1、指數函數、對數函數·例題解析（一） 【例1】求下列函數的定義域與值域：解 (1)定義域為x|xR且x2值域y|y0且y1(2)由2x+210，得定義域x|x2，值域為|y|y0(3)由33x-10，得定義域是x|x2，033x13，1.指數函數Y=ax （a>0且a1）的定義域是R，值域是（0，+）2. 求定義域的幾個原則：含根式（被開方數不為負）含分式，分母不為形如a0,(a 0)3. 求函數的值域:利用函數Y=ax單調性函數的有界性(x20;ax>0)換元法.如:y=4x+6×2x-8(1x2) 先換元,再利用二次函數圖象與性質(注意新元的范圍)【

2、例2】指數函數yax，ybx，ycx，ydx的圖像如圖262所示，則a、b、c、d、1之間的大小關系是 Aab1cd Bab1dcC ba1dc Dcd1ab解 選(c)，在x軸上任取一點(x，0)，則得ba1dc【例3】比較大?。?3)4.54.1_3.73.6解 (3)借助數4.53.6打橋，利用指數函數的單調性，4.54.14.53.6，作函數y14.5x，y23.7x的圖像如圖263，取x3.6，得4.53.63.73.6 4.54.13.73.6說明 如何比較兩個冪的大?。喝舨煌紫然癁橥椎膬?，再利用指數函數的單調性進行比較，如例2中的(1)若是兩個不同底且指數也不同的冪比較大小時

3、，有兩個技巧，其一借助1作橋梁，如例2中的(2)其二構造一個新的冪作橋梁，這個新的冪具有與4.54.1同底與3.73.6同指數的特點，即為4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)【例5】作出下列函數的圖像：(3)y2|x-1|(4)y|13x|解 (2)y2x2的圖像(如圖265)是把函數y2x的圖像向下平移2個單位得到的解 (3)利用翻折變換，先作y2|x|的圖像，再把y2|x|的圖像向右平移1個單位，就得y2|x-1|的圖像(如圖266)解 (4)作函數y3x的圖像關于x軸的對稱圖像得y3x的圖像，再把y3x的圖像向上平移1個單位，保留其在x軸及x軸上方部分不變，把x軸下方的圖像以

4、x軸為對稱軸翻折到x軸上方而得到(如圖267)變式練習：用函數單調性定義證明a1時，y = ax是增函數.【解析】設x1，x2R且x1x2，并令x2 = x1 + h (h0，hR)，則有，a1，h0，即故y = ax (a1)為R上的增函數，同理可證0a1時，y = ax是R上的減函數.變式練習2： 求函數y=（）的單調區間，并證明之.解：在R上任取x1、x2，且x1x2，則=（）（x2x1）（x2+x12）為指數 ， x1x2，x2x10.當x1、x2（，1時，x1+x220.這時（x2x1）（x2+x12）0，即1.y2y1，函數在（，1上單調遞增.當x1、x21，+）時，x1+x220

5、，這時（x2x1）（x2+x12）0，即1.y2y1，函數在1，+上單調遞減. 綜上，函數y在（，1上單調遞增，在1，+）上單調遞減.小結：上述證明過程中，在對商式正負判斷時，利用了指數函數的值域及單調性合作探究：在填空、選擇題中用上述方法就比較麻煩，因此我們可以考慮用復合函數的單調性來解題. 解法二、（用復合函數的單調性）：設： 則： 對任意的，有，又是減函數 在是減函數對任意的，有又是減函數 在是增函數。在該問題中先確定內層函數（）和外層函數（）的單調情況，再根據內外層函數的單調性確定復合函數的單調性.例題7 換元法 先換元,再利用二次函數圖象與性質(注意新元u的范圍)當x0時，函數y有最大值為1函數的有界性(x20;ax>0).小結：上述證明過程中，在求x的范圍時，逆向利用了指數函數的值域及逆向利用了指數函數的單調性，是關鍵及難點。變式練習：求函數的值域解：定義域為.且.故的值域為.【小結】求與指數函數有關的函數的值域時，要注意到充分考慮并利用指數函數本身的要求，并利用好指數函數的單調性.(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)證明f(x)在區間(，)上是增函數解 (1)定義域是R<