1、數學基本活動經驗：問題、內涵及習得策略義務教育數學課程標準（2011年版）將“數學基本活動經驗”列入課程總體目標之中：“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗?！边@一數學教育價值目標的調整表明，我們對數學知識的本質理解發生了根本性變化：數學知識不僅包括被整個數學共同體所認同的“客觀性知識”（科學形態的表征），而且包括從屬于兒童自己的“主觀性知識”（個體認知的表征），即帶有鮮明個體認知特征的數學基本活動經驗。一、點擊現狀：當下兒童數學基本活動經驗教學的主要問題現狀一：數學活動中“數學味”的缺失。當下的一些數學活動盡管重視了兒童多樣化的“個人體驗”，但卻

2、缺少了應有的“數學化”過程。數學活動中“數學味”的缺失，并未使兒童獲得有價值的活動經驗！例如，教學蘇教版五年級上冊周期現象的規律時，一位教師任由學生用實物、圖形、符號表征周期現象、解決周期問題，而對周期問題的抽象算法只是蜻蜓點水，一帶而過。以至于到“檢測反饋”環節，有學生仍然在嘗試用“畫圖”的策略解決問題。教師沒有引導兒童對周期現象“數學化”，兒童因此沒有理解“周期現象”的數學本質“有多少組，還余多少個”。如此的數學活動，兒童模仿了“經歷”的“形”，而未真正獲得其“神”?，F狀二：數學活動中“兒童主體”的缺位。人學思想進入教育的視野，數學教學因此有了對兒童數學活動主體性的重視。但我們發現：許多數

3、學活動僅僅是讓兒童“走過場” 數學活動材料單薄、活動形式單一，兒童“被經歷”現象明顯。如一位教師教學蘇教版四年級下冊搭配的規律，首先出示一張某食堂的菜譜讓學生一葷一素搭配，引導學生猜想；然后讓學生用圖形、符號表示葷菜和素菜進行搭配驗證；接著就讓學生討論概括葷菜的種類、素菜的種類與一共有多少種搭配的方法之間的關系，兒童“行色匆匆”。教師沒有展現兒童“無序列舉”的混亂、繁雜和“有序列舉”的簡捷、從容，數學思考的力度柔弱。這樣的活動其實是“兒童主體”缺位的“被活動”！現狀三：數學活動中“成人經驗”的越位。所謂“成人經驗越位”是指教師以其本身的經驗來推斷兒童的理解水平。從成人的視角出發，“想當然”地用

4、教師經驗替代兒童經驗，忽視兒童的年齡與心理特征。如一位教師教學六年級“圓的周長”，將求半圓的周長公式進行推導：2r÷2+2r =r+2r，最終歸結為：已知半徑（r）求半圓的周長則用公式（+2）r；如果已知直徑（d）則得出半圓的周長公式為d÷2+d =（÷2+1）d 并要求兒童像圓的周長公式一樣牢記，甚而要求解決問題時，先寫公式再代入公式計算。這種教師自以為“更簡便”、“更發展兒童思維經驗”的方法其實是以 “成人經驗”代替“兒童經驗”。因為，相對于公式中的抽象符號，“圓周長的一半加一條直徑的長”的語言文字表述更容易被兒童理解與掌握，更符合兒童的經驗水平與認知能力。況

5、且如果出現四分之一圓或其他情況，兒童將會生搬硬套公式，其結果思維被引向死胡同?；蛟S很多時候，我們的教學正行走在兒童數學基本活動經驗的邊緣，盡管我們一直沒有忽視兒童的數學活動經驗！二、追尋本真：兒童數學基本活動經驗的內涵及特質（一）“經驗”的內涵“經驗”一直是教育學、學習心理學等領域討論的重要話題。按現代漢語詞典解釋，“經驗”一詞有兩種詞性：一為名詞，指由實踐得來的知識或技能；一為動詞，指經歷、體驗，即怎樣經驗。美國教育家約翰·杜威在民主主義與教育中指出：“經驗不僅包括人們做些什么和遭遇些什么，而且包括人們怎樣活動和怎樣受到反響的，他們怎樣操作和遭遇”他認為“一盎司經驗勝過一噸理論”，

6、“教育是在經驗中、由于經驗和為著經驗的一種發展過程，教育即是經驗的改造或改組” 。（二）數學基本活動經驗的特質數學活動經驗作為兒童經驗的一部分，是基于動態的、可誤的數學觀。它既是知識，也是過程，介于緘默知識和顯性知識之間從靜態上看是知識，是兒童對整個數學活動過程產生的認知、體驗和感悟等；從動態上看是兒童的數學活動過程，是兒童的主動經歷。1數學基本活動經驗具有“數學化”特質。數學活動必須有明確的數學特征、明晰的數學目標，所積累的經驗一定要有“數學味”。數學活動要謹防“去數學化”傾向。比如“折紙活動”，既可以是美學欣賞，也可以是技能訓練。但作為數學活動的折紙，其目標應指向數學，比如認識軸對稱圖形，

7、認識長方形、正方形的特征，認識分數，認識圓等。2.數學基本活動經驗具有“活動化”特質?；顒邮墙涷灥脑慈?，經驗是活動的產物。數學活動經驗不僅在于累積知識，更在于數學活動本身。無論是外顯的操作活動還是內隱的思維活動，都應是兒童主動經歷的活動（尤其是思維活動），而不能是偽經歷、被經歷的活動。比如“折紙經驗”只有讓兒童充分經歷“折紙活動”才能獲得。教學“圓的認識”，讓學生將一張軟紙對折、再對折；而后，從第三次對折開始，每次對折的折痕都經過第一次、第二次折痕的交點；直到對折不能進行為止。將折出的扇形的多余部分撕掉，保證將折疊的每層紙都撕掉，而且撕口線盡可能平整。將剩余的部分打開鋪平，學生看到了一個近似于

8、圓形的紙片。經過充分的折紙活動，兒童對于“圓”概念的理解將是非常深刻的。 3數學基本活動經驗具有“經驗性”特質。數學活動經驗是兒童的“個體知識”，與兒童的觀察、操作、實驗、猜想、驗證等活動過程聯系在一起，并產生于這些活動過程之中。與形式化的“客觀知識”比較，數學基本活動經驗缺乏明晰的結構體系既沒有明確的邏輯起點，也沒有明顯的邏輯結構，而是一種數學活動中積累的體驗與感悟，是一種可意會難言傳的經驗習得，是知識性、體驗性、觀念性成分的“復合體”。教學“軸對稱圖形”，讓學生做“漢字、字母與軸對稱圖形”的小課題研究；教學“利息”，讓學生比較“銀行存款與購買保險哪個收益更高”；教學“列舉的解決問題的策略”

9、，讓學生設計“租車方案”等。這些活動激發了兒童的好奇心與求知欲，讓兒童獲得了成功體驗和對數學美的感受！三、尋獲策略：如何讓兒童習得數學基本活動經驗（一）探尋兒童數學活動的“前經驗”，讓兒童獲得“數學化體驗”每一經驗都有取之于過往經驗，同時也以某種方式改變著以后經驗的性質。在任何情況下，經驗總有一定的連續性。因此，我們要探尋兒童的“前經驗”。兒童的數學“前經驗”不僅包括數學“結構性知識”，更包括大量“非數學經驗背景”。盡管兒童的“前經驗”是模糊、零散的、可能還無明確的數學意義，但這種“前經驗”是兒童“自己的經驗”，是兒童開展數學活動不可或缺的基礎。兒童玩過各種形狀的積木，比過物體的長短、大小、輕

10、重、厚薄、寬窄，看過鐘表認過時間，分辨過方向，在口袋中隨機摸過東西等等。數學活動要與兒童經驗對接，幫助兒童理解經驗的數學意義，把握經驗的數學本質，讓兒童模糊、零散的“前經驗”清晰化、條理化、系統化。教學“平均數”，筆者首先設計了多個兒童生活中的情景性問題，然后抽取相關因素幫助兒童抽象概括出“總數量÷總份數=平均數”的數量關系。比如“3筐梨的總重量÷筐數=平均每筐梨的重量”；“5個小朋友踢毽子的總數量÷小朋友個數=平均每個小朋友踢毽子的數量”；“全班同學數學測試的總分數÷全班同學數=本班的數學平均分”。然后在兒童相關生活事例基礎上進行“同一化抽象”，即抽象

11、出數量關系的共同點，概括建立起“總數量÷總份數=平均數”的數學模型。在活動中，兒童經過“移多補少”的數學操作，感悟到：對于幾個小數據的平均數，宜采用“移多補少”策略解決問題；而對于多個大數據的“平均數”，一般用概括起來的數學模型解決問題更簡便。兒童數學基本活動經驗就是在這樣的從生活原型到數學模型，從具體到半具體、從半抽象到抽象的形式化過渡，是穿行于實物與算式間的“數學化”提升?。ǘ┙M織手腦和諧共舞的“探究活動”，讓兒童獲得“過程性體驗”瑞士心理學家皮亞杰曾說：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展?！睌祵W探究是指圍繞已有問題的解決而展開的數學活動，缺乏

12、數學思維介入的行為操作活動是不會讓學生獲得豐富、生動的數學體驗的。只有內隱思維的深度介入，外顯的操作活動才會有數學意義。探究活動，從兒童的學習結果看是為了獲得經驗，而從過程看則是兒童積極的經驗建構過程。例如，四年級學生在探究三角形內角和是多少的活動中，既要行為操作（量角的度數，撕、剪或者折角、拼角），又要展開數學思考（怎樣找到180°的角）。探究時，筆者先讓學生通過三角尺的三個內角猜測三角形三個內角的和是180°，然后讓學生說出平角的特征，兩條邊成一條直線的角是平角，喚醒學生的已有經驗。接著讓學生想辦法將不同類型三角形的三個內角拼在一起進行驗證。驗證時，一是需要知道到哪里可

13、以找到180°的角；二是需要知道怎樣通過撕、剪或折角，將一個三角形的三個內角拼在一起形成180°的角。學生面臨這些問題，必須融合行為操作與思維操作。再如，教學“長方體的認識”，在學生初步探索了“長方體的特征”后，筆者設計了一個數學活動：為每個小組都準備了學具籃（里面有各種大小的紙板和膠帶），讓學生領取材料制作長方體模型。學生根據“相對的面完全相同”都能很快選擇兩個相同的面作“對面”，但卻遇到“圍不起來”的問題。這時，筆者引導學生思考交流，進一步明晰長方體的本質特征：三組不同的面不僅每兩組面之間至少要有一條相同的棱，而且是長、寬、高的兩兩搭配，即長×寬、長×

14、;高和寬×高。（三）尋求數學活動的“替代性經驗”，讓兒童獲得“情感性體驗”當下不少教師在“活動經驗”認識上存在誤區，認為活動經驗一定是兒童親歷所得。其實，親歷是獲得數學活動經驗的重要方式，但不是唯一方式。許多抽象程度高、變化精細、難于想象的數學知識是無法讓學生親身經歷的。但兒童的數學思維由于其年齡特征、已有經驗等因素的限制常常又需要一定的具體模型作支撐。20世紀美國學者戴爾(Edgar Dale)等人提出的“經驗之塔”理論認為，當直接經驗無法滿足時，應該尋求觀察經驗作為“替代性經驗”以彌補和替代直接經驗的不足。教學中教師要充分整合板書演示、課件動畫、錄像、幾何畫板等各種教學手段與技術

15、，為兒童提供和創造類似于“觀察性經驗”的“替代性經驗”，讓兒童由于現實操作條件限制而難于進行實物操作或模型操作而缺失的直接經驗“可視化”，讓兒童在觀看、模仿、想象這些“替代性經驗”中獲得類似于親臨其境的實實在在的經歷和體驗。教學“三角形的面積”，筆者利用多媒體課件先出示一個三角形，再復制、粘帖出完全相同的三角形，然后借助多媒體課件動態演示，平移、旋轉、拼接成一個與三角形等底等高的平行四邊形，直觀演示讓兒童輕松經歷了三角形面積公式的推導思考過程。再如“圓的面積”推導，其方法是“割圓術”平均分的份數越多，每一份小扇形就越接近“三角形”，拼成的圖形就越接近“長方形”。當兒童通過操作，把圓先后平均分成

16、4份、8份、16份、32份然后拼成“非常近似的長方形”但還不是長方形時，筆者首先讓兒童想象，然后適時播放課件，形象直觀地演示“化曲為直”的動態變化過程。手工操作困難的圖形推導借助信息技術的演示得到了具體直觀的驗證。兒童在觀察過程中獲得了“替代性經驗”，一致得出了每一份小扇形“就是三角形”，拼成的圖形“就是長方形”的結論，驗證了想象、推理的結果，滿足了心理需求，獲得了積極的情感體驗，充實了數學活動經驗的具體內容。（四）提升數學活動的“策略性經驗”，讓兒童獲得“反思性體驗”荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為：只要兒童沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次。善于對數學活動進行反思的兒童，他的數學

17、直覺、數學感受力必然會隨著經驗的累積而增強。教師要引導兒童對“原初經驗”進行自我反思：自己是怎樣發現、解決問題的？獲得了哪些數學思考方法？有什么好的經驗？通過反思，兒童可以將低層次的活動經驗進行提升，實現經驗的改造和重組，并逐步生成新的經驗。例如，教學“分數的意義”，筆者讓學生把正方形紙折一折，表示出其中的二分之一。學生們給出的折法有很多，如圖：這時，讓學生觀察比較：比一比，這四種折法有什么共同點？他們經過思考、交流發現：這些折痕都經過了正方形的中心點。之后，我讓學生再次動手驗證：“沿正方形的中心點對折，每一份是正方形的二分之一嗎？”學生們又探索出新的折法，如圖：通過反思，學生把個別的、膚淺的實踐經驗提升為普遍的、抽象的理性經驗，探索并認識到“只要沿正方形的中心點對折，其中一份就是二分之一”這一具有廣泛意義的數學結論。又如，教學蘇教版六年級下冊“圓柱的體積”，活動前，讓學生回顧圓的面積公式推導的活動過程，進而對圓柱體積的探究策略展開猜想。活動過程中，注意引領學生對活動過程進行回顧、審視：我的探究活動經過了哪些步驟？長方體的長、寬、高分別相當于原來圓柱的什么？底面積變化了嗎？高變化了嗎？得出公式后，筆者再次引領