1、第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組第一部分第一部分電磁場分析的數學基礎電磁場分析的數學基礎第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組一、場與函數一、場與函數二、數學分析基礎二、數學分析基礎三、矢量分析基礎三、矢量分析基礎 電磁場分析的數理基礎電磁場分析的數理基礎級數展開級數展開極限極限微分微分積分積分!第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 本章

2、重點介紹與矢量場分析有關的數學基本章重點介紹與矢量場分析有關的數學基礎內容。礎內容。 矢量代數矢量代數 常用正交坐標系常用正交坐標系 標量場的標量場的梯度梯度 矢量場的矢量場的散度散度 矢量場的矢量場的旋度旋度 拉普拉斯運算拉普拉斯運算 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理本章內容本章內容本章重點本章重點第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示矢量可表示為：矢量可表示為： 其中其中 為為模值模值，表征矢量的，表征

3、矢量的大小大小； 為為單位矢量單位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向； 說明：矢量書寫時，說明：矢量書寫時，印刷體印刷體為場量符號加粗，如為場量符號加粗，如 。教材。教材上的矢量符號即采用印刷體。上的矢量符號即采用印刷體。1.1 矢量代數矢量代數1.1.1 標量和矢量標量和矢量 標量與矢量標量與矢量 標量：標量：只有大小，沒有方向只有大小，沒有方向的物理量的物理量( (電壓電壓U U、電荷量、電荷量Q Q、能量、能量W W等）等） 矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場強度）的物理量（作用力，電、磁場強度） 矢量的代數表示矢量的代數表示FEHBDAAeDA

4、AeAAAeA第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組xxyyzzAe Ae Ae AcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos )xyzAA eee 矢量用坐標分量表示矢量用坐標分量表示coscoscosAxyzeeeezAxAAyAzxyO第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.1.2 矢量代數運算矢量代數運算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()ABBAABCABC()()(

5、)xxxyyyzzzABeABeABe AB 矢量的加法和減法矢量的加法和減法說明：說明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交換律交換律和和結合律結合律： 2 2、矢量相加和相減可用、矢量相加和相減可用平行四邊形法則平行四邊形法則求解：求解： BAABBAABB第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組cosABxxyyzzA BA BA BA BA B 矢量的乘法矢量的乘法 矢量與標量相乘矢量與標量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A標量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。標量與矢量相乘

6、只改變矢量大小，不改變方向。 矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）()A BB AA BCA BA C 說明：說明：1 1、矢量的點積符合交換律和分配律：、矢量的點積符合交換律和分配律： 2 2、兩個矢量的點積為標量兩個矢量的點積為標量 ABABAB0A B /A BA BAB 3 3、第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA Be ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）說明：

7、說明：1 1、矢量的叉積、矢量的叉積不符合不符合交換律，但交換律，但符合符合分配律：分配律： 2 2、兩個矢量的叉積為矢量兩個矢量的叉積為矢量 ()A BBAABCA BA C 3 3、矢量運算恒等式、矢量運算恒等式()()()()()()A B CB CACA BAB CB A CC A B sinABBABA第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 三維空間任意一點的位置可通過三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交線的交點三條相互正交線的交點來確定。來確定。 在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標系為：在電

8、磁場與波理論中，三種常用的正交坐標系為：直角坐直角坐標系標系、圓柱坐標系圓柱坐標系和和球坐標系球坐標系。 三條正交線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為三條正交線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交坐標系正交坐標系；三條正交線稱為；三條正交線稱為坐標軸坐標軸；描述坐標軸的量稱為；描述坐標軸的量稱為坐坐標變量標變量。1.2 三種常用的正交坐標系三種常用的正交坐標系第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.2.1 直角坐標系直角坐標系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元

9、矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y體積元體積元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐標變量坐標變量, ,x y z坐標單位矢量坐標單位矢量,xyze e e 點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標系直角坐標系 xezeyex yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第一部分第一部分 矢量分析基礎電

10、磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.2.2 圓柱坐標系圓柱坐標系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐標變量坐標變量,zee e 坐標單位矢量坐標單位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 線元矢量線元矢量dd d dVz 體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系圓柱坐標系第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組說明：

11、說明：圓柱坐標系下矢量運算方法：圓柱坐標系下矢量運算方法：zzzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()()zzzABeABeABe AB() ()zzzzzzA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()zzzzzzzeeeA BAAAeA BA BeA BA BBBB()ze A BA B加減：加減：標積：標積：矢積：矢積：第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.2.3 球面坐標系球面坐標系2dd dsin d drrrSe lle r dd dsin d drzSel

12、le rrdd dd drSe l le r r球坐標系球坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元,r 坐標變量坐標變量,re e e 坐標單位矢量坐標單位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drrere re r 線元矢量線元矢量2dsin d d dVrr 體積元體積元面元矢量面元矢量第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組說明：球面坐標系下矢量運算：說明：球面坐標系下矢量運算： rrrrAe Ae Ae ABe Be Be B()()()rrrABe ABeABeAB()

13、()rrrrrrA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()()rrrrrrrreeeABAAABBBe A BA BeA BA BeA BA B加減：加減：標積：標積：矢積：矢積：第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.2.4 坐標單位矢量之間的關系坐標單位矢量之間的關系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標直角坐標與與圓柱坐標系圓柱坐標系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標圓柱坐標與與球坐標系球坐標系直角坐標直角坐標與與球坐標系球坐

14、標系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系xeyeeeorz單位圓單位圓 柱坐標系與球坐標系之間柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系zeeree第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組三種坐標系有不同適用范圍：三種坐標系有不同適用范圍：1 1、直角坐標系適用于場呈、直角坐標系適用于場呈面對稱分布面對稱分布的問題求解，如無限大的問題求

15、解，如無限大面電荷分布產生電場分布。面電荷分布產生電場分布。2 2、柱面坐標系適用于場呈、柱面坐標系適用于場呈軸對稱分布軸對稱分布的問題求解，如無限長的問題求解，如無限長線電流產生磁場分布。線電流產生磁場分布。3 3、球面坐標系適用于場呈、球面坐標系適用于場呈點對稱分布點對稱分布的問題求解，如點電荷的問題求解，如點電荷產生電場分布。產生電場分布。第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組課外學習實訓課外學習實訓一、學習報告一、學習報告 將位于球坐標系下的將位于球坐標系下的P點（點（1，30，90）處的矢量）處的矢量

16、 ，先在直角坐標系下表示出其表達式，然后再將所得，先在直角坐標系下表示出其表達式，然后再將所得到的表達式，重新表達成球坐標系下表出。到的表達式，重新表達成球坐標系下表出。 則將得到如下則將得到如下悖論悖論： 推導此悖論并分析產生此悖論的原因。在此基礎上，撰推導此悖論并分析產生此悖論的原因。在此基礎上，撰寫一篇關于對三個常用坐標系單位坐標矢量認識的學習報告，寫一篇關于對三個常用坐標系單位坐標矢量認識的學習報告，并另外設計一個類似的悖論。并另外設計一個類似的悖論。eAeerA第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1

17、.3 標量場的梯度標量場的梯度q 如果物理量是標量，稱該場為如果物理量是標量，稱該場為標量場標量場。 例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 例如例如：流速場、重力場、電場、磁場等。：流速場、重力場、電場、磁場等。q 如果場與時間無關，稱為如果場與時間無關，稱為靜態場靜態場，反之為，反之為時變場時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：時變標量場和矢量場可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 確定空間區域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區確

18、定空間區域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區域上定義了一個域上定義了一個場場。從數學上看，場是定義在空間區域上的函數：從數學上看，場是定義在空間區域上的函數： 標量場和矢量場標量場和矢量場( , , )u x y z 、( , , )F x y z靜態標量場和矢量場可分別表示為：靜態標量場和矢量場可分別表示為：第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.3.1 標量場的等值面標量場的等值面標量場的等值線標量場的等值線( (面面) )等值面等值面: : 標量場取得同一數值的點在空標量場取得同一數值的點在空

19、間形成的曲面。間形成的曲面。( , )u x y zC等值面方程等值面方程：常數常數C C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。標量場的等值面互不相交。 等值面的特點等值面的特點：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態。的分布狀態。第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.3.2 方向導數方向

20、導數表征空間表征空間某點處某點處標量場場值沿標量場場值沿特定方向特定方向變化率。變化率。 方向導數定義：方向導數定義：000()()limlMu Mu Mull M0Mll( )u rcoscoscosuuuxyz 的方向余弦。的方向余弦。 coscoscos、l 方向導數物理意義：方向導數物理意義：00Mul，標量場，標量場 在在 處沿處沿 方向增加率；方向增加率；u0M00Mul，標量場，標量場 在在 處沿處沿 方向減小率；方向減小率；u0Mll00Mul，標量場，標量場 在在 處沿處沿 方向為等值面方向（無改變）方向為等值面方向（無改變）u0Ml第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁

21、波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組方向導數既與方向導數既與點點M M0 0有關有關，也與，也與方向方向有關。有關。問題問題： 在什么方向上變化率最大在什么方向上變化率最大? ? 最大的變化率為多少？最大的變化率為多少？梯度梯度第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 梯度的定義梯度的定義max( , , )lugradu x y zel式中：式中： 為場量為場量 最大變化率最大變化率的方向上的單位矢量。的方向上的單位矢量。le 梯度的性質梯度的性質 標量場的梯度為標量

22、場的梯度為矢量矢量，且是坐標位置的函數，且是坐標位置的函數 標量場梯度的幅度表示標量場的標量場梯度的幅度表示標量場的最大變化率最大變化率 標量場梯度的方向標量場梯度的方向垂直于垂直于等值面，為標量場等值面，為標量場增加最快增加最快的方向的方向 標量場在給定點沿任意方向的標量場在給定點沿任意方向的方向導數方向導數等于等于梯度在該方向投影梯度在該方向投影1.3.3 標量場的梯度標量場的梯度u第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 梯度的運算梯度的運算1rzuuuueeerrz 11sinruuuueeerrr 直角

23、坐標系：直角坐標系：()xyxyzzuuueeexgrad ueeexzzuyy哈密頓算符u 球面坐標系：球面坐標系：11()sinreeerrr 柱面坐標系：柱面坐標系：1()rzeeerrz 第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組0()()()( )( )CCuCuuvuvuvuvvuf ufuu 梯度運算相關公式梯度運算相關公式式中：式中： 為常數；為常數； C,u v為坐標變量函數；為坐標變量函數； 第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電

24、磁場與電磁波課程組1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1. 1. 矢量線矢量線 意義：意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態。布狀態。ddd( , , )( , , )( , , )xyzxyzF x y zF x y zF x y z矢量線方程：矢量線方程：概念：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fdrrrdr第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課

25、程組矢量場的通量矢量場的通量 ( )SF rd S 若矢量場若矢量場 分布于空間中，在分布于空間中，在空間中存在任意曲面空間中存在任意曲面S S，則定義：，則定義：( )F r為為矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。1.4.2 1.4.2 矢量場的通量矢量場的通量( )F r問題問題：如何定量描述矢量場的大小？如何定量描述矢量場的大小？ 引入引入通量通量的概念。的概念。 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ( )srd AS物理意義：表示穿入和穿出閉合面物理意義：表示穿入和穿出閉合面S S的通量的的通量的代數和代數和。 第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子

26、科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組cos ( )nsssF dSF e dSFr dS 3) 3) 1) 1) 面元矢量面元矢量 定義：面積很小的定義：面積很小的有向有向曲面。曲面。dS：面元面積，為微分量，：面元面積，為微分量，無限小無限小dSne：面元法線方向，：面元法線方向，垂直于垂直于面元平面。面元平面。說明：說明： nedS2) 2) 面元法向面元法向 的確定方法：的確定方法： 對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手右手螺旋法則螺旋法則確定；確定； 對閉合曲面：閉合面對閉合曲面：閉合面外法線方向外法線方向ne關于矢量場通量的說明關于

27、矢量場通量的說明第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 若若 ，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內有發，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內有發出矢量線的出矢量線的正源正源；0 若若 ，有凈的矢量線進入，閉合面內有匯集矢量線的，有凈的矢量線進入，閉合面內有匯集矢量線的負負源源；0 若若 ，進入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內，進入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內無無源源，或或正源負源代數和為正源負源代數和為0 0。0 通過閉合面通過閉合面S S的通量的物理意義：的通量的物理意義：000第一部分第一

28、部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.4.31.4.3、矢量場的散度、矢量場的散度 散度的定義散度的定義 在場空間在場空間 中任意點中任意點M M 處作一個閉合曲面，所圍的體積處作一個閉合曲面，所圍的體積為為 ，則定義場矢量，則定義場矢量 在在M M 點處的散度為：點處的散度為： ( )F rV0( )div( )limsVF rdF rVS( )F r即即流出單位體積元封閉面的通量，流出單位體積元封閉面的通量，體現了體現了點點M處的通量源密度。處的通量源密度。第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波

29、電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 散度的物理意義散度的物理意義 矢量場的散度表征了矢量場的矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性通量源的分布特性( (體密度體密度) )； 矢量場的矢量場的散度是標量散度是標量； 矢量場的散度是空間坐標的函數；矢量場的散度是空間坐標的函數； 矢量場的散度值表征空間中某點處矢量場的散度值表征空間中某點處通量源的密度通量源的密度。( ( 正源正源) )( )0divF r 負負源源) )( )0divF r( ( 無源無源）( )0divF r 若若 處處成立，則該矢量場稱為處處成立，則該矢量場稱為無散場無散場 若若 ，則該矢量場

30、稱為，則該矢量場稱為有散場有散場， 為源密度為源密度( )0divF r( )0divF r 討論：在矢量場中，討論：在矢量場中，第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 在直角坐標系下：在直角坐標系下：( )yxzFFFdivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF eF exyz( )F r 在圓柱坐標系下：在圓柱坐標系下： 在球面坐標系下：在球面坐標系下：()11( )rzFrFFF rrrrz22111( )()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr 散度的計算散度的計算第一部分第

31、一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 散度運算相關公式散度運算相關公式0 ()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 為常矢量為標量函數為常數1.4.4 散度定理（矢量場的高斯定理）散度定理（矢量場的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 該公式表明了矢量場該公式表明了矢量場 的散度在體積的散度在體積V內的積分等于矢量場穿內的積分等于矢量場穿過包圍該體積的過包圍該體積的邊界面邊界面S S的通量。的通量。( )F r第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電

32、子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.5 矢量場的環流矢量場的環流 旋度旋度磁感應線要磁感應線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應線要么同時磁感應線要么同時穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應線磁感應線磁場的環流：磁場的環流：第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.5.1 1.5.1 矢量的環流矢量的環流在場矢量在場矢量 空間中，取一有向閉合空間中，取一有向閉合路徑路徑 ，則稱，則稱 沿沿 積分的結果稱積分的結果稱為矢量為矢量 沿沿 的環流。即：的環流。即：( )F r( )F r( )F

33、r( )lF rdl 線元線元矢量矢量 ：長度趨近于：長度趨近于0 0，方向沿路徑切線方向。，方向沿路徑切線方向。dl 環流意義：若矢量場環流不為零，則矢量場中存在產生環流意義：若矢量場環流不為零，則矢量場中存在產生矢量場的漩渦源。矢量場的漩渦源。反映矢量場漩渦源分布情況反映矢量場漩渦源分布情況討論：討論：SSn 環量的定義APllll第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.5.2 1.5.2 矢量的旋度矢量的旋度 環流面密度環流面密度0limcnsF dlrot FS 稱為矢量場稱為矢量場 在在M M點處沿

34、點處沿 方向的漩渦源密度方向的漩渦源密度。( )F r n定義：定義：空間某點空間某點M M處單位面元邊界閉合曲線的環流：處單位面元邊界閉合曲線的環流：SCMFn1)1)環流面密度大小與所選取的單位面元方向環流面密度大小與所選取的單位面元方向 有關。有關。nrotnnFe rotF（投影關系）2) 任意取向面元的環流面密度與最大環流面密度的關系：任意取向面元的環流面密度與最大環流面密度的關系：第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 矢量場的矢量場的旋度旋度 矢量場在矢量場在M M點的旋度為該點處點的旋度為該點處

35、環流面密度最大時環流面密度最大時對應的矢量，對應的矢量，模值等于模值等于M M點處最大環流面密度點處最大環流面密度，方向為，方向為環流密度最大的方向環流密度最大的方向，表，表示為示為 ，即：，即：rot F式中：式中： 表示矢量場旋度的方向；表示矢量場旋度的方向； nmax0rotlimcSF dlFnS 旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度為矢量的旋度為矢量矢量，是空間坐標的函數，是空間坐標的函數 矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度漩渦源密度第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場

36、與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 旋度的計算旋度的計算 直角坐標系：直角坐標系：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzF xyzxyzeeexyzFFF第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 柱面坐標系：柱面坐標系： 球面坐標系：球面坐標系：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標量場的梯度標

37、量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零()fFfFfF ()fCfC 0C ()FGFG ()FGGFFG ()0F ()0u 旋度計算相關公式：旋度計算相關公式：證明證明證明證明第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組討論：散度和旋度比較討論：散度和旋度比較 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.5.3 1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlA

38、e由旋度的定義 對于有限大面積s，可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有)11()clA dAdS 22()clA dAdS ()sAdS clA d()SlA dSA dl斯托克斯定理的證明：得證！ 意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環流。該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環流。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 若矢量場若矢量場 在某區域在某區域V V內，處處內，處處

39、，但在某些位，但在某些位置或整個空間內，有置或整個空間內，有 ，則稱在該區域，則稱在該區域V V內，場內，場 為無旋場。為無旋場。 1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.6.1 1.6.1 無旋場無旋場0F0F( )F r( )F r( )( )0cSF rdlF rdS結論：結論：無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環流等于零無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環流等于零( (無漩渦源無漩渦源) )。 重要性質重要性質：無旋場的旋度始終為無旋場的旋度始終為0，可引入標量輔助函數可引入標量輔助函數表征矢量場，即表征矢量場，即Fu 例如：靜電場例如：靜電場0EE 第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電

40、磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.6.2 1.6.2 無散場無散場 若矢量場若矢量場 在某區域在某區域V V內，處處內，處處 ，但在某些位置，但在某些位置或整個空間內，有或整個空間內，有 ，則稱在該區域，則稱在該區域V V內，場內，場 為為無源有旋場。無源有旋場。 ( )F r0F0FJ( )F r( )( )0SVF rdSF r dV結論：結論：無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）。 重要性質：重要性質：無散場的散度始終為無散場的散度始終為0，可引入矢量函數的旋度表示無散場，可引入矢量函數

41、的旋度表示無散場FA 例如，恒定磁場例如，恒定磁場BA 0B第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組（3 3）無旋、無散場）無旋、無散場 （源在所討論的區域之外）（源在所討論的區域之外）0F （4 4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分( )( )( )( )( )lCF rF rFru rA r 無旋場部分無旋場部分無散場部分無散場部分()0u Fu 20u0F 第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技

42、大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.7 拉普拉斯運算拉普拉斯運算v 標量場的拉普拉斯運算標量場的拉普拉斯運算對標量場的梯度求散度的運算稱為拉普拉斯運算。記作：對標量場的梯度求散度的運算稱為拉普拉斯運算。記作：2uu 2“”式中：式中：稱為拉普拉斯算符。稱為拉普拉斯算符。v 在直角坐標系中：在直角坐標系中：2222222uuuuxyzv 在圓柱坐標系中：在圓柱坐標系中：22222211()uuuuzv 在球面坐標系中：在球面坐標系中：(1.7.3)(1.7.3)第一部分第一部分 矢量分析基礎電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組v 矢量場的拉普拉斯運算矢量場的拉普拉斯運算2()()FFF 在直角坐標系中：在直角坐標系中：2222xxyyzzFeFeFeF第一部分第一部分 矢