1、基于數學史背景的微積分教學 摘 要：微積分是在經濟管理類專業普遍開設的一門公共數學課，也是一些學生“考研”的必考科目之一。然而，數學的抽象性和枯燥性使得許多學生望而生畏。數學史是研究數學發展過程與規律的科學。在微積分教學中，通過還原知識的歷史背景，有意識地向學生介紹有關數學史的知識，如創立者的感人業績、治學態度與方法，數學家的趣味故事，數學定義和定理的來龍去脈等等。將數學教學納入到文化的軌道上來,可以使學生了解數學思想的形成過程，加深對數學本身的認識，力求知識的趣味性和思想性，盡量消除數學教學的枯燥性,讓學生體驗微積分的價值、欣賞微積分，促進學生對微積分的認知。關鍵詞：微積分；數學史；背景；教

2、學；0 前 言微積分的誕生拉開了近代數學的序幕，推動了許多數學新分支的產生。微積分學是建立在實數、函數和極限的基礎上的學科，是微分學和積分學的統稱。微積分在內容和體系上與初等數學都截然不同，其高度的抽象性和嚴密的符號體系往往令學生不知所從。傳統教材很少關注知識的形成過程和文化背景，把更多的注意力放在知識的邏輯結構上，而且與自然科學、社會科學及應用科學各個分支學科嚴重脫節，授課教師也多是注重知識傳授的連貫性和嚴密的邏輯性推理體系。這些不利因素，嚴重影響了微積分教學的趣味性，減弱了學生對微積分這一學科的學習興趣。感性材料和生動情境能夠減少數學學科知識的抽象性，增加數學的靈動性和趣味性。在微積分教學

3、中結合數學史知識，通過歷史背景知識的介紹，讓學生全面了解微積分基本概念和定理的來龍去脈，對學習情景做整體性了解，知道知識發生、發展的過程，做好認知情感、態度上的準備，促進學生在已有的認知基礎上同化、順應、平衡微積分知識。同時引導學生發現數學的文化價值,盡量消除數學教學的枯燥性和抽象性，讓學生體驗微積分的價值、欣賞微積分的美，進而增強學生的使命感和目標感，吸引更多的學生熱愛數學，變被動學習為主動學習。本文介紹基于數學史背景下，微積分教學的一些思考和嘗試。1 通過背景故事激發學習興趣，加深對數學概念的理解興趣是學習的第一原動力。孔子曰：“知之者，不如好之者；好之者，不如樂之者” 。我國著名的科學家

4、愛因斯坦也曾說過：“興趣是最好的老師”。學生只有對學習產生興趣，才會產生強烈的求知欲望，從而把心理活動指向和集中在學習的對象上，感知覺活躍，注意力集中，觀察敏銳，記憶持久而準確，思維敏銳而豐富，激發和強化學習的內在動力，調動學習的積極性而數學史中豐富的趣聞故事，是激發學生興趣的有效資源。在微積分教學過程中，可以穿插數學史料中的有趣故事，不但可以激發學生的學習興趣，還可以加深對數學概念、定理的理解。例如，在無窮級數新課的引入中，可以先向學生講述“蠕蟲與橡皮繩”運動悖論的故事：已知橡皮繩長1公里，一條蠕蟲在橡皮繩的一端，蠕蟲以每秒1厘米的均勻速度沿橡皮繩爬行，在1秒鐘之后，橡皮繩就拉長到了2公里，

5、再過1秒鐘后，它又拉長到3公里，這樣繼續下去。蠕蟲最后究竟會不會到達橡皮繩的終點呢？同學們憑直覺會說：蠕蟲不會爬到橡皮繩的終點。這時，教師可以告訴同學們蠕蟲能爬到了終點的。同學們會對這樣問題產生極大的興趣，同時活躍了課堂氣氛。老師接著說，我們嘗試用數學公式表示蠕蟲在第n秒末爬行的長度：由于1公里等于100000厘米，所以在第1秒末，蠕蟲就爬行橡皮總繩長度的1/100000。在第2秒鐘內，蠕蟲爬了2公里橡皮繩的1/200000，在第3秒內，它又爬了3公里長橡皮繩的1/300000，如此下去，蠕蟲爬行的長度可以表示為：(1/100000)×（11/21/31/4）。當n充分大時，這個數能

6、否超過1呢？停頓一下，告訴學生，我們可以找到這個正整數N，使上述結果成立。由這個出乎意料的結論引入正題：無窮數列11/21/31/4就是一個級數。由于這個級數是發散的，它的部分和我們要它有多大，就有多大。只要這個和超過100000，上面的表達式就超過1。再如，在極限概念教學中，我們可以向學生講述“阿基里斯追烏龜” 的背景故事：阿基里斯和烏龜賽跑，烏龜提前跑了200米距離，假設阿基里斯的速度是烏龜速度的10倍，這樣當阿基里斯跑了200米時，到達了烏龜原來的出發點，而烏龜也向前跑了20米；當阿基里斯再向前跑20米時，烏龜也向前跑了2米，如果這樣繼續下去。可以看出，被追趕者總是在追趕者的前面了，因為

7、追趕者必須首先到達被追趕者的原來位置，所以可以得出結論，阿基里斯永遠追不上烏龜！ 這個結論與我們生活中的實際情況是不相符的。古希臘人之所以被這個問題困惑了幾千年，主要的原因是，他把運動中的“無限過程”與“無限時間”相提并論、混為一談了。因為無限過程需要無限個時間段來計算的，而無限時間段的總和卻可以是一個有限的數值。這個問題說明了古希臘人已經發現了“無窮小量”與“很小的量”這兩個概念之間的矛盾。通過這樣的故事背景介紹，同學們就很快進入這種情景里，述引人入勝，環環相扣，使學生對極限概念的產生過程有清楚的理解，并留下深刻的印象。2 發揮數學史人物的楷模作用，培養學生的創新意識在微積分的發明創造過程中

8、，出現了許多重要人物。每個概念都有著豐富的歷史背景，許多定理或公式都是由數學家的名字命名的，如羅爾定理、拉格朗日中值定理、費馬定理、萊布尼茲公式等等，在講授這些內容時，可以簡要介紹其發展歷程和數學家的生平秩事，這樣不僅可以激發學生的學習興趣，提高課堂效率，還可以讓學生產生對楷模的崇拜情愫，激勵自己做一個德才兼備、對國家有用的人，同時也學習數學家那種堅持不懈、勇于探索的創新精神。例如，在講解歐拉公式的時，可以穿插數學家歐拉的感人事跡：歐拉是數學史上最著名的四大數學家之一，歐拉一生共寫886篇論文和專著，其中400篇左右的論文和積分運動原理等經典名著是他在失明后的17年中完成的。用這個生動感人的實

9、例，讓學生感受到數學家歐拉的堅韌意志和優秀品質，同時告訴學生“天才不是別的，而是辛勞和勤奮”的道理。再比如，在無窮級數教學中，穿插阿基米德為數學做出的卓越貢獻，阿基米德被譽為數學之神，他11歲就被送到當時希臘文化中心的亞歷山大城去學習，在這座號稱"智慧之都"的名城里，阿基米德博覽群書，汲取了許多的知識，并且做了歐幾里得學生埃拉托塞和卡農的門生，鉆研幾何原本。為幾何的研究付出了寶貴的生命。這些科學巨匠的成才之路對于大學生有很大的榜樣和啟發作用。學生可以從他們的發明創造過程中體會勇于創新的精神，和借鑒創新的方法。通過教師對數學史人物的講解，學生從中領悟到數學家不僅要努力向上、勇

10、于攀登還要勤奮專研、堅忍不拔。中國古代有“書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟”的名句激勵每個人。通過數學家的事跡加強學生對創造性思維的感悟和創新精神的培養，并從數學家的事跡中學到數學發明創造的經驗和方法。正如著名數學教育家波利亞說：“數學發現是一種技巧，發現的能力可以通過靈活的教學加以培養，從而使學生學會發現的原則并付諸實踐”。3 灌輸辯證思想，樹立科學世界觀辯證唯物主義的世界觀強調不能一成不變地看問題，要注重事物的發展變化。而微積分學科的知識強有力地表現了變化的觀點，幾乎現實世界任何變動的過程都需要微積分來表現和刻畫。比如極限的概念，定積分的概念及應用等內容都深刻地反映了辯證的思想。在微積分的教

11、學中，要善于挖掘其中的辯證思想，對學生進行潛移默化的引導和滲透。可以使學生在學習中領會運動與變化的觀點，聯系的觀點以及有限與無限等對立統一的規律，幫助學生樹立科學的世界觀，提高思辨能力。在無窮小量概念教學時，以“數學的第二次危機無窮小量是零嗎？”為故事背景向學生講述：微積分的創始人是牛頓萊布尼茨，從此微積分就誕生了，這樣一來，一方面給原有的數學教學方法帶來很大的改變，另一方面也給傳統數學教學帶來對概念無法理解的現象，主要表現在“無窮小量”概念的理解。喬治·貝克萊是愛爾蘭的哲學家，也是英國近代經驗主義哲學家的三位代表人物之一，他于1734年發表了分析學家或者向一個不信正教數學家的進言，

12、矛頭就指向微積分學的基礎，就是無窮小量的問題，這就是數學史上所謂貝克萊悖論。他指出：牛頓在求導數的時候，先采取了給以增量，再用減去來求增量，并除以用求出的增量與的增量之比，然后又讓消失，這樣就得出增量的最終比。上面過程牛頓違反了矛盾律。他先設有增量，又令增量為零，也就是假設沒有增量。他認為無窮小量既可以等于零又可以不等于零，也就是無窮小量是召之即來，揮之即去，這是荒謬的。微積分由此也就變得“神秘”了。無窮小量究竟是不是零？無窮小量及其分析是否合理呢？這個問題就引發了數學史上的第二次危機。一直到一個半世紀以后，數學家柯西把無窮小量定義為一個以零為極限的變量才得以解決。對這個悖論的解釋歸根結底是人

13、們對變量及有限、無限的認識缺陷而造成的。通過這樣數學故事的講述，能夠引起學生的思考，通過教師的適時引導，師生一起思辨，辯證唯物主義的思想直接深入到學生的頭腦中。除了在數學課堂教學中滲透數學史外，還可以通過多種途徑、多種形式對學生進行數學史的教育。如：發揮學生的主觀能動性，以數學板報的形式出現，介紹數學家的事跡、歷史名題等。還可以，適當舉辦一些數學史的專題講座或專題班會；教師向學生推薦一些數學家傳記、數學名著，較通俗的數學通史的等著作閱讀，不僅可以增進學生對數學的興趣理解，同時也是進行數學史教育的好方法。 4 結 論 總之，在微積分的課堂教學中，應該結合根據教學內容，適當穿插數學知識產生的歷史背景及發展歷程等感性的數學史資料。通過數學史背景知識的教學，讓學生感受到微積分中數學知識的美感