1、下學期高二數學 5 月月考試題 06時間：120 分滿分：150 分一、選擇題(每小題 5 分，共 50 分)11. 下列各數：-4i,5 i2,5 _ 3,中虛數的個數是1 -iA. 1 B . 2 C . 3 D. 42.曲線y=ln x 2在點P -1,0處的切線方程是A.y = x 1B. y - -x1C.y = 2x 1D.y - -2x 13.復數z滿足(z -i)i1 =2 i，貝U z -A._1 _i B1 -iC.-1 3iD.1 -2i4.用反證法證明命題:“關于x方程2ax bx c二0(a-0)最多有兩個實數根”( )假設中正確的是A.只有兩個實數根C.至少有兩個實

2、數根E.最少三個實數根D.少于三個實數根5.設函數f(x)的導函數為f (x)，且f(xx22x f (1) 2則函數f(x)的單調增區間為(4,：)C. ( 2/；4 )D. (-2,：-)26.設函數f(x)lnx,則x1A.x為f (x)的極小值點B2C. f (x)的單減區間為-:,21Dx = 2為f (x)的極大值點f (x)0恒成立7.已知x 0，由不等式1、cl 1c丄4 x丄x丄4、小xx 4x _2. x ”=2,x二2-3,-2 =3川I ,可以推出結論x V xx 22 x 2 2 xa*x n - n 1( n N),則a=xA.2nB .3nC .n2D8如圖，正四

3、棱錐P-ABCD的所有棱長相等，E為PC的中點，則異面直線BE與PA所成角的余弦值是()(第 8 題圖)-3 -A. -B .C .2239.函數f (x) =x3 ax _2l nx在1,=的值恒為非負，貝Ua的取值范圍是L 1,亠jD .1, :遞增區間是A . (e, 4) B . (3, 6) C . ( 0,e) D . (2, 3)二、填空題(每小題 5 分，共 25 分)1復數1-在復平面上對應的點的坐標是i函數y = alnx - x在x=1 處取得極值，則a的值為如果一條直線和一個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內的射影垂直;10.我們常用g(x)的函數的導數

4、：先兩邊同取自然對數得:In y二g(x)ln f (x)，再兩邊同時求導得到:丄y=g(x)lnf(x) g(x)1yf(x)f(x)，于是A得到：八閱伽x)lnf(x)g(x)帀f(x),運用此方法求得函數y = XX的一個單調11.12.13.用數學歸納法證明等式12 1 (n 3)=(n 3)(n4)(門J)時，第一步驗證時,成立的等式是14.已知二面角：- PQ -為一，A :,B，3R為線段AC的中點，ACP=/BCP，CA=CB6則直線BR與平面:-所成角的大小為15.下列結論:-4 -十z -i = 2的復數z在復平面上對應點的軌跡是橢圓。真命題的序號是、選擇題(每小題 5 分

5、，共 50 分)定義運算向量a，有a=ad -be，復數 z 滿足=1i，則復數z的模為、5；=a；類比復數z，有z - z；滿足條件-5 -x 1,亠.1 - ln x - x3_ 0即g (x)三0所以g(x)在X 1, V上單減，則g(x)max二g(1) =-12= -1，故a _ -1,選C。110由f(x) =x,g(x)，則f(x) =1,g(x) = -2，所以y=x-g Inx11xllnX，由XX XXXXy=%祁X0得1-lnx 0，解得0：x：e，即增區間為（0,e），選 C.x14 .過B作BD _ PQ于D，連接DA，易知.BDA為二面角-PQ -：的平面角，又直線

6、BR與平面:-所成的角，由BM _，BM = MR二，得.BRM =。24三、解答題（每小題 12 分，共 48 分）若z z = 4 3i，求復數Z1；16.解：z = 1 2i4 3i1 2i=2 i題號12345678910選項BABBCDDDCC或1 2 3 4 = 10214、 或4515、47.第 3 個式子:XXX=+333=4知a =33猜想：x冷 _n 1(n N*)時，a = nn選 D.X一如x2，設g（x）2ln x2x，xg (x)二-AD =BD =1，所以，ADB為等邊三角形，取DA中點M，連接MR，易知BRM為16.（本小題滿分 12 分）已知復數z = 1 -

7、 2i（i為虛數單位）,把復數z的共軛復數記作z,、填空題（每小題 5 分，共 25 分）11、(1,-1)12、-113x a9.由題意,x3ax - 21n x亠0,得a-6 -(5 分)(12 分)-7 -17.(本小題滿分 12 分)如圖：ABC內接于圓0,G,H分別是AE,BC的中點，AB是圓0的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形,且DC_平面ABC證明：(1)GH/ 平面ACD;(2)平面ACD_平面ADE;17.證明：(1 )取AD中點M，連接MG,MC1則MG一DECH,.四邊形為平行四邊形，故GHMC2又MC面ACD,. GH /面ACD .(6 分)(2)易證：CB_ 面AC

8、D，而DE/BC,DE_ 面ACD又DE面ADE,.平面ACD_平面ADE .（12 分）18.(本小題滿分 12 分)已知函數g(x) =x2-3x - In x(x 0)(I)求函數g(x)的單調區間；(n)求函數g(x)在區間-,e上的最小值;11221 2x - - 3x 1（2x -1）（x -1） /18解：（1）g （x） =2x -3（x 0）（ 4分）xxx11由g （x）0得x或x 1； 由g（x）： ： ：0得x 1；（ 6 分）221 1所以函數g（x）的單調增區間為（0,寸）,（1,：）（或（0寸,1,：）,1 1單調增區間為（3,1）（或,1）。. （ 8 分）(2

9、)由(1)可知，x=1為g(x)在區間 丄，e的極小值點，也是最小值點,IL2故函數g（x）在區間!,e上的最小值為g（1） =12-3 1 In1 = 2.（ 12 分）19.(本小題滿分 12 分)如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD =2, AB =1, PA_平面ABCD,A第 17 題圖B-8 -PA =1,E為BC的中點(1)求點 C 到面 PDE 的距離；(2) 求直線PC與面PDE所成角的正弦值；-9 -(3)探究：在線段BC上是否存在點N使得二面角P-ND-A的平面角大小為三.試確定點4N的位置.19.(1)幾何法:-10 -連接AE，易得AE二DE =.,2，而AD = 2

10、ADE為直角三角形，故AE _ DE又PA_ 面ABCD，所以PA _ DE，DE_ 面APE11 L，SPEDPE DE 3 .2221又SECD-CE由V_CDE= VC_PDE，設點 C 到面 PDE 的距離為d，1則3 SCDE3PA J SPDEd，得d636(2)由(1)直線PC與面PDE所成角的正弦值sinv -PC(3)坐標法:建立如圖所示，空間直角坐標系，設N(1,a,0)(0 : a :：: 2)，則PN =(1,a, -1)，PD =(0,2,1)設n = (x, y, z)為平面PND的法向量，則n卩N =0 x ay _ z = 0斗2y -z=0 x = (2 -

11、a) y，令y =1z -2y則n =(2 -a,1,2) .|n (2 -a)21 4a2-4a 9又AP_面AND,所以AP =(0,0,1)為平面AND的一個法向量。I,罔=n AP22得a _ 4a +1 = 0解得:.a2-4a 9 1即點N在線段BC上距B點的2 -處。(12 分)20.(本小題滿分 13 分)若不等式11a對一切正整數 n 都成立，求正n+1n+23n+124整數 a 的最大值，并證明結論.20.解：當n=1 時，11a，即26，所以a: 26.1 +1 1+23 +1242424而 a 是正整數，所以取 a=25 ,. ( 4 分)(-11 -F面用數學歸納法證

12、明:(1)當n =1時，已證；.(5 分)哲.丄24|( 3k 2所以當n =k 1時不等式也成立.21.(本小題滿分 14 分)已知函數f(x) = ex-ax-1(a .0,e為自然對數的底數).求函數f(x)的單調區間；記函數f (x)的最小值為g(a)，求g(a)取最大值時實數a的值；在的條件下，證明：(l)n (Z)n(丄乜十(n)n：e(其中nN*).n nn n e 121.解：(1)由題意a 0, f ()x = e -a，由f(X=e -a=0得x =l na.( 3 分)當x (-：, In)a時,f (x) =0； 當x (In,a：)時，f (x) 0. f (x)在(，l n a)單調遞減，在(In a,：)單調遞增.即f (x)在x =1 na處取得極小值，且為最小值，f(x)min=f(In a) =elna-al na_1=a_al na-1.( 6 分)由g (a) =1 - lna -1 = lna = 0得a = 1.g(a)在區間(0,1)上單調遞增，在區間(1,上單調遞減g(a)在a=1處取得極大值g(1)=0由(2)知，因為a =1，所以對任意實數x均有kx二nkW(en)n(3)(n N *,k =0,1,2,3，,n -1).(eXx10 0，即1 xk, 貝U0:1wn10 分)xe.k(1嗎n(1)n(