時 表示點 反思感悟反思感悟 把參數方程化為普通方程時把參數方程化為普通方程時,要留意哪一個是參要留意哪一個是參數數,并且要留意并且要留意x及及y的取值范圍的取值范圍.類型三類型三直線的參數方程直線的參數方程解題預備解題預備:利用直線的參數方程可使有些問題得到

9、簡捷的處利用直線的參數方程可使有些問題得到簡捷的處理理,特別是要求直線上某一定點到直線與曲線交點間隔時特別是要求直線上某一定點到直線與曲線交點間隔時通常要運用參數的幾何意義通常要運用參數的幾何意義,宜用參數方程的規范方式宜用參數方程的規范方式,而而對于某些比較簡單的直線問題比如直線和坐標軸或者與某對于某些比較簡單的直線問題比如直線和坐標軸或者與某條直線交點時宜用直線的普通方程條直線交點時宜用直線的普通方程.【典例【典例3】 知直線知直線l經過點經過點A(1,2),傾斜角為傾斜角為(1)求直線求直線l的參數方程的參數方程;(2)求直線求直線l和圓和圓x2+y2=9的兩個交點到點的兩個交點到點A的

10、間隔之積的間隔之積.分析分析 根據直線參數方程中參數根據直線參數方程中參數t的幾何意義的幾何意義,運用一元二次運用一元二次方程根與系數的關系求解方程根與系數的關系求解.3 2221 2221 2 1l(t).2xy91,232,2312222 3)40,:t(1t t4.tlxy9At t4.txyttxytt 解直線 的參數方程為為參數將代入得由參數 的幾何意義得直線 與圓的兩個交點到點 的距離之積為 反思感悟反思感悟 涉及過定點的線段長度或間隔常選用直線的參涉及過定點的線段長度或間隔常選用直線的參數方程數方程,直線的點斜式方程為直線的點斜式方程為y-y0=k(x-x0).其中其中k=tan

11、(90),為直線的傾斜角為直線的傾斜角,那么參數方程為那么參數方程為 00(t),.,xxtcosyytsin為參數類型四類型四圓圓(橢圓橢圓)的參數方程及簡單運用的參數方程及簡單運用:(),(,).xarcosybrsinxacosybsin解題準備 圓的參數方程的一般形式是為參數 橢圓的參數方程一般形式是為參數 這是考生應該熟練掌握的圓與橢圓的參數方程在解決曲線上的點到直線上的點的距離最值時是一個很好的工具NoImage 分析分析 (1)曲線曲線C1 C2的參數方程可經過適當變形采用平方的參數方程可經過適當變形采用平方消元的方法化為普通方程消元的方法化為普通方程,然后闡明曲線然后闡明曲線;

12、(2)由中點坐標公由中點坐標公式式,用參數用參數表示出點表示出點M的坐標的坐標,將直線的參數方程化為普通將直線的參數方程化為普通方程方程,根據點到直線的間隔公式得到關于根據點到直線的間隔公式得到關于的函數的函數,轉化為求轉化為求函數的最值函數的最值. 2212123322 1 C : x4y31,CC4,3 ,1.C,x,8,3.2t,P4,4:1.649;Q 8cos ,3sin,MCx2y70,MCd4cos3sin13|5cos12324,2.32555c5|xycossin 解為圓心是半徑是 的圓為中心是坐標原點 焦點在 軸上 長半軸長是 短半軸長是 的橢圓當時且故為直線到的距離從而當

13、4,538 5.55ossin,d時取得最小值反思感悟反思感悟 此題綜合性地調查參數方程的根底知識和運用此題綜合性地調查參數方程的根底知識和運用,特別是第特別是第(2)問設計的非常新穎問設計的非常新穎,標題中的動點標題中的動點M實踐上也實踐上也構成一條曲線構成一條曲線,標題的要求就是求這條曲線上的點到直線標題的要求就是求這條曲線上的點到直線C3的間隔的最小值的間隔的最小值,這個最小值歸結為求關于參數這個最小值歸結為求關于參數的函數的函數的最小值的最小值.從第從第(2)問可以看出參數方程在解題中的優越性問可以看出參數方程在解題中的優越性.另外在另外在(2)問中問中,假設對于絕對值的函數方式變形不

14、對或以假設對于絕對值的函數方式變形不對或以為為cos(+)=-1時取最小值時取最小值,從而得出錯誤結論從而得出錯誤結論.錯源錯源參數的幾何意義不明致誤參數的幾何意義不明致誤P,4,2 3OPxP_,_3.xcosysin【典例】設橢圓上一點使與 軸正方向所成角為則 點坐標為:,x2,y3,P 2,3 .,PPOx,.3剖析 本題容易產生如下錯誤 認為代入橢圓參數方程 得從而事實上 若注意 對應參數 與的關系 就可避免此類錯誤的發生P(4cos ,sin ),OPxtantan2.sin0,cos2 3,32 3,3452 5554 5 4 15,.550,cos,sin.Psincos正解 設與 軸正方向所成的角為即而點坐標為4 5 4 15,55答案00(),OPx.,(t),t,.,xacosybsinxxtcosyytsin評析 橢圓參數方程為參數 的參數 有特殊的 幾何意義即它表示離心角 則與 軸正方向所成角不同與此類似 對于直線參數方程為參數 來說 要分清 是參數 而 是直線的傾斜角技法技法分類討論分類討論 11(0).1t,?2,t,?xtsin ytcosttt【典例】已知