1、第七章 圖形變換n圖形變換一般是指將物體的幾何信息經過放大、縮小、平移和旋轉等幾何變換后產生新的圖形。它總是與相關的坐標系緊密相連的。從相對運動的觀點來看，圖形變換既可以看作是圖形相對于坐標系的變動，即：坐標系固定不動，物體的圖形在坐標系中的坐標值發生變化；也可以看作是圖形不動，但是坐標系相對于圖形發生了變動，從而使得物體在新的坐標系下具有新的坐標值。通常圖形變換只改變物體的幾何形狀和大小，但是不改變其拓撲結構。第七章 圖形變換n教學學時教學學時：4課時n教學目的與要求教學目的與要求： 了解各種坐標系的定義及其作用；熟悉二維觀察流程；掌握二維三維坐標變換的基本方法n教學重點：教學重點：坐標變換

2、，平移變換，伸縮變換，旋轉變換，組合變換；第七章 圖形變換n主要研究內容：n1. 圖形變換的數學基礎n2.窗口視圖變換n3.二維圖形幾何變換n4.三維圖形幾何變換第七章 圖形變換n圖形變換是指對計算機生成的圖形進行變換的技術, 它是計算機圖形學中較為基礎的內容之一。 通過圖形變換可以從簡單圖形生成復雜圖形; 可以從某一個圖形得到多個其它圖形; 可用二維圖形表示三維形體; 可對靜態圖形經過快速變換而獲得圖形的動態顯示效果; 當圖形具有一定的規律性時, 還可以使繪圖程序簡單化。 第七章 圖形變換n所以, 為了提高圖形程序的設計效率和質量, 開拓圖形程序應用范圍的新領域, 深入學習圖形變換是十分必要

3、的。 圖形變換應用的例子如圖7.1所示。 目前, 較為完善的圖形軟件中, 都包含有圖形幾何變換的一些功能。n圖形變換的作用和意義：l把用戶坐標系與設備坐標系聯系起來；l可由簡單圖形生成復雜圖形；l可用二維圖形表示三維形體；1.動態顯示。第七章 圖形變換圖 7.1 圖形變換應用示例 7.1圖形變換的數學基礎zyxuuuUzyxvvvVzzyyxxvuvuvuVU矢量矢量和7.1圖形變換的數學基礎矢量的數乘 矢量的點積n性質zyxkukukuUkzzyyxxvuvuvuVUUVVUVUVU000UUU7.1圖形變換的數學基礎矢量的長度 n單位矢量 n矢量的夾角矢量的叉積 222zyxuuuUUUV

4、UVUcoszyxzyxvvvuuukjiVU7.1圖形變換的數學基礎n矩陣 mn 階矩陣n階方陣零矩陣行向量與列向量單位矩陣矩陣的加法 矩陣的數乘 矩陣的乘法 矩陣的轉置 矩陣的逆 7.1圖形變換的數學基礎矩陣的含義矩陣：由mn個數按一定位置排列的一個 整體，簡稱mn矩陣。其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素mnmmnnaaaaaaaaa . . . . . . 21222211 1211A7.1圖形變換的數學基礎矩陣運算n加法設A，B為兩個具有相同行和列元素的矩陣 . b . . . . b m22111112121111mnmnmmmnnbaababaabaABkA = k*aij|

5、i=1.m, j=1,. n數乘7.1圖形變換的數學基礎乘法設A為32矩陣，B為23矩陣 C = A B = C=Cmp = Am n Bnp cij = aik*bkj單位矩陣 在一矩陣中，其主對角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In 。 Am n = Am n In babab abababababababababa322322221221312321221121321322121211311321121111 k=1,n7.1圖形變換的數學基礎n逆矩陣若矩陣A存在AA-1=A-1A=I，則稱A-1為A的逆矩陣n矩陣的轉置 把矩陣A=(aij)mn的行

6、和列互換而得到的nm矩陣稱為A的轉置矩陣,記作AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (AB)T = BT AT 當A為n階矩陣，且A=AT ，則 A是對稱矩陣。7.1圖形變換的數學基礎矩陣運算的基本性質n交換律與結合律師 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+Cn數乘的分配律及結合律 a(A+B) = aA+aB; a(A B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A7.1圖形變換的數學基礎n矩陣乘法的結合律及分配律 A(B C) = (A B)C (A+B) C = A C+ B

7、 C C (A+B) = C A + C Bn矩陣的乘法不適合交換律7.2窗口視圖變換n圖形變換一般是指將物體的幾何信息經過放大、縮小、平移和旋轉等幾何變換后產生新的圖形。它總是與相關的坐標系緊密相連的。從相對運動的觀點來看，圖形變換既可以看作是圖形相對于坐標系的變動，即：坐標系固定不動，物體的圖形在坐標系中的坐標值發生變化；也可以看作是圖形不動，但是坐標系相對于圖形發生了變動，從而使得物體在新的坐標系下具有新的坐標值。通常圖形變換只改變物體的幾何形狀和大小，但是不改變其拓撲結構。7.2窗口視圖變換 窗口和視圖區窗口和視圖區n用戶坐標系用戶坐標系（world coordinate system

8、，簡稱WC）n設備坐標系設備坐標系（device coordinate system，簡稱DC）n窗口區窗口區（window）n視圖區視圖區（viewport） 7.2窗口視圖變換na 世界坐標系： 通常世界坐標系是一個三維笛卡兒坐標系。它是一個全局坐標系統，一般為右手坐標系。該坐標系主要用于圖形場景中的所有圖形對象的空間定位、觀察者（視點）的位置和視線的定義等等。計算機圖形系統中所涉及的其它坐標系基本上都是參照它進行定義的。b 局部坐標系： 為了幾何造型和觀察物體方便起見，獨立于世界坐標系定義的二維或三維笛卡兒坐標系稱為局部坐標系。在局部坐標系中定義的局部物體，通過指定局部坐標系在世界坐標系

9、中的方位，利用幾何變換，就可以將局部定義的物體變換到世界坐標系內，使之升級成為世界坐標系中的物體。7.2窗口視圖變換nc 觀察坐標系： 觀察坐標系通常是以視點的位置為原點，通過用戶指定的一個向上的觀察向量來定義的一個坐標系，缺省為左手坐標系。觀察坐標系主要用于從觀察者的角度對整個世界坐標系內的圖形對象進行觀察，以便簡化幾何物體在視平面（又成為成像面或投影面）的成像的數學演算。nd 視平面（成像面）坐標系： 它是一個二維直角坐標系統，主要用于計算物體在成像面上的投影。一般是通過指定視方向和視點到成像面之間的距離來定義成像面（投影面）。可進一步在投影面上定義一個稱之為窗口的矩形區域來實現部分成像。

10、7.2窗口視圖變換ne 屏幕坐標系： 屏幕坐標系也稱為設備坐標系，它主要用于某一特定的計算機圖形顯示設備(如光柵顯示器)的表面的點的定義。在多數情況下，對于每一個具體的顯示設備，都有一個單獨的設備坐標系。 在定義了成像窗口的情況下，可進一步在屏幕坐標系統中定義稱為視區的有界區域，視區中的成像即為實際所觀察到的圖形對象。換句話說，在世界坐標系中要顯示的區域稱為窗口，而顯示器上相應的圖形輸出區域稱為視區（或視口）。將世界坐標系中的一部分區域中的場景映射到設備坐標系的過程稱為觀察變換；將二維觀察變換簡單地稱為窗口到視區的變換，簡稱為窗視變換。 7.2窗口視圖變換n1. 世界坐標系(WCS-World

11、 Coordinate System)n 世界坐標系一般是三維右手直角坐標系, 它的單位根據所描述的實際對象的大小來確定, 通常使用實數, 取值范圍并無限制。 它是一般用戶繪圖時所取的坐標系, 有時也稱為用戶坐標系或物體坐標系。 通常表示為圖7.2(a), 它也可以是二維的, 表示為圖7.2(b)。 7.2窗口視圖變換 圖 7.2 世界坐標系(WCS)(a) 3D右手直角坐標系； (b) 2D右手直角坐標系7.2窗口視圖變換n2. 目坐標系(ECS/VCS-Eye Coordinate System)n 目坐標系一般是三維左手直角坐標系, 通過變換可在用戶坐標系的任何位置, 任何方向定義。 它

12、的單位根據所描述的實際對象的大小來確定, 一般使用實數。 它是一般用戶觀察圖形對象時所取的坐標系, 有 時 也 稱 為 觀 察 坐 標 系 ( V C S - V i e w Coordinate System)。 7.2窗口視圖變換n建立目坐標系的主要作用有兩個, 第一個是用于指定裁剪空間, 確定三維立體的哪部分要顯示輸出; 第二個是通過定義觀察(投影)平面, 把可顯示部分的用戶坐標變換成規格化的設備坐標。 用戶坐標與目坐標之間的關系, 如圖7.3所示。 7.2窗口視圖變換 圖 7.3 目坐標系(ECS) 7.2窗口視圖變換n3. 設備坐標系(DCS-Device Coordinate Sy

13、stem)n 為了便于輸出真實圖形, 設備坐標系(DCS)有時也采用左手三維直角坐標系， 但它不全都是左手的、 三維的。 它的單位根據輸出設備的實際大小來確定, 一般使用整數, 如圖7.4所示。 7.2窗口視圖變換圖 7.4 設備坐標系(DCS) 7.2窗口視圖變換n4. 規格化設備坐標系(NDCS-Normalized Device Coordinate System)n 在早期的圖形系統中, 圖形程序(或軟件包)大多是在用戶坐標系(WCS)中畫圖, 然后直接映射到設備坐標空間(DCS)顯示輸出。 7.2窗口視圖變換n這就給設備的更換和軟件的移植帶來不方便。 為此, 在WCS和DCS之間定義

14、了一個與設備無關的規格化設備坐標系, 考慮到且坐標系與設備坐標系， 它常被取為三維或二維左手直角坐標系, 取值范圍約定為(0.0, 0.0, 0.0)到(1.0, 1.0, 1.0)或者(0.0, 0.0)到(1.0, 1.0), 如圖5.7所示。 用戶的繪圖數據經過轉換成NDCS中的值, 使得圖形有了統一的設備空間。 這對圖形的統一處理, 帶來很大的方便, 從而提高圖形程序的可移植性。 7.2窗口視圖變換圖 7.5 規格化設備坐標系(NDCS) 7.2窗口視圖變換n以上介紹的坐標系均為三維坐標系, 但在顯示器屏幕上或繪圖機上, 則要求用戶定義一個平面。 較為簡單方便的辦法是使z坐標值取零。

15、因此在三維直角坐標系中, xOy平面也可以看作是基本工作平面。 任何不在xOy平面內的圖形可以通過本章介紹的圖形變換來處理。 n國際圖形標準GKS(Graphics Kernel System)是圖形程序和各種圖形輸入/輸出設備之間的一個標準軟件接口。 為便于圖形程序的使用和對設備的處理, GKS設置了三種坐標系, 即世界坐標系(WCS)、 規范化設備坐標系(NDCS)和設備坐標系(DCS)。 它們之間的轉換如圖7.6所示。 7.2窗口視圖變換圖 7.6 WCS、 ECS、 NDCS和DCS間的轉換 yxODCSxOyDCSyxODCSy11xO0UOVNDCSECS觀察平面yxWCSO7.2

16、窗口視圖變換n窗口區和視圖區的坐標變換n設窗口的四條邊界WXL,WXR,WYB,WYT視圖的四條邊界VXL,VXR,VYB,VYT則用戶坐標系下的點（即窗口內的一點）(Xw,Yw)對應屏幕視圖區中的點（Xs,Ys），其變換公式為VYBWYBYWYBWYTVYBVYTYVXLWXLXWXLWXRVXLVXRXwsws7.2窗口視圖變換n簡化為：n1) 當ac時，即x 方向的變化與y方向的變化不同時，視圖中的圖形會有伸縮變化，圖形變形。n2) 當a=c=1，b=d=0則Xs=Xw,Ys=Yw,圖形完全相同。n思考：前面講的窗口視圖變換時，假設窗口的邊和坐標軸平行，如果窗口的邊不和坐標軸平行呢？ 式

17、) 1 (dYcYbXaXwsws7.2窗口視圖變換nA. 先讓窗口FGHI轉-角，使它和FGHI重合。nB. 用(1)式進行計算。7.2窗口視圖變換二維圖形的顯示流程圖7.3二維圖形幾何變換n圖形變換：對圖形的幾何信息經過幾何變換后產生新的圖形。n圖形變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標系改變；2.圖形改變，坐標系不變。我們所討論的是針對坐標系的改變而講的。 7.3二維圖形幾何變換7.3.1 二維圖形幾何變換的原理 二維圖形由點或直線段組成 直線段可由其端點坐標定義 二維圖形的幾何變換：對點或對直線段端點的變換yxPyxP7.3二維圖形幾何變換n二維變換矩陣 二維圖形變換矩陣可以用下式表示：i

18、hgfedcbaTD27.3二維圖形幾何變換n從變換功能上可把T2D分為四個子矩陣，其中edba的作用是對圖形幾何信息進行伸縮、對稱、旋轉和錯切等變換；g h的作用對圖形進行平移變換；fc是對圖形進行投影；g的作用是在x軸的1/g處產生滅點，h的作用是在軸的1/h處產生滅點。 i 是對整個圖形進行伸縮變換。 xT yTxxTyPPyT平移變換yxTyyTxx幾何關系yxTTyxyx矩陣形式xSySyx相對于原點原點的比例變換相對于重心重心的比例變換yx重心yxSyySxx幾何關系yxSSyxyx00 矩陣形式10yxSSyxSS 1yxSSyxSS 1yxSSyxSS sincos ryrx（

19、5-11）cossinsincos)sin(sinsincoscos)cos(rrryrrrx（5-12）cossinsincosyxyyxx將式（5-11）代入式（5-12）得：（5-13）PP幾何關系（5-14） cossinsincos yxyx矩陣形式yx旋轉變換7.3.3 齊次坐標（齊次坐標（homogeneous coordinates）技術）技術n 1.1.齊次坐標技術的引入齊次坐標技術的引入n 平移、比例和旋轉等變換的組合變換n 處理形式不統一，將很難把它們級聯在一起。 2.變換具有統一表示形式的優點變換具有統一表示形式的優點便于變換合成便于硬件實現 3.齊次坐標技術的基本思想

20、齊次坐標技術的基本思想 把一個n維空間中的幾何問題轉換到n+1維空間中解決。 4.齊次坐標表示齊次坐標表示齊次坐標表示不是唯一的),.,(21nxxx)/,.,/,/(21nxxx ),.,(21nxxx),.,(21nxxx15.基本幾何變換的齊次坐標表示基本幾何變換的齊次坐標表示 n平移變換 101000111yxTTyxyx 100000011yxSSyxyx 1000cossin0sincos11yxyxn比例變換n旋轉變換：6. 無窮遠點或無窮遠區域的齊次坐標表示無窮遠點或無窮遠區域的齊次坐標表示 時，齊次坐標 表示一個n維的無窮遠點 0),.,(21nxxx yyxx關系幾何 11

21、00010001 11yxyxyx形式矩陣yyxx關系幾何 1100010001 11yxyxyx形式矩陣oyx對稱變換（1）yxo對稱變換（2）yyxx 1100010001 11yxyxyx關系幾何形式矩陣形式矩陣關系幾何xyyx 110000101011xyyxyxoxy對稱變換（3）xyoy=x對稱變換（4）xyyx幾何關系 110000101011xyyxyx矩陣形式xyoy=-x對稱變換（5）x 錯切變換（1）yxayyctgx 有ctga 令yyayxx 代入得yyxxx 幾何關系11000100111yayxayxyx矩陣形式 錯切變換（2）yxy 11000100111ybx

22、xbyxyx矩陣形式幾何關系yyyxx byyctgx 有ctgb 令yyayxx 代入得二維基本變換-錯切變換n1) 當d=0時， (x* y* 1)=(x+by y 1)：圖形的y坐標不變；n當b0：圖形沿+x方向作錯切位移。ABCDA1B1C1D1n當b0：圖形沿+y方向作錯切位移。ABCD A1B1C1D1當d0：圖形沿-y方向作錯切位移。ABCD A2B2C2D2n組合變換又稱級聯變換，指對圖形做一次以上的幾何變換。n注意：任何一個線性變換都可以分解為上述幾類變換。7.3.4 二維組合變換二維組合變換n1.相對于任意點（相對于任意點（x0 , y0）的比例變換）的比例變換n 對任意點

23、比例變換的步驟：n （1）平移變換n （2）相對于原點的比例變換 n （3）平移變換n當（x0 , y0）為圖形重心的坐標時，這種變換實現的是相對于重心的比例變換。 7.3.4 二維組合變換二維組合變換令1010001001yxT1000000yxSSS1010001002yxT 1000000 112233yxSSyxyx 1010001 11001122yxyxyx 1010001 11003344yxyxyx任意點比例變換示意圖平移 111yx平移比例 21STTT 則有 TyxSTTyxyxyx 1 11111211144(x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)Oxy(x1,y1)(

24、x4,y4)相對于任意點(x0,y0)的旋轉變換 1000cossin0sincos 112233yxyx 1010001 11001122yxyxyx 1010001 11003344yxyxyx任意點旋轉變換示意圖平移 100yx平移旋轉1010001001yxT1000cossin0sincos R1010001002yxT 21RTTT TyxRTTyxyxyx 1 11111211144令則有例1：復合平移n求點P(x,y)經第一次平移變換（Tx1,Ty1），第二次平移變換（Tx2,Ty2）后的坐標P*（x*, y*）n解：設點P(x,y,1)經第一次平移變換后的坐標為P(x y 1

25、)，則1111101000111tyxTyxTTyxyxP212211221101000110100011101000111*ttyxyxyxTTyxTTTTyxTTyxyxP例2：多種復合組合n例:對一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。n解:設點(x,y)為線段上的任意一點,點(x,y)為點(x,y)放大后的坐標則:設點(x,y)為點(x,y)經平移后的坐標為：x,y,1= x,y,1T2(10,0)則： x,y,1= x,y,1T2(10,0)=x,y,1S2(2,2)T2(10,0) 令：M=S2(2,2)T2(10,0) ，則M即為組合變換yx(x,y)y

26、x(x ,y )yx(x,y)Tx例3：旋轉變換n對參考點F(xf,yf)做旋轉變換。n解：n1、把旋轉中心F(xf,yf)平移至坐標原點，即坐標系平移（-xf,-yf），則 ffffyxTyxyxyxyx110100011111 Tyxyxyx11000cossin0sincos11221122例3：旋轉變換n 將坐標系平移回原來的原點ffffyxTyxyxyxyx1101000111*2222 ffffyxTTyxTyxyx11*例4：任意的反射軸的反射變換n任一圖形關于任意的反射軸y=a+bx的反射變換 n解：1. 將坐標原點平移到(0,a)處100100011aT例4：任意的反射軸的反

27、射變換n2.將反射軸（已平移后的直線）按順時針方向旋轉角，使之與x軸重合 1000cossin0sincosR 1000cossin0sincosR1000100012T 例4：任意的反射軸的反射變換n5.恢復反射軸的原始位置100100013aT 321TRTRTT平移物體使固定點與坐標原點重合對于坐標原點縮放用步驟1的反向平移將物體移回原始位置例5：通用固定點縮放例6: 通用定向縮放n比例變換中的比例因子Sx,Sy只能在x軸方向或y軸方向起作用。實際圖形變換中，不僅是在x,y方向變換，往往要求在任意方向進行比例變換。通過旋轉變換和比例變換的組合，可以實現任意方向的比例變換。n解：定義比例因子S1和S2。n1. 使S1和S2旋轉角后分別與x軸和y軸重合。n2. 進行比例變換。n3.使S1和S2旋轉-角，返回原始位置。例6: 通用定向縮放n如：圖(a)