1、1第第4章章 正交試驗設計與數據處理正交試驗設計與數據處理 在生產實踐中，試制新產品、改革工藝、尋求好的生產條件等，在生產實踐中，試制新產品、改革工藝、尋求好的生產條件等，這些都需要做試驗，而試驗總是要花費時間，消耗人力、物力。因這些都需要做試驗，而試驗總是要花費時間，消耗人力、物力。因此，試驗的次數應盡可能少。此，試驗的次數應盡可能少。 全面試驗：全面試驗： 如如 4 個個 3 水平的因素，要做水平的因素，要做 3481 次試驗；次試驗； 6 個個 5 水平的因素，要做水平的因素，要做 5615625次試驗。非常困難。次試驗。非常困難。 能否減少試驗次數，而又不影響試驗效果呢？能否減少試驗次

2、數，而又不影響試驗效果呢？有有4.1 正交表及其用法正交表及其用法 正交表的記號：正交表的記號：L9（34）表示表示 4 個因素，每個因素取個因素，每個因素取 3 個個水平的正交表。格式如表水平的正交表。格式如表4-1所示。所示。24.1 正交表及其用法正交表及其用法 正交表記為正交表記為 Ln（mk），），m 是各因素的水平，是各因素的水平，k （列數）是因列數）是因素的個數，素的個數，n 是安排試驗的次數（行數）。是安排試驗的次數（行數）。 L9（34）4因素因素3水平正交試驗，共做水平正交試驗，共做9次試驗，而全面試驗要次試驗，而全面試驗要做做 34=81 次，減少了次，減少了72次。次

3、。 L25（56） 6因素因素5水平正交試驗，共做水平正交試驗，共做25次試驗，而全面試驗次試驗，而全面試驗要做要做 56=15625 次，減少了次，減少了15600次。次。 正交表的兩條重要性質：正交表的兩條重要性質： （1）每列中不同數字出現的次數是相等的，如）每列中不同數字出現的次數是相等的，如 L9（34），），每每列中不同的數字是列中不同的數字是1，2，3。它們各出現三次。它們各出現三次。 （2）在任意兩列中，將同一行的兩個數字看成有序數對時，每）在任意兩列中，將同一行的兩個數字看成有序數對時，每種數對出現的次數是相等的，如如種數對出現的次數是相等的，如如 L9（34），），有序數對

4、共有有序數對共有9個：個：（1，1），（），（1，2），（），（1，3），（），（2，1），（），（2，2），（），（2，3），），（3，1），（），（3，2），（），（3，3），它們各出現一次。），它們各出現一次。34.1 正交表及其用法正交表及其用法 由于正交表的性質，用它來安排試驗時，各因由于正交表的性質，用它來安排試驗時，各因素的各種水平是搭配均衡的。素的各種水平是搭配均衡的。 下面通過具體例子來說明如何用正交表進行試下面通過具體例子來說明如何用正交表進行試驗設計。驗設計。4 例例4.1 某水泥廠為了提高水泥的強度，需要通過試驗選擇某水泥廠為了提高水泥的強度，需要通過試驗選擇最好的生產

5、方案，經研究，有最好的生產方案，經研究，有3個因素影響水泥的強度，這個因素影響水泥的強度，這3個因素分別為生料中礦化劑的用量、燒成溫度、保溫時間，個因素分別為生料中礦化劑的用量、燒成溫度、保溫時間，每個因素都考慮每個因素都考慮3個水平，具體情況如表個水平，具體情況如表4-2，試驗的考察指，試驗的考察指標 為標 為 2 8 天 的 抗 壓 強 度 （天 的 抗 壓 強 度 （ M P a ） ， 分 別 為） ， 分 別 為44.1,45.3,46.7,48.2,46.2,47.0,45.3,43.2,46.3。問：對這。問：對這3個因素個因素的的3個水平如何安排，才能獲得最高的水泥的抗壓強度個

6、水平如何安排，才能獲得最高的水泥的抗壓強度? 解：在這個問題中，人們關心的是水泥的抗壓強度，我解：在這個問題中，人們關心的是水泥的抗壓強度，我們稱它為試驗指標，如何安排試驗才能獲得最高的水泥抗壓們稱它為試驗指標，如何安排試驗才能獲得最高的水泥抗壓強度，這只有通過試驗才能解決，這里有強度，這只有通過試驗才能解決，這里有3個因素，每個因素個因素，每個因素有有3個水平，是一個個水平，是一個3因素，因素，3水平的問題，如果每個因素的每水平的問題，如果每個因素的每個水平都互相搭配著進行全面試驗，必須做試驗個水平都互相搭配著進行全面試驗，必須做試驗33=27次，我次，我們把所有可能的搭配試驗編號寫出，列在

7、表們把所有可能的搭配試驗編號寫出，列在表4-3中。中。5例例4.1 進行進行27次試驗要花很多時間，耗費不少人力、物力，為了減少次試驗要花很多時間，耗費不少人力、物力，為了減少試驗次數，但又不能影響試驗的效果，因此，不能隨便地減少試驗，試驗次數，但又不能影響試驗的效果，因此，不能隨便地減少試驗，應當把有代表性的搭配保留下來，為此，按應當把有代表性的搭配保留下來，為此，按 L9（34）表中前表中前3列的列的情況從情況從27個試驗中選取個試驗中選取9個，它們的序號分別為個，它們的序號分別為1，5，9，11，15，16，21，22，26，將這，將這9個試驗按新的編號個試驗按新的編號19寫出來，正好是

8、正寫出來，正好是正交表交表 L9（34）的前的前3列，如表列，如表4-1所示。所示。 為了便于分析計算，把考查指標（鐵水溫度）列于表為了便于分析計算，把考查指標（鐵水溫度）列于表4-4的右的右邊，做成一個新的表邊，做成一個新的表4-5，利用張表進行分析計算。，利用張表進行分析計算。 從表從表4-5中的數據處理與分析，可以得出結論：各因素對考查中的數據處理與分析，可以得出結論：各因素對考查指標（抗壓強度）的影響按大小次序來說應當是指標（抗壓強度）的影響按大小次序來說應當是A(礦化劑用量礦化劑用量)、 B(保溫時間保溫時間)、 C(燒成溫度燒成溫度)，最好的方案應當是，最好的方案應當是A2C2B3

9、，即：即：6例例4.1 A2：礦化劑用量，礦化劑用量， 第第2水平，水平，4%； C2：保溫時間，保溫時間， 第第2水平，水平，30min； B3：燒成溫度，燒成溫度， 第第3水平，水平，1450。 得出的最好方案在已經做過的得出的最好方案在已經做過的9次試驗中沒有出現，與它比較次試驗中沒有出現，與它比較接近的是第接近的是第4號試驗，在第號試驗，在第4號試驗中只有號試驗中只有燒成溫度燒成溫度B不是處于最好不是處于最好水平，而且燒成溫度對抗壓強度的影響是水平，而且燒成溫度對抗壓強度的影響是3個因素中最小的。從實個因素中最小的。從實際做出的結果看出第際做出的結果看出第4號試驗中的抗壓強度是號試驗中

10、的抗壓強度是48.2MPa，是，是9次試驗次試驗中最高的，這也說明我們找出的最好方案是符合實際的。中最高的，這也說明我們找出的最好方案是符合實際的。 為了最終確定試驗方案為了最終確定試驗方案A2C2B3是不是最好方案，可以按這個是不是最好方案，可以按這個方案再試驗一次，若比方案再試驗一次，若比4號好，作為最好結果，若比號好，作為最好結果，若比4號差，則以號差，則以4號為最佳條件。如出現后一結果，說明我們的理論分析與實踐有號為最佳條件。如出現后一結果，說明我們的理論分析與實踐有一定的差距，最終還是要接受實踐的檢驗。一定的差距，最終還是要接受實踐的檢驗。7正交試驗步驟歸納如下：正交試驗步驟歸納如下

11、：1、確定要考核的試驗指標；、確定要考核的試驗指標；2、確定要考察的因素和各因素的水平；、確定要考察的因素和各因素的水平； 以上兩條要實踐經驗來決定。以上兩條要實踐經驗來決定。3、選用合適的正交表，一般只要正交表中的因素個數比試驗要考、選用合適的正交表，一般只要正交表中的因素個數比試驗要考察的因素的個數稍大或相等就行了。這樣既保證了試驗目的，而察的因素的個數稍大或相等就行了。這樣既保證了試驗目的，而試驗次數又不致太多，省工省時；試驗次數又不致太多，省工省時；4、試驗，測定試驗指標；、試驗，測定試驗指標；5、試驗結果分析計算，得出合理的結論。、試驗結果分析計算，得出合理的結論。 以上的方法以上的

12、方法直觀分析法。簡單、計算量小、很實用。直觀分析法。簡單、計算量小、很實用。 正交試驗的主要分析工具是正交表，而在因素及其水平都確正交試驗的主要分析工具是正交表，而在因素及其水平都確定的情況下，正交表并不是唯一的，常見的正交表見本書末定的情況下，正交表并不是唯一的，常見的正交表見本書末附表附表4。84.2 多指標的分析方法多指標的分析方法 在例在例4.1中，試驗指標只有一個，考察起來比較方便，但實際中，試驗指標只有一個，考察起來比較方便，但實際問題中，需要考察的指標往往不止一個，有時有兩個、三個或更問題中，需要考察的指標往往不止一個，有時有兩個、三個或更多。如何評價考察指標呢？多。如何評價考察

13、指標呢？兩種方法兩種方法。4.2.1 綜合平衡法綜合平衡法 通過具體的例子來加以說明。通過具體的例子來加以說明。 例例4.2 某陶瓷廠為了提高產品質量，要對生產的原料進行配方某陶瓷廠為了提高產品質量，要對生產的原料進行配方試驗。要檢驗試驗。要檢驗3項指標：抗壓強度、落下強度和裂紋度，前兩個指項指標：抗壓強度、落下強度和裂紋度，前兩個指標越大越好，第標越大越好，第3個指標越小越好。根據以往的經驗，配方有個指標越小越好。根據以往的經驗，配方有3個重個重要因素：水分、粒度和堿度。它們各有要因素：水分、粒度和堿度。它們各有3個水平，具體數據如表個水平，具體數據如表4-6所示。試進行試驗分析，找出最好的

14、配方方案。所示。試進行試驗分析，找出最好的配方方案。94.2.1 綜合平衡法（例綜合平衡法（例4.2的解）的解） 解解 3因素因素3水平，應選水平，應選L9（34）正交表來安排試驗，將正交表來安排試驗，將3個因個因素依次放在前素依次放在前3列（第列（第4列不要），得出一張具體的試驗方案表，列不要），得出一張具體的試驗方案表，測出需要檢驗的指標結果，列于表測出需要檢驗的指標結果，列于表4-7(a)、(b)、(c)中，然后用直觀中，然后用直觀分析法對每個指標分別進行計算分析。分析法對每個指標分別進行計算分析。 將將3 個指標分別進行計算分析后，得出個指標分別進行計算分析后，得出3個好的方案：對抗壓

15、個好的方案：對抗壓強度是強度是A2B3C1；對落下強度是對落下強度是A3B3C2；對裂紋度是對裂紋度是A2B3C1，這這3個個方案不完全相同，對一個指標是好方案，而對另一個指標卻不一方案不完全相同，對一個指標是好方案，而對另一個指標卻不一定是好方案，如何找出對各個指標都較好的一個共同方案呢？定是好方案，如何找出對各個指標都較好的一個共同方案呢？ 綜合分析，將指標隨因素水平變化的情況用圖形表示出來，綜合分析，將指標隨因素水平變化的情況用圖形表示出來，如圖如圖4.0所示（為了看得清楚，將各點用直線連接起來，實際上并所示（為了看得清楚，將各點用直線連接起來，實際上并不一定是直線。不一定是直線。 把圖

16、把圖4-1和表和表4-7結合起來分析，看每一個因素對各指標的影響。結合起來分析，看每一個因素對各指標的影響。10圖圖4.010.19.011.29.26.814.312.78.39.38.63.15.91.13.313.36.98.32.42.03.71.73.02.71.71.72.73.00.02.04.06.08.010.012.014.016.07894681.11.31.5水分水分 粒度粒度 堿度堿度-抗壓強度抗壓強度落下強度落下強度裂紋度裂紋度114.2.1 綜合平衡法（例綜合平衡法（例4.2的解的綜合分析）的解的綜合分析）（1）粒度）粒度B對抗壓強度和落下強度來講，極差最大，是最

17、大的影對抗壓強度和落下強度來講，極差最大，是最大的影響因素。從圖響因素。從圖4.0中看出三個指標中看出三個指標B均取均取8為最好為最好即取即取B3。（2）堿度）堿度C，極差不大，次要因素。由圖極差不大，次要因素。由圖4.0分析，取分析，取1.1時兩個指時兩個指標好，標好，1個指標稍差，對三個指標綜合考慮，個指標稍差，對三個指標綜合考慮，C取取1.1即取即取C1。（3）水分）水分A，對裂紋度影響極差最大，對裂紋度影響極差最大，A取取9最好，由圖最好，由圖4.0綜合考綜合考慮慮A取取9即取即取A2。 通過各因素對各指標影響的綜合分析，得出較好的試驗方案通過各因素對各指標影響的綜合分析，得出較好的試

18、驗方案是：是： B3：粒度取第粒度取第3水平，水平，8； C1：堿度取第堿度取第1水平，水平，1.1； A2：水分取第水分取第2水平，水平，9。124.2.2 綜合評分法綜合評分法 對多指標的問題，真正做到好的綜合平衡，有時很困難，這對多指標的問題，真正做到好的綜合平衡，有時很困難，這是綜合平衡法的缺點。綜合評分法可以克服這個缺點。是綜合平衡法的缺點。綜合評分法可以克服這個缺點。 例例4.3 某廠生產一種化工產品，需要檢驗兩個指標：核酸純某廠生產一種化工產品，需要檢驗兩個指標：核酸純度和回收率，這兩個指標都是越大越好。有影響的因素有度和回收率，這兩個指標都是越大越好。有影響的因素有4個，各個，

19、各有有3個水平，具體情況如表個水平，具體情況如表4-8所示。試通過試驗分析出較好方案，所示。試通過試驗分析出較好方案，使產品的核酸含量和回收率都有提高。使產品的核酸含量和回收率都有提高。 解解 這是這是4因素因素3水平的試驗，可以選用正交表水平的試驗，可以選用正交表L9（34）安排出安排出試驗方案（這里有試驗方案（這里有4個因素，正好將表排滿），進行試驗，將得出個因素，正好將表排滿），進行試驗，將得出的結果列入表的結果列入表4-9中。中。 綜合評分法是根據各個指標的重要性的不同，按照得出的試驗綜合評分法是根據各個指標的重要性的不同，按照得出的試驗結果綜合分析，給每一個試驗評出一個分數，作為這個

20、試驗的總指結果綜合分析，給每一個試驗評出一個分數，作為這個試驗的總指標。根據這個總指標作進一步的分析。標。根據這個總指標作進一步的分析。134.2.2 綜合評分法（例綜合評分法（例4.3的解）的解） 這個方法的關鍵是如何評分。這個方法的關鍵是如何評分。 在這個試驗中，兩個指標的重要性是不同的，根據實踐經驗知在這個試驗中，兩個指標的重要性是不同的，根據實踐經驗知道，純度的重要性大于回收率，從實際分析，可以認為純度是回收道，純度的重要性大于回收率，從實際分析，可以認為純度是回收率的率的4倍。也就是倍。也就是純度占權數為純度占權數為4，回收率占權數為，回收率占權數為1，按這個權數，按這個權數給出這個

21、試驗的總分為：給出這個試驗的總分為：總分總分4純度純度1回收率回收率 由上式計算出這個試驗的總分數，列于表由上式計算出這個試驗的總分數，列于表4-9的最右邊，再根的最右邊，再根據這個分數，用直觀分析法進行分析。據這個分數，用直觀分析法進行分析。 從表從表4-9看出，看出，A、D兩個因素的極差都很大，是對試驗影響兩個因素的極差都很大，是對試驗影響很大的兩個因素，很大的兩個因素，A1、D1為好；為好；B因素的極差比因素的極差比A、D的極差小，的極差小，對試驗的影響比對試驗的影響比A、D都小；都小；B因素取因素取B3為好；為好；C因素的極差最小，因素的極差最小，影響最小，影響最小，C取取C2為好。綜

22、合考慮，最好的試驗方案應當是為好。綜合考慮，最好的試驗方案應當是A1B3C2D1，按影響大小次序排列為：按影響大小次序排列為：144.2.2 綜合評分法（例綜合評分法（例4.3的解）的解）A1：時間，時間， 25小時；小時；D1：加水量，加水量， 1：6；B3：料中核酸含量，料中核酸含量，6.0；C2：pH值，值， 6.0。 可以看出，這里分析出來的最好方案，在已經做過的可以看出，這里分析出來的最好方案，在已經做過的9個試驗個試驗中是沒有的，可以按這個方案再試驗一次，看能不能得出比第中是沒有的，可以按這個方案再試驗一次，看能不能得出比第1號號試驗更好的結果，從而確定出真正最好的試驗方案。試驗更

23、好的結果，從而確定出真正最好的試驗方案。 綜合評分法是將多指標的問題，通過加權計算總分的方法化綜合評分法是將多指標的問題，通過加權計算總分的方法化成一個指標的問題，這樣對結果的分析計算都比較方便、簡單。成一個指標的問題，這樣對結果的分析計算都比較方便、簡單。但如何合理地評分，是最關鍵的問題。這一點只能依據實際經驗但如何合理地評分，是最關鍵的問題。這一點只能依據實際經驗來解決，單純從數學上是無法解決的。來解決，單純從數學上是無法解決的。154.3 混合水平的正交試驗設計混合水平的正交試驗設計 在實際情況中，有時做試驗時，每個因素的水平數是不同的在實際情況中，有時做試驗時，每個因素的水平數是不同的

24、混合水平混合水平。兩種解決方案。兩種解決方案。4.3.1 混合水平正交試驗設計混合水平正交試驗設計 混合水平正交表就是各因素的水平數不完全相等的正交表。混合水平正交表就是各因素的水平數不完全相等的正交表。這種正交表有好多種。比如這種正交表有好多種。比如 L8（4124）就是一個混合水平的正交就是一個混合水平的正交表，如表表，如表4-10所示。所示。 其它混合水平的正交表還有很多，見附表所示，它們都有上其它混合水平的正交表還有很多，見附表所示，它們都有上面所說的兩點。面所說的兩點。 例例4.4 某農科站進行品種試驗，具體試驗因素及水平如某農科站進行品種試驗，具體試驗因素及水平如表表4-11所示。

25、試驗指標是產量，數值越大越好。試用混合正交表所示。試驗指標是產量，數值越大越好。試用混合正交表安排試驗，找出最好的試驗方案。安排試驗，找出最好的試驗方案。16例例 4.4 的的 解解解解 這個問題中有這個問題中有4個因素，個因素，1個是個是4水平的，水平的，3個是個是2水平的，正好水平的，正好可以選用混合正交表可以選用混合正交表 L8（4123），），因素因素A為為4水平，放在第水平，放在第1列，列，其余其余3個個2水平的因素水平的因素B、C、D順序放在順序放在2、3、4列上，第列上，第5列不用。列不用。按這個方案進行試驗，將得出的試驗結果放在正交表的右邊，然按這個方案進行試驗，將得出的試驗結

26、果放在正交表的右邊，然后進行分析，見表后進行分析，見表4-12。 經分析得最佳方案為：經分析得最佳方案為： A2B2C2D2。因為，從極差分析可知，因為，從極差分析可知，因素因素D影響很小，這個方案影響很小，這個方案與第與第4號試驗結果號試驗結果A2B2C2D1很接近很接近，從，從試驗試驗 結果看出，第結果看出，第4號試驗是號試驗是8個試驗中產量最高的，因此完全有個試驗中產量最高的，因此完全有理由取第理由取第4號試驗作為最好的試驗方案加以推廣。號試驗作為最好的試驗方案加以推廣。174.3.2 擬水平法擬水平法例例4.5 今有某一試驗，試驗指標只有一個，它的數值越小越好，今有某一試驗，試驗指標只

27、有一個，它的數值越小越好，這個試驗有這個試驗有4個因素個因素A、B、C、D，其中因素其中因素C是是2水平的，其余水平的，其余3個因素都是個因素都是3水平的，具體數值如表水平的，具體數值如表4-13所示。試安排試驗，并對所示。試安排試驗，并對試驗結果進行分析，找出最好的試驗方案。試驗結果進行分析，找出最好的試驗方案。 解解 ： 4因素試驗，因素試驗，C為為2個水平，個水平，A、B、D為為3個水平。沒有個水平。沒有合適的正交表。設想：假若合適的正交表。設想：假若C有有3個水平，就變成個水平，就變成4因素因素3水平的問水平的問題了。如何將題了。如何將C變成變成3水平的因素呢？從水平的因素呢？從C中的

28、中的1和和2水平中選一個水平中選一個水平讓它重復一次作為第水平讓它重復一次作為第3水平，這就叫虛擬水平。取哪一個水水平，這就叫虛擬水平。取哪一個水平作為第平作為第3水平呢？一般說，都是要根據實際經驗，選取一個較水平呢？一般說，都是要根據實際經驗，選取一個較好的水平。比如，如果認為第好的水平。比如，如果認為第2水平比第水平比第1水平好，就選第水平好，就選第2水平水平作為第作為第3水平。這樣因素水平表水平。這樣因素水平表4-13就變為表就變為表4-14的樣子，它比的樣子，它比表表4-13多了一個虛擬的第多了一個虛擬的第3水平。水平。18例例4. 5 的的 解解 這樣就變成了一個這樣就變成了一個4因

29、素因素3水平的試驗，可以按水平的試驗，可以按 L9（34）表安表安排試驗，并對正交表進行重構，測出結果，并進行分析，見排試驗，并對正交表進行重構，測出結果，并進行分析，見表表4-15所示。所示。 從表從表4-15的極差可以看出，因素的極差可以看出，因素D對試驗的影響最大，取第對試驗的影響最大，取第3水平最好；其次是因素水平最好；其次是因素A，取第取第3水平為好；再者是因素水平為好；再者是因素B，取第取第1水平為好；因素水平為好；因素C影響最小，取第影響最小，取第1水平為好。最優方案為：水平為好。最優方案為：A3B1D3C1。這個方案在這個方案在9個試驗中沒有。從試驗結果看個試驗中沒有。從試驗結

30、果看8號試驗為號試驗為最好。這個試驗只有最好。這個試驗只有B不是處在最好情況，而因素不是處在最好情況，而因素B的影響是最小的影響是最小的。可以按這個方案再試驗一次，看是否會得出比第的。可以按這個方案再試驗一次，看是否會得出比第8號試驗更好號試驗更好的結果，從而確定出真正的最優方案。的結果，從而確定出真正的最優方案。194.4 有交互作用的正交試驗設計有交互作用的正交試驗設計.:.:;BABA記記為為因因素素的的交交互互作作用用各各因因素素聯聯合合起起作作用用因因素素如如各各因因素素各各自自獨獨立立起起作作用用多多因因素素試試驗驗例例4.6 有有4塊試驗田，土質情況基本一樣，種植同樣的作物。現塊

31、試驗田，土質情況基本一樣，種植同樣的作物。現將氮肥、磷肥采用不同的方式分別加在將氮肥、磷肥采用不同的方式分別加在4塊地里，收獲后算出平均塊地里，收獲后算出平均畝產，記在表畝產，記在表4-16中。中。氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的總效果（只加氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的總效果（只加氮肥的效果只加磷肥的效果）氮肥的效果只加磷肥的效果） 在多因素的試驗中，交互作用影響的大小參照實際經驗。如在多因素的試驗中，交互作用影響的大小參照實際經驗。如果確有把握認定交互作用的影響很小，就可以忽略不計；如果不果確有把握認定交互作用的影響很小，就可以忽略不計；如果不能確認交互作用的影響很小，就應該通過

32、試驗分析交互作用的大能確認交互作用的影響很小，就應該通過試驗分析交互作用的大小。小。204.4.1 交互作用表交互作用表 下面介紹交互作用表和它的用法，表下面介紹交互作用表和它的用法，表4-17就是正交表就是正交表 L8（27）所對應的交互作用表。所對應的交互作用表。 P183附表附表4中中，列出了幾個交互作用的正交表。，列出了幾個交互作用的正交表。正交表自由度的確定：正交表自由度的確定：（1）每列的自由度）每列的自由度 f列列水平數水平數1（2）兩因素交互作用的自由度）兩因素交互作用的自由度 fABfAfB （兩因素自由度的乘積）兩因素自由度的乘積）對對2因素因素2水平的正交表，因為：水平的

33、正交表，因為：fAfB 21，每列只有一每列只有一個自由度；而個自由度；而fABfAfB 111，所以也占一列。，所以也占一列。214.4.1 交互作用表交互作用表 對于對于2 因素因素3水平，水平， fAfB 312，每列有每列有2個自由度；個自由度；而而fABfAfB 224，由于交互作用列有，由于交互作用列有4個自由度，而每個自由度，而每列是列是2個自由度，因此個自由度，因此2個個3水平因素的交互作用列占水平因素的交互作用列占2列。列。 對于對于2因素因素n水平，水平， fAfB n1，每列有每列有n個自由度；個自由度；而兩因素交互作用的自由度為：而兩因素交互作用的自由度為：fABfAf

34、B （n1）（）（n1），），所以交互作用列要占（所以交互作用列要占（n1）列。列。4.4.2 水平數相同的有交互作用的正交設計水平數相同的有交互作用的正交設計 例例4.7 某產品的產量取決于某產品的產量取決于3個因素個因素A、B、C，每個因素都每個因素都有兩個水平，具體數值如表有兩個水平，具體數值如表4-18所示。每兩個因素都有交互作用，所示。每兩個因素都有交互作用，必須考慮。試驗指標為產量，越高越好。試安排試驗，并分析試必須考慮。試驗指標為產量，越高越好。試安排試驗，并分析試驗結果，找出最好的方案。驗結果，找出最好的方案。221234567(1)325476(2)16745(3)7654(

35、4)123(5)32(6)1(7)表表417列號（列號（ ）列號列號例如，從左向例如，從左向右看，第右看，第3列列與第與第5列的交列的交互作用在第互作用在第6列列例如，第例如，第4列與第列與第7列列的交互作用在第的交互作用在第3列列第第5列與第列與第6列的列的交互作用在第交互作用在第3列列23例例4.7的解的解 解解 這是這是3因素因素2水平的試驗。水平的試驗。3個因素個因素A、B、C要占要占3列，它列，它們之間的交互作用們之間的交互作用AB、B C、A C又各占又各占3列，共占列，共占6列，可列，可以用正交表以用正交表 L8（27）來安排試驗。若將來安排試驗。若將A、B放在第放在第1、2列，

36、從表列，從表4-17查出查出AB應在第應在第3列，因此列，因此C就不能放在第就不能放在第3列，否則就要和列，否則就要和AB混雜。現將混雜。現將C放在第放在第4列，由表列，由表4-17查出查出A C應在第應在第5列，列， B C應在第應在第6列。按這種安排進行試驗。測出結果，用直觀分析法列。按這種安排進行試驗。測出結果，用直觀分析法進行分析，把交互作用當成新的因素看待。整個分析過程記錄在進行分析，把交互作用當成新的因素看待。整個分析過程記錄在表表4-19中。中。 最后要說明一點，在這里只考慮兩列間的交互作用最后要說明一點，在這里只考慮兩列間的交互作用AB、B C、A C，3個因素的交互作用個因素

37、的交互作用ABC，一般影響很小，這里一般影響很小，這里不去考慮它。不去考慮它。244.5 正交表的構造法正交表的構造法 從前面的內容可以看出，正交表的用處和好處。那么正交表從前面的內容可以看出，正交表的用處和好處。那么正交表是如何得來的呢？下面就介紹兩種正交表的構造方法。是如何得來的呢？下面就介紹兩種正交表的構造方法。4.5.1 阿達瑪矩陣法阿達瑪矩陣法4.5.1.1 阿達瑪矩陣阿達瑪矩陣 阿陣阿陣 定義：以定義：以1，1為元素，并且任意兩列都是正交的矩為元素，并且任意兩列都是正交的矩陣。陣。性質：性質： （1）每列元素個數都）每列元素個數都 是偶數；是偶數； （2）任意兩列（兩行）交換后，仍

38、為阿陣；）任意兩列（兩行）交換后，仍為阿陣；（3）任意一列（或行）乘）任意一列（或行）乘1以后，仍為阿陣。以后，仍為阿陣。 標準阿陣：第一列全為標準阿陣：第一列全為1列（用對行乘列（用對行乘1可得）。可得）。阿方陣：行、列相等阿方陣：行、列相等阿陣，偶階方陣。阿陣，偶階方陣。254.5.1.1、阿達瑪矩陣、阿達瑪矩陣 n 階阿陣記為階阿陣記為Hn。感興趣：感興趣：第一列，第一行全為第一列，第一行全為 1 的阿陣。例如：的阿陣。例如：1111111111111111,111142HH直積構造高階阿陣的方法：直積構造高階阿陣的方法：定義：設兩個定義：設兩個2階方陣階方陣A、B22211211222

39、11211,bbbbBaaaaA它們直積記為它們直積記為A B，定義如下：定義如下：BaBaBaBabbbbaaaaBA222112112221121122211211264.5.1.1、阿達瑪矩陣、阿達瑪矩陣2222212222212121122211221221112122122112221121111212111212111111babababababababababababababababa這是一個這是一個4階方陣。階方陣。有下面兩個定理：有下面兩個定理： 定理定理1 設設2階方陣階方陣A、B如果它們中的兩列是正交的，則它們如果它們中的兩列是正交的，則它們的直積的直積A B的任意兩列也

40、是正交的。的任意兩列也是正交的。 定理定理2 兩個阿陣的直積是一個高階阿陣。兩個阿陣的直積是一個高階阿陣。 據此，可以用簡單的低階阿陣，用求直積的方法得出高階阿據此，可以用簡單的低階阿陣，用求直積的方法得出高階阿陣，例如有：陣，例如有：274.5.1.1、阿達瑪矩陣、阿達瑪矩陣422111111111111111111111111HHH依此類推有：依此類推有：,16441682, 842HHHHHHHHH或或一個固定階的阿陣并不是唯一的。比如：一個固定階的阿陣并不是唯一的。比如：1111,1111,1111,1111都是都是2 階阿陣階阿陣H2，但我們最感興趣的是第一個但我們最感興趣的是第一個

41、。284.5.2 2個水平正交表的阿達瑪矩陣法個水平正交表的阿達瑪矩陣法 有了第有了第1列第列第1行全為行全為1的標準阿陣，構造的標準阿陣，構造2水平的正交表就非水平的正交表就非常方便了。常方便了。（1）L4（23）正交表的構造正交表的構造 取標準阿陣取標準阿陣H4 如下：如下： 11111111111111114H 將全將全1列去掉，得出：列去掉，得出： 111111111111294.5.1.2、2個水平正交表的阿達瑪矩陣法個水平正交表的阿達瑪矩陣法 將將1 改寫為改寫為2，按順序配上列號、行號，就得到，按順序配上列號、行號，就得到2水平正交表水平正交表 L4（23），），見表見表4-20

42、所示。所示。（2） L8（27）正交表的構造法正交表的構造法 取標準阿陣取標準阿陣 H8 如下：如下：11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111118H304.5.1.2、2個水平正交表的阿達瑪矩陣法個水平正交表的阿達瑪矩陣法 去掉全去掉全 1 列；列；將將 1 改寫為改寫為2，并按順序配上列號、行號，就得到正交表，并按順序配上列號、行號，就得到正交表 L8（27），），見表見表4-21。總結：先取一個標準阿陣總結：先取一個標準阿陣 Hn ，去掉全去掉全1列，將列，將1 列改寫為列改寫為2， 配上列號、行號，就得

43、正交表配上列號、行號，就得正交表 Ln（2n1）。）。 上法只能構造上法只能構造 2 水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉丁方的方法來解決。丁方的方法來解決。314.5.2正交拉丁方的方法正交拉丁方的方法4.5.2.1 拉丁方拉丁方定義：用定義：用 n 個不同的拉丁字母排成一個個不同的拉丁字母排成一個 n 階方陣（階方陣（n26），），如如 果每個字母在任一行、任一列中只出現一次，則稱這種方果每個字母在任一行、任一列中只出現一次，則稱這種方 陣為陣為 nn 拉丁方，簡稱為拉丁方，簡稱為 n 階拉丁方。階拉丁方。例如，用例如，用3個字母個字母 A、B、C

44、可排成：可排成：BACACBCBA33 拉丁方拉丁方用用4個字母個字母 A、B、C、D 可排成：可排成：ADCBBADCCBADDCBA44 拉丁方拉丁方這這兩兩個個拉拉丁丁方方不不是是唯唯一一的。的。324.5.2.1、拉丁方、拉丁方正交拉丁方。正交拉丁方。定義：設有兩個同階的拉丁方，如果對第一個拉丁方排列著相同定義：設有兩個同階的拉丁方，如果對第一個拉丁方排列著相同字母的各個位置上，第二拉丁方在同樣位置上排列著不同字母，字母的各個位置上，第二拉丁方在同樣位置上排列著不同字母，則稱這兩個拉丁方為互相正交的拉丁方。則稱這兩個拉丁方為互相正交的拉丁方。BACACBCBAACBBACCBA3階階拉

45、拉丁丁方方與與是正交拉丁方。正交拉丁方只有兩個。是正交拉丁方。正交拉丁方只有兩個。33ABCDBADCCDABDCBABADCCDABABCDDCBA與與 4階拉丁方中，正交拉丁方只有階拉丁方中，正交拉丁方只有3個；個； 5階拉丁方中，正交拉丁方只有階拉丁方中，正交拉丁方只有4個；個； 6階拉丁方中，正交拉丁方只有階拉丁方中，正交拉丁方只有5個；個； 數學上已經證明：數學上已經證明：n 階階拉丁方的正交拉丁方個數為：拉丁方的正交拉丁方個數為：（n1）個。個。4.5.2.1、拉丁方、拉丁方344.5.2.1、拉丁方、拉丁方 將字母拉丁方改寫為數字拉丁方性質沒有影響。比如將字母拉丁方改寫為數字拉丁

46、方性質沒有影響。比如 3 階拉階拉丁方可寫為：丁方可寫為：213132321132213321與與為正交拉丁方。為正交拉丁方。4.5.2.2 3水平正交表的構造水平正交表的構造 首先考慮兩個首先考慮兩個 3 水平因素水平因素A、B，把它們所有水平搭配都寫出把它們所有水平搭配都寫出來來 32 9個，按下面的方式排成兩列：個，按下面的方式排成兩列：354列列3列列12111212313421522623731832933這這兩兩列列叫叫做做基基本本列列然然后后寫寫出出兩兩個個3 3階階的的正正交交拉拉丁丁方方：123231312和和123312231將將 這這 兩兩 個個 正正 交交 拉拉 丁丁

47、方方 的的 1， 2， 3列列 ， 分分 別別 按按 順順 序序 連連 成成 一一 列列 （ 共共 得得 兩兩列列 ） ， 放放 在在 兩兩 個個 基基 本本 列列 的的 右右 面面 ， 構構 成成 一一 個個 4列列 9行行 的的 矩矩 陣陣 ， 再再 配配 上上 列列 號號、 行行 號號 ， 就就 得得 出出 正正 交交 表表 L9（ 34） ， 見見 表表 4-22。364.5.2.3 4水平正交表水平正交表因素因素A、B兩個兩個4水平的全排列水平的全排列 4216個，構成基本列；個，構成基本列；三個正交拉丁方，按三個正交拉丁方，按1，2，3，4列分別按順序排成列分別按順序排成1列，共列

48、，共3列，放在基本列右則，得列，放在基本列右則，得5列列16行矩陣。行矩陣。 得表得表4-23，為，為L16（45）正交表。正交表。37345121112123134145216227238249311032113312341341144215431644這兩列叫做基本列123421433412432112343412432121431234432121433412配配 上上 三三 個個 正正 交交 拉拉 丁丁 方方384.5.2.4 混合型正交表的構造法混合型正交表的構造法 混合型正交表可以由一般水平數相等的正交表通過混合型正交表可以由一般水平數相等的正交表通過“并列法并列法”改造而成。舉典

49、型的例子加以說明。改造而成。舉典型的例子加以說明。例例4.8 混合型正交表混合型正交表 L8（424）的構造法。的構造法。解：解：（1）先列出正交表）先列出正交表 L8（27），），見表見表4-24。（2）取出表）取出表4-24中的中的1，2列，將數對（列，將數對（1，1）、）、 （1，2）、）、 （2，1）、（）、（2，2）與單數字）與單數字1，2，3，4依次對應，作為依次對應，作為 新表第新表第1列。列。（3）去掉）去掉12的第的第3列。交互作用。列。交互作用。（4）4，5，6，7列左移，依次變為新表的列左移，依次變為新表的2，3，4，5列。列。39列號列號行號行號111111112111

50、22223122112241222211521212126212212172211221822121124567123表表4-24 L8（27）正交表正交表列號列號行號行號11111121222232112242221152121262212171122181211234567列號列號行號行號11111112112222322112242222115321212632212174112218412112134567列號列號行號行號11111121222232112242221153121263212174122184211214567111122221122221112122121122121

51、1245674523其它正交表的構造法，與此法相同，不再贅述。其它正交表的構造法，與此法相同，不再贅述。請自學請自學例例4.9、例、例4.10表表4-25 L8（4127）正正交交表表404.6 正交試驗設計的方差分析正交試驗設計的方差分析本節用方差分析法對正交試驗的結果作進一步的分析。本節用方差分析法對正交試驗的結果作進一步的分析。4.6.1 正交試驗設計方差分析的步驟與格式正交試驗設計方差分析的步驟與格式 設用正交表安排設用正交表安排m個因素的試驗，試驗總次數為個因素的試驗，試驗總次數為n，試驗結，試驗結果分別為果分別為x1，x2，xn。假定每個因素有。假定每個因素有na個水平，每個水平個

52、水平，每個水平做做a次試驗。則次試驗。則n = a na，現分析下面幾個問題。，現分析下面幾個問題。(1) 計算離差的平方和計算離差的平方和a 總離差的平方和總離差的平方和STb 各因素離差的平方和各因素離差的平方和S因因c 試驗誤差的離差平方和試驗誤差的離差平方和SE41(2)計算自由度計算自由度(3)計算平均離差平方和計算平均離差平方和(均方均方)(4) 求求F比比(5)對因素進行顯著性檢驗對因素進行顯著性檢驗424.6.2 3水平正交設計的方差分析水平正交設計的方差分析例例4.11 為了提高產量，需要考慮為了提高產量，需要考慮3個因素：反應溫度、反應個因素：反應溫度、反應壓力和溶液濃度，

53、每個因素都取壓力和溶液濃度，每個因素都取3個水平，具體數值如表個水平，具體數值如表4-31所示。考慮因素之間的所有一級交互作用，試進行方差分析，所示。考慮因素之間的所有一級交互作用，試進行方差分析，找出最好的工藝條件。找出最好的工藝條件。解：解：所有一級交互作用：所有一級交互作用：AB、AC、BC；自由度：自由度：fA （水平數水平數1）312 fB fC ；43 fAB fA fB224 fBC fAC 各占兩列。各占兩列。共有共有9列，選用正交表列，選用正交表L27（313），），見表見表4-32所示。所示。 m 個因素的試驗（個因素的試驗（m9）；）；試驗次數（試驗次數（n27）；）；試

54、驗結果試驗結果分別為：分別為：x1， x2， ，xk， ，xn；每個因素有每個因素有na 個水平（個水平（na3）；）；每個水平做每個水平做a次試驗（次試驗（a9），），則則nana3 9 27。1、計算離差平方和、計算離差平方和（1）總離差平方和）總離差平方和ST記記 nkkxnx11（相當于例（相當于例4.11產量的平均值）產量的平均值） nknknkkkkTxnxxxS1121221)(44記為：記為：PQSTT nkkTxQ12211 nkkxnP ST反應了試驗結果的總差異，它越大，結果之間差異越大。反應了試驗結果的總差異，它越大，結果之間差異越大。 兩方面的原因：兩方面的原因： 因

55、素水平變化；因素水平變化； 試驗誤差。試驗誤差。（2）各因素離差的平方和）各因素離差的平方和 以因素以因素A為例為例SA，用用xij 表示表示A的系的系 i 水平第水平第 j 個試驗結個試驗結果（果（i1，2，3，na），（），（j1a）。）。 nkkniajijxxa11145 aniajiAxxS112)( aniijixax1121122111211111 nikniiniajijniajijAxnKaxnxaSaaa記為：記為：PQSAA Ki 第第 i 個水平個水平 a 次試驗結果的和。次試驗結果的和。46 用同樣的方法可以計算其它因素的離差平方和。對兩因素的用同樣的方法可以計算其它

56、因素的離差平方和。對兩因素的交互作用，把它當成一個新的因素看待。如果交互作用占兩列，交互作用，把它當成一個新的因素看待。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差平方和等于這兩列的離差平方和之和。比如：則交互作用的離差平方和等于這兩列的離差平方和之和。比如：21)()(BABABASSS （3）試驗誤差的離差平方和）試驗誤差的離差平方和 SE 設設 S因因+交交 為所有因素以及要考慮的交互作用的離差平方和，為所有因素以及要考慮的交互作用的離差平方和，因為：因為：ETSSS 交交因因所以：所以：交交因因 SSSTE472、自由度計算、自由度計算)(1試試驗驗總總次次數數總總nnf 各因素自由度：各因素

57、自由度：)(1水水平平數數因因aannf 兩因素交互作用的自由度：兩因素交互作用的自由度：BABAfff 試驗誤差自由度：試驗誤差自由度：交交因因總總 fffE見表見表4-33所示所示483、計算平均離差平方和（均方）、計算平均離差平方和（均方）MS 在計算各因素離差平方和時，我們知道，它們是若干項平方在計算各因素離差平方和時，我們知道，它們是若干項平方的和，它們的大小與項數有關，因此，不能確切地反映各因素的的和，它們的大小與項數有關，因此，不能確切地反映各因素的情況。為了消除項的影響，引入平均離差平方和：情況。為了消除項的影響，引入平均離差平方和：因因因因因因素素的的平平均均離離差差平平方方

58、和和fS EEfS 方方和和試試驗驗誤誤差差的的平平均均離離差差平平4、求、求F 比比對對結結果果影影響響程程度度的的大大小小大大小小反反映映了了各各因因素素試試驗驗因因因因EEfSfSF 495、對因素進行顯著性檢驗、對因素進行顯著性檢驗給出檢驗水平給出檢驗水平a a，以以Fa a（f因因，fE）查（附表查（附表3）F分布表；分布表；比較若比較若F Fa a（f因因，fE），），說明該因素對試驗結果的影響顯著。說明該因素對試驗結果的影響顯著。 F F0.010.01（f因因，fE）影響高度顯著，影響高度顯著，“”； F0.010.01（f因因，fE） F F0.050.05（f因因，fE）影

59、響顯著，影響顯著，“”； F F0.050.05（f因因，fE）影響不顯著。影響不顯著。 計算結果見表計算結果見表4-33、表、表4-34所示所示。504.6.3 2水平正交設計的方差分析水平正交設計的方差分析 由于由于2水平正交設計比較簡單，它的方差分析可以采用特殊的水平正交設計比較簡單，它的方差分析可以采用特殊的分析方法。分析方法。 2水平正交設計，各因素離差平方和為：水平正交設計，各因素離差平方和為：2121211nkkiixnKaS因因:,21,2121所所以以上上式式可可以以簡簡化化為為又又因因為為nkkKKxnaan2211KKnS因因上式同樣適用于交互作用項。上式同樣適用于交互作

60、用項。51例例4.12 某廠生產水泥花磚某廠生產水泥花磚, ,其抗壓強度取決于其抗壓強度取決于3 3個因素：個因素：A水水泥的含量，泥的含量，B水分，水分，C添加劑，每個因素都有兩個水平，具添加劑，每個因素都有兩個水平，具體數值如表體數值如表4-354-35a所示。每兩個因素之間都有交互作用，必所示。每兩個因素之間都有交互作用，必須考慮。試驗指標為抗壓強度須考慮。試驗指標為抗壓強度( (kg/ /cm2 2),),分別為分別為66.2，74.3，73.0，76.4，70.2，75.0，62.3，71.2越高越好。試安排試驗，越高越好。試安排試驗，并用方差分析對試驗結果進行分析，找出最好的方案。