1、正多邊形正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形. .幾種常見的正多邊形幾種常見的正多邊形生活中的正多邊形圖案生活中的正多邊形圖案生活中的正多邊形圖案生活中的正多邊形圖案【知識與能力知識與能力】 使學生理解正多邊形概念，初步掌握正使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理多邊形與圓的關系的第一個定理. 通過正多邊形定義教學，培養學生歸納、通過正多邊形定義教學，培養學生歸納、觀察、推理、遷移能力觀察、推理、遷移能力.【過程與方法過程與方法】 通過復習使學生提高歸納、系統知識的能力通過復習使學生提高歸納、系統知識的能力. 通過證明和畫圖提高學生綜合運用分

2、析問題和解通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力決問題的能力. 通過一題多解的訓練培養學生的發散思維能力通過一題多解的訓練培養學生的發散思維能力【情感態度與價值觀情感態度與價值觀】 通過系統歸納知識滲透系統，培養全面、聯系通過系統歸納知識滲透系統，培養全面、聯系客觀看問題的唯物辯證認識觀客觀看問題的唯物辯證認識觀 通過一題多解的發散思維訓練和逆向思維訓練，通過一題多解的發散思維訓練和逆向思維訓練，培養學生對科學孜孜不倦的探索精神和不斷更新培養學生對科學孜孜不倦的探索精神和不斷更新的創新意識及選優意識的創新意識及選優意識 正多邊形的概念與正多邊形和圓的關系的第正多邊形的概念與正多

3、邊形和圓的關系的第一個定理一個定理. 對定理的理解以及定理的證明方法對定理的理解以及定理的證明方法正多邊形的性質正多邊形的性質60正正n邊形內角和：邊形內角和：(n2)180108 每條邊都相等每條邊都相等 每個角都相等每個角都相等135 軸對稱圖形軸對稱圖形， 一個正一個正n邊形共有邊形共有n條對稱軸條對稱軸， 每條對稱軸都通過每條對稱軸都通過n邊形的邊形的中心中心.正多邊形的性質正多邊形的性質正五邊形正五邊形正八邊形正八邊形正三邊形正三邊形什么叫中心？什么叫中心？ 邊數是邊數是偶數偶數的正多邊形的正多邊形 是是中心對稱圖形中心對稱圖形， 它的它的中心中心就是就是對稱中心對稱中心.正八邊形正

4、八邊形正六邊形正六邊形正多邊形的性質正多邊形的性質菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？菱形的四個角不相等菱形的四個角不相等. .矩形的四條邊不相等矩形的四條邊不相等. .CABDE 正多邊形和圓的關系非常密切，正多邊形和圓的關系非常密切，把一個圓分成相等的一些弧，就可以把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓就是這個正多邊形的外接圓. .123ABCDE45證明：證明：AB=BC=CD=DE=EA AB=BC=CD=DE=EA BCE=CDA=3AB 1=2 同理同理2=3=4=

5、5 又又頂點頂點A、B、C、D、E都在都在 O上，上， 五邊形五邊形ABCDE是是 O的內接正五邊形的內接正五邊形. O是五邊形是五邊形ABCDE的外接圓的外接圓. 定理證明定理證明 把圓分成把圓分成 n（n3）等份：）等份： 依次連結各分點所得的多邊形是依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的這個圓的內接正多邊形內接正多邊形.內接正多邊形內接正多邊形EFCD.正多邊形及外接圓中的有關概念正多邊形及外接圓中的有關概念EFCD.n360中心角nBOGAOG180AB邊心距邊心距OG把把AOB分成分成2個全等的直角三角形個全等的直角三角形.設正多邊形的邊長為設正多邊形的邊長為a，半徑為，半徑為R，它的

6、周長，它的周長為為L = na.Ra）邊心距（）邊心距（面積，邊心距）（rnarLSraR2121222正多邊形的有關計算正多邊形的有關計算ABCD正多邊形正多邊形外接圓外接圓內接正多邊形與外接圓的聯系內接正多邊形與外接圓的聯系把正把正n邊形的邊數無限增多，邊形的邊數無限增多，正多邊形正多邊形就接近于圓就接近于圓.圓圓由圓怎樣得到由圓怎樣得到正多邊形？正多邊形？ 把一個圓把一個圓4等分，并依次連接這些點等分，并依次連接這些點,得到正多邊形嗎得到正多邊形嗎?探究探究正方形正方形已知已知 O的半徑為的半徑為2cm，求作圓的內接正三角形，求作圓的內接正三角形120 AOCB探究探究用量角器度量，使用

7、量角器度量，使AOB=BOC=COA=120用量角器或用量角器或30角的三角的三角板度量，使角板度量，使BAO=CAO=30一題多解一題多解量角器作圖量角器作圖 你能用以上方法畫出正四邊形、正五邊形、你能用以上方法畫出正四邊形、正五邊形、正六邊形嗎？正六邊形嗎？ABCDOABCDEOOABCDEF907260 你能用尺規作出正四邊形、正八邊形嗎？你能用尺規作出正四邊形、正八邊形嗎？ABCDO探究探究尺規作圖尺規作圖 作出已知作出已知 O的互相垂直的直的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與各邊的垂線與 O相交，或作各中相交，或作各中心角的角平分線與

8、心角的角平分線與 O相交，即得相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形十四邊形 你能用尺規作出正六邊形、正三角形、你能用尺規作出正六邊形、正三角形、正十二邊形嗎？正十二邊形嗎？OABCEFD 以半徑長在圓周上截取以半徑長在圓周上截取六段相等的弧，依次連結各六段相等的弧，依次連結各等分點，則作出正六邊形等分點，則作出正六邊形. 先作出正六邊形，則可先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形正二十四邊形 有一個亭子它的地基是半徑為有一個亭子它的地基是半徑為4m的正

9、六邊形，的正六邊形，求地基的周長和面積（精確到求地基的周長和面積（精確到0.1平方米）平方米）.FADE.rRP解解:.606360半徑六邊形的邊長等于它的是等邊三角形，從而正，它的中心角等于是正六邊形，所以由于OBCABCDEF亭子的周長亭子的周長 L=64=24(m)(6 .4132242121322242422224mLrSrBCPCOCOPCRt亭子的面積心距根據勾股定理，可得邊，中，在例題例題ABCDEO 已知點已知點A、B、C、D、E是是 O 的的5等分點，等分點，畫出畫出 O的的內接正五邊形內接正五邊形和和外切正五邊形外切正五邊形. 把圓分成把圓分成 n（n3）等份：）等份： 經

10、過各分點作圓的經過各分點作圓的切線切線，以相鄰，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的的外切正多邊形外切正多邊形.外切正多邊形外切正多邊形又又五邊形五邊形PQRST的各邊都與的各邊都與 O相切，相切，五邊形五邊形PQRST的是的是O外切正五邊形。外切正五邊形。 證明：連結證明：連結OA、OB、OC，則：，則：OAB=OBA=OBC=OCBTP、PQ、QR分別是以分別是以A、B、C為切點的為切點的 O的切線的切線OAP=OBP=OBQ=OCQPAB=PBA=QBC=QCB又又AB=BCAB=BCPAB與與QBC是全等的等腰三角形。是全等的等腰三角形。P=Q PQ

11、=2PA同理同理Q=R=S=T QR=RS=ST=TP=2PA ABCDEP PQ QR RS ST TO定理證明定理證明正正多多邊邊形形概念概念計算計算畫法畫法應用應用正多邊形與圓的關系正多邊形與圓的關系正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角正多邊形的對稱性、相似性正多邊形的對稱性、相似性半徑、邊心距、中心角的計算半徑、邊心距、中心角的計算邊長、面積的計算邊長、面積的計算量角器等分圓周畫正多邊形量角器等分圓周畫正多邊形尺規作正方形、正六邊形等尺規作正方形、正六邊形等圓的周長、弧長及組合圖形周長的計算圓的周長、弧長及組合圖形周長的計算圓面積、扇形面積及組合圖形

12、面積的計算圓面積、扇形面積及組合圖形面積的計算 1. 正正n邊形的一個內角的度數是邊形的一個內角的度數是_;中心角是中心角是_；正多邊形的中心角與外角的正多邊形的中心角與外角的大小關系是大小關系是_.n360nn1802）（相等相等 2. O是正是正ABC的中心，它是的中心，它是ABC的的_圓與圓與_圓的圓心圓的圓心.外接外接內切內切 3. OB叫正叫正ABC的的_ ，它是正，它是正ABC的的_圓的半徑圓的半徑. 4. OD叫作正叫作正ABC的的_ ，它是，它是正正ABC的的_ 圓的半徑。圓的半徑。ABC.OD半徑半徑外接外接邊心距邊心距內切內切ABCDE5. 求證：正五邊形的對角線相等求證：

13、正五邊形的對角線相等.證明：連結證明：連結BD、CE，則，則 在在BCD和和CDE中中 BC=CD BCD=CDE CD=DE BCD CDE BD=CE 同理可證對角線相等同理可證對角線相等. 6. 正六邊形正六邊形ABCDEF外切于外切于 O， O的半的半徑為徑為R，則該正六邊形的周長和面積各是多少？，則該正六邊形的周長和面積各是多少？266323421621 34126 33130tan ,30tan ， ,3021 , ., OBO, :RRROMABSRAMABPROMAMOMAMROMAOBAOMAOMRtBMAMMABOMOMOA、M，AB中在于則連結于切設如圖解ABCDEFOM

14、R 7. 已知圓內接正已知圓內接正 n 邊形的邊長為邊形的邊長為 a, 求同圓外求同圓外切正切正 n 邊形的邊長邊形的邊長b為多少？為多少？ (用三角函數表示用三角函數表示).naCBbnannaOOBCBOOBCBOBCRtnanaOBEOBOOBBEnnOOBE180cos2 180cos2180tan180sin2tan ,tan,180sin2180sin21sin ,sin 1802360,Rt 故中在中在ABCDOEn180 8. 正六邊形正六邊形ABCDEF的邊長是的邊長是a，分別以，分別以C、F為為圓心，圓心，a為半徑作弧，則圖中陰影部分的周長是為半徑作弧，則圖中陰影部分的周長

15、是_.aaaEDlCaalCFABCDEFEAEA364)32(2)(2 32180120 120 , :陰影中正六邊形解ABCDEF2)233()2(36 2 )( 2 ,120 , , :aSSSSSSSSSSSSCOAAOCCOAAOCCOAOOAOCAOCAOCOAOCAOCOAOCCOAAOCOAOCAOC扇形小弓形陰影扇形扇形弓形小弓形則連結的圓心為設如圖解 9. 等邊等邊ABC的邊長為的邊長為 a ,以各邊為弦以各邊為弦作弧交于作弧交于ABC的外心的外心O. 求求:菊形的面積菊形的面積.ABCOO 10. A是半徑為是半徑為2的的 O外的一點外的一點,OA=4,AB是是 O的切線

16、的切線,點點B是切點是切點,弦弦BCOA,邊結邊結AC,則圖中陰影部分的面積等于則圖中陰影部分的面積等于 ( )A. 32360260 60 , 2, 4 , D.BOAC, OB,OC,，2故選由同底等高知交于點設連結如圖扇形陰影COBADBOCDSSCODOABDOBOASSABCDO332 D. C. 38 B. 32 A. AABCDEF 11. 已知正六邊形已知正六邊形ABCDEF的邊長為的邊長為2厘米厘米, 分分別以每個頂點為圓心別以每個頂點為圓心, 以以1厘米為半徑作弧厘米為半徑作弧, 求這些弧求這些弧所圍成的圖形所圍成的圖形(陰影部分陰影部分)面積面積.(精確到精確到0.1平方厘米平方厘米).HG)4.1( 236 360112062436 6222cmSSSAGH扇形正