1、可測函數空間的完備性學生姓名：張權 指導老師：宋儒瑛太原師范學院數學系14011班 山西·太原 030012【內容提要】 是定義在上的 Lebesgue可測函數全體構成的可測函數空間,假設,引入距離 ,那么為度量空間。在本文中，獲得一個主要結論：可測函數空間中,只要每一個Cauchy函數列 依測度收斂于某一可測函數，那么這樣的空間就是完備的。【關鍵詞】 可測函數 度量空間 完備性在定義積分時，對被積函數的一個根本要求是這個函數必須是可測的。所以，可測函數是一類很廣泛的函數。特別是Lebesgue可測函數更為廣泛。我們知道,實數域有一條重要性質,即其中任一滿足柯西條件的序列必收斂.這條

2、性質稱為實數域的完備性,在數學分析中有重要作用。本文試圖對定義在上的 Lebesgue可測函數全體構成的可測函數空間的完備性做進一步的探討。 一、可測函數空間與度量空間設為上實值的可測函數全體，為Lebesgue測度，假設。對任意兩個可測函數及，由于。故這是X上的可積函數。令 如果把中兩個幾乎處處相等的函數視為中同一元；那么按上述距離成為度量空間。下面驗證一下：在中任取及。0顯然。假設，當且僅當，也是顯然的。 因為，所以。 注意函數求導大于0是單調上升的，那么，任取有 從而上的實值Lebesgue可測函數有由前面知，上式兩邊均可積分。那么 即，。所以，按構成度量空間。二、可測函數空間的完備性

3、定義：Cauchy點列或根本點列：在度量空間中，是中的點列，如果對于任意正數，在自然數，使得當時，必有。那么稱是中的Cauchy點列或根本點列。如果度量空間中每個柯西點列都收斂，那么稱是完備的度量空間。 的完備性：設及分別是中的點列和點，那么點列收斂于的充要條件是函數列依測度收斂于。證明：充分性：假設依測度收斂于，那么對任何的，有。對任意給定的正數(不妨設).取，那么，對于這個，由依測度收斂于，存在自然數,使時，。所以， 即必要性：假設對任何的，由于 故，且，由此可知。即依測度收斂于。【結論】可見，可測函數空間中,只要每一個Cauchy函數列 依測度收斂于，那么這樣的空間就是完備的。 三、一個

4、例子在這個例子中，將用到一個引理：假設柯西列內有收斂子序列，那么它本身是收斂序列。例：可測函數空間是完備的。證明：設是柯西列，任取，有自然數，使得對每一對，都有。據此，對每一自然數可以找到一個自然數, 使它滿足條件：由此得，。由Levi定理知級數在 上幾乎處處收斂。任取它的一個收斂點，那么對充分大的總有 。因為當時，有。由于是收斂點，故產生矛盾。于是，對充分大的總有。由此得，收斂。從而便知在幾乎處處收斂。這相當于序列的幾乎處處收斂。由于幾乎處處收斂蘊含依測度收斂，那么是一依的距離收斂的序列。而它是的子列，故是依測度收斂的。從而證明了的完備性。【參考資料】1 孫永生等 ? 泛函分析講義? 北京師

5、范大學出版社 北京 1986,52 侯友良等 ?實變函數根底? 武漢大學出版社 武漢 2002,33 程其襄等 ?實變函數與泛函分析根底? 高等教育出版社 北京 2002,14 許天周等 ?應用泛函分析根底? 科學出版社 北京 2003,6The Completion of Measurable Function SpaceName of the student ,Zhang quan Sponsor,Song ruying(Mathematics department of Taiyuan teachers college,class14011 Shanxi·Taiyuan 030

6、012)【Abstract】 is a measurable function space which defined on the and is made up of the whole measurable function of Lebesgue . If exists andwe bring into . We can info is a metric space .In this thesis ,we can get an important conclusion “in the measurable function space ,only if each Cauchy function sequence , converges at measurable with measurement, the space is complete .【Key words】 measurable function , metric