1、第二章 晶體學基礎1、晶體結構與空間點陣2、晶向、晶面及指標3、晶面間距4、晶面族5、倒易點陣燕山大學材料科學與材料現代分析測試方法課程教學團隊王利民教授/博導教學目標通過本章學習，掌握表達晶體周期性結構與它的點陣的各種概念；掌握晶面指數與晶向指數的標定，晶面間距 與晶面夾角的表達；倒易點陣。學習要點(4)晶體結構周期性與點陣。7個晶系和14種Bravias空間格子。晶胞，晶帶，晶向，晶面，晶面間距，晶面夾角。倒易點陣學時安排學時-2學時2.1 、晶體結構與空間點陣2.1.1 空間點陣（Space Lattice）晶體結構的幾何特征是其結構基元（原子、離子、或其它原子）一定周期性的排列。通常將

2、結構基元看成一個相應的幾何點，而不考慮實際物質內容。這樣就可以將晶體結構抽象成一組無限多個作周期性排列的幾何點。這種從晶體結 構抽象出來的，描述結構基元空間分布周期性的幾何點，稱為晶體的空間點陣。幾何點為陣點。結構基元在晶體的點陣結構中每個陣點所代表的具體內容，包括原子或的種類和數量及其在空間按一定方式排列的結構，稱為晶體的結構基元。結構基元是指重復周期中的具體內容。點陣點點陣點是代表結構基元在空間重復排列方式的抽象的點。如果在晶體點陣中各點陣點位置上，按同一 種方式安置結構基元，就得整個晶體的結構。所以可簡單地將晶體結構示意表示為：晶體結構=點陣+結構基元2.1.2 基本矢量與晶胞一個結點在

3、空間三個方向上，以a, b, c重復出現即可建立空間點陣。重復周期的矢量a, b, c稱為點陣的基本矢量。由基本矢量的平行六面體稱為點陣的晶胞。布拉菲晶胞同一個點陣可以由不同的平行六面體晶胞疊成。即可以任意選擇不同的坐標系與基本矢量來表示。為了表達最簡單，應該選擇最理想、最適當的基本矢量作為坐標系統。即是以結點作為坐標原點，（1）選取基本矢量長度相等的數目最多、（2）其夾角為直角的數目最多，且（3）晶胞體積最小。這樣的基本矢量晶胞稱為布拉菲（BRAVAIS）晶胞。的每一個點陣只有一個最理想的晶胞即布拉菲晶胞。2.1.3 布拉菲點陣法國晶體學家A. Bravais研究表明，按照上述三原則選取的晶

4、胞只有14種，稱為14種布拉菲點陣。14種布拉菲點陣分屬7個晶系中。14種空間點陣形式u 按晶胞中陣點位置的不同可將14種布拉菲點陣分為四類： 簡單(P) 體心(I) 面心(F) 底心(C)陣點坐標的表示方法：以晶胞的任意頂點為坐標原點，以與原點相交的 三個棱邊為坐標軸，分別用點陣周期（a, b, c）為度量。晶胞中的原子計數在晶胞不同位置的原子由不同數目的晶胞：頂角原子： 1/8棱上原子：1/4面上原子：1/2 晶胞內部： 1 簡單點陣 （P）只在晶胞的頂點上有陣點， 每個晶胞只有一個陣點，陣點坐標為000 體心點陣，I除8個頂點外，體心上還有一個陣點， 因此，每個陣胞含有兩個陣點，000，

5、1/2 1/2 1/2 面心點陣。F除8個頂點外，每個面心上有一個陣點，每個陣胞上有4個陣點，其坐標分別為000，1/2 1/21/2 0 1/2， 0 1/2 1/20， 底心點陣，C除八個頂點上有陣點外，兩個相對的面心上有陣點，面心上的陣點為兩個相鄰的平行六面體所共有。因此，每個陣胞占有兩個陣點。陣點坐標為000，1/2 1/202.1.4點陣常數平行六面體的三個棱長a、b、c和及其夾角、，可決定平行六面體形狀，這六個量亦稱為點陣常數。和按點陣參數可將晶體點陣分為七個晶系。七個晶系及有關特征晶系邊長夾角晶體實例立方a=b=c=90°Cu , NaCl四方a=bc=90°

6、Sn , SnO2正交abc=90°I2 , HgCl2a=b=c=90°Bi , Al2O3a=bc=90°=120°六方a=bc=90°=120°Mg , AgI單斜abc=90°=120°S , KClO3三斜abc90°CuSO4·5H 2O七個晶系及有關特征a=bc晶系特征對稱元素晶胞特點空間點陣型式立方晶系4個按立方體對角線取向的3重旋轉軸a=b=c =90°簡單立方立方體心立方面心六方晶系6重對稱軸=90°,=簡單六方四方晶系4重對稱軸120°a=bc

7、=90°簡單四方體心四方晶系3重對稱軸a=b=c=90°簡單六方R心六方正交晶系2個互相垂直的對稱面或3個互相垂直的2重對稱軸abc =90°簡單正交C心正交體心正交面心正交單斜晶系2重對稱軸或對稱面abc=90°簡單單斜C心單斜三斜晶系無abcabc90°簡單單斜2.2、晶向、晶面及晶向、晶面指標晶體學中陣點平面與陣點直線的空間取向分別用晶面指數與晶向指數來表示。2.2.1 晶向與晶向指標任意兩結點的結點列稱為晶向。與此晶向相對應，一定有一組相互平行而且具有同一重復周期的結點列。晶向的表示方法：取其中通過原點的一根結點列，求該列最近原點的結點

8、的 指數，u, v, w, 并用方括號標記uvw。或者：（1）在一族相互平行的陣點直線中引出過坐標原點的陣點直線。（2） 在該直線上任取一點，量出坐標，并用點陣周期a, b, c表示。（3） 將三個坐標值用同一個數乘或除，劃歸互質整數，并加方括號。晶向指數的確定1.建立坐標系，結點為原點，三棱為方向，點陣常數為在晶向上任兩點的坐標；2.(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)。(若平移晶向或坐標，讓在第一點在原點則下一步更簡單)；3.計算x2-x1：y2-y1：z2-z1；4.5.化成最小、整數比u：v：w；放在方括號uvw中，不加逗號，負號記在上方 。紅線由兩個結點的坐標之差確定2.2.2晶

9、面及晶面指標在點陣中由結點的平面稱為晶面。空間點陣劃分為平面點陣的方式是多種多樣的. 不同的劃法劃出的晶面(點陣面)的陣點密度是不相同的. 意味著不同面上的作用力不相同. 所以給不同面以相應的指標(hkl)。國際上通用的是密勒（Miller）指數，即用三個數字來表示晶面指數。標定方法：(1) 在一組相互平行的晶面中任選一個晶面，量出它在三個坐標軸上的截距，并用點陣周期a，b，c來度量。假設截距為r，s，t。(2) 取截距的倒數 1/r，1/s，1/t。(3) 將這些倒數乘以分母的最小公倍數，把他們化為三個簡單整數h，k，l， ，并用圓括號括起來。使hkl = 1/r1/s1/t。則(h k l

10、)就是待標晶面的晶面指數。習題z（1）截距r、s、t分別為3，3，5（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5（3）最小公倍數15，（4）于是，1/r，1/s，1/t分別乘15得到5，5，3，cbya因此，晶面指標為（553）。x我們說（553）晶面，實際是指一組平行的晶面。晶面指數特征：1，所有相互平行的晶面，其晶面指數相同，或者三個符號均相反。可見，晶面指數所代表的不僅是某一晶面，而且代表著一組相互平行的晶面。2，晶面指數中h、k、l是互質的整數。3，最靠近原點的晶面與X、Y、Z坐標軸的截距為a/h、b/k、c/l。即與原點位置無關；每一指數對應一組平行的晶面

11、。立方晶系幾組晶面及其晶面指標。（100）晶面表示晶面與a軸相截與b軸、c軸平行；（110）晶面表示與a和b軸相截，與c軸平行；（111）晶面則與a、b、c軸相截，截距之比為1:1:1 (100) (110) (111) 在點陣中的取向思考題晶體的晶面指數的個數有上限嗎？例如（111，100，1）這樣的晶面有嗎？理論上講，晶面指數的個數是無限的，只要能找到復雜的晶胞。但對實際的一個晶體，晶面的數目是一定的。六方晶系的晶面和晶向指數表示方法與其它晶系不同。六方體系的晶面指數如果取a1、a2、和c為晶軸，按上述三軸定向的方法確定面指數，六個柱面的面指數為：（100）、（010）、（1(-)10）、

12、（1(-)00）、（01(-)0）、（11(-)0）。但是，這種方法所確定的晶面指數不能顯示出六次對稱及等同面的特征。因此，對六方晶系往往采用四軸定向方法，稱為密勒-布拉菲指數。選取四個坐標軸，其中a1、a2、a3在同一水平面上，之間的夾角為120°，c軸與這個平面垂直。這樣求出的晶面指數由四個數字組成，用（hkil）表示。其中前三個數字存在如下關系：h+k=-i用四軸定向方法求出的六個柱面的晶 面指數為：（101(-)0）、（011(-)0）、（1(-)100）、（1(-)010）、（01(-)10）、（11(-)00）。這樣的晶面指數可以明顯地顯示出六方對稱及等同晶面的特征。六方

13、體系的晶向指數六方晶系中如果用三軸定向表示晶向指數用UVW，四軸定向的晶向指數用uvtw來表示。三軸和四軸晶向指數之間的關系：üïïu = 2 U - 1V3321ïv =V -Uý33t = -(u + v) = - 1 (U + V )ïï3ïw = Wþ2.3、晶面間距d (hkl)一組平行晶面（hkl）中兩個相鄰平面間的垂直距離稱為晶面間距，用dhkl表示。它與晶胞參數和晶面指標有關。晶面與晶面間距是晶體X射線衍射結構分析中所的內容。面間距 dhkl 與晶胞點陣參數之間的關系（hkl）代表一組相互

14、平行的晶面, 任意兩個相鄰的晶面的面間距都相等。1=dhklhakblc+ (+ ()2)2)25-1(a立方晶系=dhkl5-2+ k 2 + l 2h2=15-3dhkl六方晶系h2+ hk + k 2l 2) +4(3a 2c 2a = b = g = 900對正交晶系晶面指標越高,面間距越小, 晶面上粒子的密度（或陣點的密度）也越小.只有（h*k*l*）小,dh*k*l*大, 即陣點密度大的晶面（粒子間距離近, 作用能大, 穩(wěn)定）才能被保留下來.習題金屬鎳立方晶胞中（111）晶面的晶面間距d111為2.035Å，求其（220）晶面間距d220。利用：a=dhkl+ k 2 +

15、 l 2h2a = d111 ´1+1+1 = 2.035*3 = 3.525 Å求得:3.525= 1.246 Åd于是:220+ 22 + 02222.4 晶面族晶面族：在同一晶體點陣中，有若干組晶面是可以通過一定的 對稱變化重復出現的等同晶面，它們的面間距與晶面上結點分布完全相同。這些空間位向性質完全相同的晶面的集合，稱為晶面族表示方法：用hkl表示。例如：立方晶系中100晶面族包括六個晶面（100）、（010）、（001）、（-100）、（0-10）、（00-1）注意，在其他晶系中，通過數字位置互換而得到的晶面不一定屬于同 一晶面族，例如，正方晶系中a=b

16、¹c，因此，100晶面族分為兩組， 一個包含（100）（010）（-100）（0-10）晶面；另一個包含（001）（00-1）兩個晶面。思考：為什么要強調晶面族的概念？與衍射分析有什么關系？<晶體衍射結果最直接的信息是面間距。同一個面間距值可能對應不同的晶面，這些具有相等面間距的晶面之間有可能通過選擇、平移等對稱性操作重復，這些晶面屬于同一晶面族。>2.5、倒易點陣 （教學難點）2.5.1為什么要引入倒易點陣概念LJ1、天下本無事，庸人自擾之？非常有用要考；更要考2、能簡化（1）晶面與晶面指數表達；（2）衍射原理的表達；（3）與實驗測量結果直接關聯，尤其是電子衍射部分。&

17、lt;晶體X射線衍射中是對晶體中各個晶面的研究，如果能把晶面作為一個點來研究，何樂不為？>2.5.2倒易點陣的概念、表達形式倒易點陣是在晶體點陣的基礎上按一定對應關系建立起來的空間幾何圖形，是晶體點陣的另一種表達形式。為了區(qū)別有時把晶體點陣空間稱為正空間。倒易空間中的結點稱為倒易點。1、倒易點陣的定義（倒易點陣與正點陣的轉換關系）倒易點陣參數：a* 、b*、 c*； *、*、*定義：= cos b cos g - cosa ücosa *ïsin b sin g矢量表示cos g cosa - cos b ïïcos b *=ýsin g

18、 sin aï= cosa cos b - cos g ïcos g *ïþsin a sin b其中，a 、b、 c；、為正點陣參數ra × b = a b cosqrrva ´ b = a b sinqta* × a = b* ×b = c* × c =1a* ×b = a* × c = b* × a = b* × c = c* × a = c* ×b = 0倒易點陣參數的方向與大小（1）因此，倒易點陣的基本矢量垂直于正點陣中異名矢量的平面。

19、a*垂直于b與c兩個矢量垂直于a與c（a與b）兩個矢量的平面。同樣b*（或c*）的平面。或者，a*垂直（100）晶面； b*垂直（010）晶面； c*垂直（001）晶面。（2）1 ， b*1 ， c*1如果a*=b*=g*=90o，a*=abca* × a = b* ×b = c* × c =1a* ×b = a* × c = b* × a = b* × c = c* × a = c* ×b = 02、倒易點陣的本質倒易點陣是晶體結構周期性在傅立葉空間中的數學抽象。如果把晶體點陣本身理解為周期函數，則倒易

20、點陣就是晶體點陣的傅立葉變換，反之晶體點陣就是倒易點陣的傅立葉逆變換。所以，倒易點陣只是晶體點陣在不同空間(波矢空間)的反映。2.5.3 倒易矢量1、定義：從倒易點陣原點向任一倒易陣點所連接的矢量叫倒易矢量，表示為：r* = ha* + kb* + lc*倒易陣點用它所代表的晶面指數標定。立方正空間點陣的倒易變換020120220(010)b(110)(100)b*210(220)(210)c200C*aa*000正點陣倒易點陣H2200101101002、倒易矢量的兩個基本性質（1） 倒易矢量的方向垂直于正點陣中的（hkl）晶面。r* (hkl)rhkl（2）倒易矢量的長度等于（hkl）晶面

21、的晶面間距dhkl的倒數。r*= 1 d hklrhkl如果正點陣與倒易點陣具有同一坐標原點，則正點陣中的一個晶面在倒易 點陣中就變成了一個陣點（倒易點）。正點陣中晶面取向和面間距只須倒 易矢量一個參量就能表示。證明1：倒易矢量的方向垂直于正點陣中的（hkl）晶面。r*r*r*=*+ kb + lcrhkl設倒易矢量為：ha晶面（hkl）與三個坐標軸r的截距為：rOA = a / hAB = b / k - rOB = b / kOC = c / la / hr*r*r*rrh kl*× AB = (ha+ kb+ lc) ×(b / k - a / h)于是：從倒易矢量的

22、定義cr*× AB = 1-1 = 0rhkl因此Cr*brh klABACr*Br同理可證：rhkl*r BCOahklr*rhklA (hkl)r*r*r*r*rr*rr*a ×b = a × c = b × a = b × c = c × a = c ×b = 0r*r*r*ra × a = b × b = c × c = 1證明2：倒易矢量的長度等于（hkl）晶面的晶面間距dhkl的倒數。cOM垂直于晶面，交點為M，于是有：= dhklOMC= OA× r= a × rbdnnnhklBhnMOa為OM方向上的矢量A因為性質一成立，則有倒易矢量垂直于ABC面，即倒易矢量在OM方向上，rr*r*這樣可以通過有倒易矢量給出矢量。n = rhkl/ rhklr*r*rr*+ kb+ lc= OA× n = a / h × ( ha1) =dr*r*hklrhklrhklr*= 1 d hklrhkl3、用倒易矢量推導晶面間距和晶面夾角的計算公式 晶面間距計算公式 晶面夾角計算公式晶面間距計算公式：已知r* = ha* + kb* + l c*，則:1dhkl=2r*1r *= (ha* + kb* + lc*) ×