1、精選優質文檔-傾情為你奉上從“費馬點”說起前言解題 題海戰術 通性通法 過程與結果 內化一、走近費馬點1（浙教版數學八下P82）設計題 你聽說過費馬點嗎？如圖411，P為ABC所在平面上一點。如果APB=BPC=CPA=120°，則點P就叫做費馬點。費馬點有許多有趣并且有意義的性質，例如，平面內一點P到ABC三頂點的距離之和為PA+PB+PC，當點P為費馬點時，距離之和最小。假設A,B,C表示三個村莊，要選一處建車站，使車站到三個村莊的公路路程的和最短。若不考慮其他因素，那么車站應建在費馬點上。 請按下列步驟對費馬點進行探究：（1） 查找有關資料，了解費馬點被發現的歷史背景；（2）

2、在特殊三角形中尋找并驗證費馬點。例如，當ABC是等邊三角形、等腰三角形或直角三角形時，費馬點有哪些性質？（3） 把你的研究結果寫成一篇小論文，并通過與同學交流來修改完善你的小論文。2（2009年浙江省湖州市中考題）若P為所在平面上一點，且，則點叫做的費馬點.（1）若點為銳角的費馬點，且，則的值為_；（2）如圖，在銳角外側作等邊連結.求證：過的費馬點，且=.3（2010年湖南省永州市中考數學試題）探究問題： (1)閱讀理解：如圖(1)，在已知ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為ABC的費馬點，此時PA+PB+PC 的值為ABC的費馬距離如圖(2)，若四邊形AB

3、CD的四個頂點在同一圓上，則有AB·CD+BC·DA=AC·BD，此為托勒密定理 (2)知識遷移：請你利用托勒密定理，解決如下問題： 如圖(3)，已知點P為等邊ABC 外接圓的弧BC上任意一點求證：PB+PC=PA根據(2)的結論，我們有如下探尋ABC(其中A、B、C均小于120度)的費 馬點和費馬距離的方法： 第一步：如圖(4)在ABC的外部以BC為邊長作等邊BCD及其外接圓； 第二步：在弧BC上任取一點，連結、易知 ; 第三步：請你根據(1)中定義，在圖(4)中找出ABC的費馬點P，并請指出線段 的長度即為ABC的費馬距離 (3)知識應用： 2010年4月，我

4、國西南地區出現了罕見的持續干旱現象，許多村莊出現了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水.已知三村莊A、B,C構成了如圖(5)所示的ABC(其中A、B、C均小于120o)，現選取一點P 打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的 輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值4（2008年廣東省中考題）已知正方形ABCD內一動點E到A,B,C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長。5（2009年天津市競賽題）已知點P是銳角三角形ABC內的一個點，且使PA+PB+PC最小。試確定點P的位置，并證明你的結論。6(2011年北京市競賽題)如圖，矩形ABCD是一個長為1

5、000m，寬為600m的貨場，A、D是入口。現擬在貨場內建一個收費站P，在鐵路線BC段上建一個發貨站臺H，設鋪設公路AP、DP及HP之長度和為。（1）求的最小值；（2）請指出當取最小值時，收費站P和發貨站臺H的幾何位置。二、探究費馬點1來歷：費馬在閱讀“將軍飲馬”問題時，聯想到“如何確定平面內到三個已知點距離和最小的點？” 寫信給托里拆利，托里拆利解決了這個難題，后來斯坦納進行了完善和推廣。2結論：三角形的費馬點：平面上，到一個已知三角形三個頂點的距離和最小的點叫做這個三角形的費馬點 （1）當已知三角形最大內角小于120°時，費馬點在該三角形內，且與任兩個頂點的連線的夾角均為120&

6、#176;；（2）當已知三角形最大內角大于或等于120°時，費馬點就是這個最大內角的頂點3證明求三條發散的線段和的最小值，一般通過圖形變換，形成確定兩端點的折線，運用“兩點之間線段最短”解決1）當三角形的最大內角小于120°的情形已知：如圖1，P為ABC內一點，APB=BPC=CPA=120°設平面內有一點求證：PA+PB+PC證明：如圖2，分別以AP、AC為邊作正三角形，連結，得APC，易知在同一直線上，PA+PB+PC=2）當三角形的最大內角不小于120°的情形4如何確定費馬點的位置（最大內角小于120°的情形）分別以BC、AC為邊向外作正

7、三角形，連結，交點即為所求費馬點P。（連結PC，先證明，得PAC=，所以四點共圓，得APC=120°，同理BPC=120°）5應用舉例（思考：特殊三角形的費馬點性質）題16見前7(2009年北京市中考題）如圖，在平面直角坐標系中，ABC的坐標分別為，延長AC到點D,使CD=,過點D作DEAB交BC的延長線于點E.（1）求D點的坐標；（2）作C點關于直線DE的對稱點F,分別連結DF、EF，若過B點的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3）設G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點出發，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是

8、它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短。（要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明）(2004年我愛數學初中生夏令營數學競賽試題)8如圖，A、B兩地相距600km,過A地的一條鐵路AD筆直地沿東西方向向兩邊延伸點B到A D的最短距離為3 6 0km今計劃在鐵路線AD上修一個中轉站C，再在BC間修一條筆直的公路如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍，那么，為使通過鐵路由A到C再通過公路由C到B的總運費達到最小值，中轉站C的位置應使AC= km.三、拓展1將軍飲馬問題的延伸2兩個正三角形共頂點3兩點間折線大小的比較4四點共圓5正三角形的

9、媒介作用。練習1 (湖州中考題)已知平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A(2，-3)、B(4，-1) （1）若P（x，0）是x軸上的一個動點，當PAB的周長最短時，求x的值；（2）若C（a，0），D(a+3,0)是x軸上的兩個動點，當四邊形ABDC的周長最短時，求a的值；（3）設M，N分別為x軸，y軸上的動點，問：是否存在這樣的點M(m，0)和N(0，n)，使四邊形ABMN的周長最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由練習2（武漢競賽題）如圖5，設P到等邊三角形ABC兩頂點A、B的距離分別為2，3，則PC所能達到的最大值為（ ）（A） （B） （C）5 （D）6練習3（四川競賽

10、題）如圖，設ABC和CDE都是正三角形，且EBD63o，則AEB的度數是 練習4（廣西競賽題）如下圖，已知ABC=30°, ADC=60°，AD=DC，求證：. 練習5（寧波競賽題）如圖3，已知點O為等邊三角形ABC內的一點，AOB=115°，BOC=125°，試求以OA、OB、OC為三邊的三角形的各內角的度數. 練習6如上右圖，正三角形ABC外一點D，且BDC=120°，求證：AD=BD+CD.練習7如圖，菱形ABCD的邊BC,CD上分別有點E,F，B=60°，AEF有一個內角為60°，求證：AEF是正三角形。練習8（重慶

11、競賽題）如圖7，ABC中，ACB=90°，CAD=30°，AC=BC=AD。求證：BD=CD練習9（山東濰坊中考題）在平面確定四點，連結每兩點，使任意三點構成等腰三角形（包括等邊三角形），且每兩點之間的線段長只有兩個數值，則這四點的取法有多少種？畫圖說明。練習10如圖，求證：AC+BCAP+BP;AC+BCAP+PP+BP 練習11 （2010年江蘇南通中考題）已知拋物線yax2bxc經過A（4，3）、B（2，0）兩點，當x=3和x=3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等經過點C（0，2）的直線l與 x軸平行，O為坐標原點（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為A，判斷直線l與A的位置關系，并說明理由；（3）設直線AB上的點D的橫坐標為1，P（m，n）是拋物線yax2bxc上的動點，當PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積練習12（余姚中學自主招生試題）已知直線上一點C（第三象限），過點C作CDx軸于D,交雙曲線于點B，過點C作CNy軸于N,交雙