1、一、第一類曲面積分二、二重積分的應(yīng)用；三、三重積分的應(yīng)用；第第 七七 講講一、對面積的曲面積分的定義1.1.定義定義所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當(dāng)且當(dāng)點在曲面上連續(xù)移動時點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 記為記為 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.對面積的曲面積分的性質(zhì)對面積的曲面積分的性質(zhì)則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,21 叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，其中其中),(zyxf.叫叫積積分分

2、曲曲面面 引理引理 1 2 A , 的的夾夾角角為為與與平平面面 Acos .一般情況，將一般情況，將A分割成分割成若干個上述類型的小矩形，若干個上述類型的小矩形，對每一個用引理，對每一個用引理，然后迭加然后迭加再取極限即可。再取極限即可。當(dāng)當(dāng)A是矩形是矩形,l證證且一邊與且一邊與l平行平行,則則 也也是矩形是矩形, 且且b|cos|ab 引理成立引理成立.a ：這里：這里 即即 兩平面法矢量的夾角兩平面法矢量的夾角. 證畢證畢. . 曲面的面積曲面的面積|cos|A , 21A 上上的的投投影影為為在在上上的的區(qū)區(qū)域域則則面面積積. . 曲面的面積曲面的面積xz y0z = f (x,y)D

3、i iS (xi , yi)Pi. . 曲面的面積曲面的面積xz y0 DyxyxyxfyxfSdd),(),(122iiiA cos1z = f (x,y)Di iiAS iiiyiixyxfyxf ),(),(122.iS (xi , yi) i Ai（由引理）（由引理）Pi.ni 1),(),( iiyiixiyxfyxfn因因為為),(),(11cos22iiyiixiyxfyxf 三、計算方法：轉(zhuǎn)化為某個坐標(biāo)面上的二重積分;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若若曲曲面面則有：則有：按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同

4、情況分為以下三種：d1( , )( , )d dxySfx yfx yx y;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(則則2.( , )yy x z若曲面 ：3.( , )xx y z若曲面 ：例例1 1積分曲面積分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 計算計算

5、dSxyz |,其中其中 為拋物面為拋物面 22yxz （10 z）.解解依對稱性知：依對稱性知：被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關(guān)關(guān)于于xoz、yoz 坐標(biāo)面對稱坐標(biāo)面對稱軸軸對對稱稱，關(guān)關(guān)于于拋拋物物面面zyxz22 有有 14成成立立，(1 為第一卦限部分曲面為第一卦限部分曲面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原原式式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其中其中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 利利用用極極坐坐標(biāo)標(biāo) trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041si

6、ncos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 計計算算 xdS, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面.例例3 3解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx顯顯然然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS討討論論3 時時, 將將投投影影域域選選在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分為為左左、右右兩兩片片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右兩片投影相同）（左右

7、兩片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.例例4 4被被積積函函數(shù)數(shù) ),(zyxf222zyx ,解解關(guān)于坐標(biāo)面、原點均對稱關(guān)于坐標(biāo)面、原點均對稱 , 故故原原積積分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 四、小結(jié)2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影 域上的二重積

8、分計算域上的二重積分計算.1、 對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情況分為三種）（按照曲面的不同情況分為三種） 定積分的應(yīng)用中，有許多求總量的問題可以利用定積分的元素法來解決，這種元素法也可推廣到二重積分的應(yīng)用中： 如果所要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性即：當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和；且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一直徑很小的閉區(qū)域 時，相應(yīng)的部分量可以近似地表示為 的形式。（ 與部分量精確值之差當(dāng) 的直徑 時，是比 較高階的無窮小量），其中 ，這個 ( , )f

9、x y d0d d( , )x yd( , )f x y d( , )f x y ddd稱為所求量稱為所求量U的元素，記作：的元素，記作：dU 以它為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域以它為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域D D上積分：上積分： 所求量的積分表達(dá)式所求量的積分表達(dá)式(1) 體積體積的體積為的體積為之間直柱體之間直柱體與區(qū)域與區(qū)域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(設(shè)設(shè)S曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面S的面積為的面積為 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面積（平面圖形面積見課本曲面積（平面圖形面積見課本P188）( , )DUf x y daaxz y

10、0222ayx 222azx 設(shè)圓柱面為設(shè)圓柱面為的的面面積積。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圓圓柱柱的的底底半半徑徑為為兩兩相相同同正正圓圓柱柱的的軸軸互互相相a例例1.1.考慮第一卦限考慮第一卦限例例1.1.D22xaz aa.xz y0 DyxxaaSdd. 82a 22xay xayxaad axdaaxoyD.22221xaazzyx .222ayx 222azx 設(shè)圓柱面為設(shè)圓柱面為.的的面面積積。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圓圓柱柱的的底底半半徑徑為為兩兩相相同同正正圓圓柱柱的的軸軸互互相相a解解：

11、22.(1cos )Dxy dDrara例2、 計算其中是由心臟線和圓所圍的面積（取圓外部） )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a2222)( RRzyx r=2R cos .rrVRdsinddcos202 020 . . )cos1(3 443 R:02cosrR 20 0 M = 3.3.求半徑為求半徑為R的球面與半頂角為的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積z 0 xyRMr (指含在柱體內(nèi)部分)(指含在柱體內(nèi)部分) 所圍成的體積所圍成的體積 ) )與圓柱面與圓柱面 求球面求球面 ( aaxy

12、xazyx 2222azyx zxyo.4.4.(指含在柱體內(nèi)部分)(指含在柱體內(nèi)部分) 所圍成的體積所圍成的體積 ) )與圓柱面與圓柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyxa 2222azyx 22axyx .4.4.xyoz(指含在柱體內(nèi)部分)(指含在柱體內(nèi)部分) 所圍成的體積所圍成的體積 ) )與圓柱面與圓柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyxz = 0axyzo 柱柱坐坐標(biāo)標(biāo)。V 2033d)sin1(34 a.)943(2 3 a rrraDdd 422 22raz 。 cosar 。 dd420cos 022 arrra。D 1.4.4.aaxz y05.所圍立體的體積。所圍

13、立體的體積。 和和求圓柱面求圓柱面 azxayx Dy = 0 x = 0 DyxxaVdd. 3163a 22xaz 22xay xayxad axdaaaaxoyD.xz y0.5.所圍立體的體積。所圍立體的體積。 和和求圓柱面求圓柱面 azxayx 當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其其中中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy (3) 重心坐標(biāo)（物體的質(zhì)量見課本重心坐標(biāo)（物體的質(zhì)量見課本P192） 0 x Dysyd1rrddsin41 0sin4sin22 37 . )37 , 0

14、( 故故重重心心為為 )(yx， 設(shè)重心為設(shè)重心為.xoy126. 6. 求位于圓求位于圓 r = 2sin 和圓和圓 r = 4sin 之間的均勻薄片的重心之間的均勻薄片的重心. 1、薄片對于、薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量2、薄片對于、薄片對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI (4) 轉(zhuǎn)動慣量（轉(zhuǎn)動慣量（K階矩概念階矩概念P197）薄片對薄片對軸上單位質(zhì)點的引力軸上單位質(zhì)點的引力z 設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點在點),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在D

15、上連續(xù)，計算該平面薄片對位于上連續(xù)，計算該平面薄片對位于z 軸上的點軸上的點), 0 , 0(0aM處的單位質(zhì)點的引力處的單位質(zhì)點的引力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f(5) 引力引力求均勻柱體求均勻柱體 對對222,0 xyRzh處的單位處的單位 0,0,Paah質(zhì)量的質(zhì)點的吸引力質(zhì)量的質(zhì)點的吸引力. xy0 xyFF 解解：由柱體的對稱性可知，沿由柱體的對稱性可知，沿軸與軸與軸方向的分力互相抵消軸方向的分力互相抵消故故32222z

16、azFGdvxyaz222302222hxyRdxdyGaz dzxyaz23000222hRrdrGaz dzdraz202112hGazdzazRaz22222 GhRahRa三重積分的應(yīng)用三重積分的應(yīng)用. dvM 其其中中,1 dvxMx () 重心重心,1 dvyMy .1 dvzMz z = 0. . 的的重重心心求求均均勻勻半半球球體體 0 , : 2222 zazyxyxzo yx 則則, )( zyx，設(shè)設(shè)重重心心為為 zyxzVz ddd球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)a332a V z .a83 . )83, 0 , 0a( ( 故故重重心心為為.r = a8.8. arrrV 022020dsincosdd1. z = 0. . 的重心的重心 所圍立體所圍立體與平面與平面求由拋物面求由拋物面 0 1 22 zyxz