1、一、變限積分與原函數的存在性 本節將介紹微積分學基本定理, 并用以證明連續函數的原函數的存在性. 在此基礎上又可導出定積分的換元積分法與分部積分法.5 微積分學基本定理數學分析 第九章定積分三、泰勒公式的積分型余項二、換元積分法與分部積分法*點擊以上標題可直接前往對應內容變限積分與原函數的存在性( )( )dbxxf tt 類類似似稱稱為變下限的定積分.( )( )d , , xaxf ttxa b 稱稱為變上限的定積分; , fa b設設在在上上可可積積， , , , .xa bfa x 則則在在上上可可積積后退 前進 目錄 退出變限積分與原函數的存在性( )d( )dxxxaaf ttf

2、tt .d)(xxxttf ,fa, b因因在在上上有有界界,|( )|, , .Mf txa b故故 于是|( )d| |,xxxf ttx 由 x 的任意性, f 在 a, b 上連續.0lim 0.x 變限積分與原函數的存在性定理9.9（變上限定積分的連續性）,fa,b若若在在上上可可積積( )( )d ,xaxf tta b 則則在在,bax 證,baxx 若若則.上連續上連續從從而而定理9.10（微積分學基本定理）若 f 在 a, b 上連續,( )( )d , xaxf tta b 則則在在上處處可導,且d( )( )d( ), , .dxaxf ttf xxa bx 1( )dx

3、xxf ttxx (),f xx 01. 由于 f 在 x 處連續，因此0( )lim( )( ).xxf xxf x證 , ,xa b 0, , xxxa b 當當且且時時，變限積分與原函數的存在性注1 本定理溝通了導數與定積分這兩個表面上似續函數必存在原函數”這個重要結論.乎不相干的概念之間的內在聯系, 也證明了“連變限積分與原函數的存在性注2 由于 f 的任意兩個原函數只能相差一個常數,( )( )d.xaF xf ttC( )d( )( ).baf ttF bF a所以當 f 為連續函數時, 它的任一原函數 F 必為,( )xaF aC用用代代入入 得得；代入，則得代入，則得再用再用b

4、x 21) ln d ;bxttt2e2) ( )dxxaf tt解：2d1) ln ddbxtttx2ed( )ddxxaf ttx2e2) ( )dxxaf tt由( )duayf tt2exux與復合而成. 2lnxx( )(2e )xf ux例1. 22(e )(e )xxf xx2dln ddxbtttxd( )dduaf ttu2d(e )dxxx求下列積分上限和積分下限函數的導數：變限積分與原函數的存在性cosln(1sin )2xxx例2. 0sin20ln(1)dlimxxttx解:原式 0limx00sinlim(-cos )lim2xxxxx 1( 1)2 12求變限積分

5、與原函數的存在性用羅比達法則定理9.11（積分第二中值定理）設 f 在a, b上可積.(i) 若函數 g 在 a, b 上單調減,且, 0)( xg則存 ,a b 在在使使.d)()(d)()( abaxxfagxxgxf變限積分與原函數的存在性(ii) 若函數 g 在 a, b 上單調增, 且, 0)( xg則存 ,a b 在在使使( ) ( )d( )( )d .bbaf x g xxg bf xx 證 這里只證 (i), 類似可證 (ii). (1) 對任意分割 T：,10bxxxan ( ) ( )dbaIf x g xx11( ) ( )diinxxif x g xx111( ) (

6、 )()diinxixif xg xg xx.21II 111()( )diinxixig xf xx(2)|( )|, , ,f xL xa b故故因因證明分以下五步:變限積分與原函數的存在性1111|( )( )()diinxixiIf xg xg xx111|( )| | ( )()|diinxixif xg xg xx 1.ngiiiLx 1ngiiixL 1|.I 2111()()()niiiiIg xF xF x010()()()g xF xF x)()()(11 nnnxFxFxg(3)( )( )d ,xaF xf tt設設則則可積，可積，因因g使使故故,:10bxxxaTn變

7、限積分與原函數的存在性101() ()()F xg xg x. )()()()()(1111niniiixgbFxgxgxF)()()()()(1121 nnnnnxgxFxgxgxF( , )min ( ) ,xa bmF x( , )max ( ) ,xa bMF x的假設，的假設，由對由對g1()0,ng x 1()()0.iig xg x 記記12111 ()()()niiniIMg xg xMg x 則則( ),Mg a ( ),mg a 12111 ()()()niiniImg xg xmg x ).()(2aMgIamg 于于是是變限積分與原函數的存在性(4) 綜合 (2), (

8、3), 得到12( )( ).mg aIIMg a 0,( )( ).mg aIMg a 令令便便得得 ,a b 滿足滿足( ) ( )d( )( )d .baaf x g xxg af xx ( )0,g a若若則則.)(MagIm( )( )dxaF xf tt由由(5) ( )0,g a 若若( ) ( )d0,baIf x g xx 則則此時任取此時任取變限積分與原函數的存在性( )( )d,( )aIFf ttg a 使使存存在在,ba 的的連連續續性性, ,( ) ( )d( )( )d .baaf x g xxg af xx 即推論 , ,a b 則則存存在在使使( ) ( )d

9、( )( )d( )( )d .bbaaf x g xxg af xxg bf xx ( ) , ( ) , f xa bg xa b設設在在上上可可積積, ,在在上上單單調調, ,變限積分與原函數的存在性證 若 g 為單調遞減函數，( )( )( ),h xg xg b令令則 h 非負、單調減,由定理 9.11(i)， ,a b 使使( ) ( )d( )( )dbaaf x h xxh af xx ( )( )( )d .ag ag bf xx 即得( ) ( )dbaf x g xx( )( )d( )( )d( )( )dbaaag af xxg bf xxg bf xx ( )( )

10、d( )( )d .bag af xxg bf xx 變限積分與原函數的存在性因此( ) ( )d( )( )dbbaaf x g xxg bf xx ( )( )( )d ,ag ag bf xx 定理9.12（定積分換元積分法）換元積分法與分部積分法( ),( ),( ), ,ab atb t 且且則( )d( ( )( )d .baf xxfttt 證( )( ) , F xf xa b設設是是在在上上的的一一個個原原函函數數, ,( ) ,t 連連續續, ,在在上上連連續續可可微微, ,( ) , f xa b若在上若在上的一個原函數. 因此( ( )( ( )( )Ftftt 是是

11、( )( )d( )ftttFt ( )baF x ( )d .baf xx 換元積分法與分部積分法則則注 與不定積分不同之處:例3202d.1x xx求求解. 15（不變元,不變限）元積分法時，引入了新變量，此時須改變積分限.保留原積分變量，因此不必改變積分限;用原變量代回.定積分換元后不一定要一般說來，用第一換元積分法時，用第二換20212220211d211dxxxxx22012 12x換元積分法與分部積分法例4402d .21xxx求求解402d21xxx3311(3 )23tt1271(9)(3)233.322（變元,變限）, 12xt設設,212tx則則,ddttx ;2322tx

12、, 1 0tx時時. 3 4tx時時于是于是換元積分法與分部積分法3211(3)d2tt例5350sinsind .xx x求求解350sinsindxx x320sin|cos|dxxx3322202sincos dsin( cos )dxx xxxx3322202sind(sin )sind(sin )xxxx552220222sinsin55xx224().555 （必須注意偶次根式的非負性）換元積分法與分部積分法例6120ln(1)d .1xxx求求解2dtan ,d.1xxttx設設則則, 00 xt時時當當120ln(1)d1xxx40cossinlndcostttt402cos(

13、)4lndcosttt444000ln2dlncos()dlncos d .4ttttt, 1 4xt時時 00tan1,4tt 且且當當時時，于是于是換元積分法與分部積分法40ln(1tan )dtt,dd ,4utut 設設則則0,4tu時時4t 時時0404lncos()dlncos ( d )4ttuu40lncos d .u u 因此,14200ln(1)dln2d1xxtxln2.8 0,u于是于是 換元積分法與分部積分法444000ln2dlncos()dlncos d .4ttttt抵消定理9.13（定積分分部積分法）若 u(x),v(x)為 a, b 上的連續可微函數,則有定

14、積分的分部積分公式：( ) ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xu x v xx證 因為 uv 是vuvu 在 a, b 上的一個原函數,( ( ) ( ) dbau x v xx( ) ( ).bau x v x 移項后則得所以( ) ( )d( ) ( )dbbaau x v xxu x v xx( ) ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xu x v xx換元積分法與分部積分法例7120arcsind .x x求求解111 2220002darcsindarcsin1x xxxxxx112222

15、011(1)d(1)262xx 1 220112x 31.122,arcsinxvxu設設,1dd2xxu則則,ddxv 換元積分法與分部積分法例820sind .nx x求求解20sindnnJx x120sincosnxx 22200(1)sind(1)sindnnnx xnx x2(1)(1).nnnJnJ于是21,2 .nnnJJnn 換元積分法與分部積分法120sindcosnxx 2220(1)sincosdnnxxx200d,2Jx210sin d1,Jx x1, 2,.m 由于221 2312222 2mmmJmm 21 !,2!2mm 212222121 213mmmJmm,

16、! !12! !2mm換元積分法與分部積分法21,2 .nnnJJnn 20sindnnJx x所以同理20cosdnx x21 !,2,2!22!,21.21 !mnmmmnmm 20sindnx x()2xt 令令換元積分法與分部積分法由此可得沃利斯（Wallis）公式：22!1lim.221 !21mmmm 換元積分法與分部積分法11222000sindsindsind ,nnnx xx xx x2!21 !22 !,21 !2!221 !mmmmmm 22!121 !212mmAmm lim()mmmBA于于是是00,2mmmABA 而而lim.2mmA 故故22!10,21 !2(2

17、1)mmmm22!1.21 !2mmBmm若 u(x), v(x) 在 a, b 上有 (n+1) 階連續導函數, 則(1)( )( )dbnau x vxx( )(1)( )( )( )( )nnu x vxu x vx1(1)( 1)( ) ( )d .bnnaux v xx 泰勒公式的積分型余項由此可得以下帶積分型余項的泰勒公式：( )( 1)( ) ( ) bnnaux v x 泰勒公式的積分型余項用分部積分公式 n 次，可得( )( )( ),nnf xP xRx則( )( ),nP xf xn為為的的階階泰泰勒勒多多項項式式 余余項項為為其中其中00( )()1,f xxU xn設

18、設在在的的某某鄰鄰域域內內有有階階連連續續導導數數0(1)1( )( )() d .!xnnnxRxftxttn,之之間間則0(),xU x 設設證( )() , ( )( ),nu txtv tf t 0txx在在與與泰勒公式的積分型余項0(1)1( )( )() d .!xnnnxRxftxttn于于是是，泰泰勒勒公公式式的的余余項項000! ( )!()()()n f xnf xfxxx 00! ( ) 0( )dxxxxn f tf tt( )1(1) ()( )()( )nnnnxtftn xtft 00()() !nnfxxxn ,!xRnn0(1)( )() dxnnxftxtt注 由推廣的積分第一中值定理,可得拉格朗日余項：泰勒公式的積分型余項0(1)1( )( )() d!