1、第二章第二章 LTILTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 21 系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子子一、微分算子、積分算子與微分算子方程一、微分算子、積分算子與微分算子方程:引入如下算子：引入如下算子： 微分算子微分算子: tp dd 積分算子積分算子: tpp 1 d) (1 )()(dd)( tfptfttf 則：則：)()(dd)( )(tfptfttfnnnn )()(1d )(1 tfptfpft 對(duì)于微分方程對(duì)于微分方程 )(4d)(d)(6d)(d5d)(d 22tfttftyttytty 算子形式算子形式)(4)()(6)(5)( 2tftfptyty

2、ptyp 微分算子方程：微分算子方程： )() 4()() 65(2tfptypp 它是微分方程的一種表示，含義是在等式兩邊它是微分方程的一種表示，含義是在等式兩邊分別分別對(duì)變量對(duì)變量y(t)和和f(t)進(jìn)行相應(yīng)的微分運(yùn)算進(jìn)行相應(yīng)的微分運(yùn)算。形式上。形式上是代數(shù)方程的表示方法。可用來在時(shí)域中建立與是代數(shù)方程的表示方法。可用來在時(shí)域中建立與變換域變換域相一致的分析方法。相一致的分析方法。微分算子的運(yùn)算性質(zhì)：微分算子的運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1 1 以以p的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行展開和因式分解。上可以像代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行展開和因式分解。)

3、()4()()3)(2(tfptypp 性質(zhì)性質(zhì)2 2 設(shè)設(shè)A(p)和和B(p)是是p的正冪多項(xiàng)式，則的正冪多項(xiàng)式，則 )()()()()()(tfpApBtfpBpA 如：如：)()4()()2)(3(tfptypp 性質(zhì)性質(zhì)3 3 微分算子方程等號(hào)兩邊微分算子方程等號(hào)兩邊p的公因式不能的公因式不能 隨便消去隨便消去。 例如：例如：p y(t)= p f(t) y(t)= f(t)+c( (c為常數(shù)為常數(shù)) ) y(t)= f(t) 性質(zhì)性質(zhì)4 4 設(shè)設(shè)A(p)、B(p) 和和D(p)都是都是p的正冪多項(xiàng)式的正冪多項(xiàng)式)()()()()()()()(tfpBpAtfpBpDpApD )()(

4、)()()()()()(tfpBpAtfpDpBpDpA 但是但是 ：)(d)(dd)(1 tffttfppt )()()(d)(dd)(1 tfftfftfppt 例如：例如： 函數(shù)乘、除算子函數(shù)乘、除算子p的順序不能隨意顛倒，的順序不能隨意顛倒，對(duì)函對(duì)函數(shù)進(jìn)行數(shù)進(jìn)行“先除后乘先除后乘”算子算子p的運(yùn)算的運(yùn)算時(shí)，分式的分時(shí)，分式的分子與分母中子與分母中公共公共p算子算子( (或或p算式算式) )才允許消去才允許消去。二、二、LTILTI連續(xù)系統(tǒng)的算子方程與系統(tǒng)的傳輸算子連續(xù)系統(tǒng)的算子方程與系統(tǒng)的傳輸算子 電路元件伏安關(guān)系電路元件伏安關(guān)系( (VAR) )的微分算子形式稱為的微分算子形式稱為

5、算子模型算子模型，電壓、電流比為，電壓、電流比為算子感抗算子感抗和和算子容抗算子容抗 元件名稱 電路符號(hào) ui關(guān)系(VAR) VAR的算子形式 算子模型 電阻 電感 電容 電路元件的算子模型電路元件的算子模型 i(t) R)(tui(t) R)(tui(t)L)(tu)(tui(t)1/pC)(tui(t)Ci(t)pL)(tuttiLtu d)(d)( tdiCtu )(1)( )(1)(tipCtu )( )(tiRtu )( )(tiRtu )( )(tipLtu 電路系統(tǒng)微分算子方程的建立方法電路系統(tǒng)微分算子方程的建立方法: : LpL;C 1/pC畫出算子模型，按照電路理論畫出算子模

6、型，按照電路理論中的列寫方程方法列寫。中的列寫方程方法列寫。例例1 1：電路如圖電路如圖( (a) )所示，激勵(lì)為所示，激勵(lì)為f(t)，響應(yīng)為，響應(yīng)為i2(t)。試列寫其微分算子方程。試列寫其微分算子方程。(a)1+f(t)-i153Fi22H4H1+ +f(t)- -i15 1 3pi22p4p(b)i1i2解：解：畫出其畫出其算子模型電路算子模型電路如如圖圖( (b) )所示。由所示。由回路回路法法可列出方程為可列出方程為 ： 0)()5431()(31)()(31)()3121(2121tipptiptftiptipp 化簡(jiǎn)微分方程組化簡(jiǎn)微分方程組時(shí)要時(shí)要考察電路的階數(shù)考察電路的階數(shù)以便

7、確定以便確定公共因子是否可消去。公共因子是否可消去。化簡(jiǎn)后化簡(jiǎn)后所求微分算子方程為：所求微分算子方程為： )()() 27148( 3223tftippp 對(duì)于激勵(lì)為對(duì)于激勵(lì)為f(t)，響應(yīng)為，響應(yīng)為y(t)的的n階階LTI連續(xù)系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)，其微分算子方程為：其微分算子方程為：)()()()(01110111tfbpbpbpbtyapapapmmmmnnn 將其在形式改寫為將其在形式改寫為)()()()(01110111tfpHtfapapapbpbpbpbtynnnmmmm )()()()()( 01110111pDpNapapapbpbpbpbtftypHnnnmmmm 式中：式中： 它

8、代表了系統(tǒng)將激勵(lì)轉(zhuǎn)變?yōu)轫憫?yīng)的作用，或它代表了系統(tǒng)將激勵(lì)轉(zhuǎn)變?yōu)轫憫?yīng)的作用，或系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用，故將系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用，故將H(p)稱為稱為響應(yīng)響應(yīng)y y( (t t) )對(duì)激勵(lì)對(duì)激勵(lì)f f( (t t) )的傳輸算子的傳輸算子或或系統(tǒng)的傳輸算子系統(tǒng)的傳輸算子 系統(tǒng)傳輸算子與系統(tǒng)微分算子方程是對(duì)系統(tǒng)系統(tǒng)傳輸算子與系統(tǒng)微分算子方程是對(duì)系統(tǒng)的等價(jià)表示。它們之間可以可以轉(zhuǎn)化。的等價(jià)表示。它們之間可以可以轉(zhuǎn)化。22 LTI22 LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)應(yīng) LTILTI的全響應(yīng)可作如下分解：的全響應(yīng)可作如下分解： y(t) = 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yx(t) + 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響

9、應(yīng)yf (t) 一、系統(tǒng)初始條件一、系統(tǒng)初始條件 (2)(2) 求系統(tǒng)的求系統(tǒng)的0 0-狀態(tài)值狀態(tài)值uC(0-)、iL(0-)；(3) (3) 由換路定律得到由換路定律得到uC(0+)、iL(0+)，結(jié)合系統(tǒng)，結(jié)合系統(tǒng)0+瞬時(shí)的等效電路求得電路的各個(gè)電氣量的瞬時(shí)的等效電路求得電路的各個(gè)電氣量的初初始值。始值。(1) (1) 若所給電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)在換路前后不發(fā)若所給電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)在換路前后不發(fā)生變化生變化( (即沒有開關(guān)時(shí)即沒有開關(guān)時(shí)) )，則，則由系統(tǒng)的由系統(tǒng)的0-狀態(tài)狀態(tài)值與值與0-瞬時(shí)的零輸入系統(tǒng)求得瞬時(shí)的零輸入系統(tǒng)求得初始條件初始條件yx(j )(0-), , j=0, 1, 2, ,

10、n-1，否則由，否則由(2)(3)兩步進(jìn)行求解。兩步進(jìn)行求解。二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應(yīng)二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應(yīng)零輸入下零輸入下LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程為連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程為:1110 x()( )0,0nnnpapa p a y tt要使上式成立，需滿足要使上式成立，需滿足D(p)=0（特征方程）（特征方程） 針對(duì)針對(duì)特征根特征根兩種情況來求兩種情況來求yx(t) 1特征根為特征根為n個(gè)單根個(gè)單根p1 , p2 , , pn ( (可為實(shí)根、虛可為實(shí)根、虛根或復(fù)根根或復(fù)根) ) 0 , eee)( 2121x tAAAtytptptpnn 將將yx(0-)、yx

11、 (0-)、yx(n-1)(0-)代入上式，確定代入上式，確定積分常數(shù)積分常數(shù)A1、A2、An 。 共軛復(fù)根時(shí)歐拉公式共軛復(fù)根時(shí)歐拉公式cos t = 0.5(ej t + e j t )及及sin t = j0.5(e j t ej t )化簡(jiǎn)為三角化簡(jiǎn)為三角實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù) 2 2特征根含有重根特征根含有重根 設(shè)特征根設(shè)特征根p1為為r重根，其余特征根為單根，重根，其余特征根為單根，, , , , 2 1nrrppp 則則yx(t)的通解表達(dá)式為：的通解表達(dá)式為：0 ,ee )()( 1111 2321x tAAetAtAtAAtytptptpnrnrrr確定積分常數(shù)的方法同前。確定積分常數(shù)的

12、方法同前。 3求解零輸入響應(yīng)求解零輸入響應(yīng)yx(t)的基本步驟：的基本步驟： ( (1) )通過微分算子方程得通過微分算子方程得D(p)求系統(tǒng)的特征根求系統(tǒng)的特征根; ; ( (2) )寫出寫出yx(t)的通解表達(dá)式的通解表達(dá)式; ; ( (3) )由系統(tǒng)的由系統(tǒng)的0-狀態(tài)值與狀態(tài)值與0-瞬時(shí)的零輸入系統(tǒng)求得瞬時(shí)的零輸入系統(tǒng)求得初始條件初始條件yx(j )(0-), j=0, 1, 2, , n-1。( (4) ) 將將0-初始條件代入初始條件代入yx(t)的通解表達(dá)式的通解表達(dá)式, ,求得積分求得積分常數(shù)常數(shù)A1, A2, , An 。( (5) ) 寫出所得的解寫出所得的解yx(t)，畫出

13、，畫出yx(t)的波形。的波形。 例例2 電路如圖電路如圖( (a) )所示，已知所示，已知uC (0-) = 1V，iL(0-) = -1A，求，求t0時(shí)的零輸入響應(yīng)時(shí)的零輸入響應(yīng)uCx(t)。1H12F CuCi 21R 42RLi CuCi 2 4LiP2P1解解 (1)畫出算子模型電路畫出算子模型電路, ,由節(jié)點(diǎn)法列出方程為由節(jié)點(diǎn)法列出方程為 0)()41212( tuPPcxuC x (t), V0t, s4130.5 1化簡(jiǎn)可得化簡(jiǎn)可得 :0)()65(x2 tuppC解得特征根解得特征根: : p1=-2，p2=-3 0 ,ee)( 32 21x tAAtuttCV1A124(2

14、)0-瞬時(shí)的等效電路瞬時(shí)的等效電路 sV1)0(1)0(21)1(21)0(x x x CCCiCui 343211212121AAAAAA代入初始條件代入初始條件. 0 ,V34)( 3 2x teetuttC23 LTI23 LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 一、一、零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)LTI連續(xù)系統(tǒng)H(p)(tf)(tyf)()()()()()(tfpDpNtfpHtyf )( )()()()(非非齊齊次次微微分分方方程程tfpNtypDf 非齊次微分方程的解由通解和特解組成，非齊次微分方程的解由通解和特解組成，f(t)的的形式簡(jiǎn)單（直流、交流）特解還易確定，如形式

15、形式簡(jiǎn)單（直流、交流）特解還易確定，如形式復(fù)雜，則特解很難確定。一般情況下復(fù)雜，則特解很難確定。一般情況下零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)可通過將可通過將f(t)分解為更為簡(jiǎn)單的單元信號(hào)分解為更為簡(jiǎn)單的單元信號(hào)，將各，將各單元激勵(lì)下的響應(yīng)進(jìn)行疊加單元激勵(lì)下的響應(yīng)進(jìn)行疊加來求解。來求解。信號(hào)的時(shí)域分解：信號(hào)的時(shí)域分解：230t)(tf將將f(t)分解為無窮多個(gè)寬度為分解為無窮多個(gè)寬度為 的矩形脈沖信的矩形脈沖信號(hào)之和號(hào)之和fa(t) )1()()()3()2()2()2()()()()()0()( ntntnfttfttfttftfa) 1()( )()(0 ntntnftfnna ) 1()()()(0n

16、tntnftfnna dtftdftftfa)()( )()()()(000lim 任意信號(hào)可分解為無窮多個(gè)不同時(shí)刻出現(xiàn)的任意信號(hào)可分解為無窮多個(gè)不同時(shí)刻出現(xiàn)的沖激強(qiáng)度為該時(shí)刻函數(shù)值的沖激信號(hào)之和沖激強(qiáng)度為該時(shí)刻函數(shù)值的沖激信號(hào)之和 dtftf)()()(0 零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程零狀態(tài)零狀態(tài)LTI)(t )(th零狀態(tài)零狀態(tài)LTI)( t)( th零狀態(tài)零狀態(tài)LTI)()( tf)()( thf零狀態(tài)零狀態(tài)LTI dtftf)()()( dthftyf)()()( 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)時(shí)不變性時(shí)不變性齊次性齊次性疊加性疊加性 由上述過程可看出由上述過程可看出求解零狀態(tài)響應(yīng)求解零

17、狀態(tài)響應(yīng)可通過下列可通過下列兩步完成：兩步完成：（1）求單位沖激響應(yīng)）求單位沖激響應(yīng)h(t)（2）求）求 dthf)()( 卷積積分卷積積分二、沖激響應(yīng)h(t)h(t)定義定義： 零狀態(tài)LTI H(p)(t )(th)()()()()()()(01110111tapapapbpbpbpbtpDpNtpHthnnnmmmm 通過多項(xiàng)式的長除法，通過多項(xiàng)式的長除法，H H( (p p) )可以化為某個(gè)可以化為某個(gè)多項(xiàng)多項(xiàng)式與一個(gè)有理真分式之和。式與一個(gè)有理真分式之和。 233)22(2379972)(222234 ppppppppppppH 據(jù)據(jù)D D( (p p) )的根的不同有理真分式的根的不

18、同有理真分式H(p)可展開為不可展開為不同的部分分式同的部分分式 1當(dāng)當(dāng)D D( (p p) ) 有有n個(gè)單特征根個(gè)單特征根p1 , p2 , , pn ( (可為實(shí)可為實(shí)根、虛根或復(fù)根根、虛根或復(fù)根) ) )()()()()()(21npppppppNpDpNpH nnjjppKppKppKppK 2211njpHppKjppjj , , 2 , 1 , )()( )()()()()(2211tppKtppKtppKtppKthnnjj ),()(tppKthjjj 令第令第j項(xiàng)為項(xiàng)為 )()()(tKthppjjj )()()(tKthpdttdhjjjj （一階微分方程）（一階微分方程）

19、)()()(tKeethpedttdhjtptpjjtpjjjj )()(tKethdtdjtpjj tjttpjtKethdtdj 0 0 )()( )()(0tKethjttpjj )()0()(tKhethjjtpjj )()( , 0)0()0(teKthehtpjjpjjj 沖激響應(yīng)h(t)為為)(e)(e)(e)( 2 121tKtKtKthtpntptpn 2當(dāng)當(dāng)D D( (p p) )特征根有重根時(shí)：特征根有重根時(shí)：設(shè)設(shè)p1為為r重根，其余重根，其余(n-r)個(gè)為單根個(gè)為單根pj( (j=r+1, r+2, , n) )，則有理真分式，則有理真分式H(p)可展開為：可展開為：)

20、()()()()()()(11nrrpppppppNpDpNpH nnrrrrrppKppKppKppKppK 11111112111)()(1)()(111pppHppKr 1)()(dd112 pppHpppKr 1)()(dd)!1(11) 1() 1(1 pppHpppmKrmmm 重根相關(guān)的部分分式項(xiàng)的沖激響應(yīng)重根相關(guān)的部分分式項(xiàng)的沖激響應(yīng) rjttjKthtpjjrrj , , 2 , 1 , )(e)!1()( 11)1(11 3 3、H H( (p p) )為某個(gè)關(guān)于為某個(gè)關(guān)于p pj j多項(xiàng)式時(shí)：多項(xiàng)式時(shí)：rjtpkthjrjj , , 2 , 1 , )()(1 rjtkt

21、hjrjj , , 2 , 1 , )()()(1 求解單位沖激的步驟：求解單位沖激的步驟：（1）據(jù)算子微分方程求出轉(zhuǎn)移算子）據(jù)算子微分方程求出轉(zhuǎn)移算子H(p)（2）長除法化為長除法化為多項(xiàng)式與有理真分式之和。多項(xiàng)式與有理真分式之和。（3 3）有理真分式）有理真分式部分分式展開；部分分式展開；（4）據(jù)）據(jù)D(p)根的不同根的不同確定確定分式中的分式中的系數(shù)；系數(shù)；（5）對(duì)照不同情況寫出單位沖激響應(yīng)。表）對(duì)照不同情況寫出單位沖激響應(yīng)。表2-2233)22(2379972)() 1 (222234 ppppppppppppH例：求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：例：求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：211222)()2(

22、2 pppppH)()ee2()(2)()(2)()3(2ttttthtt 注：當(dāng)注：當(dāng)D(p)有有共軛復(fù)共軛復(fù)數(shù)數(shù)根根時(shí)：時(shí)：j|j|)(11 pKpKpH)()cos(e|2)( 1ttKtht 三三 卷積積分卷積積分 (*) )()()( dthfty (1)將將f(t),h(t)的自變量的自變量t換為換為 ， f( ),h( )波形不變；波形不變；(2)將將h( )折疊，得到折疊，得到h(- )；(3)將將h(- )沿沿 軸平移軸平移t， t為為參變量，參變量，h(t- ), t 0右右移，移， t 0左移；左移；(4)將將f( ) 與與h(t- ) 相乘得到相乘得到f( ) h(t-

23、 ) ；(5)將將f( ) h(t- ) 在區(qū)間（在區(qū)間（- ，+ ）上積分得到）上積分得到(*)。(*) )()()()()(2121 dtfftftfty 定義定義:t-2tf2(t- )0212f1(t)f2(t)f1( )卷積積分上下限的確定是關(guān)鍵，討論如下：卷積積分上下限的確定是關(guān)鍵，討論如下：(1)若若f(t),h(t) 都為因果信號(hào)都為因果信號(hào)積分上下限積分上下限為為(0 , t) 0( )( )( )( ) () (*)ty tf th tfh td (2)若若f(t) 為因果信號(hào)為因果信號(hào),h(t) 為無時(shí)限信號(hào)為無時(shí)限信號(hào),積分上下積分上下限限為為(0 , )(*) )()

24、()()()( 0 dthfthtfty (3)若若f(t) 為無時(shí)限信號(hào)為無時(shí)限信號(hào),h(t) 為因果信號(hào)為因果信號(hào),積分上下積分上下限限為為(- , t)(*) )()()()()( dthfthtftyt (4)若若f(t), h(t)都為時(shí)限信號(hào)則都為時(shí)限信號(hào)則卷積后仍為時(shí)限信卷積后仍為時(shí)限信號(hào)，其號(hào)，其左邊界為原兩左邊界之和，右邊界為原兩左邊界為原兩左邊界之和，右邊界為原兩右邊界之和右邊界之和 例例3 3：求圖示求圖示f1(t)， f2(t)的的卷積卷積 f2( ) 02-2f2(t )02t-2tf1( ) f2(t- )02t-2t1(t0)021)(1tft022)(2tft)

25、(1 f )(2 f (1) t0時(shí)時(shí), f1( ) f2(t- )=00)()(21 dtff)1()( 2)(1 f)()2()(2 f)()2()()(2ttttf (2) 0t1時(shí)時(shí)f1() f2(t-)02t-2t1(1t2)t1f1() f2(t-)02t-2t(2t3)t-1f1() f2(t-)02t-2t1(0t1)t20200212)(2)()(ttdtdtffttt (3) 1t2時(shí)時(shí)122)(2)()(102101021 ttdtdtff (4) 2t3時(shí)時(shí)1f1( ) f2(t- )02t-2t(t3)0)()(21 dtff . 3 , 0; 32 ),3)(1(;

26、 21 , 12; 10 ,; 0 , 0)()()(221ttttttttttftfty（1 1）卷積的運(yùn)算規(guī)律）卷積的運(yùn)算規(guī)律 據(jù)卷積的定義和積分的性質(zhì)，可推知卷積有如據(jù)卷積的定義和積分的性質(zhì)，可推知卷積有如下的運(yùn)算規(guī)律下的運(yùn)算規(guī)律 :1 1交換律交換律: : )()()()(1221tftftftf* 2 2分配律分配律: : )()()()()()()(3121321tftftftftftftf* 012313y(t)t3 3結(jié)合律結(jié)合律 )()()()()()()()()(231321321tftftftftftftftftf* （2）卷積的主要性質(zhì)）卷積的主要性質(zhì)1 1f( (t

27、t) )與奇異信號(hào)的卷積與奇異信號(hào)的卷積(1)(1) f(t)* *(t)=f(t),即即f(t)與與(t)卷積等于卷積等于f(t)本本身身 (2)(2) f(t)* *(t)=f(t) ,即即f(t)與與(t)卷積等于卷積等于f(t)導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)。 (3)(3)()()()(1 fdfttft2 2卷積的微分和積分：卷積的微分和積分：(1)(1) 積分積分 f1(t)* *f2(t) -1 = f1-1(t)* *f2(t)= f1(t)* *f2-1(t) (3)(3) 微分微分- -積分積分: :f1(t)* *f2(t)=f1(t)* *f2-1(t)=f1-1(t)* *f2(t)則則

28、(2)(2) 微分微分 f1(t)* *f2(t) = f1(t)* *f2(t)= f1(t)* *f2(t) 0)( ; 0)(21ff若若f1(t)，f2(t)左收斂左收斂，3 3卷積時(shí)移：卷積時(shí)移：設(shè)設(shè)f1(t)* *f2(t)=y(t)，則：，則： f1(t)* *f2(t-t0)=f1(t-t0)* *f2(t)=y(t-t0) f1(t-t1)* *f2(t-t2)=y(t-t1-t2); 推論：推論：f(t-t1)* *(t-t2)=f(t-t1-t2) (t-t1)* *(t-t2)=(t-t1-t2); 利用卷積性質(zhì)求解較復(fù)雜的卷積利用卷積性質(zhì)求解較復(fù)雜的卷積 （表表2-3

29、）)()()()(212121tttrtttttttt 例例7:例例3已知已知:)1()( 2)(1 tttf )2()()(2 ttttf )2()1(2)()1(2- )2()(2)()(2)()(21 tttttttttttttftf 解：解：)3(2)1(2- )2(2)(2)()(1 21 0 2 021 tdtdtdtdtftftttt 卷積時(shí)的卷積時(shí)的 (t)的存在只是確定被積信號(hào)的起始位的存在只是確定被積信號(hào)的起始位置，卷積結(jié)果要考慮起始位置置，卷積結(jié)果要考慮起始位置,即加即加 (上限上限-下限下限)3()32()1()12(- )2()4()(2222 tttttttttt

30、012313y(t)t)3()2()32( )2()1()12()1()(22 tttttttttt )3(212)1(212- )2(212)(212121022202 tttttttt 若若f1(t)，f2(t)左收斂，左收斂，將被卷積的一個(gè)信號(hào)盡將被卷積的一個(gè)信號(hào)盡量化為量化為沖激信號(hào)以及其延時(shí)沖激信號(hào)以及其延時(shí)，可使計(jì)算簡(jiǎn)化。，可使計(jì)算簡(jiǎn)化。)2()()1(2)(2)()( )()(12121 ddtttftftftftt )2()221()(21)1(2)(2 22 tttttt 2222 ( ) (4) (2)(1)(1) (1)4 (3)tttttttt 例例8 8 試計(jì)算常數(shù)試

31、計(jì)算常數(shù)K K與信號(hào)與信號(hào)f( (t t) )的卷積積分的卷積積分 解解 直接按卷積定義，可得直接按卷積定義，可得 ：)( )()()( 下下的的凈凈面面積積tfKKdfKtftfK 用微分用微分- -積分性質(zhì)來求解將積分性質(zhì)來求解將導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果 0)(dd)( tdfKttfK 常數(shù)常數(shù)K 不收斂不收斂且任意信號(hào)且任意信號(hào)f(t)也并非一定也并非一定收斂。收斂。 例例9 9 已知某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)已知某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=sint (t)，激，激勵(lì)勵(lì)f(t)的波形如圖所示，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響的波形如圖所示，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)yf(t)。可用微分可用微分- -積分性來求積分性

32、來求)()cos1 (sin)( 01ttdtht 解：解： 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解f(t)0t242)()sin()cos1()( 02tttdtht )4()2(2)()( ttttf)4()2(2)()( ttttf)4()4sin()4( )2()2sin()2(2)()sin( )4()2(2)()()sin( )()( )()( )()()(21 ttttttttttttttttfthtfthtfthty*f”(t)0t24（1）（2）（1）+-f(t)i(t)uc(t)+-p1/p例例10:圖示電路圖示電路,激勵(lì)激勵(lì)求求:零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)uc(t)6()()

33、( tttf)(11)(11)(2tfptfppptuc 解：解：列方程列方程+-f(t)i(t)uc(t)+-1H1F11)()()(2 ptftupHc)()sin()(ttth )()sin(*)6()( )(*)()(ttttthtftuc ttdttdtt0sin*)6()()(sin*)6()( )6()6cos(1 )()cos1( tttt圖示電路，其輸入電壓圖示電路，其輸入電壓us(t)波形如圖波形如圖示，試用卷積積分法求零狀態(tài)響應(yīng)示，試用卷積積分法求零狀態(tài)響應(yīng)uc(t)0.1M 10F+u uc c( (t t) )-+ +u us s( (t t) )-11)()()(

34、ptutupHsc)()(tetht 解：解：u us( (t t)(V)(V) )t t( (s s) )32101)(*)()(thtutusc tscdthutu )()()(u us( (t t)(V)(V) )t t( (s s) )32101 h( )h( )h( t)1h3210t t10 ttttcetdetu 1)(0)( 32101t t)( Su)( th 32101t t)( Su)( th31 t)1(1)(10)(1 1)( tttttceededetu 32101t t)( Su)( th3 t)1()3(31)(10)( 1)( tttttceeededetu

35、331100110)() 1()3() 1( tttteeeeeettuttttttc)3(1 )1(2)()1( )3()()3()1()1( )1()()1()()3()1()1()3()1( tetettetteeetteettettutttttttttc )(*)3()1()1()()(tettttttutc detttttdtdt)(* )3()1()1()( )()1 (* )3() 1() 1()() 1()(tettttttttt )()1(*)3()1()(tetttt )3(1 )()1(*)1()()3( tetetttt 解法解法2、利用卷積的性質(zhì)、利用卷積的性質(zhì))3(

36、1 )()1(*)1()()3( tedettdtdtt )3(1 )1(*)1()()3( teettttt )3(1 )1(11)()1()3()1( tetettetttt )3(1 )1(2)()1()3()1( tetettetttt 四、系統(tǒng)全響應(yīng)的求解方法：四、系統(tǒng)全響應(yīng)的求解方法：（1）求單位沖激響應(yīng)）求單位沖激響應(yīng)h(t)（2）求卷積積分）求卷積積分 dthf)()( （3 3）求零輸入響應(yīng)）求零輸入響應(yīng)yX (t) 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yf (t)（4）全響應(yīng)：）全響應(yīng)：)()()(xtytytyf 例例11 圖示電路已知圖示電路已知i1(0-) = i2(0-) =1A， f1(t) = t (t)，f2(t) = (t) - (t-1)，求全響應(yīng)，求全響應(yīng)y(t) 。1 i1(t)+ +f1(t)- -+ +f2(t)- -1 1 + +y(t)- -i2(t)1H1H解：解：1)先求系統(tǒng)的傳輸算子及沖激響應(yīng)